FFI 112: Física Matemática I Lista # 11............14 - 05 - 14 1.

FFI 112: Física Matemática I
Lista # 11............14 - 05 - 14
1.- Expandir em série de Laurent, nas coroas indicadas, as seguintes funções:
1
1
; 1 < |z| (2) cotπz; 0 < |z − 1| < 1 (3) e z−1 ; 0 < |z − 1|
(1) zz−1
(4)
sinπz
z−1
; 0 < |z − 1|
(5)
z
sinπz
; (a) 0 < |z| < 1; (b) 0 < |z − 1| < 1
2.- Calcule a parte principal (PP) da série de Laurent das seguintes funções, nas coroas
indicadas:
z
(1) ze 1/z ; 0 < |z| (2) cosz
; 0 < |z| (3) z 21+1 ; 0 < |z − i| (4) sin z−1
; 0 < |z − 1|
z4
3.- Prove que o coeficiente c −1 da PP finita (i.e. com um número finito de termos) da
série de Laurent de uma função fz na coroa K : r < |z − a| < R, é dado por:
1
c −1 = lim
 d  n−1 z − a n fz
z→a n − 1! dz
4.- Nos Exercícios # 1 e 2 acima, nas séries de Laurent com um número finito de termos
na PP, calcule o coeficiente c −1 por meio da fórmula do Ex # 3.
5.- Mostre que o ponto z = a é uma singularidade removível das seguintes funções:
2 −1
z
1
(a = 1) (2) tanz
(a = 0 (3) 1−cosz
(a = 0 (4) e z1−1 − sinz
(a = 0
(1) zz−1
z2
6.- Mostre que o ponto z = a é um polo para as seguintes funções (determine a ordem
do polo):
z
z
(1) 1z (a = 0 (2) 1−cosz
(a = 0 (3) e z −1
(a = 0 (4) cot πz  (a = ∞
2
7.- Mostre que o ponto z = a é uma singularidade essencial das seguintes funções:
2
(1) e z (a = ∞ (2) e −z (a = ∞ (3) sin zπ2  (a = 0 (4) sine z  (a = ∞ (5)
z
cos z+1
 (a = −1
Em cada caso, determine a seqüência de Casorati-Weierstrass-Sokhotski.
8.- Localize e classifique todas as singularidades das seguintes funções:
π
z
z
(1) sinz
(2) z 2 sin z+1
 (3) z 21−1 cos z 2πz+1  (4) cotz − 1z (5) e cot z 
9.- Determine a PP da série de Laurent das seguintes funções, nas vizinhanças do
ponto z = a indicado:
z
z
(a = −2 (2) ee z +1
(a = 0, ±2πi, ±4πi, . . .  (3) sinz−1
(a = 0
(1) z+2
2
2 z
−1
10.- Calcular o Resfz; z = ∞ para as seguintes funções:
(1)
sinz
z2
(2) e z (3) z 2 sin πz 
1
(4) cosπ z+2

2z
(5)
sin 1z 
z−1
(6)
cos 2  πz 
z+1
(7) z cos 2  πz 
Usar o resultado do Ex # 16 abaixo.
Pz
11.- (*) Seja fz uma função da forma fz = Qz
, em que Pz e Qz são analíticas
num ponto z = a (finito) e que valem as relações: Qa = 0, Q ′ a ≠ 0. Prove então que:
Pa
Resfz; z = a = ′
Q a
12.- Verifique se as seguintes funções fz admitem série de Laurent nas vizinhanças
dos pontos z = a indicados:
1
 (a=1)
(1) cos 1z  (a = 0 (2) cos 1z  (a = ∞ (3) sec z−1
1
13.- Localize e classifique todas as singularidades das seguintes funções:
1) sin sin1 1   (2) sin cos1 1  
z
z
14.- Localize e classifique todas as singularidades (finitas, infinitas, isoladas ou não) das
funções da lista abaixo. Nas isoladas, calcule o resíduo.
1
(1) cos1 1  (2)(*) π cotπz (3)(*) π cscπz (4) 1−cosz
(5) ze z − 1 (6) 11
(7) 11
sin 2 z
e z −1
z
e z 2 +1
15.- Demonstre que ”a condição necessária e suficiente para que um ponto z = a seja
um polo de ordem n para uma função fz é que a parte principal (PP) da série de
Laurent de fz , na coroa K : r < |z − a| < R , contenha no máximo n termos ”:
z = a : polo de ordem n
⇔ C −n ≠ 0 e C −k = 0, k > n
16.- (*) Suponhamos que todas as N singularidades finitas de fz estejam contidas no
interior de um círculo C R de raio finito R. Prove então a seguinte relação:
N
∑ Res{fz; z = z k ∈ intC R 
+ Resfz; z = ∞ = 0
k=1
Como aplicação, calcule o resíduo em z = ∞ das seguintes funções:
z3
z
ez
(2) sin
(3) z−1z−2
(4) sinπz
(1) z−1z−2
z−1
z−1
17.- Manipulação de séries. Considere as séries:
+∞
Sx =
∑−1 n
n=0
Calcule:
(a) Sx. Cx
(b) S 2 x + C 2 x
x 2n+1 ;
2n + 1!
(c)
+∞
Cx =
x
∑−1 n 2n!
2n
n=0
Sx
Cx
OBS.: Os exercícios marcados com ´´(*)´´ são particularmente importantes.
Comandos do MAPLE relevantes:
residue(expr, x=a);
singular(expr);
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