C alculo da Distribui cão de Cargas na Banda de Condu cão em

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Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 21, no. 4, Dezembro, 1999
Calculo da Distribuic~ao de Cargas na Banda de
Conduc~ao em Junc~oes Semicondutoras: um
Exerc
cio de Fsica (Computacional)
(Calculation of the charge distribution in the conduction band in a
semiconductor junctions: a (computational) physics exercise)
Adenilson J. Chiquito
Departamento de Fsica, Universidade Federal de S~ao Carlos
Rodovia Washington Luiz, Km 235, CP 676, CEP 13565-905 S~ao Carlos - S~ao Paulo
Recebido em 25 de Janeiro, 1999
Neste trabalho, e descrito um modelo eletrostatico para o calculo do perl da banda de conduc~ao em
heteroestruturas semicondutoras. Procedimentos numericos simples abordados em cursos de Fsica
Computacional s~ao utilizados para descrever algumas caractersticas de estruturas semicondutoras
como a forma da banda de conduc~ao quando dois materiais diferentes s~ao unidos.
In this work, we describe the use of physical concepts in the development of a electrical model for
explain the behavior of semiconductor junctions. General numerical procedures used in Computational Physics courses are applied to semiconductor structures in order to describe some aspects of
charge distribution in the conduction band of an heterostructure.
I Introduc~ao
Apos a invenc~ao do transistor em 1948 [1], a pesquisa
em semicondutores foi uma das areas da Fsica que mais
se desenvolveram. Na decada de 70 o conceito de heteroestrutura, ou seja, a uni~ao de materiais diferentes deu
outro grande impulso a Fsica mas de um modo geral, inuenciando n~ao somente a area de semicondutores. O grande desenvolvimento das heteroestruturas se
deve a facilidade de controle das propriedades eletricas
e opticas em consequ^encia da exibilidade da estrutura
das bandas [2, 3].
O desenvolvimento dos dispositivos eletr^onicos baseados em heteroestruturas alcancou seu atual estagio
de sosticac~ao, em grande parte, gracas a uni~ao entre experimentos reais e experimentos computacionais
(simulac~oes). Simulac~oes numericas dos comportamentos eletrico e optico de dispositivos semicondutores
constituem-se em uma ferramenta muito util para o estudo dos fen^omenos fsicos que se relacionam com as
propriedades destes dispositivos, uma vez que a determinac~ao da resposta de um sistema semicondutor
a aplicac~ao de uma excitac~ao externa (por exemplo,
campo eletrico) pode ser comparada com resultados experimentais. A descric~ao de uma situac~ao experimental
especca atraves de metodos numericos pode ser algo
complicado, dependendo basicamente da complexidade
e-mail:
[email protected]
do sistema estudado e da exatid~ao do modelo teorico
usado. Por outro lado, o processo de implementac~ao
do modelo teorico na descric~ao de um dado sistema e
um exerccio rico em conceitos fsicos e principalmente,
permite a aplicac~ao deles em situac~oes praticas.
Para falarmos de junc~oes semicondutoras ou de um
modo geral, de semicondutores, necessitamos de um
passo anterior que e o conhecimento do conceito de
bandas de energia dos materiais: consideremos um sistema de dois atomos, os quais est~ao separados por uma
dist^ancia muito maior que o raio de cada um deles. Todos os nveis eletr^onicos deste sistema s~ao duplamente
degenerados com relac~ao a troca de partculas. Por
exemplo, um eletron que esta no nvel 1s de um destes
atomos tambem pode ocupar o nvel 1s do outro atomo:
ha duas func~oes de ondas distintas com a mesma energia, ou degeneresc^encia dupla. Em seguida, aproximando os atomos progressivamente n~ao e mais possvel
desprezar a interac~ao entre eles: a degeneresc^encia e
quebrada e assim aparecem dois nveis com autofunc~oes
e energias distintas.
A extens~ao deste raciocnio e imediata: num sistema
de tr^es atomos todos os nveis s~ao triplamente degenerados, com quatro atomos os nveis apresentam degeneresc^encia de ordem quatro, e assim por diante. Se considerarmos n atomos proximos, cada nvel at^omico sera
Adenilson J. Chiquito
expandido em n nveis distintos. Como consequ^encia do
grande numero de atomos presentes em um cristal (n
1023) e do arranjo periodico destes atomos formando
a rede cristalina, os estados energeticos que descrevem
o cristal se organizam de forma peculiar atraves do surgimento de faixas contnuas destes estados, porem limitadas e separadas uma das outras por faixas de energias
proibidas. As faixas de energias permitidas s~ao as chamadas bandas de energia.
