Cap.V

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CAP. V
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CAPÍTULO V
FLUIDOS
Hidrostática
Pressão: É a razão entre a força normal a uma superfície e a área sob ela
Unidade: u(P)= u(F)/u(A) = N/m2 = Pascal (Pa)
Existem outras unidades: Torr, atm, bar, mm de Hg, kgf/cm 2, pound/sq.inch (psi) etc. Todas são usadas até hoje. A
tabela 1 dá os fatores de conversão entre as vátias unidades. A unidade torr não está na tabela porqie é igual ao mmHg.
Tabela1:Fatores de conversão de unidades de pressão
1 Pa(N/m2)
1 mmHg
1 Bar
1 Psi (lb/in2)
1 atm
Pa(N/m2)
1
1,33x102
1x105
6,89x103
1,013X105
mmHg
7,5x10-3
1
750
51,71
760
Bar
1x10-5
1,33x10-3
1
6,89x10-2
1,013
Psi(lb/in2)
1,45x10-4
1,93x10-2
14,5
1
14,7
atm
9,87x10-6
1,32x10-3
0,987
6,8x10-2
1
Princípio de Pascal: A pressão aplicada a um fluido confinado se transmite integralmente a todos os pontos do fluido.
P2+ P
P2
P
P1
P1+P
Fig. 1: Um acréscimo DP na pressão se transmite a todos os pontos do fluido
Sistemas hidráulicos:
F1
F2
F 
P1  1 
A1 
F
A
 F1
 2  F2  2 F1

A
A2
A1
F  1
P2  2 
A 2 
Portanto, se A2>A1 então F2>F1
Fig. 2 : Sistema hidráulico
Aplic. 1: Na figura acima os cilindros 1 e 2 têm raios de 2,0 cm 20,0 cm respectivamente. Determine a força que deve
ser feita no cilindro 1 para equilibrar um peso de 4,0 ton no cilindro 2.
R:4000N
Aplic. 2: O êmbolo de uma seringa tem 2,0 cm de diâmetro. Que força deve ser exercida sobre ele para injetar um
remédio numa veia cuja pressão é 10,0 mm de Hg.
R: 2,3x10-5 N
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Pressão devido a uma coluna de fluido.
No fundo da coluna a força será : F = mg = V.g, onde  = m/V é a densidade do fluido
h
A pressão será; P = F/A = .V.g /A= A.h/A, onde A é a área da base do tubo.
Portanto:
P = .h.g
Fig. 3: Cilindro contendo um fluido.
Observe que em todos os casos abaixo a pressão no fundo dos recipientes é a mesma:
Fig. 4: Paradoxo hidrostático. A pressão no fundo dos recipientes é a mesma.
Aplic. 3: Avalie a pressão no fundo de um copo d’água ao nível do mar.
Dado: 1atm = 1,0 x 105 Pa
Aplic. 4: Determine em atmosferas a pressão no fundo de um lago de 10m de profundidade.
R: 1,01atm
R: 2 atm
Aplic. 5: Com um conta-gotas mantém-se uma coluna de 3,0 cm de altura de um líquido de densidade 0,5g/cm3
Determine e pressão no interior do conta-gotas.
R: 0,998atm
h
Aplic. 6: Uma pessoa pode conseguir uma pressão de 0,8 atm sugando um tubo. Se um tubo tem uma extremidade
imersa num refrigerante, a que altura acima do refrigerante (basicamente água) pode uma pessoa conseguir tomá-lo
sugando a outra extremidade do tubo?
R: 2 m
Pressão total e pressão manométrica : A pressão medida por um manômetro tipo bourdon é a pressão manométrica:
Pabs = Pman + Patm
Onde:
Pabs – Pressão absoluta
Pman – Pressão manométrica
Pressão atmosférica
Fig. 5: Manómetro de bourdon
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Empuxo
Princípio de Arquimedes: Qualquer objeto imerso num fluido sofre uma força de baixo para cima igual ao peso de
fluido deslocado
F2
E = F1 – F2 = P1.A – P2.A = f.h.A.g = fVig
h
Ou seja:
E =  Vi g
F1
Fig. 7: Um cilindro dentro de um fluido
Aplic. 7: Uma pedra de densidade 2,7x103 kg/m3 pesa 80 kg. Determine seu peso aparente quando dentro d’água.
R: 29,6 kg
Aplic. 8: A densidade do gelo é a 0oC é 0,917 g/cm3 e da água a 0oC é 0,970 g/cm3. Determine a fração do volume e
gelo que fica imersa quando um bloco de gelo flutua na água.
R: 95%
Aplic. 9: Uma esfera oca de ferro ( = 7,8 g/cm3) tem raios R1 e R2 (R1>R2). Para que essa esfera flutue em água com
metade do seu volume imerso, qual deve ser a relação entre R1 e R2 ?
R: R1/R2 = 1,4
Tabela2: Densidade de alguns materiais
em g/cm3 ou 103 kg/m3
2,70
8,44
8,8
19,3
7,8
11,3
10,1
2.6
2,7
0.3 – 0,9
0,917
1,7
Líquidos
Água (4oC)
1,000
Plasma sanguíneo
1,03
Sangue
1,05
Água do mar
1,025
Mercúrio
13,6
Álcool etílico
0,79
Glicerina
1,26
Azeite
0,92
Gases
Ar
1,29x10-3
Oxigênio
1,43x10-3
Metano
0,72x10-3
o
Vapor d´água(100 C) 0,60x10-3
Sólidos
Alumínio
Latão
Cobre
Ouro
Ferro
Chumbo
Prata
Vidro
Granito
Madeira
Gelo(0oc)
Osso
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Dinâmica dos fluidos
Fluxo: O fluxo de um gás é a quantidade de um fluido que passa através (e perpendicularmente) a uma de
terminada área. Se v é a velocidade do fluido e A a área considerada, então :  = Av
Unidade: m3/s, cm3/s, l/s etc
Tipos de fluxo
Fluxo turbulento
Fluxo laminar
Existe também o fluxo molecular
Aplic. Importante : Capela de Fluxo Laminar
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Relação entre fluxo e diferença de pressão;

