Resumo para Mecânica e Ondas

Resumo para Mecânica e Ondas
(Hugo Serôdio, 2010)
Não é permitido o uso destas folhas no exame.
I.
CINEMÁTICA DO PONTO MATERIAL
Posição: ⃗r = x ⃗ex + y ⃗ey + z ⃗ez
Velocidade média/instantânea: ⃗vm =
∆⃗
r
/⃗v
∆t
=
d⃗
r
dt
Aceleração média/instantânea: ⃗am =
∆⃗v
/⃗a
∆t
=
d⃗v
dt
Movimento uniforme Movimento uniformemente variável
Aceleração
⃗a = 0
⃗a = ⃗a0 = const
Velocidade
⃗v ≡ ⃗v0 = const
⃗v = ⃗v0 + ⃗a0 t
Posição
⃗r = ⃗r0 + ⃗v0 t
⃗r = ⃗r0 + ⃗v0 t + 12 ⃗a0 t2
Projéctil a duas dimenções (x,z)
Aceleração
(ax , az ) = (0, −g)
Velocidade
(vx , vz ) = (vx0 , vz0 ) + (0, −g) t
Posição
A
aceleração,
velocidade
e
posição estão definidas na direcção de ⃗ex , ⃗ez .
Temos assim
(x, z) = (x0 , z0 ) + (vx0 , vz0 ) t + 12 (0, −g) t2 ⃗a = ax ⃗ex + az ⃗ez , ⃗v = vx ⃗ex + vz ⃗ez
Movimento em coord. polares Movimento Circular
⃗r = r ⃗er
⃗r = r ⃗er , com r = const
⃗v = ṙ ⃗er + rθ̇ ⃗eθ
⃗v = rθ̇ ⃗eθ
(
)
(
)
⃗a = r̈ − rθ̇2 ⃗er + 2ṙθ̇ + rθ̈ ⃗eθ ⃗a = −rθ̇2 ⃗er + rθ̈ ⃗eθ
(
)
Nota: no movimento circular como ⃗ez ×⃗er = ⃗eθ , temos que ⃗v = rθ̇ ⃗eθ = rθ̇ ⃗ez ×⃗er = θ̇ ⃗ez × (r⃗er ),
temos assim ⃗v = ω
⃗ × ⃗r com ω
⃗ = θ̇ ⃗ez . No movimento circular a componente tangencial é a que
aponta na direcção ⃗eθ (i.e. ⃗aθ = α
⃗ × ⃗r), a compontente radial é a que aponta na direcção ⃗er (i.e.
⃗ar = ω
⃗ × (⃗ω × ⃗r)). A aceleração radial é o mesmo que dizer aceleração centripeta. Em módulo a
v2
aceleração centripeta é acp = ω 2 r = .
r
1
II.
DINÂMICA DO PONTO MATERIAL
A três leis de Newton:
1) Lei de inércia: Todo corpo continua em seu estado de repouso ou de movimento
uniforme em uma linha recta, a menos que seja forçado a mudar aquele estado por
forças aplicadas sobre ele.
2) Lei da quantidade de movimento: A mudança de movimento é proporcional à
força motora imprimida, e é produzida na direcção de linha recta na qual aquela
força é imprimida. F⃗ = m⃗a
3) Lei Acção/Reacção: A toda acção há sempre uma reação oposta e de igual intensidade, ou, as acções mútuas de dois corpos um sobre o outro são sempre iguais
e dirigidas a sentido oposto. F⃗i j = −F⃗j i
Momento linear
Forma geral
p⃗ = m⃗v
d⃗
p
dt
= F⃗ext
d⃗p
= F⃗ext + σ+⃗u+ − σ−⃗u− , com
dt
dm
Sistemas abertos
= σ+ − σ− , ou ainda
dt
d⃗v
m = F⃗ext + σ+ (⃗u+ − ⃗v ) − σ− (⃗u− − ⃗v )
dt
Onde σ+/− são as quantidade de massa por unidade
de tempo que entram/saem
do nosso sistema e ⃗u+/−
são as velocidades de entrada/saı́da da massa no sistema.
