desenvolvimento de um acelerômetro de bolha de

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ
RUDOLF COPI ECKELBERG
DESENVOLVIMENTO DE UM ACELERÔMETRO DE
BOLHA DE SENSIBILIDADE VARIÁVEL
Curitiba
2013
RUDOLF COPI ECKELBERG
DESENVOLVIMENTO DE UM ACELERÔMETRO DE
BOLHA DE SENSIBILIDADE VARIÁVEL
Dissertação apresentada como requisito parcial à
obtenção de grau de Mestre. Área de
concentração: Engenharia e Ciência dos
Materiais, Programa de Pós-Graduação em
Engenharia e Ciência dos Materiais - PIPE. Setor
de Tecnologia, Universidade Federal do Paraná.
Orientador: Prof. Dr. Cyro Ketzer Saul
Curitiba
2013
E19d
Eckelberg, Rudolf Copi.
Desenvolvimento de um acelerômetro de bolha de sensibilidade
variável. – Curitiba, 2013.
87f. : il.; color.; 30 cm.
Dissertação (Mestre) - Universidade Federal do Paraná, Setor de
Tecnologia, Programa de Pós-graduação em Engenharia e Ciência dos
Materiais – PIPE, 2013.
Orientador: Cyro Ketzer Saul
Bibliografia: p. 86-87.
1. Engenharia. 2. Mecânica de Fluídos. I. Saul, Cyro Ketzer. II.
Universidade Federal do Paraná. III. Título.
CDD: 532
1
Agradecimentos
Primeiramente, e, sim, o mais importante, à minha família pelo apoio e suporte,
mesmo nos momentos em que as forças me faltaram e as dificuldades me fizeram
pensar em desistir.
Ao professor Cyro, por apostar em mim e por idealizar e abraçar comigo esse
projeto “maluco” (palavras dele) e se dedicar comigo até o final para que o trabalho
ficasse pronto e desse bons resultados.
Aos colegas e amigos de laboratório pelo apoio e pelos brainstorms e
compartilhamento de conhecimentos, em especial ao Leonardo Berlim Schneider, por
ter sido um amigo muito presente em todo o período de iniciação científica e mestrado,
fosse no laboratório, no estúdio ou no bar.
Às fundações Arduino e Python, por levarem adiante seus projetos fantásticos que
tornam simples e intuitivo o processo de prototipagem e automação no desenvolvimento
de dispositivos, e por manterem esses projetos abertos para a comunidade.
2
"No fundo, todos temos necessidade de dizer quem somos
e o que é que estamos a fazer e a necessidade de deixar
algo feito, porque esta vida não é eterna e deixar coisas
feitas pode ser uma forma de eternidade."
José Saramago
3
Resumo
Sensores de aceleração são largamente empregados nos dias de hoje, no
monitoramento de acelerações de veículos, para fins de determinação de posição e
atitude, no monitoramento de vibrações, ou até mesmo na determinação da orientação
de aparatos em relação à gravidade (nível de bolha). O presente trabalho apresenta o
desenvolvimento de um novo conceito de acelerômetro, que baseia seu funcionamento
na posição de uma bolha imersa em um fluido em rotação solidária com o disco
cilíndrico que o contém. Este acelerômetro permite medir acelerações no plano paralelo
ao seu corpo e possibilita alterar a faixa de acelerações medida pela simples mudança de
sua velocidade de rotação. O dispositivo e sua plataforma foram produzidos em acrílico,
empregando técnicas de usinagem a Laser, e o sistema de controle e aquisição de dados
foi baseado na plataforma aberta Arduino. A aquisição de dados referente à posição da
bolha, sob efeito de uma aceleração externa, foi efetuada por análise de imagens obtidas
por uma câmera CCD integrada à plataforma do dispositivo, e acelerações variando
entre 1,7 m/s² e 7,50 m/s² foram utilizadas para testes em diferentes níveis de
sensibilidade. Os resultados obtidos mostraram existir uma correlação direta entre a
posição da bolha e ambas a aceleração externa e a velocidade de rotação do fluido, o
que permite o emprego deste dispositivo na determinação de direção e intensidade das
acelerações às quais o mesmo está submetido. As margens de erro para esta versão do
dispositivo estão na faixa dos 5%.
