Dinâmica de Locomoção de Máquinas - Escola de Minas

Universidade Federal de Ouro Preto - UFOP
Escola de Minas
Departamento de Engenharia de Controle e
Automação - DECAT
Dinâmica de Locomoção de Máquinas Caminhantes
MONOGRAFIA DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE CONTROLE E
AUTOMAÇÃO
Carlos Roberto de Araújo
Ouro Preto
Julho de 2005
Carlos Roberto de Araújo
Dinâmica de Locomoção de Máquinas Caminhantes
Monografia apresentada ao Curso de Engenharia de
Controle e Automação da Universidade Federal de Ouro
Preto como parte dos requisitos para a obtenção de Grau
em Engenheiro de Controle e Automação.
Orientador: Luiz de Siqueira Martins Filho
Co-orientador: Ronílson Rocha
Ouro Preto
Escola de Minas - UFOP
julho / 2005
iii
iv
“É uma lei imutável nos negócios que palavras são palavras, explicações são explicações,
promessas são promessas – mas somente desempenho é realidade”.
Harold S. Green
“Mire o final e nunca páre
para duvidar; nada é tão difícil, mas a busca irá descobri-lo”.
Robert Herrick
“É do senso comum capturar um método e experimentá-lo. Se ele falhar, admita isso com
franqueza e experimente outro. Mas, acima de tudo, tente algo”.
Franklin Delano Roosevelt
v
Este trabalho é de todos aqueles que, de alguma forma, contribuíram para que a
“jornada” continuasse. A todas essas pessoas, e especialmente a minha mãe, eu agradeço
profundamente.
vi
SUMÁRIO
LISTA DE FIGURAS ............................................................................................................ vii
LISTA DE SIGLAS ...............................................................................................................viii
RESUMO ............................................................................................................................... ix
ABSTRACT.............................................................................................................................. x
1. INTRODUÇÃO ................................................................................................................. 11
1.1.
Origem do Trabalho ................................................................................................. 13
1.2.
Justificativa e Importância do Trabalho .................................................................. 14
1.3.
Objetivos ................................................................................................................... 15
1.3.1.
Objetivo Geral ...................................................................................................... 15
1.3.2.
Objetivos Específicos ............................................................................................ 15
2. ANDADURAS CONTÍNUAS E DESCONTÍNUAS ........................................................... 16
2.1 Andadura Descontínua de Duas Fases ........................................................................... 18
2.2 LSM – Uma Possibilidade de Abordagem ...................................................................... 18
3. ANDADURA TURNING E ANDADURA CRAB ............................................................... 21
3.1. Andadura Turning.......................................................................................................... 21
3.1.1. Seguindo Uma Trajetória Utilizando Andadura Turning........................................... 23
3.2. Andadura Crab .............................................................................................................. 25
3.2.1. Seguindo Uma Trajetória Utilizando Andadura Crab ............................................... 26
4. MÉTODOS ........................................................................................................................ 29
5. MODELO DINÂMICO PLANAR...................................................................................... 32
6. FASE DE TRANSFERÊNCIA DAS PERNAS ................................................................... 39
7. MÓDULO DE CONTROLE DO MOVIMENTO .............................................................. 42
7.1 Controle de Posição e Velocidade .................................................................................. 42
8. RESULTADOS DE SIMULAÇÕES .................................................................................. 45
9. CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES .......................................................................... 49
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................... 51
vii
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1 – Andadura descontínua de duas fases .............................................................. 19
FIGURA 2 – Trajetória para uma andadura descontínua turning ...................................... 22
FIGURA 3 - Margem de estabilidade para uma andadura turning ..................................... 23
FIGURA 4 – Trajetórias das extremidades de pernas para andadura descontínua crab
(casos A e B) ......................................................................................................................... 26
FIGURA 5 - Seguindo uma trajetória utilizando andadura descontínua crab .................... 27
FIGURA 6 – Definição de DSM e LSM ................................................................................ 30
FIGURA 7 – Modelo planar de um quadrúpede .................................................................. 32
FIGURA 8 - DSM durante fase de transferência (a = 5m/s²) .............................................. 40
FIGURA 9 – Descrição da andadura – primeira fase.......................................................... 40
FIGURA 10 – Controle de posição e velocidade ................................................................. 43
FIGURA 11 – Componentes z das forças de contato pé-solo............................................... 46
FIGURA 12 – DSM e LSM para a = 3 m/s2 ......................................................................... 47
FIGURA 13 – DSM e LSM para a = 5 m/s2 ......................................................................... 47
viii
LISTA DE SIGLAS
ASV – “Adaptative Suspension Vehicle” (Veículo de Suspensão Adaptativa)
DSM – “Dynamic Stability Margin” (Margem de Estabilidade Dinâmica)
LQR – “Linear Quadratic Regulator” (Regulador Quadrático Linear)
LSM – “Longitudinal Stability Margin” (Margem de Estabilidade Longitudinal)
ix
RESUMO
Andaduras descontínuas apresentam algumas vantagens sobre andaduras
contínuas, tais como: maior margem de estabilidade, menor consumo energético e maior
facilidade de adaptação a variações no terreno de locomoção. Este trabalho destina-se a
comparar esses dois tipos de andaduras, mostrar dois algoritmos (andadura crab e andadura
turning), que possibilitam a uma máquina caminhante seguir uma determinada trajetória e
destina-se também a analisar como os efeitos dinâmicos, durante uma locomoção
descontínua, modificam a medida da estabilidade estática. Para isso, utiliza um modelo de
robô quadrúpede bidimensional e apresenta a forma de cálculo das forças de contato pésolo durante um ciclo de locomoção. Também mostra o conceito de aceleração de inversão,
que é o limite máximo abaixo do qual o critério da margem de estabilidade estática
continua válido. Aborda-se também um sistema de controle clássico. Ele possui duas
malhas: uma para a velocidade e outra para a posição. Com isso, se pretende controlar o
centro de massa da plataforma da máquina caminhante. O trabalho chega à conclusão que a
margem de estabilidade estática é uma medida adequada para se estudar a estabilidade de
máquinas caminhantes com pernas de massa não significativa, desde que a aceleração do
corpo seja menor que a aceleração de inversão. Quando as massas das pernas forem
significativas, obtém-se a estabilidade do sistema pela dinâmica das pernas, assim como
pela distribuição de massa das mesmas.
Palavras chave: estabilidade estática, aceleração de inversão, andadura crab, controle
clássico, máquinas caminhantes, andadura turning.
x
ABSTRACT
Discontinuous gaits present some advantages over wave gaits such as
stability margin, smaller energy consumption and terrain adaptability. This monografy
adresses to compare these two types of gaits, it adresses to show two algorithms (crab gait
and turning gait) that to allow tracking a path and it adresses to analise how dynamic
effects modify the measurement of the static stability. For this it uses a two-dimensinal
quadruped robot model and it shows how to get the foot forces during a locomotion cycle.
It shows the inversion acceleration’s concept that is the upper limite under wich the static
stability margin criterion like measurement for stability remains valid. It deals a classical
control system too. It has a velocity loop and a position one. The intention of this system is
to control the gravity’s center of the machine. The monografy concludes that the static
stability margin is an adequate measurement for studying stability in massless leg machines
with the constraint that the acceleration of the body must be smaller than the inversion
