Teoria de Ramsey estrutural e a propriedade de - MTM

Teoria de Ramsey estrutural e a propriedade de
ponto fixo dos grupos de automorfismos
Dana Bartošová
Universidade de São Paulo
Colóquio
UFSC
27 de outubro de 2016
A palestrante está suportada pelo FAPESP 2013/14458-9.
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Teoria de Ramsey
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Baby Ramsey
Na festa de 6 pessoas, 3 pessoas vão ou conhecer um outro ou 3
pessoas não vão se conhecer.
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Baby Ramsey
Na festa de 6 pessoas, 3 pessoas vão ou conhecer um outro ou 3
pessoas não vão se conhecer.
O mesmo não vale na festa de 5 pessoas.
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Baby Ramsey
Na festa de 6 pessoas, 3 pessoas vão ou conhecer um outro ou 3
pessoas não vão se conhecer.
O mesmo não vale na festa de 5 pessoas.
O número de Ramsey por k = 2, m = 3 e r = 2 é 6:
R2 (2; 3) = 6.
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Teorema de Ramsey
Teorema de Ramsey
Dados números naturais k, m ≥ k e o número r de cores, existe
n = Rr (k; m) tal que por cada coloração c de subconjuntos de
um conjunto X, |X| = n, com k elementos em r cores, existe
um subconjunto Y ⊂ X, |Y | = m, tal que todos os subconjuntos
de Y com k elementos tem a mesma cor.
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Teorema de Ramsey
Teorema de Ramsey
Dados números naturais k, m ≥ k e o número r de cores, existe
n = Rr (k; m) tal que por cada coloração c de subconjuntos de
um conjunto X, |X| = n, com k elementos em r cores, existe
um subconjunto Y ⊂ X, |Y | = m, tal que todos os subconjuntos
de Y com k elementos tem a mesma cor.
Notação:
n → (m)kr .
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Teorema de Ramsey
Teorema de Ramsey
Dados números naturais k, m ≥ k e o número r de cores, existe
n = Rr (k; m) tal que por cada coloração c de subconjuntos de
um conjunto X, |X| = n, com k elementos em r cores, existe
um subconjunto Y ⊂ X, |Y | = m, tal que todos os subconjuntos
de Y com k elementos tem a mesma cor.
Notação:
NÚMEROS DE RAMSEY
n → (m)kr .
R2 (2; 2) = 2
R2 (2; 3) = 6
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Teorema de Ramsey
Teorema de Ramsey
Dados números naturais k, m ≥ k e o número r de cores, existe
n = Rr (k; m) tal que por cada coloração c de subconjuntos de
um conjunto X, |X| = n, com k elementos em r cores, existe
um subconjunto Y ⊂ X, |Y | = m, tal que todos os subconjuntos
de Y com k elementos tem a mesma cor.
Notação:
NÚMEROS DE RAMSEY
n → (m)kr .
R2 (2; 2) = 2
R2 (2; 3) = 6
R2 (2; 4) = 18
R2 (2; 5) ∈ [43, 49]
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Teorema de Ramsey
Teorema de Ramsey
Dados números naturais k, m ≥ k e o número r de cores, existe
n = Rr (k; m) tal que por cada coloração c de subconjuntos de
um conjunto X, |X| = n, com k elementos em r cores, existe
um subconjunto Y ⊂ X, |Y | = m, tal que todos os subconjuntos
de Y com k elementos tem a mesma cor.
Notação:
NÚMEROS DE RAMSEY
n → (m)kr .
R2 (2; 2) = 2
R2 (2; 3) = 6
R2 (2; 4) = 18
R2 (2; 5) ∈ [43, 49]
R2 (2; 6) ∈ [102, 165]
Dana Bartošová
R2 (2; 10) ∈ [798, 23556]
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Teorema de Ramsey
Teorema de Ramsey
Dados números naturais k, m ≥ k e o número r de cores, existe
n = Rr (k; m) tal que por cada coloração c de subconjuntos de
um conjunto X, |X| = n, com k elementos em r cores, existe
um subconjunto Y ⊂ X, |Y | = m, tal que todos os subconjuntos
de Y com k elementos tem a mesma cor.