4
Abstract
Acceleration sensors are widely used nowadays, monitoring vehicles, to determine
position and attitude, monitoring vibrations and even to determine orientation regarding
the gravitational field (bubble level). This work presents the development of a novel
accelerometer concept, based on the position of a gas bubble within a fluid which is
rotating along with the cylindrical disc which contains it. This accelerometer allows
acceleration measurement in the plane parallel to its body and allows acceleration range
variation by simply changing its rotational speed. Both the device and its platform were
built using Laser machined Plexiglass. The control system and data acquisition were
based on the Arduino open system.
The bubble position data, under external
acceleration, was obtained by platform integrated CCD camera image analysis, and
accelerations ranging between 1,7 m/s² and 7,5 m/s² were measured on different
sensitivity levels. Obtained results show a direct correlation between the bubble position
and both the external acceleration and the fluid rotation speed, allowing to determine the
acceleration direction and intensity to which the device is submitted. This device
version presents error margins within 5%.
5
Símbolos
𝜌 – Densidade (massa específica);
⃗ – Campo velocidade;
𝑉
𝑟 – Posição da partícula;
𝑟0 – Centro do disco;
𝑟′ – Posição da partícula em um novo referencial;
𝑟𝑛𝑖 - Posição do referencial não inercial em relação ao referencial original;
𝜔 – Velocidade angular;
𝑣 – Velocidade da partícula;
𝑎𝑒 – Aceleração à qual o acelerômetro está sujeito;
𝑝 – Pressão;
𝜏 – Tensão de cisalhamento;
𝜇 – Viscosidade dinâmica;
𝐷𝑡 – Operador diferencial temporal total;
𝑓𝑗 – Força aplicada por unidade de volume;
𝑅𝑒 – Número de Reynolds;
𝐶𝐷 – Coeficiente de arrasto;
𝐹𝐷 – Força de arrasto;
𝐹𝐸 – Força de empuxo;
𝐹𝑎𝑒 - Força que o fluido exerce sobre a bolha por causa de 𝑎𝑒 ;
𝐹𝐶 – Força similar a empuxo que aponta para o centro do disco;
𝐹𝑆 – Força de sustentação;
𝐴 – Área projetada por um objeto;
𝑊𝑒 – Número de Weber;
𝜎 – Tensão superficial;
𝑉 – Volume;
𝑔 – Aceleração gravitacional;
𝜁 – Vorticidade;
𝛤 – Circulação;
𝐶𝐿 – Coeficiente de sustentação;
𝐶𝐿Ω – Coeficiente de sustentação alterado;
𝑏 – Coeficiente de arrasto viscoso;
6
Sumário
1. Introdução ............................................................................................................ 11
1.1. Acelerômetros............................................................................................... 11
1.1.1. Acelerômetros fluidos ........................................................................... 13
1.1.2. Desafios e obstáculos em acelerômetros ............................................... 15
1.2. Fundamentação teórica ................................................................................. 15
1.2.1. Mecânica de Fluidos .............................................................................. 15
1.2.2. Sistemas de referência não inerciais ...................................................... 24
1.2.3. Fluidos em rotação ................................................................................ 26
1.3. Proposta e Objetivos ..................................................................................... 28
2. Processo experimental ......................................................................................... 32
2.1. Materiais e Métodos ..................................................................................... 32
2.1.1. A Fresadora ........................................................................................... 33
2.1.2. Arduino .................................................................................................. 34
2.1.3. Acelerômetro MM7361 ......................................................................... 35
2.1.4. Projeto.................................................................................................... 36
2.2. Evolução do modelo experimental ............................................................... 40
2.2.1. Modelo 1 ................................................................................................ 40
2.2.2. Modelo 2 ................................................................................................ 42
2.2.3. Modelo 3 ................................................................................................ 43
2.2.4. Modelo 4 ................................................................................................ 46
2.3. A escolha do fluido sensor ........................................................................... 49
2.3.1. Definição de um diâmetro estável da bolha .......................................... 50
2.4. Obtenção dos dados ...................................................................................... 51
2.4.1. Obtenção da aceleração ......................................................................... 51
2.4.2. Obtenção da distância da bolha ao centro ............................................. 51
2.5. Arranjo experimental .................................................................................... 53