Na gura 1 temos a representac~ao esquematica da
discuss~ao acima. Note que entre as faixas de estados
permitidos existe um intervalo sem estados eletr^onicos,
chamado de \gap" (intervalo proibido) de energia.
Dessa forma podemos caracterizar, a grosso modo, os
diferentes materiais em condutores (se n~ao ha gap ou
se e muito pequeno) e isolantes (se o gap e grande). Os
semicondutores apresentam gaps com energias da ordem de alguns eV, apresentando tanto caractersticas de
condutores como de isolantes, em funca~o de par^ametros
externos (temperatura, campo eletrico, etc).
Figura 1. Conforme os atomos se aproximam, a degeneresc^encia dos nveis at^omicos e quebrada e as energias s~ao
distribudas em um numero de nveis igual ao numero de
atomos do sistema. Note que as bandas de energia assim
formadas podem se cruzar, e se estes nveis estiverem ocupados, teremos um solido com comportamento metalico.
Neste trabalho, usaremos simulac~oes numericas
para a determinac~ao do perl da banda de conduc~ao
caracterstico de duas estruturas semicondutoras:
a primeira e formada por um semicondutor uniforme (GaAs) e a outra, uma heteroestrutura
(GaAs=AlGaAs). Nas sec~oes 2 e 3, discutiremos como
resolver o problema do calculo do perl da banda de
conduc~ao utilizando conceitos fundamentais como a
equaca~o de Poisson. Na sec~ao 4, ser~ao discutidos os
metodos numericos empregados e a implementaca~o dos
calculos. Finalmente, ser~ao apresentados os resultados
e discuss~oes juntamente com a conclus~ao.
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II Modelo eletrostatico para a
distribuic~ao de cargas
Para desenvolver nosso modelo, temos que escolher as
quantidades fsicas que s~ao importantes para a descric~ao do potencial eletrico numa estrutura semicondutora. Neste trabalho trataremos apenas a banda de
conduc~ao, uma vez que considerac~oes e ideias analogas
podem ser igualmente aplicadas a banda de val^encia.
Quando falamos em um dispositivo eletr^onico, necessariamente temos que considerar a exist^encia de contatos
eletricos que permitam a ligac~ao do material semicondutor que constitui o dispositivo com o mundo externo,
como por exemplo um circuito experimental para a determinac~ao das propriedades eletr^onicas do semicondutor. Estes contatos s~ao geralmente construdos com
lmes metalicos depositados sobre o semicondutor[5].
Dois tipos basicos de contatos podem ser utilizados [1]:
os contatos ^ohmicos ou lineares e os contatos reticadores (contatos Schottky). Vamos considerar o caso simples de um contato metal-semicondutor (MS) do tipo
reticador, no qual o semicondutor e uniforme (gura
2). Para a descric~ao de um sistema no qual existem
cargas, um caminho possvel e a utilizac~ao da equaca~o
de Poisson:
d2 (x) = (1)
dx2
"s
onde e o potencial eletrostatico, e a densidade
de cargas distribudas no sistema e "s e a constante
dieletrica. E razoavel tratar apenas uma direca~o porque o campo eletrico sob o metal do contato eletrico e
uniforme e perpendicular a superfcie [4]. Neste trabalho assumiremos que os semicondutores s~ao do tipo n,
ou seja, os portadores de carga s~ao os eletrons.
Na gura 2 esta o diagrama da evoluc~ao das bandas
de energia no espaco real (energia dist^ancia) para
uma junc~ao MS no caso de um contato reticador.
Quando n~ao est~ao em contato (gura 2a), as bandas
s~ao planas e cada material possui um potencial qumico
bem denido; colocados em contato, tem incio um processo de busca de equilbrio (situaca~o na qual o nvel de
Fermi e contnuo atraves de toda a estrutura) atraves
da troca de partculas entre os dois materiais. Se as
partculas trocadas n~ao tivessem cargas, nada ocorreria
com as bandas de conduc~ao dos dois materiais. Como
os eletrons possuem carga, a separac~ao espacial entre
eles produz um campo eletrico que curva as bandas (gura 2b) criando uma regi~ao desprovida de eletrons,
conhecida como regi~ao de deplec~ao.
Para que a equac~ao de Poisson descreva o perl (em
energia) da banda de conduc~ao, precisamos estabelecer
uma relac~ao entre a energia dos eletrons na banda de
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conduc~ao (Ec) e o potencial (x). Note que o potencial varia com a posic~ao, o que implica numa correspondente variac~ao da energia eletr^onica na banda de
conduc~ao (gura 2b):
Ec (x) = EF , q(x)
(2)
com q sendo a carga elementar e EF o nvel de Fermi.
