1 O Amortecedor Se não houvesse amortecedores em um carro, a

Física II- N2- Oscilações Amortecidas – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
1
comprimindo o fluido na câmara acima. Um carro comum
terá maior resistência durante o ciclo da extensão do que
no ciclo da compressão, pois esse ciclo controla o
deslocamento do peso não-suspenso do veículo; o ciclo de
distensão controla o mais pesado, o suspenso.
Todos os amortecedores modernos são sensíveis
à velocidade: ao se mais rápido a suspensão movimentar,
maior a resistência que o amortecedor fornece, permitindo
ajustarem-se às condições da estrada controlando todos
os movimentos indesejados que ocorrem num veículo em
marcha, incluindo balanço, oscilação, mergulho na
frenagem e agachamento na aceleração.
O Amortecedor
Se não houvesse amortecedores em um carro, a
mola aumentaria e dissiparia a energia absorvida em um
impacto
vertical
descontroladamente
e
continuaria oscilando na sua freqüência natural até que
toda a energia originalmente aplicada a ela dissipasse.
Uma suspensão que consiste apenas de molas
ficaria balançante e, dependendo do terreno, seria
impossível de controlar o carro.
O amortecedor é um dispositivo que controla o
deslocamento indesejado da mola pelo processo
conhecido como amortecimento. Ele reduz a magnitude
dos deslocamentos oscilatórios. Isso ocorre quando o
equipamento transforma a energia cinética do movimento
da suspensão em calor, energia dissipada através do fluido
hidráulico. Para entender como isso funciona, observemos
sua estrutura e função.
 Colunas de suspensão e barras estabilizadoras
Uma outra estrutura de amortecimento bastante
comum é a coluna de suspensão, conhecida por
suspensão MacPherson. É um amortecedor montado
dentro da coluna e geralmente de uma mola helicoidal
externa a ela. As colunas de suspensão têm duas funções:
fornecem uma função de amortecimento como os
amortecedores e, apoio estrutural para a suspensão do
veículo. Isso significa que a coluna de suspensão faz mais
do que os amortecedores, que não suportam o peso do
veículo - eles somente controlam a velocidade na qual o
peso é transferido em um carro, mas não o peso em si.
Um amortecedor consiste basicamente de uma
bomba de óleo posicionada entre o chassi do carro e as
rodas. Sua parte superior fixa-se ao chassi e inferior fixase ao eixo, próximo à roda. No amortecedor tipo de dois
tubos, (mais comuns), a parte de cima é fixa a uma haste
e esta ligada a um pistão. O amortecedor está inserido em
um tubo contendo fluido hidráulico. O tubo interno é
conhecido é o tubo de pressão. O externo é o tubo de
reserva, que armazena o excesso do fluido hidráulico.
Quando a roda do carro encontra um obstáculo
via, se comprime e se distende. Sua energia transfere-se
ao amortecedor através da parte de cima e segue-se
pela haste para dentro do pistão. Os orifícios no pistão
permitem que o fluido passe através dele movendo-se
para cima e para baixo no tubo de pressão. Os orifícios
são relativamente pequenos; assim, somente uma pequena
quantidade de fluido passa sob grande pressão causando
desaceleração do pistão, desacelerando assim a mola.
Os amortecedores operam em dois ciclos: o de
compressão e o de distensão. O ciclo da compressão
ocorre quando o pistão se move para baixo, comprimindo
o fluido hidráulico na câmara abaixo. O ciclo da extensão
ocorre quando o pistão se move acima do tubo de pressão,
Os amortecedores e as colunas de suspensão são
essenciais para a estabilidade do carro e são considerados
itens de segurança. Amortecedores e colunas gastas podem
permitir uma excessiva transferência veículo-peso de um
lado para outro e de frente para trás, reduzindo a aderência
do pneu ao solo, a estabilidade e o desempenho na
frenagem.