7
3. Resultados e discussão ........................................................................................ 56
3.1. Resultados experimentais ............................................................................. 56
3.1.1. Posição de equilíbrio da bolha ............................................................... 56
3.1.2. Resultados para posição da bolha .......................................................... 59
3.1.3. Análise da posição de equilíbrio da bolha ............................................. 66
4. Conclusão ............................................................................................................ 77
5. Apêndice A: Análise esquemática do arranjo experimental................................ 79
6. Apêndice B: Códigos fonte ................................................................................. 82
6.1. Programa enviado ao Arduino (C) ............................................................... 82
6.2. Programa para a obtenção da aceleração (Python) ....................................... 84
7. Referências .......................................................................................................... 86
8
Índice de Figuras
Figura 1-1 – Acelerômetro capacitivo (Freescale Semiconductor Inc.) ......................... 12
Figura 1-2 – Exemplo de acelerômetro de FBG de alavanca. a) montagem e geometria
do dispositivo; b) geometria do dispositivo exibindo elementos da malha (Basumallick
et al 2013) ....................................................................................................................... 13
Figura 1-3 – Exemplo de acelerômetro piezoelétrico proposto por Nemirovsky et al
(1995) ............................................................................................................................. 13
Figura 1-4 – Esquema do acelerômetro térmico proposto por Liao, Chen e Chou (2006)
........................................................................................................................................ 14
Figura 1-5 – de deformação de fluido viscoso contido entre placas paralelas móveis ... 17
Figura 1-6 – Modelo didático de acelerômetro de esfera de isopor. Da esquerda para a
direita, o acelerômetro pode ser visto acelerado para esquerda, em repouso e acelerado
para a direita. (representação artística) ........................................................................... 29
Figura 1-7 – Comportamento esperado para a bolha no dispositivo: a) em estado
inercial; b) sujeito a uma aceleração............................................................................... 30
Figura 2-1 – Fresadora a laser de CO2 Laser Solution 100, da Gravograph® ............... 33
Figura 2-2 – Modelo comercial de placa Arduino .......................................................... 34
Figura 2-3 – Placa MM7361, com acelerômetro MMA7361 ......................................... 36
Figura 2-4 – Peças do disco sensor em ordem de colagem ............................................ 37
Figura 2-5 – Disco sensor após montagem ..................................................................... 37
Figura 2-6 – Anel de volume com ranhura de admissão ................................................ 38
Figura 2-7 – Peças do modelo 1 em ordem de encaixe .................................................. 41
Figura 2-8 – Modelo 1 montado (representação artística) .............................................. 41
Figura 2-9 – Peças do modelo 2 em ordem de encaixe .................................................. 42
Figura 2-10 – Modelo 2 montado (representação artística)............................................ 43
Figura 2-11 – Peças do disco de encaixe sem raster, em ordem de colagem ................ 44
Figura 2-12 – Peças da plataforma com pedestal para câmera, em ordem de colagem . 45
Figura 2-13 – Peças do modelo 3 em ordem de encaixe ................................................ 45
Figura 2-14 – Modelo 3 montado (representação artística) ............................................ 46
Figura 2-15 – Peças do disco de encaixe com anel de contagem em ordem de colagem47
Figura 2-16 – Peças do modelo 4 em ordem de encaixe ................................................ 48
Figura 2-17 – Plataforma do modelo 4 montada (representação artística) ..................... 49
Figura 2-18 – Pontos marcados no disco para cálculo de distância da bolha ao centro . 52
9
Figura 2-19 – Arranjo experimental com rampa e transferidor (representação artística)54
Figura 2-20 – Ângulo de inclinação em relação à gravidade e aceleração equivalente . 54
Figura 2-21 – Arranjo experimental para observação do comportamento do sensor
sujeito a acelerações variáveis ........................................................................................ 55
Figura 3-1 – Ângulo da posição da bolha. a) aceleração nula; b) aceleração positiva em
y (resultado esperado); c) aceleração positiva em y (resultado observado) ................... 57
Figura 3-2 – Bateria completa de dados para distância da bolha ao centro em função da