acceleration. If the mass of the legs is significant, get the stability by the dynamics of the
legs and the distribution of the mass of the legs as well.
Key words: static stability, inversion aceleration, crab gait, classical control, walking
machines, turning gait.
11
1. INTRODUÇÃO
Desde o início dos estudos na área de robótica (década de 60), esta área
havia focado seus esforços nos projetos de controle de manipuladores, essencialmente
apreensão e manipulação de objetos e ferramentas. A principal motivação foi a demanda
gerada pelas necessidades de produtividade da indústria. As aplicações de manipuladores
com base fixa têm crescido, rapidamente, nas fábricas; notadamente, na indústria
automobilística para execução das operações de montagem e soldagem principalmente. O
objetivo da pesquisa deste tipo de robô tem sido a busca de melhorias na rapidez de
execução de tarefas, aumento da precisão dos movimentos e facilidade de programação dos
equipamentos.
Nas últimas três décadas, esses estudos têm levado a uma série de avanços
na prática industrial: linguagens de programação de robôs, sistemas de programação offline, dispositivos compliantes para montagens, sistemas de visão para localização e
inspeção de peças, seguimento de juntas para arco de solda, robôs de guiagem direta, etc.
Tais avanços tecnológicos têm possibilitado a automação de novas aplicações.
Nesse mesmo período, os robôs tornaram-se móveis. A habilidade de
locomoção dos robôs tornou-se um tema importante nos desenvolvimentos em robótica.
Por locomoção ou mobilidade entende-se a capacidade de deslocamento da plataforma em
ambientes estruturados e não estruturados. Esta nova característica dos robôs estendeu os
seus objetivos e aplicações, permitindo incluir na sua lista de requisitos de funcionalidade
novos itens: transporte de materiais a distâncias que vão além do espaço de trabalho dos
manipuladores (incluindo a navegação em ambientes fabris complexos), supervisão de
processos através de sensores de alta tecnologia, monitoramento de fenômenos naturais que
representam riscos à vida humana, intervenção remota em ambientes hostis (usinas
nucleares, por exemplo).
A principal forma de locomoção dos robôs móveis é por meio de rodas de
diferentes tipos. Embora essas modalidades de rodas incluam lagartas e rodas
especialmente desenvolvidas para terrenos irregulares, tais como os de ambientes naturais,
existem limitações para sua aplicação. Inspirados em animais quadrúpedes e hexápodes, e
12
também na locomoção bípede dos humanos, os pesquisadores passaram a propor soluções
de locomoção capazes de enfrentar dificuldades extremas de terrenos naturais e de terrenos
estruturados. Com isso, verificou-se que robôs com pernas apresentam resultados muito
satisfatórios na locomoção sobre terrenos irregulares, conforme exemplos em estudos
relacionados ao tema (HIROSE et al, 1989; KLEIN e KITTIVATCHARAPONG, 1990;
TANIE, 2001; SCHNEIDER e SCHMUCHER, 2001).
Máquinas caminhantes são capazes de se locomover em terrenos inacessíveis
a outros tipos de veículos. Isso porque não necessitam de uma superfície de suporte
contínua (MANKO, 1992). No passado, investigações teóricas sobre máquinas caminhantes
produziram resultados em configurações de máquina, controle e distribuição de força,
modelagem dinâmica e geração de andadura. Bem no início dos estudos em andadura, os
pesquisadores se concentraram em andaduras descontínuas, transferindo seus esforços,
rapidamente, para o campo das andaduras contínuas (HIROSE e UMETANI, 1978;
MCGHEE e FRANK, 1968). Estas, por serem observadas na natureza, parecem ter dado
maior motivação aos pesquisadores. Esse tipo de andadura pode ser visto, principalmente,
na locomoção de mamíferos e insetos, notadamente, em baixa velocidade. Ela tem sido,
matematicamente, modelada e simulada, apresentando boas características de um modo
geral (MCGHEE e FRANK, 1968; SONG e WALDRON, 1988). Mesmo diante de todos
esses pontos favoráveis às andaduras contínuas, andaduras descontínuas são superiores em
algumas questões, tais como: estabilidade, consumo energético, velocidade e adaptabilidade
a mudanças no terreno de locomoção.
Um grande número de arquiteturas para robôs caminhantes tem sido
discutido na literatura (HIROSE et al, 1989; CAURIN e TSCHICHOLD-GUMAN, 1994;
MARTINS-FILHO e PRAJOUX, 2000). O presente trabalho considera as abordagens nas
quais o robô é controlado via comando da dinâmica como no artigo de SCHNEIDER e
SCHMUCKER (2001). Nessa arquitetura em particular, um módulo é encarregado da
determinação dos esforços resultantes que provocam o movimento desejado do mecanismo.
E outro módulo é responsável pela tarefa de distribuição de forças, i.e, o cálculo da força de
contato pé-solo que cada perna deve realizar para produzir a força e o torque resultantes
agindo no corpo do robô.
13
A questão mais importante a ser tratada no presente trabalho é: o que
permanece verdadeiro, com relação a margens de estabilidade, quando uma máquina
caminhante realiza uma andadura descontínua e aspectos dinâmicos são levados em
consideração? Essa questão será trabalhada ao longo do texto. Serão também apresentadas
as principais diferenças entre andaduras contínuas e descontínuas. Andaduras contínuas são
aquelas nas quais existem movimentos simultâneos de todos os elementos constituintes do
mecanismo. Andaduras descontínuas, por outro lado, são caracterizadas por movimentos
isolados das pernas e do corpo do robô. Também será apresentado o limite de validade da
estabilidade estática, isto é, o limite de aceleração sob o qual ela continua sendo uma
medida adequada para se verificar a estabilidade do conjunto. Outro objetivo do trabalho é
mostrar um sistema de controle da posição (e velocidade) do centro de gravidade do robô,
baseado num método de controle clássico para os sistemas de segunda ordem, fazendo uso
de duas malhas, uma para a velocidade e outra para a posição. Este tipo de regulador
permite uma implementação simples e de fácil compreensão (MARTINS-FILHO e
PRAJOUX, 2000).
É também proposta deste trabalho mostrar como uma máquina caminhante,
desenvolvendo uma andadura descontínua, pode seguir um determinado caminho. Isso
porque uma máquina caminhante possui um comportamento que permite ao centro do
corpo da mesma seguir uma trajetória de várias maneiras diferentes (SANTOS e JIMENEZ,
1995). Por exemplo, a máquina pode caminhar mantendo a orientação do eixo longitudinal
do corpo constante, ou pode manter esse mesmo eixo longitudinal tangente à trajetória
imposta pelo sistema de controle. Essas duas possibilidades serão abordadas neste trabalho.
1.1. Origem do Trabalho
O presente trabalho é uma continuação do projeto de pesquisa em robôs
caminhantes do qual participei durante mais de dois anos, junto com o professor Luiz de
Siqueira Martins Filho do Departamento de Computação da Universidade Federal de Ouro
Preto, e com as alunas do curso de Engenharia de Controle e Automação, Angela Cláudia
Martin Duarte e Regiane Sousa e Silva.
14
No projeto de pesquisa, foi realizado um estudo sobre os vários tipos de
andaduras que uma máquina caminhante pode realizar. Mas sempre foi suposto, que a
mesma realizasse os movimentos de forma contínua, isto é, os elementos componentes do
mecanismo se moveriam simultaneamente. Neste trabalho, será dado um maior enfoque a
um tipo de andadura não considerado até então: a andadura descontínua. Esse tipo de
locomoção é muito simples, do ponto de vista teórico, mas apresenta algumas
características que o torna digno de atenção. Por exemplo, levando-se em conta que, em
qualquer instante da locomoção, somente um elemento, perna ou corpo, está se movendo,
geração de andadura sobre terrenos irregulares, modificação em tempo real quando da
ocorrência de algum problema e controle, são questões muito mais simples de serem
analisadas e implementadas do que em andaduras contínuas (SANTOS e JIMENEZ, 1995,
1996). Essas características vêm sendo observadas em máquinas reais, como a CMUAmbler (BARES e WHITTAKER, 1989), que realiza um tipo de andadura descontínua
denominado circular.
1.2. Justificativa e Importância do Trabalho
Esta monografia pretende comunicar resultados de reflexões sobre robôs
caminhantes, os quais podem vir a ser importantes aliados dos seres humanos no futuro,
uma vez que poderão realizar tarefas que evitarão a exposição de pessoas a ambientes de
risco, ou as deixarão com maior tempo livre para o desenvolvimento de outras atividades. É
um trabalho sem objetivos práticos imediatos, ou seja, de caráter puramente acadêmico,
pois, é um fato que robôs caminhantes ainda estão longe de serem uma realidade no dia-adia humano. Isso porque ainda existem muitas questões para as quais não existem soluções,
principalmente, para os problemas relacionados com mecânica “fina”. Contudo, o presente
trabalho procura enfatizar o grande potencial desse campo de pesquisa, antecipando um
futuro no qual mecanismos como robôs caminhantes poderão ser bastante úteis, seja na
indústria, em instituições de ensino, ou até mesmo em residências.
