Uma Nota Sobre a Magnetostática e a Lei de Ampére

Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 18, no. 1, marco, 1996
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Uma Nota Sobre a Magnetostatica e a Lei de Ampere
Eduardo O. Resek
Instituto de Ci^encias, Escola Federal de Engenharia de Itajub
a
Caixa Postal 50, 37500-000, Itajub
a, MG, Brasil
Trabalho recebido em 30 de outubro de 1995
Resumo
Neste trabalho apresentamos uma deduc~ao alternativa da lei de Ampere do eletromagnetismo. Ha, certamente, muitas delas na literatura corrente, mas nenhuma, na nossa opini~ao,
se adequa como a aqui apresentada a bagagem de conhecimentos dos nossos alunos a altura
do primeiro contato com a disciplina.
Abstract
In this paper, we consider an alternative approach to derive Ampere's Law of electromagnetism. Though there are many derivations available in the specialized literature (see, for
example, references [1,2]), they are, as far as my knowledge extents, either too elaborate or
beyond the scope of usual rst college courses on the subject. The one shown bellow ts
well to the student's prole in our schools.
1. Introduca~o
No ciclo basico das escolas de fsica e engenharia
a disciplina Eletricidade e Magnetismo e geralmente
ministrada com base em textos tais como os das refer^encias [3,4]. Embora estes sejam de eci^encia devidamente comprovada, pecam, na minha opini~ao, por
n~ao fazer uso pleno de uma preciosa ferramenta que,
a esta altura do curso (geralmente terceiro ou quarto
semestre) os estudantes ja dominam: o calculo vetorial
diferencial e integral. Tal ferramenta propicia uma formulac~ao ao mesmo tempo mais concisa e poderosa das
leis do Eletromagnetismo, conquanto exija tambem do
estudante o desenvolvimento de uma destreza no manusear das equac~oes que lhe sera muito util futuramente.
Historicamente, o estudo da magnetostatica tomou
novo impulso quando, em 1820, Hans Christian Oersted descobriu que correntes eletricas tambem produzem campos magneticos. Surgiu ent~ao imediatamente
a quest~ao de como expressar o campo produzido em
func~ao da corrente. Foi Ampere quem, algumas sema1
2
nas depois do anuncio da descoberta de Oersted, apresentou uma serie de resultados experimentais sobre a
forca com a qual dois circuitos conduzindo corrente se
atraem. Expresso em linguagem moderna, estes resultados implicam (ver refer^encia [2]) uma express~ao para
o campo magnetico que e a generalizac~ao da lei de Biotsavart. Se a distribuic~ao de correntes for descrita por
uma densidade vetorial J(r0) e limitada a uma regi~ao
V 0 , o campo magnetico1 criado num ponto r por uma
tal distribuic~ao e dado por:
0
B(r) = 4
Z
V0
J(~r0) (r ; r) dV 0
jr ; r0j3
(1)
Nesta express~ao, 0 = 4 10;7H=m e a permeabilidade
magnetica do vacuo.
Nossa proposta e construir a eletrostatica 2 e a
magnetostatica sobre duas leis experimentais basicas,
a lei de Coulomb e a lei de Biot-Savart, respectivamente. Estas leis desempenham papeis semelhantes nas
duas ci^encias, haja vista que ambas expressam os campos em func~ao de suas respectivas fontes (carga e cor-
Nossa notac~ao segue de perto a da refer^encia [2].
Para um sumario dos resultados mais importantes da eletrostatica, veja o ap^endice.
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rente eletricas, respectivamente). A partir delas podemos obter a lei de Gauss e a propriedade conservativa do campo eletrico, bem como a lei de Gauss
para o campo magnetico. Esta ultima segue diretamente de (1), bastando tomar o divergente com respeito a r em ambos os membros da equac~ao, inverter a
ordem das operac~oes de derivac~ao e integrac~ao no segundo membro e utilizar em seguida a identidade vetorial: r (V W) = W r bV ; V r W,
escolhendo V = J(r)0 e W = (r ; r0 )=jr ; r0j3; nessas
condic~oes, r W = 0 pode ser vericada por calculo
direto, enquanto que cr V = 0 devido a ser J uma
func~ao das variaveis contidas em r0 e nao em r. Assim,
r B(r) = 0, que e a referida lei na forma diferencial.