aceleração medida e da velocidade angular do disco ..................................................... 60
Figura 3-3 – Número de Weber em função de 𝒂𝒆 e 𝝎................................................... 61
Figura 3-4 – Número de Reynolds em função de 𝒂𝒆 e 𝝎 .............................................. 62
Figura 3-5 – Posição da bolha (r) em função da aceleração medida (ae) para diferentes
valores de velocidade angular......................................................................................... 63
Figura 3-6 – Medidas da posição da bolha (r) em função da velocidade angular para
diferentes acelerações medidas ....................................................................................... 64
Figura 3-7 – Posição em função do inverso da velocidade angular ............................... 64
Figura 3-8 – Desvio padrão relativo médio para as medidas de distância de cada
aceleração utilizada......................................................................................................... 65
Figura 3-9 – Comparação dos dados experimentais (acima) com a equação deduzida
(abaixo). .......................................................................................................................... 67
Figura 3-10 – Diferença relativa entre modelo proposto e dados experimentais ........... 68
Figura 3-11 – Distribuição ponderada do módulo da diferença relativa entre modelo
proposto e dados experimentais (imprecisão do modelo) .............................................. 69
Figura 3-12 – Forças atuantes sobre a bolha: Sustentação, centrípeta, arrasto e força de
empuxo decorrente da aceleração externa ...................................................................... 70
Figura 3-13 – Diferença relativa entre dados experimentais e o segundo modelo
proposto .......................................................................................................................... 72
Figura 3-14 – Distribuição ponderada do módulo da diferença relativa entre o segundo
modelo e os dados experimentais (imprecisão do modelo) ............................................ 73
Figura 3-15 – Dados obtidos pelo acelerômetro de bolha em comparação com
acelerações equivalentes (pontos à esquerda) a partir da relação deduzida
empiricamente. ............................................................................................................... 75
Figura 5-1 – Visão geral do circuito do arranjo experimental ........................................ 79
10
1. Introdução
O presente trabalho tem por objetivo o desenvolvimento de um acelerômetro que
baseia suas medidas na posição de uma bolha em um fluido rotativo.
Na fase introdutória desse trabalho, pesquisou-se sobre acelerômetros comerciais
e presentes na literatura da área de sensores. São analisados de forma breve os
princípios de funcionamento e a forma de saída de cada tipo de sensor.
Em seguida, conceitos relativos à mecânica de fluidos são analisados e o
comportamento de corpos imersos em fluidos para que o comportamento do sensor
proposto possa ser entendido.
1.1. Acelerômetros
Acelerômetros são dispositivos eletromecânicos elaborados com o intuito de
medir as acelerações a que estão sujeitos em relação a referenciais inerciais. Eles
geralmente utilizam massas de prova para realizar estimativas indiretas de
aceleração de acordo com seu comportamento.
Esses dispositivos são sensíveis a campos que produzam forças (como a
gravidade e campos eletromagnéticos, dependendo da forma utilizada) e forças
fictícias que atuam em seus mecanismos devido a efeitos de não inercialidade.
Eles são geralmente aplicados em situações em que é necessário conhecer
aceleração ou orientação em relação à gravidade. Podem-se destacar as aplicações
na engenharia civil, tanto para medição de nível quanto na detecção de vibrações
(integridade estrutural), tanto em edifícios em terra firme ou plataformas
marítimas; medição de oscilações de asas em aviões; em testes de segurança de
veículos automotores; aplicações em interatividade, como em dispositivos
eletrônicos com capacidade de conhecer a própria orientação em relação à
gravidade (como celulares por exemplo) ou equipamentos eletrônicos de
entretenimento.
Os acelerômetros encontrados na literatura estão classificados de acordo com a
forma que utilizam para definir sua massa de prova. Exemplos mais comuns na
literatura são os acelerômetros capacitivos, como o descrito por Zhou et al (2012)
e o acelerômetro comercial MMA7361L utilizado como suporte e referência nesse
trabalho.
11
Um exemplo simplificado de funcionamento desse tipo de acelerômetro é
descrito pela Freescale Semiconductor Inc. como um capacitor de três placas
paralelas, das quais a central é móvel e sensível a acelerações, sendo ela a massa
de prova.
Figura 1-1 – Acelerômetro capacitivo (Freescale Semiconductor Inc.)
A capacitância do conjunto de capacitores varia de acordo com a espessura de
seus dielétricos, que por sua vez é alterada pela posição da placa central. A
variação nas capacitâncias dos dois pares de placas permite a estimativa da
aceleração.