Continuando, devemos agora determinar qual e a densidade de carga (= (x), por unidade de volume), a
qual e composta por eletrons na banda de conduc~ao e
pela carga dos doadores ionizados. As concentrac~oes
de portadores s~ao determinadas normalmente atraves
da estatstica de Fermi-Dirac (ou Boltzmann); no nosso
caso porem, a analise e mais complicada porque a energia eletr^onica depende da posic~ao, como mencionado
acima. Assumimos que o semicondutor e do tipo n
e assim, a distribuic~ao de eletrons livres na banda de
conduc~ao e dada por [6]:
n(x) =
Z
1
EC
g(E; x)f (E; x)dE
(3)
onde g(E; x) e a densidade de estados e f (E; x) e a
bem conhecida func~ao de ocupaca~o de Fermi-Dirac (na
refer^encia [7] e dada uma derivaca~o completa da distribuica~o de Fermi-Dirac e s~ao analisados varios casos
limites interessantes para ambas g(E ) e f (E )).
Figura 2. (a) metal e semicondutor como sistemas separados; (b) quando estes dois sistemas s~ao unidos, a troca
de cargas entre os dois curva as bandas de energia proximo
a interface. Somente as bandas do semicondutor se curvam, a princpio, porque o campo eletrico gerado pela troca
de cargas n~ao consegue penetrar no metal, sendo blindado
pela grande numero de eletrons no metal. Note que estamos trabalhando com um diagrama de energia em func~ao da
dist^ancia. Neste esquema, B e a altura da barreira Schottky, m e a func~ao trabalho do metal e e a eletroanidade
do semicondutor.
Computando a carga lquida, devemos considerar
tambem os atomos doadores1 que est~ao ionizados apresentando, portanto, carga diferente de zero. Assumiremos ainda, que os doadores est~ao distribudos uniformemente atraves de toda a estrutura. Na seca~o 3 sera
discutida a utilizac~ao de dopagem n~ao uniforme em heteroestruturas, um procedimento usual na construca~o
de dispositivos semicondutores o qual busca otimizar
algumas das propriedades destes.
Com esta contribuica~o, consideramos todas as fontes de carga no nosso sistema [8] e nalmente podemos
escrever a equaca~o de Poisson, completa:
d2(x) = (x) = q n(x) , N + d
dx2
"s "s
(4)
Nd+ representando o numero de doadores ionizados.
Esta e a forma geral para a equac~ao de Poisson numa
estrutura semicondutora, seja formada por camadas de
semicondutores diferentes ou n~ao2. Temos ainda um
ponto a considerar: matematicamente, para a soluc~ao
de uma equac~ao diferencial de segunda ordem necessitamos de duas condic~oes iniciais para iniciar os calculos,
como o potencial e sua derivada (campo eletrico num
dado ponto); por outro lado, como a equaca~o (4) esta
acoplada a uma situac~ao fsica real, existem condic~oes
de contorno que devem ser satisfeitas. Na interface MS
(x = 0), o potencial (x) tem um valor bem determinado, dado pela altura da barreira Schottky B (gura
2). No interior do semicondutor (x = 1), a neutralidade de carga deve existir e assim o campo eletrico
deve ser nulo. Portanto, as duas condic~oes de contorno
para nosso problema s~ao:
(x = 0) = B
d(x) dx x,!1 = 0
(5)
(6)
Note que (5) e (6) n~ao coexistem no mesmo ponto do
eixo x (veja gura 2) o que n~ao nos impede de utiliza-las
como \condic~oes iniciais". Isto cara mais claro quando
desenvolvermos o metodo numerico para a soluc~ao da
equac~ao de Poisson.
1 Doadores s~
ao atomos de impurezas colocados intencionalmente em um cristal semicondutor com o objetivo de trazer o nvel de
Fermi proximo a banda de conduca~o, fornecendo eletrons extras ao semicondutor. Veja por exemplo, as refer^encias [2], [4] ou [6].
2 Isto e valido desde que n~ao existam descontinuidades nas bandas de conduc~ao e val^encia. Estas descontinuidades causam o aparecimento de pocos de potencial que connam portadores e a grosso modo, mudam localmente a dimensionalidade do gas eletr^onico
connado.