O maior obstaculo a esta abordagem da magnetostatica reside na lei de Ampere: deduzi-la diretamente a partir de (1) n~ao e tarefa das mais simples{
exige conhecimento e domnio da teoria das distribuic~oes (Dirac, Schwartz), com o que nem sempre se
pode contar em se tratando de estudantes de segundo
ano de um curso tecnico-cientco. Mostraremos entretanto que e possvel manter a abordagem e obter
convincentemente a lei de Ampere, tomando (1) como
princpio fundamental. Isto e factvel atraves do uso
do potencial vetor magnetico, introduzido na sec~ao seguinte e de uma analogia com as equac~oes da eletrostatica.
rE = 0 =) 9AB(r) = ;rA ; pois rrA = 0; 8A
(4)
Como B(r) e obtido essencialmente atraves de derivac~ao do vetor A, assim como E o e a partir de ,
A e uma func~ao potencial para o campo magnetico
B(r), denominada potencial vetor magnetico, ou simplesmente potencial vetor.
Desse modo,
B(r) = r A(r)
(5)
e a relac~ao basica que dene A(r). A partir da, vemos
que existe a liberdade de adicionarmos a A o gradiente de qualquer func~ao escalar diferenciavel, pois se
(5) vale para um determinado campo vetorial A, ela
vale tambem para
A0 = A + r ;
(6)
pois
r A0 = r A + r
r = r A = B(r) ;
| {z }
=0
2. O Potencial Vetor Magnetico
2.1 Denic~ao
No caso do campo eletrostatico, podemos denir o
campo escalar que denominamos potencial eletrostatico
gracas a propriedade conservativa do campo eletrico,
isto e:
r E = 0 =) 9jE = ;r; pois rr = 0; 8 (2)
cujas segundas derivadas existam.
Para o campo magnetico, em geral, n~ao e valida a
propriedade conservativa, mas ainda assim algo semelhante acontece. Ja vimos que a lei de Gauss para o
campo magnetico estabelece que
r B(r) = 0 ;
para qualquer campo vetorial B(r) real. Por outro lado,
do calculo vetorial, sabemos que e nulo o divergente
do rotacional de qualquer campo vetorial cujas segundas derivadas existam. Portanto podemos escrever, de
modo analogo ao colocado na equac~ao (2),
(3)
haja vista que o rotacional do gradiente de qualquer
func~ao escalar duplamente diferenciavel e nulo.
No caso do campo eletrostatico somos livres para
acrescentar a qualquer constante, pois 0 + cte. e
representam o mesmo campo eletrico. Aqui, nossa
liberdade e ainda maior. Em geral,e conveniente restring-la um pouco, impondo alguma condica~o adicional sobre A (do mesmo modo que, as vezes, escolhemos
a refer^encia zero para o potencial eletrostatico em um
ponto qualquer em particular, por exemplo, no innito).
Fazemos isso escolhendo arbitrariamente qual deve ser
o divergente de A. Esta escolha de modo algum afeta
o campo B(r), pois embora A e A0 possuam o mesmo
rotacional, eles n~ao possuem necessariamente o mesmo
divergente:
r A0 = r A + r r = r A + r2 ; (7)
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de modo que, escolhendo adequadamente a func~ao ,
podemos fazer r A0 igual a qualquer coisa que desejemos.