A maioria desses acelerômetros tem como saída uma tensão analógica
proporcional à aceleração sentida. No caso do MMA7361L, a saída é diretamente
proporcional à aceleração sentida naquele eixo. Uma força restauradora atua na
placa central de forma que ela retorne ao centro. Essa força pode ser fornecida por
uma haste ou mola.
Acelerômetros de fibra óptica, baseados em redes de Bragg (também
conhecidos como FBG accelerometers – Fiber Bragg Grating accelerometers),
são largamente utilizados como sensores de vibração para aplicações em
engenharia e sismografia (Basumallick et al 2013) e compõem um nicho
significativo da literatura da área.
Basumallick et al (2013) propuseram um modelo de acelerômetro de FGB de
alavanca. Nessa variante, a massa de prova é fixada à extremidade de uma
alavanca conectada por sua outra extremidade a uma rede de Bragg. A vibração
deforma a rede e altera os comprimentos de onda filtrados, indicando assim a
oscilação do sistema.
12
Figura 1-2 – Exemplo de acelerômetro de FBG de alavanca. a) montagem e geometria do
dispositivo; b) geometria do dispositivo exibindo elementos da malha (Basumallick et al 2013)
Outra variante comum de acelerômetro comercial utiliza de alavancas ou
materiais elásticos piezoelétricos ligados à massa de prova. A tensão ou a corrente
gerada por esse material é utilizada como medida para a aceleração. Essa é a
variante de sensores utilizados para medir acelerações em aviões. Nemirovsky, et
al (1995) propõe um modelo de acelerômetro seguindo esse princípio.
Figura 1-3 – Exemplo de acelerômetro piezoelétrico proposto por Nemirovsky et al (1995)
1.1.1. Acelerômetros fluidos
Outras formas de acelerômetro utilizam fluidos para a medida das forças
fictícias. Um exemplo bastante encontrado na literatura é o acelerômetro
térmico, para o qual uma fonte de calor em um meio fluido gera diferenças de
13
densidade, e sensores térmicos estimam o deslocamento da fase quente para o
cálculo indireto da aceleração.
Algumas variantes desse princípio são descritas por Silva et al (2012) e
Liao, Chen e Chou (2006).
Figura 1-4 – Esquema do acelerômetro térmico proposto por Liao, Chen e Chou (2006)
O nível de bolha, que consiste em uma caixa de teto parabólico cheia de
fluido (normalmente álcool etílico) com uma bolha de ar, é uma forma comum
de acelerômetro utilizado especialmente na construção civil e em laboratórios.
Sua finalidade é sentir a gravidade e assim demonstrar a orientação de um
plano em relação a ela.
Tanto os acelerômetros térmicos quanto os níveis de bolha se beneficiam de
diferenças de densidade entre meio fluido e massa de prova, que no segundo
caso podem passar da razão 1000:1. Como as forças volumétricas atuantes em
corpos imersos em fluidos são proporcionais à massa do fluido deslocado pelo
objeto, diferenças grandes de densidade geram forças grandes em relação ao
peso ou forças fictícias que atuem sobre a massa de prova.
De forma semelhante ao nível de bolha, o presente trabalho propõe um
acelerômetro baseado na monitoração do comportamento de uma bolha imersa
em um fluido. Tirando proveito da grande diferença de densidade entre a
maioria dos líquidos com o ar, busca-se o desenvolvimento de um acelerômetro
14
de sensibilidade variável usando, ao invés de uma caixa de face curva, um
sistema de rotação para gerar uma força restauradora.
1.1.2. Desafios e obstáculos em acelerômetros
As maiores barreiras para o desenvolvimento de uso de acelerômetros
residem em precisão e sensibilidade.
Em termos de precisão a maioria dos acelerômetros comerciais sofre com o
efeito de drift (ou “deriva”), que é uma oscilação constante ou um desvio na
medida que aumenta sensivelmente o desvio padrão dos resultados. Por
consequência, a maioria das aplicações que envolvem precisão dependem da
escolha cuidadosa do equipamento com a menor oscilação para aquela situação
específica. Em alguns casos pode haver um leve desvio na medida que introduz
um erro sistemático que pode ser resolvido com calibragem.