Mesmo que robôs caminhantes não se tornem componentes naturais no diaa-dia humano daqui a algum tempo, os vários campos de estudo que estão envolvidos com
15
estes mecanismos sofrerão, inevitavelmente, avanços significativos, gerando modificações
visíveis em vários pontos da sociedade muito provavelmente. Vários componentes podem
ser embarcados nessas máquinas e, então, o avanço desses componentes contribuirá para a
modernização dos mecanismos caminhantes, assim como para a modernização de outros
processos e outros tantos mecanismos nos quais esses mesmos componentes possam ser
utilizados.
1.3. Objetivos
De acordo com o estabelecido até o momento, são objetivos deste trabalho:
1.3.1. Objetivo Geral
Fazer uma contextualização da área de robôs caminhantes, focando,
principalmente, as diferenças básicas entre as duas abordagens de andaduras: contínuas e
descontínuas.
1.3.2. Objetivos Específicos
Apresentar as principais vantagens das andaduras descontínuas em relação às
andaduras contínuas;
Avaliar o limite máximo de validade da estabilidade estática, tendo como referência
a medida da aceleração do sistema;
Mostrar como uma máquina caminhante pode seguir uma trajetória especificada,
apresentando duas andaduras derivadas da andadura descontínua básica (de duas
fases): andadura crab e andadura turning.
Apresentar uma estrutura de controle para o mecanismo como a que utiliza duas
malhas de controle, uma para a posição e outra para a velocidade.
16
2. ANDADURAS CONTÍNUAS E DESCONTÍNUAS
Como mencionado anteriormente, andaduras contínuas são observadas na
natureza. Elas são utilizadas, principalmente, por mamíferos e insetos em baixa velocidade.
Este tipo de andadura move o corpo com uma velocidade constante, enquanto o movimento
das pernas é seqüencial. O resultado é um movimento para trás das pernas em contato com
o solo, enquanto as pernas em transferência se movem para frente. O que deve ser frisado, é
que estes movimentos ocorrem simultaneamente, resultando em grandes dificuldades para
se implementar esse tipo de andadura em máquinas caminhantes reais, devido a
imperfeições nos mecanismos constituintes e à compressão do terreno (SANTOS e
JIMENEZ, 1996).
Andaduras descontínuas, por outro lado, se caracterizam por movimentos
seqüenciais tanto das pernas, quanto do corpo. Quando uma perna está em transferência,
todas as outras permanecem nas suas respectivas posições. O movimento do corpo é obtido
quando todas as pernas encontram-se em contato com o solo. Assim, todas as pernas se
movem para trás com a mesma velocidade. Por isso, estes movimentos são mais fáceis de
serem implementados que os da andadura contínua (SANTOS e JIMENEZ, 1996). Mas
andaduras descontínuas também exibem algumas dificuldades. Uma delas é originada
devido ao fato de o mecanismo entrar em movimento e parar várias vezes ao longo da
locomoção. Isso introduz acelerações elevadas no sistema, fazendo com que o critério da
margem de estabilidade estática possa deixar de ser válido. Outro ponto que deve ser
lembrado é a conseqüente diminuição da vida útil dos atuadores do conjunto.
Consumo energético é uma questão importante a ser considerada. As
andaduras contínuas, em terrenos irregulares, exigem que todos os atuadores estejam
acionados simultaneamente, enquanto as andaduras descontínuas necessitam apenas que
alguns deles estejam em funcionamento ao mesmo tempo. O número de atuadores
acionados depende da geometria da perna da máquina caminhante. Para uma mecanismo
pantográfico de n ligamentos, o número máximo de atuadores é n, tanto para andaduras
contínuas quanto para descontínuas. Já para uma máquina que apresenta uma perna com
junta rotacional, o número de atuadores acionados, em qualquer instante de tempo, é igual a
17
3n para uma andadura contínua. Quando a andadura é descontínua, o número de atuadores
acionados é igual a 3 para um movimento de perna, ou igual a 3n para um movimento do
corpo. É preciso salientar que, no último caso, o corpo é propelido durante um pequeno
intervalo do ciclo de locomoção. O consumo energético instantâneo depende do número de
atuadores acionados no momento verificado. Logicamente, quanto menor o número de
atuadores acionados simultaneamente, menor o consumo de energia. E, além disso, quando
se faz uso de freios, o consumo energético pode ser otimizado. Vale lembrar que é esse
consumo de energia que irá ditar o tamanho da fonte energética do sistema, que é um
parâmetro importante para veículos autônomos.
Embora geração de andadura seja um importante campo de pesquisa, pouca
atenção vem sendo dada pelos pesquisados no sentido de diferentes trajetórias serem
seguidas por máquinas caminhantes. Alguns poucos que desenvolveram algo nesse campo
foram ORIN (1982), com seu algoritmo que utilizava joysticks, e LEE e SONG (1991), que
desenvolveram um método que permite a uma máquina caminhante gerar e seguir um
caminho usando diferentes tipos de andaduras descontínuas. Estes algoritmos citados
anteriormente são utilizados somente em terrenos planos.
Se a máquina caminhante possuir um controlador que garanta estabilidade,
atitude e altitude, ela terá capacidade de seguir uma determinada trajetória, apresentando
boas características durante a locomoção. O controle de atitude é importante para corrigir
imperfeições nos mecanismos que constituem a máquina, assim como para corrigir os
efeitos da compressão do terreno, que tendem a inclinar a plataforma do robô. A máquina
pode necessitar de se locomover mantendo uma altura constante em relação à superfície de
suporte, ou pode precisar de se adaptar a variações no terreno. Se os controles de
estabilidade, altitude e atitude forem eficientes, a máquina conseguirá se adaptar
automaticamente às mudanças no terreno de locomoção (SANTOS e JIMENEZ, 1995).
Desse modo, somente uma trajetória em duas dimensões será necessária para fazer uma
máquina caminhante se locomover sobre um terreno irregular.
18
2.1 Andadura Descontínua de Duas Fases
Agora, será apresentada uma andadura que movimenta a máquina ao longo
de uma linha reta (eixo x), com estabilidade estática, significando que, em qualquer
instante, a projeção do centro de gravidade da plataforma estará no interior do polígono de
suporte, que é formado pelas extremidades de pernas em contato com o solo.
OZGUNER et al (1984) mostrou que existem n! seqüências não singulares
de movimento para uma máquina de n pernas, que devem ser combinadas com as posições
das extremidades de pernas para se definir uma andadura estável. Uma maneira de se
diminuir este elevado número de possibilidades, 24 no caso de quadrúpede, é utilizar
apenas dois movimentos para o corpo (ou duas fases) por ciclo de locomoção. Assim, uma
possibilidade seria a seguinte: em cada fase, somente as pernas de um mesmo lado
entrariam em movimento. No início da fase, as pernas deveriam estar localizadas no limite
traseiro do espaço de trabalho de cada uma. A seguir, estas pernas seriam transferidas,
seqüencialmente, em direção ao limite dianteiro dos espaços de trabalho delas. Uma
seqüência de movimento poderia ser a seguinte: em cada lado, a perna traseira se moveria
e, a seguir, a perna dianteira. Após o movimento das pernas de um lado, o corpo seria
propelido para frente, percorrendo metade da distância de um ciclo de locomoção. Após o
movimento do corpo, as duas pernas que não foram transferidas (localizadas do outro lado
do corpo e que permaneceram em contato com o solo), deveriam estar localizadas no limite
traseiro do espaço de trabalho de cada uma delas. Para que isso seja possível, antes do
movimento do corpo, cada uma delas deveria estar no meio do seu respectivo espaço de
trabalho.
2.2 LSM – Uma Possibilidade de Abordagem
Uma das maneiras de se determinar a LSM, margem de estabilidade
longitudinal, é utilizando a diagonal que liga as pernas 1 e 4, ou a diagonal que liga as
pernas 2 e 3, como mostra a FIGURA 1. Em qualquer dos casos, a diagonal parte de uma
extremidade de perna que se encontra no meio do espaço de trabalho dela, até uma outra
19
que se encontra no limite mais próximo do centro de gravidade da plataforma. Pela mesma
figura, constata-se que a margem de estabilidade longitudinal é a distância entre a projeção
do centro de gravidade da plataforma e a diagonal que liga as extremidades de pernas 1 e 4
ou 2 e 3. Através de um simples cálculo geométrico:
 x − x2 
 + x2
LSM D = − y2  3
 y3 − y2 
(1)
em que o índice D foi utilizado para indicar que se trata de uma andadura descontínua. Seja
P2 ( x2 , y2 ) e P3 ( x3 , y3 ) , os pontos da extremidade da diagonal (considerando as pernas 2 e
3). Se as coordenadas dos pontos anteriores forem substituídas por P2 (
P3 (
Px Rx Py
− ,− ) e
2
2
2
− Px Py
,− ) , sendo Px , Py e R x dimensões representadas na FIGURA 1, a equação (1) dá
2
2
como resultado:
LSM D =
Rx
.
4
(2)
FIGURA 1 – Andadura descontínua de duas fases
Fonte: SANTOS E JIMENEZ, 1995.
Por motivos de comparação, a margem de estabilidade para uma máquina
caminhante de quatro pernas, utilizando uma andadura contínua, é dada por (MCGHEE e
FRANK, 1968):
20
3

