M. C. U. Movimento Circunferencial Uniforme – mcuemhs

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Fisica
Marcos Antonio Flor Reinaldo
Cinemática Ângular ou Rotacional
Mcuemhs.doc
Movimento Circunferencial Uniforme - M. C. U.
 Movimento em que o corpo descreve uma trajetória circunferencial e possui velocidade com módulo constante.
Exemplos : toca-discos, carrossel, roda-gigante, motores elétricos operando em regime constante, movimento de planetas e satélites.
Símbolo Unidade ( S. . ) Conceito
Grandeza
Posição Ângular
radianos - rad posiçãoangular do corpo num instante determinado ( 180º   rad )

Fase Inicial
radianos - rad posição angular do corpo quando t = zero
0
Deslocamento Ângular
radianos - rad variação da posição ângular descrita pelo corpo num certo intervalo de tempo t

Período
T
segundos - s
tempo que o corpo leva para efetuar uma rotação completa
Freqüência
f
número de oscilações que o corpo realiza em uma unidade de tempo
Hertz - Hz
Velocidade
rad
/
s
rapidez com que o corpo executa um deslocamento angular em radianos

Angular
Velocidade Linear
v
m/s
velocidade que o corpo “teria” se seu deslocamento fosse linear;
ou Tangencial
é uma grandeza física vetorial
Raio
R
m
Oscilação ( rotações )
n
número de rotações ( de voltas) efetuadas pelo corpo
Período
Freqüência
r. p. m. ( rotações por minuto ) = min- 1
( T ) [ segundos - s ]
( f ) [ Hertz* - Hz ]
n
1
t
T=
f= , f=
f( rpm ) = f( Hz )  60
 =  - 0
t
T
n
Velocidade Angular (  ) [ rad / s ]
Velocidade Linear ou Tangencial ( v ) [ m / s ]
  f   i
=
=
t
t
2R
para um rotação completa temos :
Módulo ( ou intensidade )  v =  R =
=2Rf
T
2
Direção  tangente à trajetória descrita pelo corpo ( desenho )
 = 2  , t = T   =
=2f
T
Deslocamento Ângular
(  ) [ rad ]
Equação da posição :  = t ,  =  - 0 ,
Dinâmica
Ângular
Ou
Rotacion
al
 - 0 = t
 = 0 + (  t )

Força Centrípeta ( FC ) [ N ]
Aceleração Centrípeta
( ac ) [ m / s 2 ]
v2
ac 
R
v2
= Aemáx
R
FC > Aemáx  Derrapagem
FC = m  ac = m 
Polias & Engrenagens
v1 = v 2 ,
v = ( R ) ,
1R1 = 2R2
R1 < R2 
 = 2f
v2
ac 
R
1 > 2