 F
1

P1
F2
Patm

P1<P2
P2
Patm

P = R

onde R é a Impedância ou Resistência à passagem do fluido pelo tubo e é dada pela lei de Poiseuille:
R
8ηη
πr 4
onde:
viscosidade do fluido
L - comprimento do tubo
r – raio da seção reta do tubo
Unidade de R: u(R) =u(P)/u() = Pa.s/m3 no SI
Também usado: torr.s/l
Unidade de : u(h) = u(R).u4 (r)/u(r) = Pa.s = N.s/m2 no SI
Também muito usada: Poise: 1 Poise = 1dyn.s/cm2 = 0,1 Pa.s
É comum o uso de Poise/cm3 para a medida da resistência.
Observe que uma pequena variação em r, faz R variar fortemente. O controle da pressão sanguínea se dá pela variação
do diâmetro dos vasos sanguíneos (vasoconstrição e vasodilatação)
Tabela2: Algumas viscosidades:
Fluido
Sangue
Acetona
Óleo leve
Água
Ar
Temperatura (oC)
36
25
16
38
0
20
37
100
0
18
40
 (Pa.s)
4,00 x 10-3
3,16 x 10-3
1,13 x 10-1
3,4 x 10-2
1,79 x 10-3
1,00 x 10-3
0,69 x 10-3
2,82 x 10-5
1,71 x 10-5
1,83 x 10-5
1,90 x 10-5
Duas observações: 1) A viscosidade não depende da pressão do fluido (exceto para pressões extremamente altas);
2) A viscosidade diminui com a temperatura no líquidos e aumenta com a temperatura nos gases
Coeficiente de viscosidade não é viscosidade. É a razão entre a viscosidade e o fluxo (a unidade é o Stokes). Não
usaremos este conceito
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Distribuição deda velocidade de um fluido num tubo
baixa viscosidade
alta viscosidade
Nas paredes do tubo a velocidade é zero.
Aplic. 10: A velocidade média do sangue num vaso de 3,0mm de diâmetro é 2,0 cm/s.. Determine a diferença de
pressão nas extremidades do vaso que tem 20,0 cm de comprimento.
R: 2,7x10-2mmHg
Aplic. 11: Se o vaso no problema anterior se contrai e passa a ter 2,0 mm de diâmetro, qual será a diferença de pressão
na suas extremidades?
R:13,7x10-2mmHg
Aplic. 12: (a) Considere um tubo de comprimento L e área da seção reta A. Determine sua área lateral.
(b) Qual a área lateral de total de N tubos iguais ao do item anterior? E qual a área total da seção dos tubos?
(c) Considere um tubo de comprimento L e área da seção reta NA. Calcule sua área lateral. Compare essa área com a do
item (b).Compare também as vazões para a mesma diferença de pressão nos dois casos. Porque você acha que o corpo
humano (e os mamíferos, em geral) usa os capilares?
R: A razão entre as áreas laterais é N1/2, sendo a dos N tubos maior.
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Aparelho circulatório
(sob o aspecto da dinâmica de fluidos
As duas figuras a seguir foram retiradas de Urone,Paul Peter, Physics – with health science applications, John
Wiley & sons,Inc 1986
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2
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Equação de Bernoulli
Para um fluido passando em um tubo, tem-se:
v2
1
1
p1  gy 1  v12  p 2  gy 2  v 22
2
2
A2
Para um tubo horizontal:
v1
A1
y1
y2
1
1
p1  v12  p 2  v 22
2
2
Observe que quanto maior a velocidade de escoamento, menor a pressão do fluido!
(lembre que = A.v)
Aplic. 13: Calcule a diferença de pressão num tubo vertical imerso em ar sendo v1e v2 as velocidades do ar na parte
superior e inferior do tubo respectivamente.
Borrifadores (bombas de inseticida, pistola de pintura etc)
Trompa d’água
Tubo de Venturi
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Aplic. 14: Um cilindro de 5,0 cm de diâmetro tem um êmbolo de 30,0 cm de curso de um lado e ,do outro lado, um
orifício de 1,0 mm de diâmetro. Uma pessoa consegue fazer o êmbolo percorrer os 30 cm em 5,0 s. Determine a
velocidade média do ar que passa pelo orifício.
R: 150m/s
orifício
30 cm
Aplic. 15: No problema anterior, considere um tubo de pequeno diâmetro com uma extremidade sob o orifício do
cilindro. Este tubo tem sua outra extremidade mergulhada em água sob pressão atmosférica. Determine a que altura a
água pode subir no tubo.
R:
1,5 m
h
Aplic. 16: Num tubo de Venturi, a área da maior seção é A1 e da menor seção é A2. No lugar dos manômetro mostrados
na figura dada acima, existem dois tubos de vidro verticais. Um líquido percorre o tubo e sobe a alturas diferentes onde
a área da seção é A1 e A2. A diferença de alturas entre as duas colunas é h.
a) Desenhe o tubo de Venturi com os tubos de vidro e as colunas de líquido.
b) Mostre que: v1 
2gh
A1
2
A22
, onde v1 é a velocidade do líquido onde a seção é A1
1
Tensão Superficial
Grampo flutuando na água devido à tensão superficial.
Tensão superficial ()