LSM C =  β − λ ;
4

3
≤ β < 1;
4
sendo Rx ≤ Px
(3)
em que λ é a distância que o centro de gravidade do corpo percorre em um ciclo de
locomoção. O valor de λ é dado por:
λ=
Rx
(4)
β
sendo que β é conhecido como fator de carga, ou a fração do período de um ciclo na qual a
perna permanece em contato com a superfície de suporte.
Utilizando as equações (3) e (4), constata-se que a LSM para uma andadura
contínua assume valores entre zero e
assume um valor constante igual a
Rx
, enquanto para uma andadura descontínua, ela
4
Rx
. Por isso, as andaduras descontínuas exibem, em
4
geral, LSMs superiores às andaduras contínuas. Sendo assim, caso a estabilidade seja a
principal propriedade desejada para uma dada máquina caminhante, a andadura
desenvolvida pela mesma terá fortes motivos para ser do tipo descontínua, pelo menos a
princípio.
21
3. ANDADURA TURNING E ANDADURA CRAB
Existem alguns tipos de andaduras descontínuas que permitem ao
mecanismo mudar a direção de movimento. O presente trabalho tratará de dois tipos:
andadura turning e andadura crab.
3.1. Andadura Turning
Andaduras turning realizam o movimento do mecanismo mantendo o eixo
longitudinal do corpo tangente a uma trajetória desejada. Para andaduras descontínuas
turning será usada a mesma seqüência de movimento usada para a andadura descontínua de
duas fases, tratada, inicialmente, no presente trabalho. Dessa forma, somente as posições
das extremidades de pernas são necessárias para especificar a andadura.
Em uma andadura turning, o corpo da máquina caminhante é propelido, em
segmentos, para frente. Conseqüentemente, a trajetória real do corpo é composta por um
conjunto de segmentos com pontos extremos sobre a trajetória desejada. Sendo o corpo
deslocado, uma rotação é executada, simultaneamente, para alinhar a plataforma com a
tangente à trajetória. Para que uma andadura periódica seja gerada utilizando este
mecanismo, as posições das pernas, no sistema de referência ligado ao corpo, devem ser as
mesmas a cada novo ciclo. A FIGURA 2 apresenta uma trajetória do corpo formada por
dois segmentos. A primeira fase translada o corpo por uma distância L e o gira de α 1 . A
segunda fase translada o corpo por uma distância L novamente e o gira de α 2 . Deve-se
notar que, após transferir as pernas do lado direito, o corpo translada e gira e, após
transferir as pernas do lado esquerdo, o corpo translada e gira mais uma vez. Sendo assim,
as pernas direitas giram duas vezes ( α 1 e α 2 ) e as pernas esquerdas giram apenas uma
( α 2 ).
22
FIGURA 2 – Trajetória para uma andadura descontínua turning
Fonte: SANTOS E JIMENEZ, 1995.
A
rotação
sobre
o
eixo
z
(FIGURA
2)
afeta
a
estabilidade.
Conseqüentemente, existe um ângulo de rotação máximo acima do qual a máquina se torna
instável. A FIGURA 3 mostra a LSM de um ciclo de locomoção versus o ângulo de rotação.
Se H (α , x, y ) representar uma matriz de transformação homogênea que gira
o corpo de um ângulo α e o translada para a posição ( x, y ) , o algoritmo para esta andadura
pode ser assim enunciado:
1) Localize a perna j na posição inicial p j 0 para cada j . Calcule
α i , xi e yi .
2) Localize a perna 4 em p4 = H (α 2 , x2 , y2 ) ⋅ H (α1 , x1 , y1 ) ⋅ p40
3) Localize a perna 2 em p2 = H (α 2 , x2 , y2 ) ⋅ H (α1 , x1 , y1 ) ⋅ p20
4) Movimento do corpo: localize a perna em p j = H −1 (α1 , x1 , y1 ) ⋅ p j para
cada j .
5) Localize a perna 3 em p3 = H (α 2 , x2 , y2 ) ⋅ p30
6) Localize a perna 1 em p1 = H (α 2 , x2 , y2 ) ⋅ p10
23
7) Movimento do corpo: localize a perna em p j = H −1 (α 2 , x2 , y2 ) p j para
cada j .
Sendo ( xi , yi ) , para i = 1 .. 2, o ponto sobre a trajetória desejada, que está a uma distância L
da origem do sistema de coordenadas do corpo, e α i , o ângulo entre o eixo x do sistema de
coordenadas do corpo e a reta tangente à trajetória desejada em ( xi , yi ) .
FIGURA 3 - Margem de estabilidade para uma andadura turning
Fonte: Adaptado de SANTOS E JIMENEZ, 1995.
3.1.1. Seguindo Uma Trajetória Utilizando Andadura Turning
A andadura turning é caracterizada pelo ponto ( xi , yi ) e pelo ângulo α i
(i = 1 .. 2). O ponto ( xi , yi ) é a nova posição do centro de gravidade no fim da fase ou de
um semi-ciclo, e α é o valor do ângulo de rotação que o corpo deve realizar em cada fase
ou semi-ciclo para manter o eixo longitudinal do mesmo tangente à trajetória desejada. A
24
nova posição do centro de gravidade fica sobre a trajetória a uma distância L da posição
corrente do mesmo. Sendo assim, esse ponto pertence, simultaneamente, à função que
define o caminho:
y = p(x)
(1)
e à equação dos pontos cuja distância em relação à posição corrente do centro de gravidade
é L, dada por:
( x − xm ) 2 + ( y − p ( xm )) 2 = L2
(2)
O método de Newton para sistemas de equações não lineares pode ser usado para encontrar
a solução neste caso. Este método resolve um sistema de equações não lineares tal como o
seguinte:
f ( x, y ) = 0
g ( x, y ) = 0
(3)
desde que uma aproximação inicial da solução, ( x0 , y 0 ), esteja disponível.
O algoritmo final considera que existe uma aproximação da solução do
sistema de equações (3), dada por ( x0 , y0 ). A partir daí, o método de Newton realiza uma
correção diferencial expressa por:
− f ( x0 , y0 )
δx 
−1 
δy  = J  − g ( x , y ) 
 
0
0 

(4)
em que J é o Jacobiano do sistema, dado por:
 ∂f ( x0 , y0 )

∂x
J =
∂
g
(
x
0 , y0 )


∂x
∂f ( x0 , y0 ) 

∂y
.
∂g ( x0 , y0 ) 