Adenilson J. Chiquito
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III Junc~ao metal-semicondutor
com uma heteroestrutura
Inicialmente precisamos denir uma heteroestrutura semicondutora: e a uni~ao entre dois semicondutores diferentes, basicamente. Na gura 3 temos um esquema do
diagrama de bandas de energia para dois semicondutores (de gaps diferentes) isolados (a) e para uma junc~ao
em equilbrio (b). Dois efeitos devem ser considerados
quando os semicondutores s~ao colocados em contato:
como t^em gaps diferentes, a junc~ao originara uma descontinuidade (Ec) nos pers das bandas de conduc~ao
e de val^encia ao longo da direca~o x; partculas (portadores) migram de um para outro material ate que
a condic~ao de equilbrio seja alcancada com o curvamento das bandas na regi~ao da interface (note aqui a
semelhanca com a junca~o MS). Assim, na interface, temos:
EC 1 = EC 2 , EC ;
(7)
com EC 1 e EC 2 representando o perl da banda de
conduc~ao para os materiais de cada lado da interface
(x = xinter ). Considerando contatos eletricos nesta estrutura, o perl do potencial desde a interface com o
metal ate o interior do semicondutor e semelhante ao
apresentado na gura 3c. Toda a discuss~ao sobre a
equac~ao de Poisson continua valida para cada parte
da heteroestrutura: nossa tarefa agora e acoplar as
soluco~es da equac~ao de Poisson na interface (x = xinter )
atraves das condic~oes de contorno para o potencial e
para o campo eletrico. Os potenciais e suas derivadas,
para cada lado da junc~ao, est~ao relacionados de acordo
com:
com
+ = , + d
, + "+ dx+ = ", ddx
inter
(8)
(9)
= qEc
Os subscritos +,, indicam os lados esquerdo e direito da interface e inter e a densidade de carga supercial acumulada na interface. A primeira condic~ao
(equaca~o (8)) diz respeito a continuidade do potencial,
enquanto que a segunda (equac~ao (9)) estabelece que
o campo eletrico na interface e descontnuo se houver
acumulaca~o de carga na regi~ao da interface. Nos consideraremos o caso em que inter e nulo, para simplicar
a utilizac~ao da condic~ao de contorno (9). De maneira
geral, inter n~ao e nulo (ver sec~ao 4) e nesta regi~ao
ocorre quantizac~ao do movimento eletr^onico na direc~ao
de crescimento da estrutura (direca~o x, na gura 3).
Esse assunto, muito rico em conceitos fsicos, sera discutido futuramente.
Figura 3. (a) dois semicondutores separados, caracterizados
pelo seus respectivos potenciais qumicos e energia dos gaps;
(b) quando unidos, ocorre troca de cargas e o sistema caminha para a situac~ao onde ha um potencial qumico medio;
(c) junc~ao metal-heteroestrutura.
Como ja citado, nossos calculos consideram que a
dopagem das estruturas e uniforme. Entretanto, e interessante notar que em dispositivos como o apresentado esquematicamente na gura 3c, faz-se uso de dopagem n~ao uniforme para incrementar algumas propriedades destas estruturas. O movimento de cargas paralelo a interface entre os dois semicondutores (gura
3c) e quase livre, sendo limitado em parte pelo espalhamento coulombiano (interac~ao entre os atomos doadores ionizados e os eletrons) e pelo espalhamento por
f^onons [6]. Para diminuir o espalhamento coulombiano,
temos que separar as cargas positivas (doadores ionizados) das negativas (eletrons), colocando os doadores
a uma dist^ancia apropriada da interface: para isto, e
includa no semicondutor de maior gap uma camada
espacadora n~ao dopada (regi~ao delimitada por xspacer
na gura 3c): os eletrons da regi~ao x < xspacer dopada,
s~ao transferidos para a interface e cam separados espacialmente dos doadores ionizados por um dist^ancia igual
a xinter ,xspacer (alternativamente, pode-se incluir uma
camada dopada no semicondutor de gap maior n~ao dopado). Com a inclus~ao desta barreira espacial, o espalhamento coulombiano pode ser praticamente eliminado e a mobilidade eletr^onica aumenta signicativamente [10]. A largura da camada espacadora deve ser
cuidadosamente determinada, pois se for muito grande
torna-se difcil a passagem de eletrons da regi~ao doadora para a interface. Para os nossos calculos a inclus~ao
da camada n~ao dopada pode ser facilmente realizada
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Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 21, no. 4, Dezembro, 1999
se dividirmos o semicondutor de gap maior em duas
regi~oes que s~ao id^enticas, diferindo apenas pela dopagem. Assim para levar em conta a camada n~ao dopada,
a equac~ao de Poisson deve considerar a dopagem nula
se xspacer < x < xinter.