As barras anti-oscilação (conhecidas como barras
estabilizadoras) são usadas junto com as colunas de
suspensão
ou braços
triangulares para
fornecer
estabilidade adicional ao veículo em movimento. É uma
haste metálica, que se estende sobre todo o eixo e se
conecta a cada um dos lados da suspensão.
Quando a suspensão em uma roda se move para
cima e para baixo, a barra estabilizadora transfere o
movimento para a outra roda, fazendo com que o carro
ande mais nivelado lateralmente e com menos inclinação
nas curvas e evitando que o carro role sobre a sua
suspensão nas curvas. Por esse motivo, quase todos os
1
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carros possuem as barras estabilizadoras instaladas como
item de série. No entanto, caso não estejam colocadas, os
kits tornam fácil a instalação a qualquer momento.
de pressão é uma combinação da viscosidade do óleo
(peso) e da restrição do pistão.
As características da viscosidade do fluido e seu tipo
são características da constante de amortecimento c do
fluido existente no pistão.
A unidade da constante de amortecimento c é o
Newton.segundo/metro:
Unidade de c: Constante de amortecimento:
N.s/m
Adaptado de:
http://carros.hsw.uol.com.br/suspensoes-dos-carros1.htm
2
As barras estabilizadoras permitem que o carro
tenha molas mais macias, causando maior conforto de
rodagem, sem que sofra os efeitos da inclinação nas
curvas.
 Tipos de suspensão
As quatro rodas de um carro funcionam juntas
em dois sistemas independentes - as duas rodas fixadas
pelo eixo dianteiro e as duas rodas fixadas pelo eixo
traseiro o que significa que o carro pode ter tipos
diferentes de suspensão na frente e atrás. Um único eixo
rígido pode conter as duas rodas ou elas podem se mover
independentemente. O primeiro arranjo é conhecido como
sistema de eixo rígido, enquanto o segundo é conhecido
como sistema independente.
As suspensões dianteiras de eixo rígido
possuem um rígido eixo ao qual se montam as rodas da
frente. Basicamente, ele se parece com uma barra sólida
sob a parte dianteira do carro, mantida no lugar pelo feixe
de molas e amortecedores. Comuns em picapes, as
suspensões dianteiras por eixo rígido não são usadas em
carros há muitos anos.
Em um sistema independente de suspensão
dianteira, as rodas podem se mover independentemente.
A coluna MacPherson, desenvolvida em 1947 por Earle
S. McPherson, da General Motors, é o sistema de
suspensão dianteira mais utilizado, especialmente em
carros originados na Europa.
A coluna MacPherson combina um amortecedor e
uma mola helicoidal numa mesma peça fazendo com que
o sistema de suspensão seja mais compacto, leve e
podendo ser usado em veículos com tração nas rodas
dianteiras.
 Funções dos AMORTECEDORES
Os amortecedores, portanto, são muito importantes
para a regulagem do chassis. Eles têm três funções:
absorver choques (pressão do óleo)
distribuir a transferência de peso (pressão do
óleo e molas)
ajustar a tensão da mola (molas).
 AMORTECIMENTO
(PRESSÃO
DO
ÓLEO)
O amortecimento (pressão do óleo) é feito no
cilindro cheio de óleo do amortecedor. O pistão restringe
o fluxo de óleo quando o amortecedor entra e sai. A taxa
2
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Vibrações livres e amortecidas:
Em geral todos os sistemas vibrantes apresentam
amortecimento, seja por atrito fluido, quando corpos
rígidos se movem num fluido, sejam por atrito interno,
entre as moléculas de um corpo aparentemente elástico.
Um tipo de amortecimento é o amortecimento
viscoso, causado pelo atrito fluido a baixas velocidades.
Esse atrito é caracterizado pelo fato da força de atrito ser
diretamente proporcional à velocidade:
Fa t
3
k
é a freqüência angular natural,
m
0
depende apenas da massa da suspensão e da constante
elástica da mola k.