F
L
F
Unidade: N/m
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Origem
Força total não nula
superfície
Força total nula
Líquido
Plasma
sanguíneo
Sangue
Tensão superficial
(N/m)
0,073
Tensão superficial de alguns líquidos
0,058
Etanol
0,023
Mercúrio
Água
0oC
20oC
100oC
Água com
sabão
0,436
0,076
0,072
0,059
0,037
Considerações importantes:
1.
2.
 está ligado a propriedades moleculares do líquido. Depende, portanto do material;
O fator 2 que multiplica  vem da existência de duas superfícies. No caso de uma única superfície, não tem o
fator 2.
Força de sustentação de um mosquito.
A força total na perna do mosquito é:
FT = 2rcos
Aplic. 17: Um mosquito pousado numa poça d’água faz uma
depressão na superfície de ângulo 15o e raio de 1mm em cada pata.
Determine a massa do mosquito.
(temperatura da água:20oC)
R: 0,26 g
F

F
r
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Relação entre pressão, raio e tensão superficial numa bolha
Se pi e pe são as pressões interna e externa respectivamente, temos:
Fi= R2 pi
Fe= R2 pe
FT= 4R
Logo, no equilíbrio: Fe + FT = Fi
R
ou seja: p i  p e 
4
R
Observe que quanto maior o raio menor a diferença entre as pressões interna e externa.
Os alvéolos pulmonares tem substâncias no seu interior que diminuem a tensão superficial de suas paredes (surfatantes)
facilitando a respiração. A deficiência dessas substâncias causam dificuldade de respirar.
LÍQUIDO EM CONTATO COM UMA SUPERFÍCIE
Fa – força de adesão
Fc – Força de coesão

Fc
MOLHA
Fa > Fc
F
Fa
Fc

Fa < Fc
F
Fa
NÃO MOLHA
Fa = 0
 = 180o
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CAPILARIDADE
r
FT
FT = mg
2rcos = Vg
Fa
F
2rcos =r2hg
Fc

h
h
2 cos 
gr
Observe que a altura que o líquido atinge é inversamente proporcional ao
raio do capilar.
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Exercícios
1) Um recipiente contendo um gás, é munido de um manômetro de mercúrio (Hg = 13,6 g/cm3). Quando a
pressão externa é a atmosférica, a coluna de mercúrio tem uma altura de 14,7 cm, sendo mais alta no lado
ligado ao recipiente conforme mostra a figura (despreze o diâmetro do tubo de mercúrio).
a) Qual a pressão absoluta no interior do recipiente?
R:
613mmHg
b) O recipiente é colocado numa câmara de vácuo onde a pressão é 10 -4 Torr (pode ser desprezada em relação à
pressão dentro do recipiente). Calcule sua altura coluna de mercúrio nestas condições.
R: 613mmhg
10-4 torr
14,7 cm
2) Um bloco de madeira de densidade 0,7 g/cm3 flutua na água (H20 = 1,0 g/cm3). Qual a porcentagem do volume
total do bloco fica submersa?
R: 70%
3) Um copo cilíndrico de latão tem 20,0 cm de altura , raio externo de 10,0 cm e fundo de espessura desprezível..
Colocado na água, o copo flutua com 12,0 cm submerso. Qual seu raio interno? (latão = 8,44 g/cm3)
R: 9,6 cm
4) Para um adulto em repouso, a velocidade média do sangue na aorta é v = 33 cm/s. O raio médio da aorta é r =
0,90 cm. Portanto o fluxo sangüíneo é:
(a)
cm3/s
Q=
Da aorta, o sangue vai para as artérias, daí vai para as artérias menores (arteríolas) e daí para os capilares. A cada
estágio a área da seção transversal dos vasos diminui. A área transversal total de todas as artérias maiores é de 20 cm2.
O sangue que flui através dessas artérias vem todo da aorta. Assim, a velocidade média do sangue nas artérias é:
(b)
va =
cm/s
Então o sangue flui mais (c)…………….(lentamente/rapidamente) nas artérias que na aorta.
A área total das seções transversais de todos os capilares é 2,5x103 cm2. Logo, a velocidade média do sangue nos
capilares é de:
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(d)
vc =
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cm/s
e o fluxo através de cada um deles é (o raio médio de um capilar é 2 m):
Q=
cm3/s
(e)
Se o comprimento de um capilar é de 1,0 mm e sua viscosidade 0,004 Pa.s, a diferença de pressão entre suas
extremidades é de:
(f)
p1 – p2 =
mmHg
A pressão sangüínea no início da aorta é da ordem de 120 mmHg. A aorta tem um diâmetro grande, de tal forma que a
queda de pressão entre suas extremidades é de 35 mmHg. Quando o sangue entra nas artérias, a pressão sangüínea é
então 85 mmHg. Como esses vasos têm diâmetros menores, a queda de pressão através deles é da ordem de 50 mmHg.
Portanto, a pressão é de 35 mmHg quando o sangue chega às arteríolas. Destes vasos o sangue passa para os capilares
(leito capilar) de onde saem com pressão de 15mmHg. Você deve (ou deveria) estar se perguntando por que, sendo os
capilares mais finos que as artérias, a queda de pressão é menor (tem que ser menor do que 20 mmHg!). A razão é que
existem tantos capilares, que o fluxo sangüíneo através deles é muito pequeno como você pode ver no item (d) deste
exercício. No total, a queda de pressão do sangue neste percurso é de cerca de 105 mmHg.
Considerando o fluxo do sangue na aorta calculado no item 1, a resistência total de todo o sistema circulatório é de:
(g)
Poise/cm3
R=
Se esta resistência aumenta, a pressão também aumenta para manter o fluxo sangüíneo causando a hipertensão. Como a
resistência de um vaso é inversamente proporcional à 4 a potência do seu diâmetro, pequenas variações deste podem
causar grandes variações de pressão. Claro que esta variação é negativa (hipotensão) quando os vasos são dilatados
(vasodilatação).
A potência média P que o coração gasta para manter a circulação pode ser facilmente calculada. Sabemos que P = F.v.
Se a pressão do sangue na saída do coração é p (p = 100 mmHg) e a área da seção reta da aorta é A, então a força sobre
a massa sangüínea é p.A. Expressando v em função de Q e A, temos que:
(h)
P=
Utilizando os valores encontrados neste texto, o cálculo de P nos dá 1,1 W. Esta é a potência mecânica dissipada pelo
coração. Claro que ele também dissipa também energia térmica (3,4 W).
R: a) 84;
f) 20mmHg;
g) 1,7x103;
b) 4,2,
d) 3,4x10-2;
c) lentamente;
h) p.Q
123
e) 4,3x10-9;