f1 > f 2
ac1 > ac2
Exercícios :
1 - Determine o período ( em segundos ) e a freqüência ( em Hz ) :
a ) Do ponteiro dos segundos de um relógio
b ) Do ponteiro dos minutos
c ) Do ponteiro das horas
d ) Do movimento de rotação da Terra
e ) Do movimento de translação ( ou revolução ) da Terra
2 - Determine a freqüência e o período de um corpo que realiza 200 rotações em 50 segundos.
60 s ;
3 600 s ;
43 200 s ;
86 400 s ;
31 536 000 s ;
0,017 Hz
2,78  10-4 Hz
2,31  10-5 Hz
1,16  10-5 Hz
3,17  10-8 Hz
f = 4 Hz ; T = 0,25 s
3 - Um corpo excuta 600 rotações em 2 minutos. Calcule a freqüência e o período do movimento do corpo.
f = 5 Hz ; T = 0,2 s
4 - Qual o período da roda de um automóvel que executa 120 rpm ?
T = 0,5 s
5 - Calcule a velocidade angular dos movimentos : a ) de rotação da Terra ; b ) de translação da Terra.
a ) R = 7,27  10– 5 rad/s ; b ) T = 1,99  10– 7 rad/s
1
2
6 - Calcule a velocidade linear : a ) de um indivíduo situado no equador terrestre ; b ) da Terra em torno do Sol.
Dados : RTerra = 6,37  106 m ; dTerra/Sol = 1,496  10 11 m
a ) v = 463,24 m/s ; b ) v = 29 806,08 m/s
7 - A roda de um caminhão tem raio de 60 cm e este se desloca com velocidade constante de 86,4 km/h.
Calcule a freqüência e a velocidade angular dessa roda.
f = 6,37 Hz ;  = 40 rad/s
8 - Um menino anda de bicicleta com velocidade de 4 m/s.
Se o raio da roda da bicicleta tem 50 cm, qual será a aceleração centrípeta de um ponto da periferia da roda ?
ac = 32 m/s2
9 - Uma serra circular tem raio de 15 cm e gira com freqüência de 1200 rpm. Qual a aceleração centrípeta de cada dente da serra ?
ac = 2 368,71 m/s2
10 - Um carro se move com velocidade constante de 20 m/s e entra numa curva de raio 800 m. Qual a aceleração centrípeta do carro ?
ac = 0,5 m/s2
11 - Um menino gira uma pedra presa na extremidade de uma corda de 2 m de comprimento,
executando um movimento uniforme com período de  s. Qual a aceleração centrípeta da pedra ?
ac = 8 m/s2
12 - Os antigos discos de vinil giravam com uma freqüência de 33 rpm.
Supondo que possuiam diâmetro de 30 cm, qual a aceleração centrípeta de um ponto situado na periferia do disco ?
ac = 1,79 m/s2
13 - A roda de um carro tem diâmetro de 60 cm e freqüência de 300 rpm. Qual a distância percorrida pelo carro em 10 segundos ?
S = 94,25 m
14 - Um corpo executa um MCU com freqüência de 360 rpm, descrevendo uma trajetória com 2 m de raio. Pede-se determinar :
a ) sua velocidade angular ; b ) sua velocidade linear; c ) sua aceleração centrípeta; d ) seu deslocamento angular em 5 s.
a )  = 37,70 rad/s ; b ) v = 75,40 m/s ; ac = 2 842,45 m/s2 ;  = 188,50 rad
15 - Um corpo executa um MCU realizando 60 voltas em 15 s, descrevendo uma trajetória de raio igual a 4m. Pede-se determinar :
a ) a freqüência ; b ) o período ; c ) a velocidade angular ; d ) a velocidade linear ; e ) a aceleração centrípeta.
a ) f = 4 Hz ; b ) T = 0,25 s ; c )  = 25,13 rad / s ; d ) v = 100,53 m/s ; e ) ac = 2 526,62 m/s2
16 - Um corpo com velocidade constante descreve uma circunferência de 10 cm de raio, executando 40 rotações em 20 segundos.
Pede-se : a ) a velocidade angular do corpo ; b ) sua velocidade linear ; c ) sua aceleração centrípeta.
a ) = 12,57 rad/s ; b ) v = 1,26 m/s ; c ) ac = 15,79 m/s2
17 - Um corpo descreve um MCU de raio 3 m efetuando meia volta por segundo. Calcule :
a ) a freqüência ; b ) o período ; c ) a velocidade angular ; d ) a velocidade linear ; e ) a aceleração centrípeta ;
f ) o tempo necessário para que o corpo efetue um deslocamento angular de 3/2 rad.
a ) f = 0,5 Hz ; b ) T = 2 s ; c )  = 3,14 rad/s ; d ) v = 9,42 m/s ; e ) ac = 29,61 m/s2 ; f ) t = 1,5 s
18 - Duas polias A e B giram acopladas por uma correia e possuem raios iguais a 30 cm e 5 cm, respectivamente.
Determine a freqüência da polia B, sabendo que polia A tem freqüência de 10 rpm.
fB = 1 Hz
19 - Duas polias A e B giram acopladas por uma correia. A polia A tem raio de 40 cm e freqüência de 10 rpm.