A solução proposta para essa equação diferencial
t
homogênea é do tipo e
característica:
com
satisfazendo a equação
c
m
2
c x
2
0
0
(Vide Apêndice).
Teremos, resolvendo a equação do 2º grau:
c
é
determinado
de
coeficiente
de
amortecimento viscoso.
Considere um corpo de massa m suspenso por
uma mola de constante k e preso ao êmbolo de um
cilindro.
c
m
2
c
m
2
2
0
4
Podemos escrever:
c
2m
equilíbrio
x
2
c
2m
2
0
Definimos como coeficiente de amortecimento
crítico cc o valor que torna nulo o radicando acima:
cc
2m
0
Podemos distinguir três casos de amortecimento,
dependendo do valor do coeficiente c:
1.
k
As raízes da equação característica são reais e
distintas e a solução da equação diferencial homogênea é:
x
est
Amortecimento supercrítico c > cc :
x(t) Ae 1 t Be 2 t
Ou
v
x(t ) e
P = m.g
c
t
2m
Ae
t
Be
t
2
c
2
0
2m

Características:
Movimento
não
vibratório. A posição x tende a zero quando t vai a infinito:
Com:
- c.v
Utilizando a segunda lei de Newton, a equação
de movimento será:
F
mx P k(x
e
lim x(t ) lim e
t
) cx
mx cx kx 0
c
k

x
x
x 0 ou
m
m
d 2 x c dx
2
0
0 x
2
dt
m dt
v t
Com:
0
t
t
Ae
Be
t
dx
dt
A
1
e 1t B
2
e 2t
A aceleração instantânea será dada por:
2
0
0
O sistema, na realidade retorna à sua posição de
equilíbrio depois de um tempo finito.
As constantes A e B dependem das condições
iniciais da posição da suspensão (x0) e da velocidade
inicial (v0).
Para acharmos a velocidade instantânea,
encontramos a derivada de x(t):
Podemos escrever:
k
m
c
t
2m
k
m
a t
3
dv
dt
A
2
1
e 1t B
2
2
e 2t
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Assim, para acharmos as constantes A e B
devemos resolver o sistema:
v0
A
B
1
x0
A B
A
x0
2
2
v0
B
B
1
x(t ) ( x0
1

4
v0
2
2
x0
e
v0
2
2
2
1
e 1t
x0
x0
v0
2
1
e 1t
e
1
v0
x0
1
2
x0
1
e
2
2
1
e
2
c
2m
Parâmetros:
1
2
2
0
x(t )
Amortecimento crítico c = cc :
e
Com:
c
t
2m
A cos
2
0
t
c
2m
x(t ) ( A Bt )e
c
t
2m
v t
v t
( B) e
e
c
t
2m
B
c
t
2m
x(t ) xm e
dv
dt
a t
c
e
2 m
e
c
t
2m
c
t
2m
B
A Bt
c
2 m
2 B
c
B e
2 m
1
c
t
2m
2
c
A B t
2 m
c
A B t
2 m
2
c
cc
2
sen(
t
)
Chamamos de período da vibração amortecida,
apesar do movimento não se repetir nesse caso, ao valor:
A aceleração instantânea será dada por:
a t
t

Características: Movimento vibratório
de amplitude decrescente. Podemos escrever a solução na
forma:

Características: Movimento também
não vibratório. Esses sistemas são de interesse desde que
retornem à posição de equilíbrio após um tempo finito.
As constantes A e B dependem das condições
iniciais da posição da suspensão (x0) e da velocidade
inicial (v0).