Notação:
NÚMEROS DE RAMSEY
n → (m)kr .
R2 (2; 2) = 2
R2 (2; 3) = 6
R2 (2; 4) = 18
R2 (2; 5) ∈ [43, 49]
R2 (2; 6) ∈ [102, 165]
R2 (2; 10) ∈ [798, 23556]
R2 (2; k) ≥
Dana Bartošová
k2k/2
√
e 2
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Ordens lineares
(L, <) – ordem linear:
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Ordens lineares
(L, <) – ordem linear:
1 irreflexivo: a ≮ a,
2 antisimétrico: a < b → b ≮ a,
3 transitivo: a < b & b < c → a < c,
4 total: ∀a, b ∈ L a < b ou b < a.
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Ordens lineares
(L, <) – ordem linear:
1 irreflexivo: a ≮ a,
2 antisimétrico: a < b → b ≮ a,
3 transitivo: a < b & b < c → a < c,
4 total: ∀a, b ∈ L a < b ou b < a.
EXEMPLOS
(Z, <)
(Q, <)
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Ordens lineares
(L, <) – ordem linear:
1 irreflexivo: a ≮ a,
2 antisimétrico: a < b → b ≮ a,
3 transitivo: a < b & b < c → a < c,
4 total: ∀a, b ∈ L a < b ou b < a.
EXEMPLOS
(Z, <)
(Q, <)
Ordens lineares finitos são rigidos.
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Ordens lineares
(L, <) – ordem linear:
1 irreflexivo: a ≮ a,
2 antisimétrico: a < b → b ≮ a,
3 transitivo: a < b & b < c → a < c,
4 total: ∀a, b ∈ L a < b ou b < a.
EXEMPLOS
(Z, <)
(Q, <)
Ordens lineares finitos são rigidos.
Teorema de Ramsey
Por todos (L, <L ) e (K, <K ) ordens lineares finitos e um
número de cores r existe um ordem linear finito (M, <M ) tal
que
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Ordens lineares
(L, <) – ordem linear:
1 irreflexivo: a ≮ a,
2 antisimétrico: a < b → b ≮ a,
3 transitivo: a < b & b < c → a < c,
4 total: ∀a, b ∈ L a < b ou b < a.
EXEMPLOS
(Z, <)
(Q, <)
Ordens lineares finitos são rigidos.
Teorema de Ramsey
Por todos (L, <L ) e (K, <K ) ordens lineares finitos e um
número de cores r existe um ordem linear finito (M, <M ) tal
que por cada coloração das cópias de (L, <L ) em (M, <M ) com
r cores existe uma cópia (K ′ , <K ′ ) de (K, <K ) in (M, <M ) tal
que todas as cópias de (L, <L ) em (K ′ , <K ′ ) tem a mesma cor.
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Grafos
(V, E) – V é o conjunto de vértices e E é o conjunto de arestas
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Grafos
(V, E) – V é o conjunto de vértices e E é o conjunto de arestas
A classe de grafos finitos não tem a propriedade de Ramsey,
mas
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Grafos
(V, E) – V é o conjunto de vértices e E é o conjunto de arestas
A classe de grafos finitos não tem a propriedade de Ramsey,
mas
Teorema (Nešetril e Rödl; Abramson e Harrington)
A classe de grafos finitos com ordens lineares tem a propriedade
de Ramsey.
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Grafos
(V, E) – V é o conjunto de vértices e E é o conjunto de arestas
A classe de grafos finitos não tem a propriedade de Ramsey,
mas
Teorema (Nešetril e Rödl; Abramson e Harrington)
A classe de grafos finitos com ordens lineares tem a propriedade
de Ramsey.
Por todos G = (V, E, <) e H = (W, F, ≺) grafos finitos com
ordens lineares e um número de cores r existe um grafo finito
X = (X, R, ⊳) com um ordem linear tal que
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Grafos
(V, E) – V é o conjunto de vértices e E é o conjunto de arestas
A classe de grafos finitos não tem a propriedade de Ramsey,
mas
Teorema (Nešetril e Rödl; Abramson e Harrington)
A classe de grafos finitos com ordens lineares tem a propriedade
de Ramsey.
Por todos G = (V, E, <) e H = (W, F, ≺) grafos finitos com
ordens lineares e um número de cores r existe um grafo finito
X = (X, R, ⊳) com um ordem linear tal que por cada coloração
das cópias de G em X com r cores existe uma cópia H′ de H in
X tal que todas as cópias de G em H′ tem a mesma cor.
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Espaços metrizáveis
Teorema
A classe de espaços finitos metrizáveis com ordens lineares tem
a propriedade de Ramsey.
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Espaços metrizáveis
Teorema
A classe de espaços finitos metrizáveis com ordens lineares tem
a propriedade de Ramsey.
Por todos M = (M, d, <) e N = (N, δ, ≺) espaços finitos
metrizáveis com ordens lineares e um número de cores r existe
um espaço Z = (Z, m, ⊳) finito metrizável com um ordem linear
tal que
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Espaços metrizáveis
Teorema
A classe de espaços finitos metrizáveis com ordens lineares tem
a propriedade de Ramsey.
Por todos M = (M, d, <) e N = (N, δ, ≺) espaços finitos
metrizáveis com ordens lineares e um número de cores r existe
um espaço Z = (Z, m, ⊳) finito metrizável com um ordem linear
tal que por cada coloração das cópias de M em Z com r cores
existe uma cópia N′ de N in Z tal que todas as cópias de M em
N′ tem a mesma cor.
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Propriedade de Ramsey estrutural
A = (A, RiA , fiA , cA
i ) é uma estrutura de primeira ordem se
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Propriedade de Ramsey estrutural
A = (A, RiA , fiA , cA
i ) é uma estrutura de primeira ordem se
(1) A é um conjunto,
(2) RiA ⊂ Ani é uma relação de dada aridade ni ,
(3) fiA : Ami → A é uma função de dada aridade mi ,
(4) cA
i ∈ A.
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Propriedade de Ramsey estrutural
A = (A, RiA , fiA , cA
i ) é uma estrutura de primeira ordem se
(1) A é um conjunto,
(2) RiA ⊂ Ani é uma relação de dada aridade ni ,
(3) fiA : Ami → A é uma função de dada aridade mi ,
(4) cA
i ∈ A.
Definição
A classe K de estruturas finitas em uma linguagem fixa satisfaz
a propriedade de Ramsey se por cada A ∈ K e B ∈ K e um
número de cores r existe C ∈ K tal que por cada coloração de
cópias de A em C com r cores existe uma cópia B ′ de B em C
tal que todas as copias de A em B ′ tem a mesma cor.
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Groupos de automorfismos
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Estruturas e automorfismos
A = (A, RiA , fiA , cA
i ) – estrutura
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Estruturas e automorfismos
A = (A, RiA , fiA , cA
i ) – estrutura
F : A → A é um automorfismo de A se
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Estruturas e automorfismos
A = (A, RiA , fiA , cA
i ) – estrutura
F : A → A é um automorfismo de A se
(1) (a1 , . . . , ani ) ∈ RiA sse (F (a1 ), . . . , F (ani )) ∈ RiA ,
(2) F (fiA (b1 , . . . , bmi )) = fiA (F (b1 ), . . . , F (bmi )),
A
(3) F (cA
i ) = ci .
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Estruturas e automorfismos
A = (A, RiA , fiA , cA
i ) – estrutura
F : A → A é um automorfismo de A se
(1) (a1 , . . . , ani ) ∈ RiA sse (F (a1 ), . . . , F (ani )) ∈ RiA ,
(2) F (fiA (b1 , . . . , bmi )) = fiA (F (b1 ), . . . , F (bmi )),
A
(3) F (cA
i ) = ci .
G = Aut(A) grupo de automorfismos de A é o conjunto de
todos os automorfismos de A com a multiplicação definida como
a composição:
∀g, h ∈ G : g · h = g ◦ h.