∂y
(5)
Se f ( x0 + δx, y0 + δy ) < ε e g ( x0 + δx, y0 + δy ) < ε , então ( x0 + δx, y0 + δy ) é uma boa
aproximação para a solução do sistema (3). Do contrário, a aproximação original, ( x0 , y0 ),
é trocada por ( x0 + δx, y0 + δy ) e o processo é repetido. Geralmente, com poucas iterações
este processo produz valores precisos para a solução do sistema, desde que as aproximações
iniciais sejam suficientemente próximas da verdadeira solução.
25
Para que o método de Newton possa ser aplicado às equações (1) e (2), elas
devem ser reescritas da seguinte maneira:
f ( x, y ) = y − p ( x ) = 0
g ( x, y ) = ( x − xm ) 2 + ( y − p ( xm )) 2 − L2 = 0.
(6)
A solução deste sistema fornece a nova posição do centro de gravidade. O ângulo de
rotação, que coloca o eixo longitudinal do corpo tangente à trajetória, é obtido pela
derivada da função que representa a trajetória desejada na nova posição do centro de
gravidade, p ' ( xm ).
Este método necessita de uma aproximação inicial da solução. Esta pode ser
a posição corrente do centro de gravidade, embora essa prática seja um pouco grosseira.
Uma prática um pouco mais refinada é obtida escolhendo-se um ponto na direção da
tangente à trajetória, como o ponto
( xm + ( L / 2) cos αT , ym + ( L / 2) senα T ),
sendo
α T = tg −1 ( p ' ( xm )). Escolhendo-se como aproximação inicial a posição corrente do centro
de gravidade, o algoritmo converge, em média, com vinte iterações. Já utilizando um ponto
na direção da tangente à trajetória, a solução é atingida com duas iterações em média.
3.2. Andadura Crab
Uma andadura crab consiste em se mover o centro de gravidade da
plataforma ao longo de uma certa trajetória, mantendo a orientação da mesma constante.
Para realizar uma andadura crab descontínua, pode-se considerar mais uma vez, a mesma
seqüência para os movimentos das pernas e o mesmo movimento do corpo utilizados para a
andadura de duas fases. A trajetória das pernas em transferência, na andadura de duas fases,
é paralela ao eixo longitudinal do corpo, o qual coincide com a direção seguida pela
plataforma. Em uma andadura crab, a perna em transferência segue uma trajetória paralela
à trajetória crab, e a localização da extremidade da perna é o ponto de interseção da
trajetória crab com o limite do espaço de trabalho da perna. A FIGURA 4 mostra dois tipos
de trajetórias, uma que cruza o limite dianteiro do espaço de trabalho e uma que cruza o
26
limite lateral, trajetórias A e B, respectivamente. Na trajetória B, verifica-se que
( R x tgα > R y / 2). Sendo assim, a mesma obtém um “ângulo crab” superior ao da trajetória
A, na qual se pode notar que ( R x tgα ≤ R y / 2). Um fato que precisa ser ressaltado é que a
LSM diminui quando o ângulo crab aumenta, deixando a máquina instável para altos
valores de ângulo crab.
FIGURA 4 – Trajetórias das extremidades de pernas para andadura descontínua crab
(casos A e B)
Fonte: SANTOS E JIMENEZ, 1995.
3.2.1. Seguindo Uma Trajetória Utilizando Andadura Crab
Segundo a definição de andadura crab, o espaço de trabalho do centro de
gravidade da plataforma e o espaço de trabalho das extremidades de pernas são iguais.
Além disso, a andadura crab garante que as trajetórias das extremidades de pernas e a do
centro de gravidade da plataforma também são iguais. Suponha que o centro de gravidade
do corpo está sobre a trajetória desejada e o eixo longitudinal do mesmo está alinhado com
o eixo x do sistema de referência da trajetória. Se a trajetória é dada por y = p(x) , o
objetivo é colocar o centro de gravidade sobre a mesma, o mais longe possível da sua
posição inicial. Como o movimento das pernas está restrito ao espaço de trabalho do centro
27
de gravidade da plataforma, a nova posição do c.g. é o ponto de interseção entre a função
que define a trajetória, p (x ) , e os limites do espaço de trabalho.
Para encontrar a nova posição do centro de gravidade, o primeiro passo é
testar qual trajetória as pernas terão que seguir (trajetória A ou trajetória B, segundo a
FIGURA 4). Por esta mesma figura, pode-se inferir que o ângulo que separa os dois tipos
de trajetória é:
 Ry 

 2 Rx 
α L = tg −1 
(7)
A FIGURA 5 apresenta um exemplo de trajetória que utiliza uma andadura crab
descontínua.
FIGURA 5 - Seguindo uma trajetória utilizando andadura descontínua crab
Fonte: SANTOS E JIMENEZ, 1995.
Se o centro de gravidade estiver localizado em xm e a trajetória da perna
cruzar o limite dianteiro do espaço de trabalho, então a trajetória irá verificar o seguinte:
 p( xm + Rx ) − p ( xm ) 
 ≤ α L
Rx


α A = tg −1 
(8)
e as pernas realizarão a trajetória A. Do contrário, a trajetória B será realizada.
Sendo a trajetória A executada, a nova posição do centro de gravidade será
( xm + Rx , p ( xm + Rx )). O corpo se deslocará até essa nova posição seguindo uma linha reta a
28
partir da posição inicial dele, ( xm , p( xm )). A partir de então, o procedimento poderá ser
repetido.
Quando o centro de gravidade seguir a trajetória B, a trajetória das pernas
cruza o limite lateral do espaço de trabalho. Para descobrir este ponto de interseção, o
método da bisseção pode ser usado. Este método calcula a raiz de uma equação f ( x) = 0 ,
no intervalo [ x1 , x2 ] em que f ( x1 ) f ( x2 ) < 0. Para o cálculo da raiz, o intervalo [ x1 , x2 ] é
dividido no ponto x ' = ( x1 + x2 ) / 2. Se x1 − x2 ≤ ε , sendo ε uma quantidade positiva
muito pequena, então x ' é uma raiz. De outro modo, [ x1 , x ' ] pode conter a raiz se
f ( x1 ) f ( x ' ) ≤ 0. Se não, [ x ' , x2 ] contém a raiz e f ( x ' ) f ( x2 ) ≤ 0 pode ser verificado. Este
processo é repetido sobre o intervalo que contém x ' até que a condição x1 − x2 ≤ ε seja
satisfeita.
Este método iterativo é simples e garante a raiz da equação, mas o número
de iterações pode se tornar elevado se ε for escolhido muito pequeno. Este número é o
parâmetro que define a precisão da solução. No caso de máquinas caminhantes, uma
precisão de 0.5 cm se mostra adequada, fazendo com este algoritmo encontre uma raiz em
poucas iterações.
O método descrito anteriormente, calcula a raiz da equação f ( x) = 0, mas o
problema é calcular a interseção de p (x) com a reta horizontal que passa por
( xm , p( xm ) + Ry / 2) ou ( xm , p ( xm ) − Ry / 2), dependendo de qual limite lateral o caminho
interceptar. Se o eixo x do sistema de coordenadas for transladado para a posição do limite
lateral, o método da bisseção pode ser utilizado. Esta translação de eixo é equivalente a
calcular a raiz da função:
f ( x) = p( x) − p ( xm ) −
α A Ry
αA 2
(9)
em que xm é a abscissa do centro de gravidade e α A é uma estimativa do ângulo da
trajetória da extremidade de perna que pode ser calculada por (8). Com a nova posição do
centro de gravidade conhecida, o movimento é realizado com o algoritmo da andadura
descrito anteriormente.
29
4. MÉTODOS
Para que o estudo em questão se torne um pouco mais elaborado, será
necessário o uso de um modelo dinâmico baseado em robôs caminhantes de quatro
ligamentos encontrados em (BENNANI e GIRI, 1996). A partir de agora, será feito
também um estudo sobre LSM e DSM durante o movimento da plataforma do robô. Sendo
assim, estas medidas serão comprimentos ao longo do eixo longitudinal da máquina.
A princípio, o uso de um modelo bidimensional pode levar à impressão de
que o mesmo é excessivamente simplificado. Mas existem duas razões que contribuíram
para a utilização do mesmo: as componentes de forças perpendiculares ao plano do
movimento do robô (forças laterais) são desprezíveis em relação às demais envolvidas no
sistema (WALDRON et al, 1988; WONG e ORIN, 1993). E como o presente trabalho
pretende comparar medidas de estabilidade (margem de estabilidade longitudinal - LSM e
margem de estabilidade dinâmica - DSM), que são comprimentos ao longo do eixo
longitudinal da máquina, um modelo bidimensional se mostra suficiente.
Como dito anteriormente, a LSM é definida como a distância mínima entre a
projeção do centro de gravidade do corpo no polígono de suporte (formado pelas
extremidades das pernas em contato com o solo) e a fronteira do mesmo (SONG e
WALDRON, 1988). Dessa forma, serão comparadas a LSM dianteira e a LSM traseira,
sendo escolhida a de menor valor (o cálculo será feito com as quatro pernas em contato
com o solo). Esta medida foi inicialmente utilizada no estudo de estabilidade estática,
sendo, a seguir, adaptada a modelos que consideravam aspectos dinâmicos. A outra
medida, a DSM, é considerada como a distância mínima entre o centro de pressão e as
fronteiras do polígono de suporte. O centro de pressão é obtido da seguinte maneira:
calcula-se a força resultante (composta pelas forças inercial, peso e externas) que atua no
centro de massa da plataforma. A seguir, segundo a direção do vetor previamente obtido,
encontra-se a interseção com o plano do polígono de suporte. Este ponto de interseção é o
centro de pressão. Essa definição de DSM utilizada no presente trabalho é a usual. Alguns
30
autores utilizam uma variante (LING e SONG, 1993). A representação gráfica da DSM e da
LSM pode ser vista na FIGURA 6.
FIGURA 6 – Definição de DSM e LSM
Fonte: ARMADA et al, 1997.
Máquinas caminhantes que desenvolvem andaduras descontínuas executam
movimentos seqüenciais. Em qualquer instante da andadura do sistema, apenas um
elemento componente (perna ou plataforma) está alterando sua posição e, além disso, o
movimento da plataforma só acontece durante os intervalos de tempo nos quais as quatro
extremidades de pernas estão em contato com a superfície. Uma vez que quase toda a
massa do sistema está concentrada na plataforma, os efeitos dinâmicos são mais intensos
quando a mesma está se movimentando. Mas as massas das pernas também podem afetar a
estabilidade, uma vez que, durante os respectivos vôos, a margem de estabilidade do
sistema é, consideravelmente, menor.
Para uma andadura estaticamente estável, a LSM é dada por:
x +x
x + xb 04 
LSM = Min  b 01 b 02 , b 03
 ,
2
2