IV Soluc~ao da equaca~o de Poisson
Construdo o modelo, temos que implementa-lo computacionalmente visto que a soluc~ao analtica para a
equac~ao de Poisson neste sistema somente pode ser realizada em alguns casos limites (por exemplo, quando
usamos a distribuic~ao de Boltzmann). Uma pratica comum quando da soluc~ao de equac~oes que descrevem
sistemas fsicos e tornar adimensionais todas as quantidades envolvidas nos calculos evitando assim, erros
numericos quando s~ao tratadas constantes innitesimais como a constante de Planck [9]. Vamos reescrever a equac~ao (4) numa forma mais conveniente (ver
equac~ao (2)), denindo:
x)
u(x) = EF ,kTEc(x) = q(
(10)
kT
A substituic~ao da equac~ao (10) na equac~ao de Poisson (equaca~o 4) fornece:
kT d2u = q n(x; u) , N + (u)
(11)
d
q dx2
"s
Da mesma forma, as condic~oes de contorno nas interfaces (eqs. (5), (6), (8) e (9)) devem ser reescritas
aplicando-se as mesmas transformaco~es:
B
(12)
u(x = 0) = qkT
q
(
cte
)
du
(
x
)
u(1) = kT ; dx
=0
x,!1
u+ = u, + qkT
du+ = du,
dx dx
considerando, por simplicidade que
(13)
(14)
(15)
"+s ",s
(16)
(a igualdade entre as constantes dieletricas e
razoavel para sistemas GaAs=AlGaAs, como o que sera
tratado aqui [10]).
Nosso problema reduziu-se a resolver a equac~ao (11)
por um metodo numerico qualquer. Entretanto, para
otimizar os procedimentos numericos ao maximo podemos escolher mais cuidadosamente aquele a ser usado.
Novamente sera tratado o caso de um contato MS no
incio e depois a discuss~ao sera estendida a uma heteroestrutura.
Um metodo interessante e o das diferencas nitas:
vamos discretizar o problema, ou seja, montar uma
grade de valores para a func~ao u(x); desde a interface
MS ate um ponto no interior do semicondutor, e com
espacamento dado por x. N~ao conhecemos os valores
intermediarios de u(x) e por isso temos que usar um
procedimento pelo qual, partindo de uma das condic~oes
de contorno, o ponto imediatamente seguinte seja calculado, e assim por diante. Usando uma expans~ao em
serie de Taylor, a derivada de segunda ordem presente
na equac~ao (11) pode ser colocada em termos das diferencas entre os valores da func~ao u(x), espacados por
x:
c
d2u = u(x + x) , 2u(x) + u(x , x)
dx2
x2
(17)
e assim, a equaca~o (11) ca:
u(x + x) , 2u(x) + u(x , x) = q n(x; u) , N + (u)
(18)
d
x2
"s
A discretizac~ao da equac~ao diferencial (11) deu origem a um sistema de N equac~oes acopladas, que podem ser
representadas como uma matriz. Para ilustrac~ao, vamos considerar N = 5:
u(1) = umetal=semic
u(1) , 2u(2) + u(3) = "(2) x2
s
(3)
u(2) , 2u(3) + u(4) = " x2
s
Adenilson J. Chiquito
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u(3) , 2u(4) + u(5) = "(4) x2
s
u(5) = u1
ou
2
6
6
6
6
4
1
1
0
0
0
0
,2
1
0
0
0
1
,2
1
0
0
0
1
,2
0
0
0
0
1
1
32
76
76
76
76
54
2
3
umetal=semic
u(1)
6
7
u(2) 7 66 "(2)s x2
u(3) 77 = 66 "(3)s x2
u(4) 5 4 "(4)s x2
u(5)
u1
3
7
7
7
7
7
5
(19)
d
onde umetal=semic e u1 representam os potenciais na
interface MS e no innito, respectivamente.
Note que a matriz esta colocada numa forma tridiagonal, na qual somente tr^es diagonais n~ao s~ao nulas. Matrizes deste tipo podem ser resolvidas ecientemente, usando-se metodos compactos como o da eliminac~ao de Gauss (no caso de equac~oes lineares) ou,
por exemplo, o metodo Newton para sistemas n~ao lineares. Em nosso caso, as equac~oes s~ao todas n~ao lineares,
uma vez que a densidade de carga depende do potencial (veja equac~ao (11)) e somente um metodo iterativo,
que a cada iterac~ao atualiza todas as quantidades envolvidas no problema em func~ao do resultado nal do
passo anterior, pode fornecer resultados corretos. No
ap^endice A esta resumida a ideia do metodo de Newton
quando aplicado na resoluca~o de sistemas de equaco~es.