A polia B possui freqüência de 5 rpm. Calcule : a ) o raio da polia B ; b ) a velocidade linear da correia.
a ) RB = 0,8 m ; b ) v = 0,42 m/s
20 - Duas polias A e B giram acopladas por uma correia. A polia A tem raio de 20 cm e período de 0,02 s. A polia B possui raio de 5 cm.
Calcule : a ) as velocidades angulares das duas polias ; b ) a velocidade linear da correia.
a ) A = 314,16 rad/s ; B = 1 256,64 rad/s ; b ) v = 62,83 m/s
21 - Duas polias A e B giram coaxialmente. A polia A tem raio de 10 cm e velocidade linear de 8 m/s.
Calcule o raio da polia B sabendo que sua velocidade linear é de 24 m/s.
RB = 0,3 m
22 - Duas polias A e B giram coaxialmente. A polia A tem raio de 20 cm e velocidade linear de 10 m/s. A polia B tem raio de 5 cm.
Calcule : a ) a velocidade linear na periferia da polia B ; b ) a freqüência da polia B.
a ) vB = 2,5 m/s ; b ) f = 7,96 Hz
23 - Uma moeda é colocada sobre o prato de um toca-disco ( f = 33 rpm ) a 10 cm do eixo de rotação.
Qual o coeficiente de atrito mínimo entre a moeda e o disco para ela não escorregar ?
e = 0,12
24 - Um automóvel tem massa de 800 kg e trafega numa rodovia com velocidade de 90 km/h, executando uma curva com raio de 120 m.
Qual deve ser o coeficiente de atrito mínimo entre os pneus e o asfalto para que não haja derrapagem ?
e = 0,52
25 - Um corpo de massa 200 g é posto a oscilar formando um pêndulo simples com 80 cm de comprimento. Calcule a força de tração no fio que
sustenta o corpo quando este passa no pondo mais baixo de sua trajetória, sabendo que neste ponto sua velocidade é de 2 m/s.
T=3N
26 - Um corpo de massa 200 g executa um MCU no plano vertical preso a um fio de 50 cm de comprimento e com velocidade de 3 m/s.
Determine a força de tração no fio quando o corpo passa no ponto : a ) mais baixo de sua trajetória; b ) mais alto de sua trajetória.
a ) T = 5,6 N ; b ) T = 1,6 N
2
3
Movimento Harmônico Simples - M H S
 Movimento que se repete periodicamente, e cuja trajetória é de ida e volta.
Exemplos : pêndulo, sistema massa-mola, o movimento da posição do Sol,em relação à linha do horizonte, observado a partir da Terra.
Grandezas:
Elongação ou posição distância do ponto de equilíbrio ( repouso; elongação mínima; x = 0 ),
( x ) [ m , cm ]
até a posição em que o corpo se encontra em determinado instante de tempo.
elongação máxima que o corpo pode atingir, ou seja,
Amplitude
( A ) [ m, cm ]
o ponto de máximo afastamento em relação ao referencial central ( x = 0 )  A = xmáx
movimento completo do corpo; por completo entende-se o movimento no qual ele volta a atingir uma configuração
Oscilação ( n )
absolutamente idêntica a que possuía no instante inicial, descrevendo assim um percurso fechado a cada oscilação
Fase inicial( o )[ o , rad] refere-se a posição inicial do corpo, ou seja, quando t = zero.
t
Período
tempo que o corpo leva para efetuar uma oscilação completa  T =
( T ) [ segundos - s ]
n
1
número de oscilações que o corpo realiza em uma unidade de tempo
Freqüência
n
 f=
f=
( f ) [ Hertz* - Hz ]
( no S, o no de voltas em um segundo )
t
T
f(rpm)
A freqüência pode ser fornecida em r. p. m. ( rotações por minuto ); Para converter para Hertz, basta dividir por 60  f(Hz ) =
60
O MHS pode ser descrito a partir das projeções de um MCU :
Equação da
Posição
Equação da
Velocidade
Equação da Aceleração
2 R 2
= 2 R = 2 A
R
a = - A 2 cos ( t + o )
 ac =
aMHS = ac cos 
x = A cos 
vMHS = vMCU  sen 
 = o + t
vMCU =  R , R = A
v2
a
=
, v=R
c
x = A cos ( t + o )
v = -  A sen ( t + o )
R
Relação entre a posição e a velocidade
v = - A sen ( t + o )
v2 = A2 2 - x2 2
sen2  + cos2  = 1
x = A cos ( t + o )
v
v2 = 2 ( A2 - x2 )
x
x2
v2
= sen ( t + o )
= cos ( t + o )
A
2
2
2 + 2 2 =1
A
v= A -x
A
 A
2
2
v
x
se x = A  v = zero
2
= cos2 ( t + o )
2
2 2 = sen ( t + o )
2 2 + v2 = A2 2
A
x
se x = zero  v = A = vmáx
 A
Relação entre a posição e a aceleração
x = A cos ( t + o )
a 2
se x = zero  a = zero
x
a = - 2 A cos ( t + o )


=

T
=
2
2
se x = A  a =  A = amáx
a
x
T
a = - 2 x
Pêndulo Simples  sistema constituído por um corpo suspenso a um fio de massa desprezível
P sen  = FR
( m g ) sen  = m a
a = g sen 
T = 2
x
a
, x = l sen 

T = 2
l
g
 o período, a freqüência e a velocidade angular de um pêndulo
simples independem da massa do corpo suspenso
se  = 90o  a = g
se  = 0o  a = zero
3
4
Sistema Massa - Mola
Felástica = FR
kx=ma
x m
=
a K
T
Zero
T/4
T/2
3T / 4
T
T = 2
X
A
Zero
-A
Zero
A
x
a
(º)
Zero
90
180
270
360

T = 2
m
k
 o período, a freqüência e a velocidade angular de
um sitema massa-mola independem da aceleração
gravitacional
a
 ( rad ) V
Zero
Zero - a
- V Zero
/2
Zero
a

V Zero
3 / 2
Zero a
2
Ec
Zero
Máx
Zero
Máx
Zero
Ee , E g
Máx
Zero
Máx
Zero
Máx
Exercícios :
1 - Um pêndulo simples é constituído por um corpo de 3 kg suspenso por um fio de 70 cm. Qual o período e a freqüência do pêndulo ?
T = 1,66 s ; f = 0,6 Hz
2 - Qual o comprimento de um pêndulo simples que oscila aqui na Terra com freqüência de 0,8 Hz ?
l = 0,40 m
3 - Calcule o valor da aceleração gravitacional de um planeta hipotético, onde um pêndulo simples com 60 cm de comprimento, oscila com freqüência de 0,25
Hz.
g = 1,48 m/s2
4 - Um corpo de 500 g oscila numa mola de constante elástica 25 N/m. Quais são o seu período e freqüência ?
T = 0,89 s ; f = 1,13 Hz
5 - A freqüência de um oscilador massa-mola é de 5 Hz.
Calcule o valor da constante elástica da mola, sabendo que a massa suspensa é de 90 g.
K = 88,83 N / m
6 - Que massa é necessária para produzir uma oscilação de 2 Hz num sistema massa-mola em que a constante elástica é de 150 N/m ?
m = 0,95 kg
7 - Um corpo de 800 g encontra-se em equilíbrio pendurado numa certa mola, cuja deformação é de 10 cm.
Retirado de sua posição de equilíbrio o corpo oscila na vertical. Qual o período de oscilação do corpo ?
T = 0,63 s
8 - Um bloco de 5 kg produz uma deformação de 15 cm numa certa mola. O bloco é removido e no seu lugar suspende-se um corpo de 1,5 kg. Esticando-se e
largando-se o corpo, inicia-se um movimento oscilatório. Qual o período deste movimento ?
T = 0,42 s
9 - Um corpo de 1,4 kg é preso a uma mola horizontal de constante elástica 90 N/m. Puxa-se o corpo, deformando a mola em 50 cm, e aí o sistema e
abandonado. Qual a velocidade do corpo quando ele passa pela posição de equilíbrio ?
V = 4 m/s
10 - O MHS executado por um corpo é representado pela função : x = 0,1 cos ( 100t +  / 3 ) no SI.
Determine a amplitude, freqüência do movimento e a posição do corpo quando t = 2 s.
A = 0,1 m ; f = 50 Hz ; x = 0,05 m
11 - Uma partícula descreve um MHS que obedece a seguinte função : x = 2 cos [(  / 20)t +  / 2 ] no S.
Determine a aceleração da partícula no instante t = 20 s.
a = zero
12 - A função x = 0,05 cos [(  / 4)t +  / 2 ] representa, no SI, o MHS de um corpo. Determinar a velocidade da partícula no instante t = 6 s.
V = zero
13 - Um corpo executa um MHS com aplitude de 5 m e freqüência de 2 Hz. Pede-se determinar :
a ) a velocidade do corpo quando ele se encontra a 4 m do ponto de equilíbrio ; b ) a aceleração do corpo nos extremos da trajetória.
a ) v = 37,70 m/s ; b ) a = 789,57 m/s2
14 - Um corpo oscila executando um MHS, cuja equação é x = 6 cos ( 3t +  / 3 ) no S.
Para um tempo t = 2 s , pede-se : a ) a freqüência ; b ) o período ; c ) a posição ; d ) a velocidade ; e ) a aceleração.
a ) f = 1,5 Hz ; b ) T = 0,67 s ; c ) x = 3 m ; d ) v = - 48,97 m/s ; e ) a = - 266,48 m/s2
15 - Um corpo executa um MHS de freqüência 5 Hz.
Determine a amplitude do movimento, sabendo que quando a aceleração é nula, a velocidade do corpo é de 10 m/s.
A = 0,32 m
16 - Um corpo realiza um MHS de amplitude 10 cm e período de 3 s. No instante inicial, o corpo está em uma das posições extremas da trajetória. Determinar
a posição do corpo 1 segundo após iniciado o movimento.
x = - 0,05 m
17 - A posição de um corpo em MHS medida 0,5 s do início do movimento é de 10 cm. Determinar sua velocidade angular sabendo que a origem dos tempos é
um dos extremos da trajetória e que a amplitude do movimento é de 20 cm.
 = 2,09 rad/s
18 - O período de oscilação de um corpo em MHS é de 2 s, sendo a origem dos tempos um dos extremos da trajetória.
Após 8,5 s do início do movimento, a velocidade do corpo é de 1 m/s. Determinar a aceleração docorpo após 1/3 s.
A = 0,32 m ; a = 1,57 m/s2
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