A maioria das variantes de acelerômetros tem sua sensibilidade (e alcance
de medidas) bem definida. Para aplicações em que diferentes sensibilidades são
necessárias, os aparatos costumam ser compostos por dois ou mais sensores
diferentes selecionáveis, como duas hastes de comprimentos diferentes ou
conjuntos diferentes de capacitores.
Os
exemplos
de
acelerômetros
aqui
mencionados
são
todos
unidimensionais. Para cobrir duas ou três dimensões, os equipamentos
costumam contar com conjuntos de sensores ortogonais.
1.2. Fundamentação teórica
Para o entendimento dos fenômenos envolvidos no desenvolvimento do sensor
de aceleração aqui proposto serão abordados alguns tópicos fundamentais de
Mecânica dos Fluidos e de sistemas de referência não inerciais.
1.2.1. Mecânica de Fluidos
Hipótese do contínuo
A base da Mecânica dos Fluidos clássica é a hipótese do contínuo, forma de
análise que desconsidera o comportamento granular do fluido e o trata de
acordo com leis válidas para meios contínuos. Assim sendo, elas são válidas
apenas em limites em que essa aproximação é razoável, ou seja, quantidades de
15
fluido grandes o suficiente para que o comportamento granular seja desprezível
(Fox, McDonald e Prichard, 2004, e Landau e Lifshitz, 1959).
Para um fluido contínuo é válida a definição de um campo escalar
densidade, que define a forma como a massa está distribuída no volume e no
tempo. Vale então:
𝜌 = 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
(1)
Outro campo relevante para a mecânica dos fluidos quanto se estuda o
movimento é o campo vetorial velocidade, que definirá o fluxo em cada ponto
do volume do fluido em estudo.
⃗ =𝑉
⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
𝑉
(2)
A definição da velocidade como um campo e, portanto, uma propriedade do
ponto fixo no espaço é também conhecida como descrição de Euler. A análise
de uma partícula de fluido, ou de uma partícula nele imersa, e das forças que
nela atuam caracteriza a descrição de Lagrange (Batchelor, 2000). Em muitos
casos em que são analisadas partículas imersas em um fluido, uma abordagem
mista é empregada.
Outra grandeza importante para a Mecânica dos Fluidos é a pressão. Ela é
definida pelo campo escalar:
𝑝 = 𝑝(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
(3)
A pressão define a força que um fluido exerce sobre uma superfície em seu
volume. Os gradientes de pressão serão particularmente importantes ao longo
desse trabalho, uma vez que são responsáveis pela maior parte das forças
participantes na dinâmica de fluidos.
Viscosidade
Um fluido sujeito a uma tensão de cisalhamento responde com uma
resistência à deformação. Isso decorre de forças intermoleculares internas a ele.
A propriedade atribuída aos fluidos devido a esse comportamento é a
viscosidade, que é um análogo à plasticidade nos sólidos.
16
Figura 1-5 – de deformação de fluido viscoso contido entre placas paralelas móveis
A figura 1-5 mostra o perfil de deslocamento de um fluido confinado entre
duas placas paralelas que se deslocam entre si.
Fluidos que se deformam continuamente sob ação de uma tensão de
cisalhamento são denominados newtonianos e os demais são denominados não
newtonianos.
Para fluidos newtonianos vale (Fox, McDonald e Pritchard, 2004, Vanyo,
1993):
𝜏=𝜇
𝑑𝑢
𝑑𝑦
(4)
onde 𝜏𝑦𝑥 é a tensão gerada pela força atuante e a derivada de u em y define o
perfil de velocidade do fluido ao longo do eixo y. A grandeza 𝜇 é a viscosidade
dinâmica.
Em casos de escoamento, situações onde a viscosidade é relevante ao
problema caracterizam escoamentos viscosos. Situações onde a viscosidade
pode ser desprezada sem prejuízo à análise são considerados não-viscosos (ou
invíscidos). É importante ressaltar que a definição de um problema viscoso ou
não viscoso é uma característica do fluxo e não algo intrínseco ao fluido
(Bejan, 1995).
Tensão superficial
Enquanto ao longo do volume as interações entre as moléculas tendem a
gerar efeitos de viscosidade, a superfície do fluido terá uma energia a ela
relacionada. Essa energia gera uma tensão chamada tensão superficial.
