Física Geral I - F -128 Aula 11 Cinemática e Dinâmica das Rotações 1º semestre, 2012 Movimento de um corpo rígido Vamos abandonar o modelo de partícula: passamos a levar em conta as dimensões do corpo, introduzindo o conceito de corpo rígido (CR): é aquele em que a distância entre quaisquer dois de seus pontos é constante. Sendo i e j dois pontos quaisquer de um CR: rij = cij cij : constante característica do par (i, j) O tipo mais geral de movimento de um CR é uma combinação de uma translação com uma rotação. Neste capítulo consideraremos apenas o caso de rotação de um CR em torno de um eixo fixo, como é o caso do movimento de roldanas, rotores, CDs, etc. Excluiremos, por exemplo, movimentos como o do Sol (não rígido) ou o de uma bola de boliche, cuja rotação se dá em torno de um eixo que não é fixo (rolamento). F128 – 2o Semestre de 2012 2 Rotação de um corpo rígido Queremos estudar a rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo. O eixo fixo é denominado eixo de rotação. z Por conveniência, vamos tomar o eixo de rotação (fixo) como sendo o eixo z. O eixo de rotação não precisa ser um dos eixos de simetria do corpo. y θ x É conveniente escolher uma linha de referência (arbitrária) presa ao corpo, perpendicular ao eixo z, para definir as variáveis angulares em relação a ela. F128 – 2o Semestre de 2012 3 Variáveis rotacionais a) Posição angular A posição da linha de referência (fixa ao corpo) define o ângulo de rotação θ do corpo rígido em torno do eixo. θ é a posição angular do corpo rígido. O sentido da rotação é dado pela regra da mão direita. z positivo negativo θ F128 – 2o Semestre de 2012 4 Variáveis rotacionais • Cada ponto do corpo rígido executa um movimento circular de raio r em torno do eixo. z s r • distância percorrida pelo ponto: s=rθ (θ em radianos) b) Deslocamento angular y θ s x • O deslocamento angular é definido como: z Δθ = θ2 − θ1 r Esta variável tem módulo (Δθ) , direção e sentido ( ẑ ) a ela associados. y θ1 Vetor Δθ ẑ ? F128 – 2o Semestre de 2012 x θ2 Δθ 5 Variáveis rotacionais Precisamos er cautelosos ao associar um vetor a uma rotação, pois vetores devem obedecer às regras da soma vetorial, o que não acontece com as rotações. Por exemplo, a soma vetorial é comutativa ( A+ B = B + A), mas duas rotações sucessivas feitas em ordens diferentes dão resultados diferentes! O exemplo ao lado mostra duas rotações sucessivas de π /2 em torno dos eixos x e y nas duas ordens possíveis: o resultado final depende da ordem! Δθ1 xˆ + Δθ2 yˆ ≠ Δθ2 yˆ + Δθ1 xˆ Então: Δθ ẑ não é um vetor! (a menos que os ângulos de rotação sejam infinitesimais). F128 – 2o Semestre de 2012 6 Variáveis rotacionais c) Velocidade angular zˆ ≡ nˆ Deslocamento angular: ω Δθ (t ) = θ (t +Δt ) −θ (t ) r Velocidade angular (escalar) média ω= Δθ Δt Velocidade angular instantânea (vetor) Δθ dθ ω = lim nˆ = nˆ Δt →0 Δt dt y θ (t ) x θ (t +Δt ) Δθ (t ) A velocidade angular é uma característica do corpo como um todo e não somente de um ponto particular nele situado. t2 Deslocamento angular em torno de n̂ : θ (t2 ) − θ (t1 ) = ∫ω (t ) dt t1 F128 – 2o Semestre de 2012 7 Exemplo 1 Cálculo da velocidade angular da Terra em torno do seu eixo. A Terra completa uma revolução a cada 23h56min (dia sideral). O módulo da sua velocidade