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Grupos de automorfismos
A – estrutura
G = Aut(A) – grupo de automorfismos de A
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Grupos de automorfismos
A – estrutura
G = Aut(A) – grupo de automorfismos de A
G com a topologia pontual fica um grupo topológico.
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Grupos de automorfismos
A – estrutura
G = Aut(A) – grupo de automorfismos de A
G com a topologia pontual fica um grupo topológico.
Por A subestrutura de A finita
GA = {g ∈ G : ga = a ∀ a ∈ A}
é um subgrupo aberto e fechado de G.
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Grupos de automorfismos
A – estrutura
G = Aut(A) – grupo de automorfismos de A
G com a topologia pontual fica um grupo topológico.
Por A subestrutura de A finita
GA = {g ∈ G : ga = a ∀ a ∈ A}
é um subgrupo aberto e fechado de G.
Os GA por A subestrutura finita de A constroem uma base de
vizinhanças do elemento neutral em G.
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Grupos de automorfismos
A – estrutura
G = Aut(A) – grupo de automorfismos de A
G com a topologia pontual fica um grupo topológico.
Por A subestrutura de A finita
GA = {g ∈ G : ga = a ∀ a ∈ A}
é um subgrupo aberto e fechado de G.
Os GA por A subestrutura finita de A constroem uma base de
vizinhanças do elemento neutral em G.
EXEMPLO
S∞ (Z) é o grupo de todas as permutações de Z = grupo de
todos os automorfismos de uma estrutura vazia no conjunto Z.
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Ultrahomogeneidade
Estrutura A se chama ultrahomogénea se cada isomorfismo
finito entre subestruturas de A se extende para um
automorfismo de A.
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Ultrahomogeneidade
Estrutura A se chama ultrahomogénea se cada isomorfismo
finito entre subestruturas de A se extende para um
automorfismo de A.
EXEMPLOS
1
Z,
2
(Q, <),
3
grafo de Rado = grafo contável aleatório,
4
espaço de Urysohn.
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Ultrahomonegeneidade e subestruturas
G = Aut(Q, <), A ≤ Q finito,
Dana Bartošová
Q
A
– cópias de A em Q
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Ultrahomonegeneidade e subestruturas
G = Aut(Q, <), A ≤ Q finito,
G/GA
Q
A
– cópias de A em Q
Q
←→
A
GA g ←→ g−1 A
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Ultrahomonegeneidade e subestruturas
G = Aut(Q, <), A ≤ Q finito,
G/GA
Q
A
– cópias de A em Q
Q
←→
A
GA g ←→ g−1 A
A – estrutura ultrahomogénea, G = Aut(A), A ≤ A finita,
Ime(A, A) – imerções de A em A
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Ultrahomonegeneidade e subestruturas
G = Aut(Q, <), A ≤ Q finito,
G/GA
Q
A
– cópias de A em Q
Q
←→
A
GA g ←→ g−1 A
A – estrutura ultrahomogénea, G = Aut(A), A ≤ A finita,
Ime(A, A) – imerções de A em A
G/GA ←→ Ime(A, A)
GA g ←→ g−1 ↾ A
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Conjuntos bastos
T ⊂ G é um conjunto basto se por cada finito F ⊂ G existe x
tal que F x ⊂ T.
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Conjuntos bastos
T ⊂ G é um conjunto basto se por cada finito F ⊂ G existe x
tal que F x ⊂ T.
A – ultrahomogénea, G = Aut(A), A ≤ A finita
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Conjuntos bastos
T ⊂ G é um conjunto basto se por cada finito F ⊂ G existe x
tal que F x ⊂ T.
A – ultrahomogénea, G = Aut(A), A ≤ A finita
Nós interessam conjuntos bastos de forma GA K por K ⊂ G
(ou, equivalente, subconjuntos de G/GA ∼
= Ime(A, A)).
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Conjuntos bastos
T ⊂ G é um conjunto basto se por cada finito F ⊂ G existe x
tal que F x ⊂ T.
A – ultrahomogénea, G = Aut(A), A ≤ A finita
Nós interessam conjuntos bastos de forma GA K por K ⊂ G
(ou, equivalente, subconjuntos de G/GA ∼
= Ime(A, A)).