Novamente, todo o desenvolvimento acima permanece valido no caso de uma heteroestrutura. A unica
diferenca e a inclus~ao de uma interface na regi~ao do semicondutor. Isto pode ser feito de varios modos, como
por exemplo, incluir a descontinuidade das bandas diretamente na discretizac~ao da equac~ao de Poisson, tornando o modelo mais compacto, e ligeiramente mais
difcil para a implementac~ao. No nosso caso, foi adotada uma forma mais direta para resolver o problema da
interface, mas que consome mais tempo: o sistema foi
separado em dois outros, cada um abrangendo um semicondutor diferente (veja a gura 3). Dessa forma, podemos igualmente aplicar o metodo de discretizaca~o para
as duas camadas e impor que o potencial em x = xinter
para ambas seja coerente com as condic~oes (14) e (15).
O procedimento geral para o calculo pode ser assim
resumido:
1 xamos a temperatura do sistema e o valor da
altura da barreira Schottky, a largura das camadas e a dopagem da estrutura (ND+ ); em seguida
calculamos atraves da equaca~o (12), o valor do
potencial reduzido umetal=semic na interface MS;
2 calculamos o valor do potencial reduzido no in-
nito, considerando o nvel de Fermi como refer^encia. Para isso, pode-se supor que os eletrons
da banda de conduc~ao no interior do semicondutor estejam sujeitos a distribuic~ao de Boltzmann
e assim, u1 = , ln( NNC+ ), sendo NC e o numero
D
de estados na banda de conduc~ao (isso e valido se
NC > ND+ [5]);
3 escolhemos um valor para o potencial, digamos
u = uteste
, (um valor apropriado seria ; por
exemplo) em x = xinter, ja que a priori, n~ao o
conhecemos;
4 integramos a equac~ao de Poisson desde x = 0,
com u = umetal=semic ate x = xinter com u =
uteste
, ; em seguida, partimos para o outro lado e
integramos desde x = 1 ate x = xinter onde coq
locamos u+ = uteste
, , kT ;
5 testamos a condic~ao (15) dentro de uma precis~ao
previamente estipulada. Se n~ao for vericada (o
que normalmente acontece), escolhemos um novo
valor para uteste
, , voltamos ao passo 3 e repetimos
o procedimento subsequente ate que a condica~o
acima seja vericada.
Este procedimento necessita de varias iteraco~es ate
que a desejada precis~ao seja alcancada. O resultado do
calculo e a forma do potencial reduzido u(x) ao longo
da estrutura, que pode ser transformado no potencial
real ((x)) mediante o uso da equac~ao (10). Usando
agora a equac~ao (2) conseguimos, nalmente, determinar a forma do perl da banda de conduc~ao.
Finalmente, vamos aplicar os calculos descritos
acima em estruturas reais, como as representadas na
gura 4a: a primeira e uma estrutura simples com apenas um tipo semicondutor (GaAs); a outra e uma heteroestrutura formada por duas camadas de semicondutores diferentes (AlGaAs e GaAs). O perl da banda
de conduc~ao calculada como funca~o da coordenada x
podem ser vista, para as duas estruturas, na gura 4b.
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Figura 4. (a) Amostras usadas para os calculos; (b) Perl da banda de conduca~o para a amostra de GaAs (linha pontilhada)
e para a heteroestrutura de AlGaAs=GaAs (linha solida), ambas denidas na gura 4a. Note a descontinuidade na banda
de conduc~ao da heteroestrutura, representando a diferenca das energias do gap dos dois materiais. A descontinuidade na
banda de conduc~ao da junca~o AlGaAs=GaAs esta ampliada no esquema em destaque; (c) Pers de distribuic~ao eletr^onica
calculada usando o potencial eletr^onico para a amostra de AlGaAs=GaAs e experimental, usando medidas de capacit^ancia.