(1)
31
E a DSM por:
 x + xb 02
f x + xb 04
f 
DSM = Min  b 01
− z b 01 x , b 03
− z b 01 x .
2
fz
2
fz 

(2)
onde ( xb 0i , z b 0i ) são as coordenadas da perna i no sistema de referência paralelo ao inercial
e que passa pelo centro de gravidade da plataforma e Min é a função mínimo.
Uma vez que, durante o movimento da plataforma, as quatro pernas a
sustentam, z b 0i é igual para todas as pernas.
32
5. MODELO DINÂMICO PLANAR
A partir de agora, será apresentado um modelo dinâmico bidimensional para
a representação do assunto abordado, como mostra a FIGURA 7. A plataforma ou corpo
principal é considerado uma viga rígida. Em cada esquina do corpo é colocada uma perna.
Inicialmente, será considerado que a razão entre a massa da perna e da plataforma é,
significativamente, pequena, o que leva a se considerar que as pernas são desprovidas de
massa. Mais tarde, serão investigados os efeitos dinâmicos das pernas durante as fases de
transferência, e a massa das mesmas não mais será desprezível.
FIGURA 7 – Modelo planar de um quadrúpede
Fonte: ARMADA et al, 1997.
Na elaboração do modelo, três sistemas de referência foram definidos: um
inercial ( xe , z e ), um sistema de referência fixo ao corpo ( xb , z b ) e um sistema de referência
adicional que é paralelo ao inercial e que tem como origem o centro de gravidade do corpo
( xb 0 , z b 0 ). O centro da plataforma é feito coincidente com o centro de gravidade, que possui
localização dada por ( x, y ) no sistema de referência inercial.
33
Para a obtenção das equações de movimento do sistema, fez-se uso da
formulação de Newton-Euler, que isola cada ligamento da cadeia escrevendo seus
respectivos momentos angular e linear (SPONG e VIDYASAGAR, 1989). A mecânica
Newtoniana se fundamenta nos seguintes fatos:
1. A qualquer ação está associada uma reação igual e contrária;
2. A taxa de variação da quantidade de movimento linear é igual à força
total aplicada ao corpo;
3. A taxa de variação da quantidade de movimento angular é igual ao
torque total aplicado ao corpo.
Para um sólido rígido bidimensional, as equações de movimento são reduzidas a:
F = ma
(1)
N = J ω&
(2)
Onde:
m : massa da plataforma;
F : força resultante que atua no centro de gravidade da plataforma;
a : aceleração da plataforma;
J : momento de inércia da plataforma;
ω : velocidade angular da plataforma.
N : momento angular que atua na plataforma e é causado pelas forças exercidas
pela superfície sobre as extremidades de pernas.
34
Uma vez que as forças que atuam na plataforma são as reações do solo
exercidas sobre as extremidades das pernas, a equação (1) pode ser expandida da seguinte
maneira:
4
m&x&(t ) = ∑ f xb 0 i (t )
(3)
i =1
4
m&z&(t ) = ∑ f zb 0 i (t ) − mg
(4)
i =1
em que o índice i indica o número da perna e ( f xb 0 , f zb 0 ) são as forças no sistema de
referência paralelo ao inercial e que tem como origem o centro de gravidade da plataforma.
Seguindo o mesmo raciocínio utilizado para a equação (1), a equação (2) se
torna:
4
4
i =1
i =1
Jφ&&(t ) = ∑ f xb 0 i (t ) zb 0 i (t ) − ∑ f zb 0 i (t ) xb 0 i (t )
(5)
em que ( xb 0i , z b 0i ) são as coordenadas da perna i no mesmo sistema anterior.
O fato que deve ser observado é que as equações de (3) até (5) determinam o
comportamento assumido pela plataforma para determinado conjunto conhecido de forças
nas extremidades das pernas. Mas isso não é interessante, uma vez que o objetivo final é
controlar o sistema para que o mesmo execute um movimento desejado, calculando as
forças necessárias para fazê-lo. Para isso, é necessário o uso da dinâmica inversa que irá
responder quais as forças que as extremidades das pernas devem exercer sobre o solo para
que o corpo sofra esforços (reações do solo) e execute o movimento planejado.
Quando se deseja que o corpo execute um determinado movimento, o
mesmo pode ser especificado em termos de esforços. Tendo isso em mente, as equações
anteriores podem ser reescritas da seguinte forma:
m&x&(t ) = Fx (t )
(6)
m&z&(t ) = Fz (t )
(7)
Jφ&&(t ) = Φ (t )
(8)
35
sendo que Fx (t ) e Fz ( t ) são as forças desejadas e Φ(t ) o momento desejado. Por motivos
de ilustração, se se desejar que a plataforma execute um movimento vertical sem a presença
de rotação, os segundos membros das equações anteriores se tornam, respectivamente:
Fx (t ) = 0 e Φ (t ) = 0 para qualquer Fz (t ).
Substituindo as equações (6), (7) e (8) em (3), (4) e (5), respectivamente,
encontram-se:
4
∑f
i =1
xb 0 i
4
∑f
i =1
i =1
(9)
zb 0 i
(t ) = mg + Fz (t )
xb 0 i
(t ) zb 0 i (t ) = ∑ f zb 0 i (t ) xb 0 i (t ) + Φ (t )
4
∑f
(t ) = Fx (t )
(10)
4
(11)
i =1
Estas três últimas equações constituem um sistema de equações lineares de
oito incógnitas, o que implica na indeterminação do mesmo. Essa característica de
indeterminação pode ser reduzida desde que a seguinte consideração seja feita: as forças na
direção do eixo x são iguais para todas as pernas. Isso garantirá que a força de interação
(cujo módulo é a diferença entre as forças de duas pernas e cuja direção se dá ao longo da
linha que liga as respectivas extremidades) entre quaisquer duas pernas seja zero. Para um
modelo bidimensional, considerar que as forças de interação sejam iguais a zero, é
equivalente a considerar que as componentes horizontais das forças de contato sejam
iguais. Este último fato faz com que a equação (9) passe a ser apresentada da seguinte
maneira:
f xboi (t ) =
Fx (t )
4
(12)
36
Dessa forma, o sistema formado por (9), (10) e (11) pode ser reduzido a um
sistema de duas equações, (10) e (11), em quatro incógnitas, f zb 0i . Tal sistema pode ser
escrito na forma matricial da seguinte maneira:
Af z = w
(13)
1
1
1
1