17
Para efeitos de minimização de energia de superfície, as superfícies líquidas
tendem a gerar formas arredondadas, pois são as formas de menor área para um
dado volume. Esse é o principal motivo de bolhas e gotas tenderem a formas
esféricas.
Adimensionais
No estudo de Mecânica dos Fluidos, algumas grandezas adimensionais se
tornam particularmente úteis para a análise dos problemas.
A partir da equação de Navier-Stokes, uma relação entre velocidade,
densidade e viscosidade pode ser observada. Essa relação foi notada por
Reynolds que desenvolveu um adimensional particularmente útil na solução
dessa equação, dado por:
𝑅𝑒 =
𝜌𝐿𝑈
𝜇
(5)
onde L é um comprimento característico do problema e U é a velocidade
característica (Vanyo, 1993).
O número de Reynolds, como é conhecido, é particularmente útil para a
estimativa do regime de escoamento quanto à laminaridade: baixos números de
Reynolds resultam de uma viscosidade alta em relação ao tamanho dos
obstáculos e as velocidades envolvidas no problema, o que sugere escoamentos
laminares.
De acordo com Bejan (1995), o número de Reynolds pode ser definido a
partir da camada limite (a distância do obstáculo ou parede a partir da qual sua
influência no movimento do fluido pode ser desprezada) e do tamanho do
obstáculo relevante. A definição é dada a partir da seguinte relação:
𝑅𝑒 1/2 =
𝐷𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑑𝑜 𝑜𝑏𝑠𝑡á𝑐𝑢𝑙𝑜
𝐿𝑎𝑟𝑔𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒
(6)
O autor argumenta que o significado físico está na raiz quadrada do número
de Reynolds ao invés do número em si, pois é ela que tem uma interpretação
física mais concreta.
Esse adimensional também é útil para a definição da forma relevante do
arrasto para o problema (que será discutido adiante).
18
O arrasto geométrico sobre um corpo imerso no fluido é fortemente
dependente do coeficiente de arrasto, definido como:
𝐶𝐷 =
𝐹𝐷
1 2
2 𝜌𝑉 𝐴
(7)
onde 𝐹𝐷 é a força de arrasto e A é a área da sombra gerada pelo objeto. Para a
maioria das situações, o valor de 𝐶𝐷 deverá ser deduzido empiricamente.
Por conveniência, a maioria das deduções empíricas liga o coeficiente de
arrasto ao número de Reynolds. Para uma bolha de ar livre de deformações e
em fluxo uniforme de um líquido, Mei, Klausner e Lawrence (1994), citados
por Nierop et al (2007), deduziram uma formulação empírica válida para
limites altos e baixos de números de Reynolds:
𝐶𝐷 =
−1
16
8 1
[1 + [ + (1 + 3,314𝑅𝑒 −1/2 )] ]
𝑅𝑒
𝑅𝑒 2
(8)
Outro adimensional relevante para esse trabalho é o número de Weber
(Nierop et al, 2007), útil para o estudo do movimento de bolhas, definido como
2
⃗ − 𝑣|
2𝑅𝑏 𝜌𝑙 |𝑉
𝑊𝑒 =
𝜎
(9)
onde 𝑅𝑏 é o raio da bolha, 𝜌𝑙 a densidade do líquido onde a bolha se forma, 𝜎 é
⃗ é o campo velocidade do fluido e 𝑣 a velocidade da
a tensão superficial, 𝑉
bolha, determina uma razão de peso entre as propriedades do fluido, a
velocidade relativa entre fluido e bolha e a tensão superficial, pesando assim a
influência da tensão superficial na formação de bolhas ao longo do problema.
De acordo com Nierop et al (2007) números de Weber muito menores que 1
indicam a tendência de bolhas serem esféricas, informação que será importante
para a formulação da força de arrasto.
O estudo do efeito da sustentação induzida por cisalhamento é fortemente
dependente de um coeficiente denominado coeficiente de sustentação, que a
princípio é desconhecido no início da análise de um problema.
A análise do comportamento de uma massa fluida sujeita a efeitos de massa
virtual (discutidos adiante) pode ser realizada de acordo com um coeficiente de
massa virtual, dependente especialmente da geometria do corpo.