Novamente, para acharmos a velocidade
instantânea, encontramos a derivada de x(t):
c
e
2 m
B sen
Pode-se escrever também:
0
c
t
2m
k
m
As raízes da equação característica são complexas
e conjugadas. Mostramos no Apêndice, com o auxílio da
teria de série de potências que a solução da equação
diferencial é dada por:
t
A equação característica tem raiz dupla:
= - c/2m
A solução geral da equação diferencial é:
dx
dt
c
t
2m
A,B, = -c/2m
3. Amortecimento subcrítico c < cc
t
Parâmetros:
c
2m
v0
t
1
v0
2
2
2
c
x0 t )e
2 m
0
2
2
1,2
2.
v0
1
2

t
1
1
a(t )
1
c
x0
2 m
v0
Assim:
x0
Assim, podemos resumir:
x0
x0
v0
1
2
v(t )
B
2
A
x(t )
c
A
2 m
x0 A
v0
c
t
2m
c
A B t
2 m
Assim, para acharmos as constantes A e B
devemos resolver o sistema:
4
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
Parâmetros:
2mqx0
tg
2mv0 cx0
xm
x02
2mv0 cx0
2mq
2
2
5
Casos possíveis de amortecimento:
Resumo:
c
k
x
x 0
m
m

x
k
m
0

x
c
x
m
cc
2m
2
0
x 0
0
1. Amortecimento supercrítico: c > cc:
x(t )
x0
v0
2
2
e 1t
v0
x0
1
2

e
2
t
1
Parâmetros:
c
2m
1,2
1
2
c
2m
2
0
2. Amortecimento crítico: c = cc:
x(t )
x0
v0 x0

c
t e
2m
c
t
2m
Gráficos mostrando os três tipos de
amortecimento.
 Analogia: Circuito RLC alimentado por
uma fonte de tensão alternada V(t)=V0cos t.
Parâmetros:
0
k
m
3. Amortecimento subcrítico: c < cc
x(t ) e
c
t
2m
q
x(t )
A cos
0
xm e
1
c
t
2m
t
c
cc
Bsen
t
2
Ou
sen(
t
)
5
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I H (t) {a ei
nt
e
i
nt
bi ei
nt
e
i
nt
}e
R
t
2L
Observe:
cos
sen
n
n
t
ei
nt
i
nt
e
t
e
i
nt
e
2i
i
nt
2
Se:
6
A equação diferencial associada é:
d 2I
dI I dV (t )
L 2 R
dt C
dt
d t
A equação diferencial homogênea é:
d 2I
d 2t
R dI
L dt
1
I 0
LC
Propondo uma solução do tipo emt teremos:
m
2
R
L
1
LC
m
Alguns exemplos de oscilações amortecidas
Exercícios
0
Teremos como solução:
R
L
m
R
L
2
2
4
R2
4
4 L2
R
L
1
LC
1. O movimento do pistão no interior do motor de
um carro é aproximadamente um MHS.
(a) Sabendo que o percurso (o dobro da
amplitude) é igual a 0.100m e que o motor gira a 3500
rpm, calcule a aceleração do pistão no ponto final do
percurso.
(b) Sabendo que a massa do pistão é 0.45 kg, qual
é a força resultante exercida sobre ele nesse ponto?
(c) Calcule a velocidade e a energia cinética do
pistão no ponto médio do percurso.
(d) Qual é a potência média necessária para
acelerar o pistão do repouso até a velocidade calculada no
item (c)?
(e) Se o motor gira com 7000 rpm, quais são as
respostas dos itens (b), (c) e (d)?
1
LC
2
Logo:
m
R
L
R2
4L2
1
LC
4i 2
R
i n
2
2L
Pode-se mostrar que a solução é dada por:
I (t ) {Ae i
nt
Be
I H (t ) {Aei
nt
i
m
nt
}e
R
t
2L
Be i nt }e
I p (t )
R
t
2L
Aqui IH(t) a solução da equação diferencial
homogênea, com:
n
1
LC
R2
4 L2
Podemos considerar ainda que
A a bi
B
A
a bi
Substituindo em I(t) teremos:
6
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(d) da sua velocidade no ponto x = ±A/4?
(e) da sua energia potencial e energia cinética
no ponto x = ±A/4?