A=

 xb 01 (t ) xb 0 2 (t ) xb 0 3 (t ) xb 0 4 (t )
(14)
Em que:
[
f z = f zb 01
f zb 0 2

w = mg + Fz (t )

f zb 0 3
f zb 0 4
]
T

f xb 0 i (t ) − Φ(t )
∑
i =1

4
(15)
T
(16)
Existe uma infinidade de soluções para esse sistema, e é possível fazer uso
de critérios de otimização para que uma dentre esse infinito conjunto seja escolhida.
Métodos de otimização vêm sendo propostos por diversos autores sob diferentes condições.
Este trabalho emprega o método de CHUNG E KLEIN (1987). Este método utiliza a
solução geral de qualquer sistema linear indeterminado, que é dada por:
f z = A+ w + ( I − A+ A) p
(17)
em que A + é a matriz pseudo-inversa de A e p é um vetor arbitrário com a mesma
dimensão do vetor
f z . A definição de matriz pseudo-inversa é a seguinte:
X = A + → AXA = A, XAX = X e as matrizes X e A são Hermitianas.
37
A solução de (17) é a que mais se aproxima de um vetor p dado. Vários valores possíveis
para p são definidos pelos autores CHUNG E KLEIN (1987). No presente trabalho, o
valor de p = [0 0 0 0] será adotado. Esta escolha significa que a solução depende
T
apenas da matriz pseudo-inversa, o que contribui para que soluções simples sejam obtidas
implicando em simulações mais rápidas.
Um fato que se deve levar em consideração é o de uma solução gerar forças
negativas. Isso não é permitido, uma vez que a máquina caminhante não puxa a superfície,
mas somente a utiliza como apoio.
Tendo estabelecido todas essas considerações, a simulação pode ser
realizada, desde que os seguintes passos sejam seguidos:
1. Definir as posições das extremidades das pernas no sistema de referência inercial
( xei , z ei );
2. Definir a posição inicial do corpo no sistema de referência inercial ( x, z );
3. Calcular as posições das extremidades das pernas no sistema de referência paralelo
ao inercial e que tem como origem o centro de gravidade do corpo, ( xb 0i , z b 0i ) , e no
sistema fixo ao corpo, ( xbi , z bi ). Estas posições são dadas por:
 xb 0 i   xei − x 
z  = z − z
 b 0 i   ei

(18)
 xbi 
 xei − x 
 z  = Ry (t )  z − z 
 bi 
 ei

(19)
sendo Ry (t ) uma matriz de rotação.
4. Definir a trajetória desejada do corpo, em termos de forças e/ou acelerações. Nesse
ponto, é necessário também definir condições iniciais para a velocidade e a
aceleração.
38
5. Aplicar o modelo da dinâmica inversa para encontrar as forças que realizarão a
trajetória desejada sob as condições iniciais impostas. Este modelo fornece as forças
no sistema paralelo ao inercial e que tem como origem o centro de gravidade do
corpo.
6. Calcular as forças no sistema fixo ao corpo. Essas forças são dadas por:
 f xb 0 i 
 f xb 0 i 
 f  = Ry (t )  f 
 zb 0 i 
 zb 0 i 
7. Utilizar o modelo da dinâmica direta para encontrar a posição do corpo. Com a
mesma, é possível encontrar a posição do corpo no próximo instante.
(20)
39
6. FASE DE TRANSFERÊNCIA DAS PERNAS
Quando uma máquina caminhante realiza uma andadura descontínua, a
mesma, durante a fase de transferência de alguma das pernas, tem a plataforma suportada
apenas pelas outras três. Se a massa das pernas não for significativa, o vôo de uma delas
não afeta a estabilidade do conjunto. Mas, do contrário, os efeitos desse movimento devem
ser levados em consideração quando se estuda a estabilidade da máquina. Com esse
objetivo, pode-se assumir que cada perna é composta por dois ligamentos de comprimento
l e massa ml . Pode-se considerar também que cada extremidade de perna se move ao
longo de uma linha reta localizada a l1 de distância do eixo longitudinal do corpo e que a
altura da máquina é de l1. Sob estas condições, pode-se aproximar a trajetória do centro de
gravidade de cada perna em transferência por uma linha reta
Para a andadura considerada, a aceleração da extremidade de cada perna,
quando em vôo, é igual à aceleração do corpo. Outra ressalva, é que o deslocamento de
cada extremidade é o dobro do deslocamento do corpo (o mesmo se desloca duas vezes,
enquanto a extremidade de cada perna apenas uma por ciclo de locomoção). Se for
considerado que a extremidade descreve um arco cujo comprimento possui o mesmo valor
do deslocamento do conjunto, a força de reação da perna no corpo será devido à aceleração
do centro de gravidade da perna, cujo valor pode ser calculado segundo a expressão:
alcg = aext
xcg
l
(1)
Considerando que a força de reação no centro de gravidade do corpo se deve
à aceleração que atua no centro de gravidade da perna em transferência, e aplicando a
definição de margem de estabilidade dinâmica, obtém-se a mesma durante a fase de
transferência, como mostra a FIGURA 8.
40
FIGURA 8 - DSM durante fase de transferência (a = 5m/s²)
Fonte: ARMADA et al, 1997.
Para estes resultados, ml = 4 kg e as posições das extremidades de pernas antes da
transferência da perna 3 são:
FIGURA 9 – Descrição da andadura – primeira fase
Fonte: ARMADA et al, 1997.
41
( xe1 , ze1 ) = (0.4,0) m,
( xe 2 , ze 2 ) = (0.6,0) m,
( xe3 , ze3 ) = (−0.8,0) m,
( xe 4 , ze 4 ) = (−0.6,0) m.
Essas posições podem ser visualizadas na FIGURA 9.
A DSM resultante é um pouco maior que a LSM durante a fase de
transferência de alguma perna, enquanto é muito menor que a DSM quando o corpo está se
movimentando. Desse modo, a DSM de um ciclo de locomoção é determinada pela DSM da
fase de transferência, e o movimento do corpo somente altera a estabilidade dinâmica do
sistema se forem atingidas acelerações superiores à aceleração de inversão.
Outro efeito que deve ser considerado, quando se estuda a estabilidade de
máquinas caminhantes com pernas de massa significativa, é o deslocamento do centro de
gravidade do corpo quando uma perna está em vôo. Nessa parte do ciclo de locomoção,
tanto a LSM quanto a DSM variam porque a projeção do centro de gravidade da plataforma
varia enquanto uma das pernas se transfere. Simulações que mostram a variação do centro
de gravidade do corpo, durante fases de transferência, podem ser realizadas considerando a
posição do centro de gravidade das pernas e as posições iniciais das extremidades das
mesmas.
42
7. MÓDULO DE CONTROLE DO MOVIMENTO
O módulo de controle do movimento da máquina caminhante deve, segundo
a abordagem adotada, fornecer aos subsistemas que controlam as pernas, o valor das forças
a serem aplicadas pelas extremidades delas sobre o terreno para a realização das trajetórias.
Essas forças nas extremidades das pernas resultam em uma força e em um torque aplicados
na plataforma do robô. Assim, as trajetórias planejadas, definidas em termos de posição,
velocidade, atitude e velocidade angular do corpo da máquina são transformadas em
controle em força e em torque, i.e, os esforços a serem aplicados na plataforma do robô
pelas pernas. Este tipo de controle de movimento, via esforços aplicados no próprio
mecanismo, permite a utilização de máquinas cuja dinâmica é relevante e obtém
desempenhos mais adaptados às situações onde o terreno é acidentado ou irregular. Um
exemplo significativo de controle baseado na dinâmica do robô é o hexápode ASV
(Adaptative Suspension Vehicle) da Ohio State University (EUA), tratado em (GARDNER,
1987).
O módulo de controle utiliza um modelo no qual o robô é considerado
rígido, com as quatro pernas, de massa não nula, em suas posições médias (em relação ao
movimento realizado por cada uma das pernas durante uma marcha regular).
7.1 Controle de Posição e Velocidade
O controle da posição e da velocidade do robô corresponde ao controle de
movimento de um corpo de massa m concentrada num ponto, o centro de gravidade da
plataforma. O movimento de um corpo pontual é dado pela equação de Newton. Sob a
forma de equação de estado, o subsistema posição é dado por:
 X& =
V
&
V = F / M
(1)
43
Onde:
X = [x
y
z ] é a posição do centro de gravidade da plataforma no
T
referencial absoluto;
[
F = [F
V = Vx
x
Vy
Fy
Vz
]
T
é a velocidade deste centro de gravidade;
]
( Fz + G ) é a soma das forças aplicadas ao robô, e
T
G = mg é a força peso do conjunto.
Foi adotado um controle da posição (e da velocidade) do centro de gravidade
da máquina baseado num método clássico para os sistemas de segunda ordem, o qual utiliza
duas malhas, uma para a velocidade e outra para a posição. Isso se deve ao fato de essa
estratégia de controle possuir implementação simples e ser de fácil compreensão. A
FIGURA 10 mostra o diagrama de blocos do sistema de controle da posição. A referência é
dada em termos de posição e velocidade. A malha de controle calcula o erro entre o estado
estimado no bloco de determinação da posição e velocidade, e o valor da força de controle
é obtido pela utilização dos ganhos K p e K v . É importante salientar, que é necessário
considerar a força peso (valor estimado) do robô para obtenção do valor da força de
controle.
FIGURA 10 – Controle de posição e velocidade
Fonte: MARTINS-FILHO, PRAJOUX, 1999.
44
Os ganhos K p e K v podem ser obtidos através da aplicação de um
Regulador Quadrático Linear – LQR, utilizando matrizes de ponderação diagonais,
priorizando o erro em relação à referência no critério de otimização. Os cálculos podem ser
realizados com a utilização do MATLAB, que possui todas essas funções integradas num
único ambiente de trabalho.
45
8. RESULTADOS DE SIMULAÇÕES
As simulações desenvolvidas para o presente trabalho procuraram mostrar
como a margem de estabilidade é afetada pelos efeitos dinâmicos envolvidos em uma
andadura descontínua. Como já foi mencionado, em tais andaduras, o corpo somente é
impulsionado quando todas as extremidades de pernas se encontram em contato com a
superfície de suporte. Nas simulações, o corpo se move para frente em linha reta (eixo x).
Esta trajetória pode ser definida da seguinte maneira:
Fx (t ) = max (t );
Fz (t ) = 0;
Φ (t ) = 0,
(1)
em que
0;
a