angular é 2π rad 6, 28 rad −5 rad ω= = = 7, 23 × 10 dia 86160 s s e a sua direção aponta para o norte ao longo do eixo de rotação, cujo período de precessão é de aproximadamente 26.000 anos (analisaremos a questão da precessão mais tarde). F128 – 2o Semestre de 2012 ω 8 Variáveis Rotacionais c) Aceleração angular Δω = ω (t+Δt ) − ω (t) Δω α= Δt Δ ω d ω α = lim = Δt → 0 Δt dt Variação da velocidade angular Aceleração angular média Aceleração angular instantânea A aceleração angular instantânea é um vetor paralelo a ω quando o t eixo de rotação é fixo! ω (t2 ) − ω (t1 ) = ∫ α (t ' )dt ' t2 t ω (t2 ) −ω (t1 ) = ∫α (t ) dt Velocidade angular em função de α 2 1 t2 na direção fixa ( n̂ ): ω (t2 ) − ω (t1 ) = ∫α (t ) dt t1 t1 F128 – 2o Semestre de 2012 9 Cinemática angular Em capítulo anterior já estudamos o movimento circular uniforme. Vamos estudar agora o Movimento circular uniformemente acelerado Dadas as condições iniciais: t1 = 0 e t2 = t → θ (0) =θ 0 e ω (0) = ω0 Temos, para a constante: 1 2 ω(t ) =ω0 +α t ; θ (t ) = θ 0 +ω0 t + α t 2 ω 2 = ω02 +2α (θ −θ 0 ) Comparando com as variáveis do movimento linear: θ (t ) ↔ x (t ); ω (t ) ↔ v (t ); α (t ) ↔ a (t ) F128 – 2o Semestre de 2012 10 Exemplo 2 3 α ( t ) = at + bt Pião sujeito à aceleração angular: Calcular ω (t ) e θ (t ). a = 5 rad/s5 e b = −4 rad/s3 Condições iniciais: ω (0) = 5 rad/s e ϕ (0) = 2 rad Parâmetros: t4 t2 ω (t ) − ω (0) = ∫ (at ′ + bt ′) dt ′ = a + b 4 2 0 t 3 ⎡ t ′4 t ′2 ⎤ t5 t3 θ (t )−θ (0) =∫ ⎢ω (0)+a +b ⎥ dt ′= ω (0)t +a +b 4 2⎦ 20 6 0⎣ t Usando os valores numéricos: t4 ω (t ) = 5 + 5 − 2t 2 (rad/s) 45 t t3 ϕ (t ) = 2 + 5t + − 2 (rad) 4 3 F128 – 2o Semestre de 2012 11 Relação com as variáveis lineares z ω • Posição: r s= r θ v • Velocidade: ds dθ v= = r = rω dt dt θ y s x v é tangente à trajetória no ponto considerado Vetorialmente: v = ω × r F128 – 2o Semestre de 2012 v =ω r Em módulo: (pois ω ⊥ r neste caso) 12 Relação com as variáveis lineares • Aceleração α d v d a = = (ω × r ) = dt dt dω dr = ×r +ω × dt dt aN at at = α ×r = α r vˆ ẑ ω at a N r v θ ŷ s x̂ (em módulo: at = α r) a N = ω ×v = ω ×(ω ×r ) = − ω 2 r rˆ 2 (em módulo: a N = ω r ) v̂ é o vetor unitário tangente à trajetória; r̂ é o vetor unitário na direção que vai do eixo de rotação até a partícula (versor da direção radial) F128 – 2o Semestre de 2012 13 Q1: Barata + carrosel Uma barata está na borda de um carrossel em movimento. Se a velocidade angular do sistema carrossel + barata está diminuindo então a barata possui: A. B. C. D. Somente aceleração angular Somente aceleração centrípeta aceleração angular e centrípeta; Não possui nenhuma aceleração [MC Types] F128 – 2o Semestre de 2012 14 Exemplo 3 Velocidade e aceleração de um ponto na superfície da Terra a uma dada co-latitude: (aproximação de esfera perfeita). R = 6, 4 ×10 m e ω = 7, 2 ×10 rad / s v = ω× R = ωRsinθv̂ = 470sinθ m/s v̂ 6 −5 Como a aceleração angular é nula: at =α r vˆ =0 A aceleração centrípeta é a N = ω × (ω × r ) = − ω 2 r rˆ = −ω 2 R sen θ rˆ= = − 3,4 ×10 −2 senθ m/ s 2 rˆ Nota: A 2ª lei de Newton, para ser correta quando escrita em um referencial acelerado (não inercial) com aceleração a 0 precisa ser corrigida como: F128 – 2o Semestre de 2012 θ ω r aN θ R v F + F0 = ma , onde F0 = − ma 0 15 Peso aparente: corpo de massa M em equilíbrio Num referencial inercial (portanto fora da Terra!) teremos que: ∑ F = Ma Mg + N + Fa = MaN ou seja, Esta igualdade vale para todos os instantes. Para encontrarmos o valor do peso aparente, N e da força de atrito, Fa , nossa estratégia será decompor todas estas forças nas direções paralela e normal à aceleração centrípeta (em um instante qualquer). x̂ : ŷ : ( N − Mg ) sinθ − F cosθ = − Ma ( N − Mg ) cosθ + F sinθ = 0 a ŷ ω Fa aN R θ • N Mg x̂ N a O que resulta em: ( N = Mg − MaN sin θ = M g − ω Rsin θ ( N = M g − 3,4 × 10−2 sin 2 θ o S F128 F128–– 21o Semestre emestre de de 2012 2012 2 ) 2 ) O peso aparente diminui à medida que nos aproximamos do Equador 16 16 Peso aparente: corpo de massa M em equilíbrio Para a força de atrito teremos: x̂ : ŷ : ( N − Mg ) sinθ − F cosθ = − Ma ( N − Mg ) cosθ + F sinθ = 0 a N ŷ ω Fa a Fa = MaN cosθ = M ω 2 Rcosθ sin θ A força de atrito estático que mantém um objeto parado na superfície da Terra é máxima a 45 graus e aponta para o norte no hemisfério norte e para o sul no hemisfério sul. aN R θ • Mg N x̂ E se não houver a força de atrito? à Condição de não equilíbrio. o S F128 F128–– 21o Semestre emestre de de 2012 2012 17 17 Condição de não equilíbrio: Achatamento Se não houver força de atrito, teremos de modificar as equações anteriores para: x̂ : ŷ : ( N − Mg ) sinθ = − Ma ( N − Mg ) cosθ = Ma N ŷ ω y Ou seja, naturalmente aparecerá uma aceleração na direção y (força resultante não nula nesta direção!), tal que: aN R θ • Mg N x̂ aN ay = − cosθ = −ω 2 Rcosθ sin θ Esta aceleração sempre aponta para o equador, não importando se estamos no hemisfério norte ou hemisfério sul. o S F128 F128–– 21o Semestre emestre de de 2012 2012 18 18 Achatamento do pólos Assim, qualquer corpo sobre o qual não atua nenhuma força horizontal (com respeito à superfície da Terra) se desloca na direção do Equador (sul no hemisfério norte e norte no hemisfério sul)! à desvio diminuto de latitude dos corpos em queda livre na direção do Equador. à achatamento dos pólos ocorre pelo mesmo efeito e reduz o desvio mencionado (aparece uma pequena força horizontal) Mg o S F128 F128–– 21o Semestre emestre de de 2012 2012 N 19 19 Energia cinética de rotação A energia cinética de um corpo em rotação é a soma: 1 1 1 1 2 2 2 K = m1v1 + m2 v2 + .... mn vn = ∑ mi vi2 2 2 2 2 No corpo em rotação, todos os pontos, exceto os radiais, têm mesma velocidade angular ω. Então: 1 1 2 K = ∑ mi (ω ri ) = 2 2 (∑m r )ω 2 vi ri mi 2 i i A grandeza entre parênteses é definida como o momento de inércia I do corpo em relação ao eixo de rotação. Isto é: I = ∑mi ri 2 ou seja: F128 – 2o Semestre de 2012 K= 1 2 Iω 2 (energia cinética de rotação) 20 Cálculo do momento de inércia No caso de partículas puntiformes, vimos: I = ∑mi ri2 No caso de uma distribuição contínua de massa: r dm I = ∫ r 2 dm , onde dm é uma massa infinitesimal, que pode ser a de um fio, a de uma superfície ou a de um volume: λ : densidade linear de massa ⎧⎪λ dl : em um fio dm = ⎨σ dA : em uma superfície σ : densidade superficial de massa ρ : densidade volumétrica de massa ⎪⎩ ρ dV : em um volume F128 – 2o Semestre de 2012 21 Cálculo do momento de inércia Exemplos: a) Anel de raio R e massa M uniformemente distribuída λ= M dθ M M ⇒ dm = R dθ 2π R 2π R 2π I =∫ R 2 dm = ∫ R 2 0 R M dθ =MR 2 2π dm b) Disco de raio R e massa M (idem) M M σ = 2 ⇒ dm = σ dA = 2 2π rdr πR πR 4 R R 2 M 2 M r 1 2 2 2 I = ∫ r dm = ∫ r r dr = = MR 2 2 R R 40 2 0 F128 – 2o Semestre de 2012 dl=Rdθ dr R r dA=2π r dr 22 Cálculo do momento de inércia c) Cilindro de raio R e massa m (idem) Considerando o cilindro como superposição de discos de altura dy: 1 dI = dmR 2 2 Mas dm = ρ dV = y m 2 π R dy 2 πR h dy h h 1 2 1 2m 1 I = ∫ R dm = ∫ R dy = mR 2 2 20 h 2 Ou seja, o momento de inércia de um cilindro não depende de sua altura. F128 – 2o Semestre de 2012 23 Alguns momentos de inércia F128 – 2o Semestre de 2012 24 Q2: Energia cinética Três cilindros idênticos rodam com velocidade angular w ao redor dos eixos assinalados abaixo. Em quais dos casos a energia cinética é de rotação é maior (considere que o diâmetro é muito menor que o comprimento da barra)? ω ω A. I B. II C. III [MC Types] F128 – 2o Semestre de 2012 ω I II III 25 Teorema dos eixos paralelos Se conhecermos o momento de inércia ICM de um corpo em relação a um eixo que passa pelo seu centro de massa, podemos facilmente determinar IO do corpo em relação a um eixo paralelo que passa por O. De fato: 2 ri = ri′+h ⇒ ri = (ri′+h ) ⋅ (ri′+h ) 2 2 2 ⇒ ∑mi ri =∑mi ri′ +∑mi h +2h ⋅∑mi ri′ i i i Mas: i mi ri ∑ i h= ⇒ ∑mi ( ri − h ) = 0 ⇒ ∑mi ri′=0 i ∑mi i o• h ri dm ri′ •CM i Então: I O =∑mi ri = I CM + Mh 2 (teorema dos eixos paralelos) 2 i F128 – 2o Semestre de 2012 26 Torque e 2a Lei de Newton da rotação Vamos obter a relação entre as forças que atuam sobre um corpo em rotação (com eixo fixo) e sua aceleração angular. Notamos que apenas as forças que têm uma componente ortogonal tanto ao eixo quanto à direção radial podem colocar um corpo em rotação. ẑ F Decompomos a força i que atua sobre uma α ω partícula de massa mi do corpo rígido nas direções at tangencial F(||) i e radial F(⊥ ):i a N Fi =F(||)i vˆi +F( ⊥ )i rˆi Segunda lei de Newton: ri vi θ ŷ s 2 Fi = mi ai = miα ri vˆi −miω ri rˆi x̂ F(||)i = miα ri = mi at Provoca a aceleração angular F( ⊥ )i = −miω ri = mi a N 2 F128 – 2o Semestre de 2012 Não altera a velocidade angular (é uma força centrípeta). 27 Torque e 2a Lei de Newton da rotação No plano perpendicular ao eixo de rotação: 2 F(||)i = Fi senϕ i =mi riα ri Fi senϕ i =mi ri α 2 Vetorialmente: ri × Fi = mi ri α ≡ τ i Definição: τ i = ri × Fi é o torque da força F(||) i Fi τi F(⊥ ) i ϕi ri externa Fi sobre a i-ésima partícula do corpo rígido (é um vetor saindo do plano do desenho) No caso em que várias forças agem sobre a partícula, o torque total é: 2 Finalmente: τ res =∑τ i = (∑mi ri )α ≡ Iα F128 – 2o Semestre de 2012 i τ res = I α i (2.a lei de Newton da rotação) 28 Torque e 2a Lei de Newton da rotação F(||) i Fi τi F128 – 2o Semestre de 2012 F(⊥ ) i ϕi r i 29 Q3: Direção do torque F1 O módulo do torque produzido pelas forças F1 e F2 são: y A. B. C. D. Positivo em ambos os casos Positivo para F1e negativo para F2 Negativo para F1 e positivo para F2 Negativo em ambos os casos F2 x [MC Types] 30 Torque e 2a Lei de Newton da rotação F1 Fi τi ri F( t ) i F( r )i ϕi F2 A força F1 tende a rodar o objeto no sentido anti-horário e F2 tende a rodá-lo no sentido horário. (2 sinais associados ao torque). F128 – 2o Semestre de 2012 31 Exemplo 4 Máquina de Atwood com uma polia com massa Massa m1 ∑ Fy = m1 g − T1 = m1a ( 1) Massa m2 ∑ Fy = T2 − m2 g = m2 a ( 2) Polia ∑τ = T1R − T2 R = Iα = 1 1 1 2 a = MR = MRa ⇒ T1 − T2 = Ma (3) 2 R 2 2 F Então, resolvendo (1), (2) e (3): ⎛ ⎜ m −m 1 2 a =⎜ ⎜ m +m + 1 M ⎜ 1 2 2 ⎝ F128 – 2o Semestre de 2012 T1 ⎞ ⎟ ⎟g ⎟ ⎟ ⎠ + T2 m1 g T1 Mg T2 + m2 g 32 O trabalho no deslocamento angular Seja uma força externa Fi aplicada a uma partícula no ponto P. O trabalho infinitesimal num deslocamento ds i = ri dθ é: dWi = Fi ⋅ dsi = ( Fi senϕ ) ri dθ = τ i dθ Fi ( Fi senϕ é a componente tangencial de Fi ; a componente radial não trabalha). Então: W =∑∫τ i dθ = ∫τ dθ ds i ϕ ri i Como τ = Iα : dω W = ∫ I α dθ =∫ I ω dt dt ωf (teorema do trabalho-energia cinética 1 2 1 2 W = ∫ Iω dω = I ω f − I ωi = ΔK na rotação) 2 2 ωi F128 – 2o Semestre de 2012 33 Potência no deslocamento angular Usando a definição do momento de inércia: 1 1 1 1 2 2 2 2 I ω f − I ωi = ∑ mk ρ k2ωkf − ∑ mk ρ k2ωki 2 2 k 2 k 2 1 1 2 2 = ∑ mk vkf − ∑ mk vki = ΔK k 2 k 2 W= que é o teorema do trabalho-energia em sua forma usual. Potência: é a taxa com que se realiza trabalho: ΔW Δθ dW P= =τ ⇒ =τ ω Δt Δt dt Compare com F128 – 2o Semestre de 2012 ΔW P= =∑ Fi ⋅ vi Δt i 34 Equações do movimento linear e rotacional Movimento linear dx velocidade linear v= dt dv a = dt aceleração linear força resultante F = m a ∑i Movimento de rotação (eixo fixo) dθ velocidade angular ω = dt dω aceleração angular α = dt i v = v0 + at 1 a = constante x = x0 +v0 t + a t 2 2 2 2 v = v 0 +2 a ( x − x 0 ) xf trabalho W = ∫ F dx energia cinética potência massa P = Fv m F128 – 2o Semestre de 2012 i ω = ω0 +α t 1 2 θ = θ + ω t + α t 0 0 α = constante 2 2 2 ω =ω0 +2α (θ −θ 0 ) θf trabalho W = ∫τ dθ θi xi 1 K= m v 2 2 ∑τ i = I α torque resultante energia cinética potência 1 K= Iω2 2 P =τ ω Momento de inércia I 35 Q4: Torque Uma pedra cai do alto de um edifífico conforme mostra a figura. Qual o torque nesta pedra em relação ao ponto O? O D h A. B. C. D. Zero, pois torque só existe no movimento circular. Zero, pois o angulo entre o deslocamento e o ponto O é zero. mgh mgD [MC Types] F128 – 2o Semestre de 2012 36 Exemplo 5 • Trabalho em uma máquina de Atwood Se os corpos partem do repouso ( vi = 0 ): ⎛ m1 −m2 ⎞ ⎟⎟ g t v f = vi +a t = ⎜⎜ ⎝ m1 +m2 + M /2 ⎠ Velocidade angular: 1 ⎛ m1 −m2 ⎞ ⎟⎟ gt = ⎜⎜ R R ⎝ m1 +m2 + M / 2 ⎠ 1 1 2 1 2 2 K sistema = m1v1 f + m2 v2 f + Iω f = 2 2 2 1 ⎛ (m1 −m2 ) 2 ⎞ 2 2 ⎟⎟ g t = ⎜⎜ 2 ⎝ m1 +m2 + M / 2 ⎠ ωf = + vf Esta variação da energia cinética é igual ao trabalho das forças peso no sistema (verificar). F128 – 2o Semestre de 2012 + T1 T2 + ++ m1 g m2 g 37 Exemplo 6 Um fio está enrolado num disco de raio R e massa m, e sua extremidade está amarrada numa haste. O disco, inicialmente em repouso, é liberado e inicia um movimento de translação e rotação enquanto o fio vai se desenrolando dele. a) calcule a aceleração do centro de massa; b) calcule o valor da tensão no fio; c) utilizando conservação de energia, determine a velocidade do centro de massa em função de h. a) mg − T = maCM (1) a 1 TR = Iα = mR 2 CM 2 R 1 ⇒ T = m aCM (2) 2 2 aCM = g 3 b) T = mg 3 11 3 2 2 c) mgh = 1 mvCM + mR 2ω 2 = mvCM 2 vCM = 22 4 4 gh 3 F128 – 2o Semestre de 2012 38