Como vamos ent~ao escolher r A ? Esta e, basicamente, uma quest~ao de pura conveni^encia matematica
e depende fortemente do tipo de situac~ao que estivermos tratando. Para magnetostatica, onde lidamos com
correntes estacionarias, escolhemos simplesmente
rA= 0 :
(8)
Assim, nosso potencial vetor e caracterizado pelas
relac~oes (5) e (8), que repetimos aqui:
r A = B(r)
rA= 0 ;
Vamos agora tentar obter algumas expres~oes que
nos possibilitem determinar o potencial vetor a partir da distribuic~ao de correntes que produz o campo
magnetico. Como vimos, o campo gerado por uma distribuic~ao especicada pela densidade de corrente J(r0)
e dado pela lei de Biot-Savart
(9)
(r ; r0 ) = ;r 1 ;
jr ; r0j3
jr ; r0j
0
Escolhendo nesta express~ao
0 ;J(r0) r jr ;1 r0j = r jrJ;(r r)0j
Substituindo essa express~ao na lei de Biot-Savart (10),
camos ent~ao, sucessivamente, com:
Z
0
B(r) = 4 r V Z
0
= r 4
V0
J(r0) dV 0 :
jr ; r0 j J(r0) dV 0 ;
jr ; r0 j
(12)
R
onde a invers~ao na ordem das operac~oes V e r e
lcita devido a se tratarem de operac~oes sobre variaveis
distintas. Comparando (12) e (5), conclumos ent~ao que
0 Z J(r0) dV 0 ;
(13)
A(r) = 4
0
V jr ; r j
onde em geral, de acordo com o exposto acima, podemos somar a esta express~ao o gradiente de qualquer
funca~o escalar bem comportada . Esta equac~ao e importante na medida em que permite determinar o potencial vetor a partir do conhecimento da distribuic~ao
de correntes numa certa regi~ao do espaco, apos o que
se pode fazer uso da equac~ao (5) para calcular B(r), a
grandeza fsica de maior interesse.
Assim, cada uma das componentes cartesianas de A
se escreve
0
0 Z J (r0 ) dV 0 ;
A (r) = 4
(14)
0
V jr ; r j
onde pode ser qualquer uma das variaveis x; y; z:
Por outro lado, quando estudamos o potencial eletrostatico, vericamos ser (r) dado por uma integral
semelhante:
0
de modo que (9) ca
0 Z J(r0) 1 dV 0 :
B(r) = 4
(10)
jr ; r0j
V
Do calculo vetorial conhecemos a seguinte identidade:
r ( F) = r F + r F :
que
0
2.2 Uma Equaca~o Diferencial para A
0
0 r jrJ;(r)r0 j = r J(r0) ; J(r0) r jr ;1 r0j :
Como as derivadas presentes em r s~ao calculadas com
relac~ao as variaveis x; y; z e, por outro lado, J(r0 ) n~ao
depende dessas variaveis, temos r J(r0) = 0; de modo
0
para o caso estatico, isto e, quando as correntes n~ao
variam no tempo. Alem de ser muito util na obtenc~ao
de inumeros resultados teoricos, as maiores aplicac~oes
do potencial vetor ocorrem no estudo de irradiac~ao e
propagac~ao de ondas eletromagneticas.
Z
0
0
B(r) = 4 J(r0) j(rr;;rr0j)3 dV 0 :
V
Entretanto, podemos escrever
temos
= jr ;1 r0j e F = J(r0) :
(11)
Z
(r0 ) dV 0 ;
1
(15)
(r) = 4
0
0 V jr ; r j
que, por sua vez, era soluc~ao da equac~ao de Poisson,
0
r2(r) = ; (r) :
0
(16)
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Ora, as express~oes (14) e (15) s~ao estruturalmente
id^enticas, bastando fazer a correspond^encia
r B(r) = r r A ;
A $ ; 0 $ 1 ; J $ que pode ser expandida atraves da conhecida identidade
vetorial, fornecendo:
0
(17)
de modo que J (r) deve ser soluc~ao de uma equac~ao
analoga a (16), respeitando a correspond^encia expressa
em (17):
r r A = rr A ; r2 A :
(21)
r2A (r) = ;0 J (r) :
(18)
Considerando a denic~ao do laplaciano de um vetor,
Usando a escolha (8) (percebe agora o porqu^e dela?)3,
camos com
r B(r) = ;r2 A :
Levando em conta (19), temos nalmente
r2A = r2 Ax x^ + r2Ay y^ + r2Ax ^z ;
r B(r) = ;0 J(r) ;
conclumos ent~ao que o potencial vetor satisfaz a uma
equac~ao vetorial de Poisson,
(22)
que e conhecida como lei de Ampere para o campo
magnetico, apresentada aqui na forma diferencial.
r2A(r) = ;0 J(r) :
(19)
Se uma determinada regi~ao do espaco for livre de correntes, A sera soluc~ao de uma equac~ao vetorial de Laplace,
r2A(r) = 0 :
3. A Lei de Ampere
De acordo com o teorema Helmholtz, todo campo
vetorial ca completamente especicado numa determinada regi~ao do espaco, se conhecermos o seu rotacional
e o seu divergente em todo o espaco, desde que ele seja
n~ao nulo em apenas uma regi~ao nita. Para o campo
eletrico, no caso estatico, temos
r E = ; r E = 0 :
0
Para o campo magnetico, sabemos que deve ser nulo
seu divergente,
r B(r) = 0 ;
(20)
mas nada sabemos ainda sobre como se comporta o
rotacional desta grandeza. Nesta sec~ao vamos utilizar o conhecimento que adquirimos a respeito do potencial vetor para determinarmos uma express~ao para
r B(r), valida para o caso estatico (correntes estacionarias). Partimos de (5), tomando o rotacional em
ambos os membros desta equac~ao:
3
Para obtermos a vers~ao integral da lei de Ampere,
basta integrarmos ao longo de uma supercie S delimitada por um contorno l,
Z
S
Z
r B(r) n^ dS = 0 J n^ dS ;
S
e utilizarmos o teorema de Stokes no primeiro membro,
de modo a obtermos
I
l
Z
B(r) dl = 0 J n^ dS ;
S
(23)
que e a lei de Ampere na forma integral.
Podemos ainda escrev^e-la de forma um pouco mais
simplicada, notando que, como S e a superfcie delimitada por l, o segundo membro de (23) representa a
corrente total envolvida pelo percurso l escolhido. Represent^emo-la por Ienv :
I
l
B(r) dl = 0 Ienv ;
Pode-se mostrar facilmente, entretanto, que o resultado a ser obtido e independente desta escolha particular.
(24)
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O percurso de integrac~ao e muitas vezes denominado espira amperiana, em analogia com a superfcie
gaussiana utilizada na lei de Gauss.
Note que Ienv e a corrente total envolvida por l,
cujo sinal deve ser considerado positivo se concordar
com o sentido apontado pelo polegar quando os dedos
da m~ao direita abracam o contorno no sentido convencionado como positivo para este (regra da m~ao direita),
e negativo em caso contrario.
Apendice: Eletrostatica
A lei basica da eletrostatica e a lei de Coulomb: a
forca eletrica entre duas cargas q1 e q2 situadas respectivamente nos pontos r1 e r2 e dada por
F12 = 41 q1jqr2(r;1 r; rj32) = ;F21 ;
0
1 2
sendo F12 a forca exercida pela partcula 2 sobre a carga
q1. Com a denic~ao usual de campo eletrico, o campo
produzido num ponto r por uma distribuic~ao contnua
de cargas restrita a um volume V 0 no espaco e caracterizada por uma densidade volumetrica (r0 ) e
Z
(r0 )(r ; r0 ) dV 0
1
E(r) = 4
jr ; r0 j3
0 V
A partir da pode-se mostrar facilmente, atraves de
calculo direto, que o campo eletrico estatico e conservativo, isto e, possui rotacional nulo,
0
rE = 0 ;
e que, portanto, admite um potencial escalar, ou seja,
9jE = ;r :
(25)
O potencial criado por uma distribuic~ao volumetrica de
cargas tal como a citada anteriormente e, a menos de
uma constante arbitraria,
Z
1
(r) = 4
0
V0
(r0 ) dV 0 :
jr ; r0 j
Por outro lado, o campo eletrico de uma carga puntiforme, o conceito de ^angulo solido e o princpio da
superposic~ao permitem tambem deduzir a lei de Gauss:
I
E n^ dS = Q i
0
S
onde Qi e toda a carga interior a superfcie S. Na forma
diferencial esta lei se escreve
r E = :
0
Combinando com (25), resulta a equac~ao de Poisson
para o potencial eletrostatico,
r2 = ; :
0
Refer^encias
1. J. A. Ba^eta Segundo, W. J. S. Ursi, Eletricidade
e Magnetismo{Notas Compiladas, EFEI, 1979.
2. J. R. Reitz, F. J. Milford, R. W. Christy, Foundations of Electromagnetic Theory, 3rd ed., AddisonWesley, Reading, Mass., 1979.
3. D. Halliday, R. Resnick, Fisca , 4a ed., LTC, Rio
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4. P. A. Tipler, Fisica, 2a ed., Guanabara Dois, Rio
de Janeiro, 1985.