7. Você pendura um peso desconhecido na
extremidade de uma mola e, segurando o peso, deixa-o
descer suavemente até que ele estique a mola a uma
distância L na posição de equilíbrio.
Se a mola possui massa desprezível, prove que o
peso pode executar um MHS com o mesmo período de um
pêndulo simples de comprimento L.
8. Uma criança irrequieta faz deslizar em uma
mesa horizontal seu prato de jantar de 250 g com MHS
com amplitude 0.100 m. Em um ponto situado a 0.060 m
da posição de equilíbrio a velocidade do prato é igual a
0.300 m/s.
(a) Qual é o período?
(b) Qual é o deslocamento quando a velocidade é
igual a 0.160 m/s?
(c) No centro do prato existe um pedaço de
cenoura de 10.0 g. Se o pedaço de cenoura está na
iminência de escorregar no ponto final da trajetória, qual o
coeficiente de atrito estático entre o pedaço de cenoura e o
prato?
7
2. Uma força de amortecimento F = - cv atua
sobre um rato infeliz de 0,300 kg que se move preso na
extremidade de uma mola cuja constante é k = 2.50 N/m.
(a) Se a constante c possui um vaior igual a
0.900 kg/s, qual é a freqüência da oscilação do rato?
(b) Para qual valor da constante c o movimento é
criticamente arnortecido?
3. Um ovo de 50,0 g fervido durante muito
tempo está preso na extremidade de uma mola cuja
constante é k = 25.0 N/m. Seu deslocamento inicial é
igual a 0.300 m. Uma força de amortecimento F = -c v
atua sobre o ovo e a amplitude do movimento diminui de
0.100 m em 5.00 s. Calcule o módulo da constante de
amortecimento c.
9. Um touro mecânico se move verticalmente
com MHS de amplitude igual a 0.250 m e freqüência igual
a l.50 Hz, que permanecem as mesmas independentemente
de existir ou não alguém montado no touro. Um vaqueiro
monta no touro e diz que para um macho não é necessário
segurar em nenhuma parte do touro,
(a) Ele abandona a sela quando o touro está se
movendo para cima. Qual é o módulo da aceleração da
sela para baixo quando ele perde o contato com ela?
(b) Em que altura está a sela acima de sua posição
de equilíbrio quando ele perde o contato com ela pela
primeira vez?
(c) Qual é o módulo da sua velocidade quando ele
perde o contato com a sela?
(d) Ele está em queda livre até retomar para a
sela. Mostre que isto ocorre 0.538 s mais tarde.
(e) Qual é a velocidade relativa entre ele e a sela
no momento em que ele retoma?
4. O movimento de um oscilador com
subamortecimento é descrito pela Equação descrita na
teoria. Considere o ângulo de fase igual a zero.
(a) De acordo com esta equação, qual é o valor
de x para t = 0?
(b) Qual é o módulo, a direção e o sentido da
velocidade para t = 0? O que este resultado informa sobre
a inclinação do gráfico de x contra t nas vizinhanças de t =
0?
(c) Obtenha uma expressão para a aceleração a
para t = O. Para que valores ou intervalo de valores da
constante de amortecimento c (em termos de k e de m) é a
aceleração para t = 0 negativa, nula e positiva?
Discuta cada caso em termos do gráfico de x
versus t nas vizinhanças de t = 0.
10. Um bloco de massa M repousa sobre uma
superfície sem atrito e está preso a uma mola horizontal
cuja constante é k, a outra extremidade da mola está presa
a uma parede. Um segundo bloco de massa m repousa
sobre o primeiro. O coeficiente de atrito estático entre os
blocos é s. Ache a amplitude máxima da oscilação para
que o bloco superior não deslize sobre o bloco inferior.
5. Quatro passageiros com massa total igual a
250 kg comprimem 4.00 cm as molas de um carro com
amortecedores gastos. Modele o carro e os passageiros
como um único corpo sobre uma única mola ideal.