Lemma
T = GA K ⊂ G é basto sse por cada A ≤ B ≤ A existe B ′ ∈
tal que Ime(A, B′ ) ⊂ T.
Dana Bartošová
A
B
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Ramsey em conjuntos bastos
A – ultrahomogénea
G = Aut(A)
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Ramsey em conjuntos bastos
A – ultrahomogénea
G = Aut(A)
Age(A) = subestruturas finitas de A
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Ramsey em conjuntos bastos
A – ultrahomogénea
G = Aut(A)
Age(A) = subestruturas finitas de A
Teorema
Os seguintes são equivalentes.
(1) Age(A) tem a propriedade de Ramsey e consiste de
estruturas rigidas.
(2) Por cada
S A ∈ Age(A) e cada partição finita
G = ni=1 GA Ki existe i tal que GA Ki é basto.
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Grupos extremamente mediáveis
= grupos que tem um ponto fixo em cada ação contı́nua no
espaço Haussdorfo compacto.
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Grupos extremamente mediáveis
= grupos que tem um ponto fixo em cada ação contı́nua no
espaço Haussdorfo compacto.
Teorema (Kechris, Pestov, and Todocevic)
A – ultrahomogénea, G = Aut(A), Age(A) = subestruturas
finitas de A
Os seguintes são equivalentes.
(1) G é extremamente mediável.
(2) Age(A) tem a propriedade de Ramsey e consiste de
estruturas rigidas.
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Grupos extremamente mediáveis
= grupos que tem um ponto fixo em cada ação contı́nua no
espaço Haussdorfo compacto.
Teorema (Kechris, Pestov, and Todocevic)
A – ultrahomogénea, G = Aut(A), Age(A) = subestruturas
finitas de A
Os seguintes são equivalentes.
(1) G é extremamente mediável.
(2) Age(A) tem a propriedade de Ramsey e consiste de
estruturas rigidas.
EXEMPLOS
(1) Aut(Q, <) (Pestov)
(2) Aut(grafo de Rado com ordem linear) (KPT)
(3) Iso(U, d) (Pestov)
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Aplicações
Teorema (B., Lopez-Abad, Mbombo)
(1) A classe de espacos de Banach (Rn , k·k∞ ) com imerções
isométricas lineares tem a propriedade de Ramsey contı́nua.
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Aplicações
Teorema (B., Lopez-Abad, Mbombo)
(1) A classe de espacos de Banach (Rn , k·k∞ ) com imerções
isométricas lineares tem a propriedade de Ramsey contı́nua.
(2) A classes de todos os espaços de Banach de dimensão finita
tem a propriedade de Ramsey contı́nua.
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Aplicações
Teorema (B., Lopez-Abad, Mbombo)
(1) A classe de espacos de Banach (Rn , k·k∞ ) com imerções
isométricas lineares tem a propriedade de Ramsey contı́nua.
(2) A classes de todos os espaços de Banach de dimensão finita
tem a propriedade de Ramsey contı́nua.
Gurarij space G é um espço de Banach separável que contém
cada espaço de Banach de dimensão finita como um subespaço e
que é aproximadamente homogéneo por isometrias lineares
finitas.
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Aplicações
Teorema (B., Lopez-Abad, Mbombo)
(1) A classe de espacos de Banach (Rn , k·k∞ ) com imerções
isométricas lineares tem a propriedade de Ramsey contı́nua.
(2) A classes de todos os espaços de Banach de dimensão finita
tem a propriedade de Ramsey contı́nua.
Gurarij space G é um espço de Banach separável que contém
cada espaço de Banach de dimensão finita como um subespaço e
que é aproximadamente homogéneo por isometrias lineares
finitas.
Teorema (BLAM)
Isol (G) é extremamente mediável.
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Demais aplicações
1
Dinâmica topológica.
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Demais aplicações
1
Dinâmica topológica.
2
Ciência da Computação.
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Demais aplicações
1
Dinâmica topológica.
2
Ciência da Computação.
3
Teoria de modelos.
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo
Café
OBRIGADA
Dana Bartošová
Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo