7 Equa»cões diofantinas lineares - DM

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Equa»c~
oes diofantinas lineares
Considere o seguinte problema. Se um trabalhador recebe 510 reais em t¶³quetes de
alimenta»c~ao, com valores de 20 reais ou 50 reais cada t¶³quete, de quantas formas pode
ser formado o carn^e de t¶³quetes desse trabalhador ?
Se x denota a quantidade de t¶³quetes de 20 reais e se y denota a quantidade de
t¶³quetes de 50 reais ent~ao a equa»c~ao 20x + 50y = 510 deve ser satisfeita e o problema ¶e
resolvido determinando-se todas as solu»c~oes inteiras n~ao negativas desta equa»c~ao. Esta
equa»c~ao ¶e um exemplo de equa»c~ao linear diofantina em duas inc¶ognitas.
Como outro problema de ilustra»c~ao, se o custo da postagem de uma encomenda ¶e
de 83 centavos e devemos usar selos de 6 e de 15 centavos, como combinar os selos na
postagem ? Se x denota a quantidade de selos de 6 centavos e se y denota a quantidade
de selos de 15 centavos ent~ao a equa»c~ao 6x + 15y = 85 deve ser satisfeita e o problema
¶e resolvido determinando-se todas as solu»c~oes inteiras n~ao negativas de tal equa»c~ao.
Equa»c~oes polinomiais, em v¶arias inc¶ognitas, com coe¯cientes inteiros (ou racionais), das quais se buscam solu»co~es restritas ao conjunto dos n¶
umeros inteiros, s~ao habitualmente denominadas de equa»c~oes diofantinas, em refer^encia a Diofanto de Alexandria,
algebrista grego do s¶eculo 2, que estudou extensamente, em seu livro Arithmetica, a
obten»c~ao de solu»c~oes racionais de equa»c~oes polinomiais, com coe¯cientes racionais, em
v¶arias inc¶ognitas. Fermat foi um estudioso sistem¶atico desse livro, tendo anotado, em
uma de suas p¶aginas, sua famosa conjectura, agora teorema, o \¶ultimo teorema de
Fermat", que declara que n~ao existem inteiros positivos x, y e z satisfazendo xn + y n =
z n , quando n ¸ 3.
O problema de se determinar inteiros x1 , x2 , : : : , xn , satisfazendo uma equa»c~ao
da forma a1 x1 + a2 x2 + ¢ ¢ ¢ + an xn = b, sendo a1 , a2 , : : : , an e b n¶umeros inteiros (ou
racionais) ¶e o que chamamos de uma equa»c~ao diofantina linear.
Neste cap¶³tulo, estudaremos a equa»c~ao linear diofantina em duas inc¶ognitas x e
y, ax + by = c, sendo a, b e c n¶umeros inteiros. Desenvolveremos ainda considera»co~es
estrat¶egicas para a obten»c~ao de solu»c~oes de equa»co~es lineares diofantinas em tr^es ou
mais inc¶ognitas.
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Proposi»c~
ao 7.1 Sejam a, b e c n¶
umeros inteiros. A equa»c~ao diofantina ax + by = c
possui solu»c~ao se e somente se mdc(a; b) divide c.
Demonstra»c~ao.
()) Suponhamos que (x0 ; y0 ) ¶e um par de inteiros satisfazento ax0 + by0 = c.
Sendo d = mdc(a; b), temos que d j a e d j b. Logo d j (ax0 + by0 ), ou seja, d j c.
(() Seja d = mdc(a; b) e suponhamos que d j c. Ent~ao c = d ¢ °, para algum ° 2 Z.
Pelo teorema 6.1, cap¶³tulo 6, existem inteiros r e s tais que ra + sb = d.
Logo, ra° + sb° = d°, ou seja a(r°) + b(s°) = c, e assim (x0 ; y0 ) = (r°; s°) ¶e
solu»c~ao de ax + by = c.
Proposi»c~
ao 7.2 Sendo a e b inteiros, e mdc(a; b) = 1, as solu»co~es da equa»c~ao diofantina ax + by = 0 s~ao dadas pelas equa»co~es param¶etricas
½
x = bt
(t 2 Z)
y = ¡at
Demonstra»c~ao. Se x = bt e y = ¡at, ent~ao
ax + by = a(bt) + b(¡at) = abt ¡ abt = 0
Assim, ¶e imediato ver que as equa»c~oes param¶etricas x = bt e y = ¡at, com t 2 Z, nos
d~ao solu»c~oes da equa»c~ao diofantina ax + by = 0.
Suponhamos agora que x e y s~ao inteiros satisfazendo ax + by = 0. Ent~ao
ax = ¡by. Logo b j (ax). Como a e b s~ao primos entre si, pela proposi»c~ao 6.2, cap¶³tulo
6, temos que b j x.
Existe ent~ao t 2 Z tal que x = bt. Substituindo x = bt em ax = ¡by, obtemos
y = ¡at.
Portanto, x = bt e y = ¡at, para algum t 2 Z.
A equa»c~ao diofantina ax + by = 0 ¶e o que chamamos de equa»c~ao linear diofantina
homog^enea correspondente µa equa»c~ao ax + by = c (n~ao homog^enea se c 6
= 0).
Sendo d = mdc(a; b), a proposi»c~ao 7.1 estabelece que a equa»c~ao diofantina ax +
by = c tem solu»c~ao se e somente se d j c. Assumindo que d j c, notemos que a equa»c~ao
ax + by = c ¶e equivalente µa equa»c~ao
µ ¶
³a´
b
c
x+
y=
d
d
d
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de coe¯cientes todos inteiros, j¶a que d j a e d j b. Al¶em disso, os inteiros a=d e
b=d s~ao primos entre si: como existem inteiros r e s tais que ra + sb = d, temos
r(a=d) + s(b=d) = 1.
Pelas observa»c~oes feitas acima, podemos nos restringir ao estudo de equa»c~ao diofantinas ax + by = c assumindo a e b primos entre si.
Teorema 7.1 Sejam a, b e c inteiros, com a e b primos entre si. Seja (x0 ; y0 ) uma
solu»c~ao da equa»c~ao diofantina ax + by = c.
Ent~ao as solu»c~oes dessa equa»c~ao s~ao dadas pelas equa»c~oes param¶etricas
½
x = x0 + bt
(t 2 Z)
y = y0 ¡ at
Demonstra»c~ao. Seja (x0 ; y0 ) uma solu»c~ao da equa»c~ao diofantina ax + by = c.
Se x = x0 + bt e y = y0 ¡ at, com t 2 Z, ent~ao
ax + by = a(x0 + bt) + b(y0 ¡ at)
= ax0 + abt + by0 ¡ bat
= ax0 + by0 = c
e portanto (x; y) ¶e uma solu»c~ao da equa»c~ao diofantina ax + by = c.
Suponhamos agora que (x; y) ¶e solu»c~ao da equa»c~ao diofantina ax+by = c. Temos
ent~ao
½
ax + by = c
ax0 + by0 = c
e assim
a(x ¡ x0 ) + b(y ¡ y0 ) = ax ¡ ax0 + by ¡ by0
= (ax + by) ¡ (ax0 + by0 )
=c¡c=0
Logo, (x ¡ x0 ; y ¡ y0 ) ¶e solu»c~ao da correspondente equa»c~ao homog^enea ax + by = 0.
Pela proposi»c~ao 7.2, existe t 2 Z tal que x ¡ x0 = tb e y ¡ y0 = ¡ta, ou seja
½
x = x0 + bt
y = y0 ¡ at
para algum t 2 Z.
Exemplo 7.1 Se o custo de uma postagem ¶e de 83 centavos e os valores dos selos s~ao
de 6 e 15 centavos, como podemos combinar os selos na postagem ?
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Solu»c~ao.
Se x denota a quantidade de selos de 6 centavos e y denota a quantidade de selos
de 15 centavos, ent~ao 6x + 15y = 85. Como mdc(6; 15) = 3 e 3 6
j 83, a equa»c~ao
diofantina 6x + 15y = 83 n~ao possui solu»c~oes inteiras e assim o problema de postagem
n~ao tem solu»c~ao.
Exemplo 7.2 Consideremos agora o problemas dos t¶³quetes, mencionado no in¶³cio do
cap¶³tulo, que d¶a origem µa equa»c~ao diofantina 20x + 50y = 510.
Pelo teorema 7.1, a equa»c~ao tem solu»c~ao inteira, visto que mdc(20; 50) = 10 e
10 j 510.
Como observado, a equa»c~ao 20x+50y = 510 ¶e equivalente µa equa»c~ao 2x+5y = 51.
Assim sendo, passamos a buscar as solu»co~es inteiras desta u
¶ltima.
Posteriormente, devido µa natureza do problema original (contagem de t¶³quetes),
estaremos nos restringindo µas solu»c~oes (x; y) que tamb¶em satisfazem x ¸ 0 e y ¸ 0.
Como mdc(2; 5) = 1, pelo teorema 7.1, as solu»c~oes de 2x + 5y = 51 tem a forma
½
x = x0 + 5t
(t 2 Z)
y = y0 ¡ 2t
sendo (x0 ; y0 ) uma solu»c~ao particular da equa»c~ao.
Nos resta ent~ao obter uma solu»c~ao particular da equa»c~ao. Para tal, primeiramente
obtemos inteiros r e s satisfazendo 2r + 5s = mdc(2; 5) = 1. Podemos faz^e-lo usando
as divis~oes sucessivas do algoritmo euclidiano do c¶alculo de mdc(2; 5).
Neste problema particular, no entanto, podemos \adivinhar" valores para r e s, a
saber, r = ¡2, s = 1. Tendo 2r + 5s = 1, teremos 2(51r) + 5(51s) = 51, de onde uma
solu»c~ao particular de 2x + 5y = 51 nos ¶e dada por x0 = ¡102, y0 = 51.
A solu»c~ao geral de 2x + 5y = 51 (ou de 20x + 50y = 510) ¶e portanto
½
x = ¡102 + 5t
(t 2 Z)
y = 51 ¡ 2t
Na busca de solu»c~oes n~ao negativas, impomos ¡102 + 5t ¸ 0 e 51 ¡ 2t ¸ 0, de
onde
A restri»c~ao de solu»c~oes n~ao negativas determinam que x = ¡102 + 5t ¸ 0, ou
seja, t ¸ 102=21 e que, simultaneamente, y = 51 ¡ 2t ¸ 0, ou seja, t · 51=2 < 26.
Assim, t deve assumir um dos seguintes valores: 21, 22, 23, 24 e 25.
Temos ent~ao 5 possibilidades para os carn^es, a saber:
{ carn^e com 3 t¶³quetes de $20 reais e 9 t¶³quetes de $50 reais;
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{ carn^e com 8 t¶³quetes de $20 reais e 7 t¶³quetes de $50 reais;
{ carn^e com 13 t¶³quetes de $20 reais e 5 t¶³quetes de $50 reais;
{ carn^e com 18 t¶³quetes de $20 reais e 3 t¶³quetes de $50 reais;
{ carn^e com 23 t¶³quetes de $20 reais e 1 t¶³quete de $50 reais;
Atrav¶es de um exemplo, mostraremos agora uma estrat¶egia para obten»c~ao de
solu»c~oes de uma equa»c~ao diofantina linear em tr^es inc¶ognitas.
Exemplo 7.3 Resolver a equa»c~ao diofantina 2x ¡ 6y + 5z = 3.
Primeiramente determinamos que o problema tem solu»c~ao, pois mdc(2; 6; 5) = 1 e 1 j 3.