Sabendo que o período da oscilação do carro com os
passageiros é igual a l.08 s, qual é o período da oscilação
do carro vazio?
6. Um cavaleiro executa um MHS com
amplitude A; sobre um trilho de ar. Você freia o cavaleiro
de modo que sua amplitude é reduzida à metade do valor
inicial. O que ocorre com os valores:
(a) do seu período, freqüência e freqüência
angular?
(b) da sua energia mecânica total?
(c) da sua velocidade máxima?
7
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8
11. Um bloco de massa igual a 0.200 kg está
submetido a uma força restauradora elástica e a constante
da força é igual a 10.0 N/m.
(a) Faça um gráfico da energia potencial U em
função do deslocamento x no intervalo de x = - 0.300 m
até x = +0.300 m. Em seu gráfico adote a escala l cm =
0.05 J no eixo vertical e l cm ~ 0,05 m no eixo horizontal.
O bloco inicia o movimento oscilatório com uma energia
potencial igual a 0.140 J e uma energia cinética igual a
0.060 J. Examinando o gráfico, responda às perguntas
seguintes:
(b) Qual é a amplitude da oscilação?
(c) Qual é a energia potencial quando o
deslocamento é igual à metade da amplitude?
(d) Para qual deslocamento a energia potencial é
igual à energia cinética?
(e) Qual é o valor do ângulo de fase sabendo que
a velocidade inicial é positiva e o deslocamento inicial é
negativo?
13. Um fio de l.80 m de comprimento é suspenso
verticalmente. Quando uma bola de aço de 60.0 kg é
suspensa na extremidade do fio, este se dilata 2.00 m. Se a
bola for puxada para a baixo a uma distância adicional e
libertada, com que freqüência ela oscilará? Suponha que a
tensão no fio seja menor do que o limite de
proporcionalidade.
14. Uma perdiz de 5.00 kg está pendurada em
uma pereira presa na extremidade de uma mola ideal com
massa desprezível. Quando a perdiz é puxada para baixo a
uma distância de 0.100 m abaixo da sua posição de
equilíbrio e libertada, ela oscila com um período igual a
4.20 s.
(a) Qual é sua velocidade quando ela passa pela
posição de equilíbrio?
(b) Qual é sua aceleração quando ela está a 0.050
m acima da posição de equilíbrio?
(c) Quando ela está se movendo para cima,
quanto tempo é necessário para que ela se mova de um
ponto 0.050 m abaixo da posição de equilíbrio até um
ponto 0.050 m acima do equilíbrio?
(d) O movimento da perdiz é interrompido e ela
é removida da mola. De quanto a mola se encurta?
12. A Figura indica um corpo de massa m
suspenso a uma mola vertical cuja constante é k. O
sentido positivo do eixo Ox está orientado de baixo para
cima e x = 0 é a posição de equilíbrio do corpo.
14. Um prego de 0.0200 kg executa um MHS
com amplitude igual a 0.240 m e período igual a l.500 s. O
deslocamento do prego é igual a +0.240 m quando t = 0.
Calcule:
(a) o deslocamento do prego quando t = 0.500 s;
(b) o módulo, a direção e o sentido da força que
atua sobre o prego quando t = 0,500 s;
(c) o tempo mínimo necessário para que o prego
se desloque da posição inicial até um ponto x = -0.180 m;
(d) a velocidade do prego quando x = -0.180m.
15. Uma mola de massa desprezível e constante k
= 400 N/m está suspensa verticalmente e um prato de
0.200 kg está suspenso em sua extremidade interior.
Um açougueiro deixa cair sobre o prato de uma
altura de 0.40 m uma posta de carne de 2.2 kg. A posta de
carne produz uma colisão totalmente inelástica com o
prato e faz o sistema executar um MHS. Calcule:
(a) a velocidade do prato e da carne logo após a
colisão;
(b) a amplitude da oscilação subsequente;
(c) o período do movimento.