Uma situação muito comum é o movimento curvilı́neo acelerado, nesse caso podemos escr((
)
(
) )
2
⃗
ever: F = m(⃗ar + ⃗aθ ) = m r̈ − rθ̇ ⃗er + 2ṙθ̇ + rθ̈ ⃗eθ . Para movimentos circulares
(
)
(r = const) temos: F⃗ = m −rθ̇2 ⃗er + rθ̈ ⃗eθ = m (⃗ω × (⃗ω × ⃗r) + α
⃗ × ⃗r). Podemos assim
escrever a força como: F⃗ = F⃗t + F⃗c , onde F⃗t é a componente tangencial e F⃗c a componente
radial (centrı́peta).
Nota: quando um corpo se encontra em movimento circular, alguma força (atrito, tensão,
etc.) tem de estar a ser aplicada no corpo, a resultante da soma de todas as forças
aplicadas no corpo na direcção radial é identificada como força centrı́peta. F⃗cp = macp
onde ac =
v2
r
2
Nota: Em referenciais inerciais não há ”força centrifuga” (ou em geral forças ditas de
”inércia” que só existem em referenciais não-inerciais, como por exemplo referenciais linearmente acelerados ou em rotação). Por outro lado força centrı́peta é um adjectivo que
designa uma força aplicada, NUM REFERENCIAL DE INÉRCIA OU NÃO, que aponta
na direcção do centro de rotação.
Como resolver problemas com ligações (Parte I): este tipo de problemas são muito
comuns, como exemplo temos os exercı́cios de roldanas , etc. Aqui vamos assumir que
quando existem roldanas estas não rodam (não contamos com o momento de inércia, para
já). Os 5 passos para o sucesso:
1) separar cada uma das massas ligadas e desenhar as forças aplicadas.
∑
2) escrever, para cada uma das massas, a equação vectorial das forças, i.e F⃗T = i F⃗i ,
com F⃗i as forças aplicadas numa dada massa (tensão, peso, reacção normal, etc)
3) Decompor cada uma dessas equações nas componentes tangencial e radial (ou normal).
4) Usar para componente da força resultante a formula F⃗ = m⃗a. Se o movimento de
uma das massas for circular então na componente radial da força teremos ⃗ar = ⃗ac .
5) Identificar a relação que existe entre cada uma das acelerações, já que as massas estão ligadas as acelerações não vão ser independentes. Ter sempre atenção à
definição dos eixos.
3
III.
TRABALHO E ENERGIA/CONSERVAÇÃO DA ENERGIA
Trabalho: quantidade que mede a eficiência
Energia: capacidade de mudar o sistema
que uma força aplicada num corpo para o
que nos rodeia, quer sobre a forma de tra-
deslocar ao longo de um caminho
∫r
W = rif F⃗ .d⃗r
balho ou outra. A quantidade fundamental é
Onde ⃗r é o vector deslocamento.
arbitrar o referencial zero do nosso sistema.
a variação da energia já que podemos sempre
Teorema Trabalho-Energia Forças conservativas
WFT = ∆Ec = 12 mvf2 − 12 mvi2
Lei de Conseração da Energia
WFC = ∆Ec = −∆Ep 0 = ∆Ec + ∆Ep ⇔ Eci + Epi = Ecf + Epf
⃗ onde
Força conservativa: este tipo de forças derivam de um potencial, i.e. F⃗C = −∇U
⃗ = ∂/∂x ⃗ex + ∂/∂y ⃗ey + ∂/∂z ⃗ez . Exemplos de forças
U designa a energia potencial e ∇
conservativas
A energia potencial gravı́tica
Grav. na Terra Grav. geral
Força
m⃗g
m
− GM
⃗er
r2
Potencial
mgh
− GMr m
Hooke
geral é definida como a en-
−k(x − x0 ) ⃗ex ergia necessária para trazer
1
k(x
2
− x0 )2 uma massa do infinito para a
posição r.
⃗
⃗
O rotacional de uma força consrvativa é zero, i.e. ∇ × FC = 0. É o mesmo que dizer que
∮
o integral num caminho fechado é zero, i.e. F⃗ .d⃗r = 0.
Força não-conservativa: A energia mecânica é conservada se o trabalho das forças não
conservativas for zero. Forças não-conservativas são por exemplo força de atrito, reacção
normal, etc.
4
IV.
GRAVITAÇÃO DE NEWTON
m
Lei da Gravitação Universal: F⃗ = − GM
⃗er , U = − GMr m
r2
As 3 Leis de Kepler:
1) Órbitas: corpos sujeitos a uma força proporcional a 1/r2 descrevem uma trajectória
cónica (elipse, parábola ou hipérbole).
2) Lei das Áreas: a área varrida numa órbita de um planeta por unidade de tempo
⃗
⃗ 0 com µ = M m .
é constante. dA = 1 L
dt
2µ
M +m
3) Relação entre o semi-eixo maior da órbita elı́ptica de um planeta e o seu
perı́odo: T 2 =
onde a =
rmax +rmin
2
4π 2 3
a.
GM
é o semi-eixo maior e b = rmax rmin o semi-eixo menor.
5
V.
CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR/COLISÕES
Centro de massa: este conceito aparece quando temos mais de que uma partı́cula
∑ ⃗
∑
∑
pontual no sistema. Por definição F⃗CM ≡ F⃗T =
Fi . Ou seja (
mi ) ⃗aCM =
mi⃗ai ,
i
i
i
temos assim
Fórmula
Aceleração do CM ⃗aCM
Velocidade do CM ⃗vCM
Posição do CM
⃗rCM
⃗rCM e ⃗vCM são determina-
dos por integração de ⃗aCM .
∑
m
⃗
a
m
⃗
a
+
m
⃗
a
+
...
i
i
1 1
2 2
O movimento de um sistema
= ∑i
=
m
m
+
m
i
1
2 + ...
i
de N particulas pode ser
∑
mi⃗vi
m1⃗v1 + m2⃗v2 + ... reduzido ao movimento de
= ∑i
=
m1 + m2 + ... uma partı́cula de massa toi mi
∑
∑
tal M = i mi posicionada
mi⃗ri
m1⃗r1 + m2⃗r2 + ...
= ∑i
=
m1 + m2 + ... no centro de massa do sisi mi
tema.
Num sistema de N partı́culas podem existir forças interiores e exteriores. As interiores
são por definição forças que pertecem ao par acção reacção, i.e. para uma força interior
existe sempre outra de igual intensidade e sentido oposto. Temos assim que a soma de
todas as forças interiores é zero. Logo as forças que são relevantes para a determinação
do movimento do sistema são as forças exteriores, estas podem ser conservativas ou não.
∑ i
Quando i F⃗ext
= 0 =⇒ ⃗aCM = 0, o que implica que o sistema se move com velocidade
constante, i.e. ⃗vCM = const =⇒ p⃗i = p⃗f . (Conservação do momento linear)
Colisões:
∆⃗p
= F⃗Text ⇔ ∆⃗p = F⃗Text ∆t para ∆t ∼ 0 temos ∆⃗p = 0.
∆t
Colisões elásticas: existe conservação da energia cinética exactamente antes e depois
da colisão, i.e. Eci = Ecf . Os corpos que colidem seguem separados, com velocidades
diferentes.
Colisões inelásticas: não existe conservação da energia cinética exactamente antes e
depois da colisão, i.e. Eci ̸= Ecf . Os corpos seguem juntos, isto leva a que tenha sido gasta
energia para os ”colar”, essa energia apareceria na energia mecânica Em . É esta energia
dispendida que faz com que a energia cinética não se conserve.
6
NOTA: EM COLISÕES EXISTEM SITUAÇÕES EM QUE DEVEMOS USAR A
CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR!!! (ver mais à frente)
VI.
MOMENTO ANGULAR E MOMENTO DE FORÇAS. CONSERVAÇÃO DO
MOMENTO ANGULAR.
Para que um corpo esteja em repouso (equilibrio estático) não condição suficiente que
∑ ⃗
i Fi = 0, isto apenas indica que o sistema não executa nenhuma translacção. No
entanto pode ter rotação. Para estudar sistemas com rotação é necessário introduzir duas
novas quantidades o momento de forças e o momento angular.
Translações
Rotações
⃗ p = ⃗rp × p⃗
p⃗ = m⃗v
L
⃗
d⃗p
⃗ p = dLp
Lei do movimento
F⃗ =
M
F
dt
dt
1
1
1
2
2
2
Energia Cinética Ec = 2 mv Ec = 2 Ip ω = 2 mVCM
+ 12 ICM ω 2
∑ ⃗i
∑
Tal como vimos i F⃗i = 0 =⇒ ∆⃗p = 0, também temos para o caso de rotações i M
F =
⃗ = 0. Dado que L
⃗ p = ⃗rp × m⃗v = m ⃗rp × (⃗ω × ⃗r) = mr2 ω
0 =⇒ ∆L
⃗ , podemos identificar
Momento
p
Ip = mrp2 como o momento de inércia para uma partı́cula pontual. No caso do objecto ser
constituı́do por mais que uma partı́cula temos que somar sobre todas as massa de forma
∫
contı́nua (logo integral), temos assim Ip = d2p dm onde dp designa a distância ao eixo de
rotação passando por P. Podemos assim escrever
Onde se assumiu que Ip (momento
⃗ p = Ip ω
⃗ = ⃗rp × p⃗
Momento Angular L
⃗ ou L
Momento de Forças
⃗ p = ∑ ⃗rp × F⃗
M
F
de inércia) não depende do tempo.
A utilização de uma das duas formulas para o momento angular e
momento de forças irá depender do
problema em questão.
∑
p
⃗
⃗
MF = ⃗rp × F é útil para o cálculo do momento que cada força individualmente exerce.
⃗ p = Ip ω
⃗ p = ⃗rp × p⃗ é mais
No momento angular L
⃗ é útil quando o objecto não é pontual e L
útil para objectos pontuais.
7
Como calcular o momento de inércia de um corpo: Vamos fazer o cálculo mais
simples, uma barra homogénea a uma dimensão:
∫
Ip = ℓ2 dm com λ = m/ℓ =⇒ dm = λdℓ
∫ bL
∫ bL
b L
1
1
2
=
ℓ λ dℓ = λ
ℓ2 dℓ = λ ℓ3 −a L = λL3 (b3 + a3 )
3
3
−a L
−a L
usando o facto que no nosso caso λ = M/L
1
= M L2 (b3 + a3 )
3
Vamos supor que o eixo de rotação da barra está numa extremidade, logo os extremos de
integração são (0, L), i.e. a = 0, b = 1. Temos assim Ip = 13 M L2 . Vamos supor agora que
o eixo de rotação está no centro da barra, logo os extremos de integração são (−L/2, L/2),
i.e. a = 1/2, b = 1/2. Temos assim que nesse caso Ip =
1
M L2 .
12
Para qualquer outro
caso é só ver quais os extremos de integração.
Teorema dos eixos paralelos: este teorema permite-nos calcular o momento de inércia
de um sólido rı́gido relativo a um eixo de rotação que passa por um ponto P, quando
conhecemos o momento de inércia relativo a um eixo paralelo ao anterior e que passa pelo
centro de massas e a distância entre os eixos.
2
IP = ICM + M RCM
−P
Como resolver problemas com ligações (Parte II): Aqui vamos assumir que quando
existem roldanas estas rodam. Os 5 passos para o sucesso:
1) o mesmo, mas agora tendo em conta a roldana.
2) o mesmo, mas agora escrevendo também a equação do momento de forças para a
⃗F = ∑M
⃗F .
roldana M
T
i
3) o mesmo.
⃗ F = I⃗
4) o mesmo, mas agora usar também M
α.
T
5) o mesmo.
8
VII.