A forma do fundo da banda de conduc~ao para a
heteroestrutura (linha solida na gura 4b) mostra um
comportamento interessante na regi~ao da interface entre as camadas de GaAs e AlGaAs: nesta posica~o,
as cargas est~ao sujeitas a um potencial aproximadamente triangular (veja o esquema em destaque na gura 4b). Quando o tamanho desta regi~ao e comparavel ao comprimento de de Broglie para os portadores ( 100
A), este potencial triangular se comporta
como um poco de potencial qu^antico. Dessa forma,
nossa suposic~ao de que a carga acumulada na regi~ao
da interface n~ao necessitava ser levada em conta para o
calculo do perl da banda de conduc~ao e valida apenas
numa primeira aproximaca~o quando efeitos qu^anticos
podem ser desprezados. Por outro lado, quando n~ao e
possvel despreza-los, devemos considerar que as cargas
est~ao localizadas em nveis de energia discretos, originados pelo connamento qu^antico. Para o correto tratamento deste problema temos que resolver de forma
auto-consistente as equaco~es de Schroedinger e Poisson:
a carga da regi~ao do connamento, que deve ser computada pela equac~ao de Poisson, depende da presenca
de eletrons na regi~ao do poco determinada pela equaca~o
de Schroedinger; por sua vez, a equac~ao de Schroedinger depende da forma do potencial connante, calculado pela equac~ao de Poisson. Este problema e relativamente complicado fugindo do objetivo deste trabalho;
podemos considerar o modelo usado como semi-classico
por n~ao levar em conta as contribuic~oes qu^anticas na
interface entre os dois semicondutores.
Na gura 4c temos a distribuic~ao dos eletrons por
unidade de volume ao longo da coordenada x para a heteroestrutura. E interessante notar que a concentrac~ao
de cargas na regi~ao da interface entre as camadas de
AlGaAs e GaAs e pronunciada, fato esperado se olharmos para a forma peculiar do potencial nesta regi~ao.
Note ainda, que na gura 4c, a distribuica~o apresenta
proximo a interface MS uma regi~ao onde o numero
de eletrons por unidade de volume e muito pequeno:
esta e a regi~ao de deplec~ao citada na sec~ao 2, fruto da
redistribuica~o de cargas nas proximidades desta interface. A ttulo de comparac~ao, a distribuica~o eletr^onica
pode ser determinada experimentalmente atraves de algumas tecnicas como medidas de capacit^ancia ou suas
derivadas e espectrocopia de massa de ons secundarios
(SIMS) [12, 13, 14]. Na gura 4c (linha pontilhada), vemos a distribuic~ao eletr^onica para uma heteroestrutura
semelhante a usada nos calculos. Resumidamente, a
distribuic~ao experimental pode ser assim determinada:
a capacit^ancia diferencial da junc~ao MS e medida para
diferentes voltagens aplicadas ao sistema e ent~ao, podemos encontrar o perl de distribuic~ao de eletrons com
ajuda das seguintes equac~oes [15]:
C3
n(w) = qS"
s
dC ,1
dV
w = "Cs S
(20)
(21)
Adenilson J. Chiquito
onde n(w) e a concentrac~ao eletr^onica na posica~o w
medida a partir da interface MS, C e a capacit^ancia, S
a area do contato Schottky. Com estas duas equaco~es
podemos determinar qual e a concentrac~ao de eletrons
num determinado ponto da estrutura (w) e qual e a
dist^ancia deste ponto em relac~ao a interface MS.
E interessante notar que todos os calculos anteriores foram realizados para um sistema isolado, sem
a inu^encia de campos eletricos externos. Considere
agora que aplicamos um potencial externo na junc~ao
metal-heteroestrutura: havera uma variac~ao adicional
na forma da banda de conduc~ao, dependendo essencialmente da intensidade e direc~ao do campo eletrico
aplicado, como mostrado na gura 5a. Na gura 5b,
aparece a distribuic~ao eletr^onica na heteroestrutura
para tr^es voltagens aplicadas (VB ), mostrando claramente uma variac~ao sensvel no numero de eletrons
localizados na interface AlGaAs=GaAs. Portanto,
uma variac~ao no potencial aplicado a junc~ao metalheteroestrutura pode determinar a acumulaca~o ou o
esvaziamento do poco triangular com eletrons. Esta e
521
a base de operac~ao de um transistor conhecido como
HEMT (High Electron Mobility Transistor). Para
compreender melhor esta situac~ao, vamos considerar a
junc~ao metal-heteroestrutura como uma estrutura tridimensional (gura 5c). Analisando a estrutura deste
ponto de vista, o poco de potencial e na realidade um
canal condutor que se estende nas direc~oes z,y. Vamos inserir, como mostrado na gura 5c, dois contatos
eletricos E e C nas bordas deste canal; o contato Schottky sera chamado de B. Aplicando um potencial entre
os terminais E e C (VEC ), teremos uma corrente circulando pelo canal eletr^onico dependente do numero de
eletrons presentes (lembre que j = nev [16]). Por outro
lado, sabemos que a variac~ao do potencial aplicado no
contato Schottky (B) controla a quantidade de eletrons
no canal (gura 5c), e portanto, poderemos controlar a
corrente entre C e E, pela variac~ao do potencial no terminal B: isto e o efeito transistor [1]. A alta mobilidade
a que se refere a sigla HEMT , vem do fato dos eletrons
moverem-se quase livremente no canal eletr^onico [17].