(a) Mostre que quando o corpo está na
coordenada x, a energia potencial elástica da mola é dada
por:
Uel
1
k
2
l x
2
(b) Seja x = x0 a coordenada para a qual a energia
potencial gravitacional é igual a zero. Mostre que a
energia potencial total é dada por:
Uel
1 2
kx
2
1
k
2
l
2
15. Uma força de 40,0 N estica 0,250 m uma
mola vertical.
(a) Qual é o valor da massa que deve ser suspensa
da mola para que o sistema oscile com um período igual a
l.00 s?
(b) Se a amplitude do movimento for igual a
0.050 m e o período for o especificado na parte (a), onde
estará o objeto e em qual sentido ele estará se movendo
0.35 s depois de ele atravessar a posição de equilíbrio de
cima para baixo?
(c) Qual é o módulo, a direção e o sentido da
força que a mola exerce sobre o objeto quando ele esta
0.030 m abaixo da posição de equilíbrio, movendo-se para
cima?
mgx0
(c) A expressão para a energia potencial da parte
(b) é da forma
dada por
C
U
1 2
kx C , onde a constante C é
2
1
k
2
l
2
mgx0 . Explique por que o
comportamento do sistema não depende do valor desta
constante, de modo que o MHS vertical não é
fundamentalmente diferente do que o MHS horizontal
para o qual
U
1 2
kx .
2
8
Física II- N2- Oscilações Amortecidas – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
16. Um pequeno barco de excursão com um
convés largo oscila verticalmente com MHS em virtude
das ondas de um lago. A amplitude do movimento é de
0.200 m e o período é igual a 2.80 s. Uma doca estável
está próxima do barco em um nível igual ao nível mais
elevado da oscilação do convés. As pessoas desejam
descer do barco para a doca, mas isto só pode ser feito
confortavelmente quando o nível do convés estiver a uma
distância menor do que 0.100 m do nível da doca. Quanto
tempo as pessoas dispõem para descer confortavelmente
do barco durante cada período do MHS?
9
17. Um exemplo interessante de oscilação,
embora fortemente impraticável, é o movimento de um
objeto lançado em um furo que passa através do centro da
Terra, oscilando de um lado até o outro da Terra. Usando
a hipótese (que não é realista) de que a Terra seja uma
esfera com densidade uniforme, prove que a oscilação
constitui um MHS e determine seu período.
18. Seja t, o tempo necessário para que um corpo
que executar MHS se desloque de x = 0 (para t = 0) até x
= A. Obtenha uma equação para t do seguinte modo. Na
Equação, substitua v por dx/dt. Separe as variáveis
deixando todas as grandezas contendo x em um dos
membros da equação e todas as grandezas contendo t no
outro membro. Integre a equação entre os limites de t
desde 0 até t, e os limites de x desde 0 até A e, a partir
daí,
obtenha uma expressão para t1. Como t1 se compara com
o
período T?
19. Para um certo oscilador a força resultante
sobre um corpo de massa m é dada por F = -cx3.
(a) Qual é a função energia potencial deste
oscilador se considerarmos U = O para x =0?
(b) Um quarto do período é o tempo
necessário para o corpo se deslocar de x = 0 até x = A.
Determine este tempo e, portanto, o período.
(c) De acordo com o resultado obtido na parte
(b), verifique se o período depende da amplitude do
movimento. Este movimento constitui um MHS?
20. Para medir o valor de g de modo não
ortodoxo, uma estudante coloca uma bola de bilha sobre o
lado côncavo de uma lente. Ela coloca a lente sobre um
oscilador harmônico simples (fornecido efetivamente por
um pequeno (alto-falante estéreo) cuja amplitude A e cuja
freqüência f podem variar. Ela pode medir A usando a luz
de um estroboscópio.
(a) Se a bola possui massa m, ache a força
normal exercida pela lente sobre a bola de bilha em
função do tempo. Seu resultado deve ser dado em função
de A, f, m, g e do ângulo de fase .
(b) A freqüência é aumentada lentamente.
Quando ela atinge um valor fb, sua oscilação pode ser
ouvida. Qual é o valor de g em termos de A e de fb?
9
Física II- N2- Oscilações Amortecidas – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
 Trabalho – Opcional
1. Reproduzir em laboratório de informática, usando
o programa interactive physics.
2. Encontrar para cada tipo de amortecimento, os
valores de:
p
cc
10
2m
k
m
2m p
0
0
3. Escrever a solução de y(t) para cada caso animado.
4. Elaborar os gráficos de velocidade versus tempo e
aceleração versus tempo para cada caso.
3. Um corpo de massa m = 0.25 kg está acoplado
a uma mola de constante elástica k = 400N/m e a um
amortecedor de constante de amortecimento c. Para cada
valor de c na tabela:
(a) Encontre a freqüência angular 0 natural.
(b) Determine a constante de amortecimento
crítica cc.
(c) Classifique o amortecimento e forneça os
parâmetros importantes para cada caso classificado.
(d) Determine as funções posição x(t), velocidade
instantânea v(t) e aceleração instantânea a(t), para as
condições iniciais: v0 = 0 e x0 = 5 mm.
(e) Construa os gráficos das funções posição x(t),
velocidade instantânea v(t) e aceleração instantânea a(t).
Faça utilizando o programa graphdpr em:
www.claudio.sartori.nom.br
Opte: Aplicações -> Oscilações mecânicas.
Complete a tabela.
a
1. Para cada caso:
(a) Encontre a freqüência angular
Encontre o período T e a freqüência f.
Complete a tabela.
Caso
i
1
2
3
ke
(N/m)
m
(kg)
0,75
0,75
0,75
v0
(m/s)
0
0
0
0
(rad/s)
x0
(m)
0,25
0,25
0,25
T
(s)
0
natural.
f
(Hz)
(b) As equações x(t), v(t) e a(t) para cada caso, onde
x0 = 0.25 m e v0 = 0m/s.
Dados:
k = 50N/m; m = 0,75 kg
2.
Dado o pêndulo simples com
0
= 20.
40
35
30
25
20
19
18
16
14
10
Parâmetros
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Classificação
amoortecimo
c
(N.s/m)
Utilizando o programa Interactive Physics
(www.interactivephysics.com) fazer a leitura do arquivo
osh2.ip e osh3.ip.
Caso i
2 Parte:
x(t)
(m)
v(t)
(m/s)
v(t)
(m/s)
4. Um corpo de massa m = 0.25 kg está acoplado
a uma mola de constante elástica k = 400N/m e a um
amortecedor de constante de amortecimento c.
(a) Encontre a freqüência angular 0 natural.
(b) Determine a constante de amortecimento
crítica cc.
Para cada valor de c na tabela:
(c) Classifique o amortecimento e forneça os
parâmetros importantes para cada caso classificado.
(d) Determine as funções posição x(t), velocidade
instantânea v(t) e aceleração instantânea a(t), para as
condições iniciais: v0 = 0.1m/s e x0 = 2 mm.
(e) Construa os gráficos das funções posição x(t),
velocidade instantânea v(t) e aceleração instantânea a(t).
Faça utilizando o programa graphdpr em:
www.claudio.sartori.nom.br
Opte: Aplicações -> Oscilações mecânicas.
(a) Faça o cálculo do período para:
l = 0,2 m e l = 0,3 m.
(b) Encontre a freqüência angular para os valores do
comprimento do pendulo acima.
(c) Ache a função s(t) sabendo que em t = 0 v0=0.
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Física II- N2- Oscilações Amortecidas – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
40
35
30
25
20
19
18
16
14
10
Parâmetros
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Classificação
amoortecimo
c
(N.s/m)
11
Caso i
Complete a tabela.
x(t)
(m)
v(t)
(m/s)
a(t)
(m/s2)
11