ONDAS E OSCILAÇÕES HARMÓNICAS
Equação de Ondas:
∂ 2ϕ
1 ∂ 2ϕ
−
=0
∂x2 v 2 ∂t2
A solução geral da equação de ondas é ϕ(x − vt), que corresponde a um efeito que se
propaga no sentido positivo do eixo dos XX. A função ϕ(x + vt) é igualmente solução
da equação de ondas, mas descreve uma onda que se move no sentido negativo do eixo
dos XX. Em grande parte dos casos estas ondas como são periódicas são descritas por
ϕ(x, t) = A sin(kx − ωt + α)
A soma de duas funções de ondas, ϕ1 (x, t) e ϕ2 (x, t), tembém é solução da equação de
ondas. Temos assim: (sin a + sin b = 2 sin( a+b
) cos( a−b
)
2
2
• Interferência construtiva: ϕ1 (x, t) = A sin(kx−ωt), ϕ2 (x, t) = A sin(kx−ωt+α).
Temos assim
ϕ(x, t) = ϕ1 (x, t) + ϕ2 (x, t) = 2A cos
α
sin (kx − ωt + α/2)
2
• Interferência destrutiva:ϕ1 (x, t) = A sin(kx−ωt), ϕ2 (x, t) = A sin(kx−ωt+π) =
−ϕ1 (x, t). Logo ϕ(x, t) = ϕ1 (x, t) + ϕ2 (x, t) = 0
• Ondas estacionárias:ϕ1 (x, t) = A sin(kx − ωt), ϕ2 (x, t) = A sin(kx + ωt). Temos
ϕ(x, t) = ϕ1 (x, t) + ϕ2 (x, t) = 2A sin kx cos wt
freq. ângular freq. harmónica n. de onda
ω = 2π/T
f = 1/T
k = 2π/λ
comp. de onda
vel. de fase
vel. de grupo
λ
v = λf = ω/k
Relação de dispersão: ω = kv.
vg =
9
∂w
∂k
Efeito de dopler não relativista: Quando uma fonte emisora de um sinal ou o receptor
do sinal está em movimento, a frequência medida pelo receptor é diferente a frequência
própria (medida no referencial do emissor). Temos assim: f =
VS ±vo
f.
VS ±vf 0
Onde VS é
a velocidade do som, vf a velocidade da fonte e vo a velocidade do observador. Se o
observador se estiver a aproximar da fonte o sinal é + no numerador (− se se estiver
a afastar). Se a fonte se estiver a afastar o sinal é + no numerador (− se se estiver a
aproximar). A frequência medida pelo observador é f , a própria é f0 .
Simples
Amortecido
Forçado
ẍ + 2λẋ + ω02 x = 0
ẍ + 2λẋ + ω02 x = f (t)
(√
)
Solução x(t) = A cos(ω0 t + δ) x(t) = Ae−λt cos
ω02 − λ2 t + δ
x(t) = Aei(ωt+φ)
Equação
ẍ + ω02 x = 0
Onde no caso do oscilador forçado temos f (t) = f0 cos(ωt), ||A(ω)|| = √
f0
(ω02 −ω 2 )2 +4λ2 ω 2
. A equação do oscilador amortecido aparece quando temos no
e tan φ(ω) = − ω22λω
−ω 2
0
sistema forças de atrito que amortecem o movimento. Em todos estes casos a variavel
x(t) representa {x(t), y(t), θ(t), etc}.
VIII.
RELATIVIDADE RESTRITA
Os dois postulados:
1) Princı́pio da Relatividade: as leis das Fı́sica são as mesmas em todos os referenciais
inerciais (i.e. referenciais com velocidade constante).
2) A constância da velodidade da luz: a velocidade da luz tem o mesmo valor em
todos os referenciais inerciais, independentemente da velocidade do observador ou
da fonte.
10
• Contracção do espaço: L =
• Dilatação do tempo: t =
√
1−
√ t0
2
1− v2
v2
L
c2 0
=
L0
γ
= γt0
c
• Adição de velocidades: u′x =
ux −v
1− v u2x
, ux velocidade em relação ao referencial
c
S (parado), u′x velocidade em relação ao referencial S ′ (em movimento) e v é a
velocidade de S ′ (que se afasta de S).
• Energia Total: E = γm0 c2 =
2
√m0 c
2
1− v2
ou E 2 = p2 c2 + m20 c4
c
• Energia de repouso: E0 = m0 c2
• Energia cinética: Ec = E − E0 = γm0 c2 − m0 c2 = (γ − 1)m0 c2
• Momento linear: p⃗ = γm0⃗v
11