Figura 5. (a) Perl do banda de conduca~o para a junc~ao AlGaAs=GaAs em tr^es polarizac~oes diferentes. Note que para
VB = ,0:5V n~ao temos mais um poco de potencial; (b) Distribuic~ao eletr^onica correspondente. Como o numero de eletrons
na interface entre AlGaAs e GaAs depende do perl da banda de conduc~ao, para VB = 0:5V , aparece um aumento da
quantidade de eletrons na regi~ao do AlGaAs, proxima a interface. Para VB = ,0:5V como era esperado, a concentraca~o
eletr^onica no poco e muito pequena; (c) esquemas simplicados de um transistor HEMT , mostrando a congurac~ao dos
terminais (B,C e E) e o diagrama de energia.
V Conclus~ao
Neste trabalho zemos um estudo dirigido do processo
de modelamento de uma situaca~o fsica real como a dis-
tribuic~ao de cargas em um material semicondutor, partindo de conceitos baseados na formac~ao das bandas
de energia e usando ferramentas simples (equac~ao de
Poisson). Para aplicar o modelo, foi introduzido o con-
522
Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 21, no. 4, Dezembro, 1999
ceito de discretizac~ao de um sistema qualquer para que
se possa utilizar metodos mais complexos de soluc~ao
de equac~oes diferenciais, como o metodo de Newton.
Apesar de um modelo simples, nossos resultados s~ao
consistentes com os obtidos com modelos mais gerais e
complexos.
Ap^endice: Metodo de Newton
y" = f (x; y; y0 )
(22)
denida dentro do intervalo a x b e com y(a) = e y(b) = . Vamos supor que f (x; y; y0 ) e bem comportada e que portanto, possamos denir:
@f
fy = @f
e
f
=
(23)
y
@y
@ y0
Usando a express~ao (17), podemos reescrever a
equaca~o (22) como:
0
A equac~ao de Poisson pode ser escrita numa forma
mais geral, como mostrado pela seguinte equac~ao:
c
y(xi + x) , 2y(xi ) + y(xi , x) = f x ; y(x ); y(xi + x) , y(xi , x) i
i
x2
2x
(24)
d
com i = 1; 2; 3; :::N . Dessa forma, temos um sistema de
N N equac~oes para ser resolvido, id^entico ao tratado
na sec~ao 4. Para esta tarefa, podemos usar o metodo de
Newton, que pode ser \facilmente" derivado. Quando
queremos encontrar a raiz de uma equac~ao transcendental, por exemplo, podemos usar o bem conhecido
metodo de Newton, no qual as razes s~ao obtidas por
sucessivas iterac~oes da equac~ao abaixo:
xi = x0 , ff0((xx))
(25)
Analogamente, para achar as soluc~oes de um sistema de equac~oes podemos genera- lizar (25) escrevendo:
G(x) = x , (x)F(x)
(26)
escolhendo (x) = J (x). Aqui, G(x) representa o conjunto de soluc~oes de F(x) = 0, assumindo (x) n~ao
singular. A matriz J(x) e conhecida como matriz Jacobiana, muito usada em transformaco~es de coordenadas
e calculos de integrais multidimensionais e pode ser escrita como:
2
J(x) = 64
@f1 (x)
@x1
@f1 (x)
@x2
:::
:
:
:
@fn (x) @fn (x) :::
@x1
@x2
@f1 (x)
@xn
:
@fn (x)
@x2
3
7
5
(27)
Evidentemente, a derivac~ao feita aqui n~ao e de maneira alguma formal, mas a analogia direta entre o processo de encontrar uma raiz ou um conjunto de razes
permanece valida. A implementac~ao numerica e similar
aquela usada no caso do metodo de Newton \escalar".
References
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20(4), dezembro de 1998.
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computer engineering, New York (1993).
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Cury e M. Henini, Ci^encia Hoje 18(106) (1995).
[4] Na realidade, deveramos considerar a forma do campo
eletrico nas bordas do contato, mas na pratica o
di^ametro do contato e sempre escolhido para ser pequeno se comparado com a dimens~ao da amostra na
qual foi depositado, ou seja, desprezamos completamente os efeitos de borda no contato.
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[8] Como estamos tratando de uma estrutura com dopagem tipo n, desprezamos completamente o efeito dos
buracos, que t^em uma densidade muito pequena para
estas estruturas.
[9] \O potencial de Lennard-Jones: aplicac~ao a moleculas
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523
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