ax (t ) = 0;
 − a;

0;
t ≤ t1
t1 < t ≤ t 2 = t1 + t a ,
t 2 < t ≤ t3 ,
(2)
t3 < t ≤ t 4 = t3 + t a ,
t ≥ t4 ,
é a aceleração do corpo, durante um intervalo de tempo ta , depois do qual o mesmo atinja
uma certa velocidade. A partir de então, o corpo se move de forma contínua e, finalmente, é
desacelerado até que o movimento seja cessado completamente.
A andadura descontínua utilizada na simulação é estudada em (ARMADA et
al, 1997). Trata-se de uma andadura cuja primeira fase é descrita na FIGURA 9. Para que a
segunda fase seja obtida, basta se refletir a primeira.
Para efeitos de simulação, as posições iniciais das extremidades de pernas
podem ser:
( xe1 , ze1 ) = (0.6,0) m,
( xe 2 , ze 2 ) = (0.8,0) m,
( xe3 , ze3 ) = (−0.6,0) m,
( xe 4 , ze 4 ) = (−0.4,0) m.
46
O comportamento das componentes z das forças de contato pé-solo de cada
perna pode ser visualizado, durante a fase de movimento da plataforma, na FIGURA 11.
FIGURA 11 – Componentes z das forças de contato pé-solo
Fonte: Adaptado de Armada et al, 1995.
A aceleração em (2) é dada para cada experimento e os instantes de tempo
são calculados como função de a. Para se obter o comportamento da DSM, foram realizadas
simulações utilizando diferentes valores para a aceleração. Para acelerações iguais a 3 m/s2
ou maiores, a DSM começa a diminuir a ponto de ocorrer o que normalmente é chamado de
inversão. Quando esta ocorre, a aceleração que a provoca é chamada de aceleração de
inversão. Isso pode ser verificado nas FIGURAS 12 e13.
47
0.7
Margem de Estabilidade (m)
0.6
LSM
DSM
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t(s)
FIGURA 12 – DSM e LSM para a = 3 m/s2
Fonte: Adaptado de ARMADA et al, 1997.
0.7
Margem de Estabilidade (m)
0.6
LSM
DSM
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t(s)
FIGURA 13 – DSM e LSM para a = 5 m/s2
Fonte: Adaptado de ARMADA et al, 1997.
48
Esta inversão nas propriedades da DSM em comparação com a LSM ocorre
porque quando o corpo é propelido para frente, a LSM traseira é menor que a dianteira, e os
efeitos da aceleração tendem a reduzir a LSM dianteira. Porém, a LSM resultante continua
sendo LSM traseira. Entretanto, existe uma aceleração (aceleração de inversão) capaz de
diminuir a LSM dianteira até que a mesma se torne menor que a LSM traseira. Para
acelerações maiores, o fenômeno permanece o mesmo e a DSM diminui até a instabilidade.
Esta simulação fornece uma idéia sobre a estabilidade de máquinas
caminhantes estaticamente estáveis. Vale lembrar que os resultados dependem das
propriedades das máquinas como, massa, posição das extremidades de pernas e posição do
corpo. A DSM depende da altura do corpo z b . Quanto menor o valor dela, maior será o
valor da aceleração de inversão. Esta aceleração estabelece o limite de aceleração abaixo do
qual a estabilidade está assegurada. Para acelerações iguais ou menores à aceleração de
inversão, a margem de estabilidade estática é menor que a DSM e a LSM torna-se uma
medida adequada para a estabilidade. Para acelerações superiores, a DSM deve ser levada
em consideração.
49
9. CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES
Andaduras descontínuas estão sendo estudadas e as características das
mesmas vêm sendo comparadas com as andaduras contínuas. Ambas estão sendo
implementadas em máquinas caminhantes reais como o robô caminhante RIMHO que
funciona como uma plataforma de teste (ARMADA et al, 1993).
Algumas vantagens das andaduras descontínuas sobre as andaduras
contínuas foram apresentadas, tais como maior estabilidade e maior capacidade de se
adaptar a mudanças no terreno de locomoção. Outra vantagem apresentada pelas andaduras
descontínuas é o menor consumo energético, uma vez que as mesmas não necessitam de
que todos os atuadores estejam acionados simultaneamente durante o ciclo de locomoção.
A adaptação a terrenos irregulares é uma característica implícita das
andaduras descontínuas. Por outro lado, andaduras contínuas são recomendadas para
terrenos planos. De acordo com o que vem sendo observado nas pesquisas de muitos
estudiosos no assunto, pequenas imperfeições num terreno plano são suficientes para tornar
uma andadura contínua instável. Desse modo, faz-se necessário modificar o algoritmo da
mesma para que a máquina consiga se adaptar a imperfeições no terreno. Mas,
infelizmente, atingir esse objetivo, ainda, é uma tarefa um tanto quanto difícil. E a
implementação do algoritmo, caso o mesmo seja obtido, também não é uma tarefa trivial
(JIMENEZ, 1994).
Andaduras crab e turning foram obtidas da andadura de duas fases e os
algoritmos das mesmas foram apresentados, assim como as propostas de simulação. Caso
exista um controlador local no mecanismo que garanta o controle de estabilidade, altitude e
atitude, andaduras descontínuas podem permitir a navegação em terrenos irregulares
seguindo uma trajetória plana. Foi apresentado que esse caminho pode ser seguido por
métodos numéricos, independentes do método de planejamento usado para traçar a
trajetória.
Estes algoritmos constituem um mecanismo de controle de alto nível. As
simulações sugeridas são em malha aberta. Para se fechar a malha, é necessário introduzir
um mecanismo de controle de baixo nível, como um sensor de giro, na borda da máquina,
50
para se corrigir os erros de posição introduzidos pela flexão do mecanismo e pela
compressão da superfície de suporte.
Foi apresentado o conceito de aceleração de inversão. Essa aceleração
depende das características geométricas da máquina, assim como das posições do corpo e
das extremidades de pernas. Quando o mecanismo fica submetido a uma aceleração
superior à aceleração de inversão, a DSM deve ser considerada para que a estabilidade da
máquina possa ser checada.
Em máquinas caminhantes cujas pernas possuem massa significativa, a LSM
torna-se crítica durante fases de transferência das pernas. Desse modo, tanto a dinâmica
quanto a distribuição de massa dos ligamentos devem ser levadas em consideração para se
determinar a estabilidade do sistema.
51
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