Como mdc(2; 6) = 2, podemos escrever 2x ¡ 6y = 2¸. Aqui estamos usando o
fato de que sendo a e b inteiros, toda combina»c~ao linear ax + by, com x e y inteiros, ¶e
m¶ultiplo de d = mdc(a; b): se d j a e d j b, ent~ao d j (ax + by).
Temos ent~ao
2x ¡ 6y +5z = 3
| {z }
=2¸
Tratamos ent~ao de, primeiramente, resolver a equa»c~ao 2¸ + 5z = 3. Uma solu»c~ao
particular ¶e (¸0 ; z0 ) = (¡6; 3). Assim, a solu»c~ao geral dessa equa»c~ao ¶e dada por
½
¸ = ¡6 + 5t
(t 2 Z)
z = 3 ¡ 2t
Passamos ent~ao µa equa»c~ao diofantina 2x ¡ 6y = 2¸, assumindo que ¸ ¶e uma
constante inteira.
A equa»c~ao 2x ¡ 6y = 2¸ ¶e equivalente a x ¡ 3y = ¸. Uma solu»c~ao particular
desta equa»c~ao ¶e dada por x0 = 4¸, y0 = ¸. A solu»c~ao geral desta equa»c~ao ¶e dada por
½
x = 4¸ + 3u
(u 2 Z)
y =¸+u
Como ¸ = ¡6 + 5t, chegamos ¯nalmente µa solu»c~ao do problema:
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< x = ¡24 + 20t + 3u
(t; u 2 Z)
y = ¡6 + 5t + u
:
z = 3 ¡ 2t
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7.1
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Exerc¶³cios
1. Encontre todas as solu»c~oes das seguintes equa»co~es diofantinas lineares:
(a) 17x + 13y = 100
(b) 12x + 18y = 50
(d) 60x + 18y = 67
(e) 1402x + 1969y = 1
(g) 102x + 1001y = 533 (h) 33x + 25y = 0
2. Encontre as solu»c~oes das seguintes equa»co~es diofantinas
(a) 2x ¡ 10y + 35z = 0
(b) 101x ¡ 102y + 103z = 1
(c) 12x + 21y + 9z + 15w = 9
3. Uma ag^encia de correios possui apenas selos de 14 centavos e de 21 centavos.
Determine as combina»co~es desses selos que podem ser feitas para postar cartas
dos seguintes valores postais:
(a) R$ 3,50
(b) R$ 4,00
(c) R$ 7,77
4. Com R$ 5,49 pode-se comprar ma»c~as, a 18 centavos cada, e peras, a 33 centavos
cada. Qual ¶e o n¶umero m¶³nimo de frutas que podem ser compradas?
5. Um estudante, viajando da Europa aos Estados Unidos, troca seus francos su¶³»cos
e francos franceses por d¶olares. Ele recebe US$ 17,06, tendo recebido US$ 0,19
(19 `cents') por cada franco franc^es e US$ 0,59 por cada franco su¶³»co. Quanto de
cada moeda ele possu¶³a?
6. Encontre as solu»c~oes inteiras dos sistemas de equa»c~oes lineares
8
½
< x + y + z + w = 100
x + y + z = 100
(b)
(a)
x + 2y + 3z + 4w = 300
:
x + 8y + 50z = 156
x + 4y + 9z + 16w = 1000
Sugest~ao: Primeiramente, passe os sistemas µa uma forma escalonada, mantendo
os coe¯cientes inteiros.
7. De que modos ¶e poss¶³vel combinar 50 moedas, misturando moedas de 1, de 10 e
de 25 centavos, de modo a totalizar 3 reais?
8. Resolva o seguinte problema, como se estivesse fazendo-o a uma classe de alunos
do ensino b¶asico, isto ¶e, por uma estrat¶egia que n~ao fa»ca uso dos teoremas sobre
equa»c~oes diofantinas desenvolvidos no cap¶³tulo: Combinando moedas de 1, 10 e
25 centavos, como podemos totalizar 99 centavos?