19
Regimes de escoamento laminar e não laminar
Um escoamento ocorre quando o campo velocidade possui uma média em
um dado sentido. Em um escoamento viscoso, a viscosidade tenderá atenuar o
perfil da distribuição da velocidade ao longo do volume.
Quando a viscosidade é suficientemente alta para o perfil de velocidade do
escoamento e a forma dos obstáculos, a velocidade tenderá a padrões suaves
aproximadamente unidirecionais. Essa situação caracteriza um escoamento
laminar.
Em velocidades mais altas e em situações onde o escoamento atravessa
obstáculos, o comportamento do campo velocidade se torna mais difícil de
modelar devido à geração de turbulências, que são vórtices no escoamento
ligados a dissipação de energia. O escoamento que segue esse regime é
considerado turbulento ou não laminar.
Essa distinção é realizada predominantemente pelo número de Reynolds,
discutido anteriormente. Em situações onde trocas de calor são relevantes ao
problema, a observação do número de Grashof ou do número de Rayleigh
(Bejan, 1995) oferece uma análise mais completa.
Para cada obstáculo ou largura de canal relevante para o problema existe
uma condição diferente de número de Reynolds que define o regime de
escoamento quanto à laminaridade. A situação onde o escoamento muda de
laminar para não laminar é chamada de regime de transição.
Para a maioria dos problemas, a largura do canal é o comprimento mais
relevante a ser considerado, mas em muitas situações outros parâmetros, como
tamanho de obstáculo ou afins podem ser mais importantes.
Bejan (1995) explica que para um número de Reynolds local (ou seja,
considerando a escala de velocidade longitudinal e tomando como
comprimento característico a dimensão transversal do canal) o número de
Reynolds que caracteriza regime de transição será tipicamente da ordem de
102 .
Muitos estudos são desenvolvidos no sentido de entender a influência de
bolhas sobre o regime do fluido ao seu redor e, igualmente, os efeitos de
turbulências sobre os movimentos de bolhas.
20
Nagami e Saito (2012) realizam um estudo de movimento ascendente de
bolhas de CO2 em líquidos em grade oscilatória (turbulência induzida).
Comparando seus resultados com os de Poorte e Biesheuel (2002), os autores
argumentam que as constantes mudanças de trajetórias de bolhas nessa situação
causadas por turbulências locais são menos intensas em bolhas de menor
diâmetro equivalente.
Fluidos compressíveis e incompressíveis
Um fluido é tido como compressível em uma análise se sua densidade pode
variar ao longo do espaço ou do tempo. Gases são bons exemplos de fluidos
compressíveis.
Um fluido incompressível não admite variações de densidade. Assim sendo,
gradientes de densidade não podem ser admitidos nesse regime. Outra
consequência natural da incompressibilidade é a não existência de divergentes
de velocidade (Landau e Lifshitz, 1959), uma vez que a massa não pode se
acumular em regiões de fluidos. A maior parte dos líquidos em temperaturas e
pressões tipicamente ambientes se comporta de forma incompressível.
É importante ressaltar que essa distinção é fortemente dependente do
problema analisado.
A Equação de Navier-Stokes
Como comentado anteriormente, a Mecânica dos Fluidos parte das leis da
Mecânica Clássica para meios contínuos. Isso significa que em limites
clássicos deve-se observar conservação de massa, momento e energia.
Com base nos campos descritos anteriormente e na conservação das
grandezas físicas, Navier e Stokes realizaram trabalhos no sentido de
desenvolver uma equação diferencial parcial que descreve o escoamento de
fluidos viscosos. Ela é obtida a partir da equação de Euler, e em sua forma
geral pode ser escrita como (Bruus, H, 2006):
⃗ ) = ∑ 𝑓𝑗
𝜌(𝐷𝑡 𝑉
𝑗
(10)
⃗ é o diferencial total temporal aplicado sobre o campo
O termo 𝐷𝑡 𝑉
velocidade, e pode ser descrito como:
⃗ =
𝐷𝑡 𝑉
⃗
𝜕𝑉
⃗ . ∇)𝑉
⃗
+ (𝑉
𝜕𝑡
(11)
21
Os termos 𝑓𝑗 são as forças atuantes sobre a unidade de volume de massa
fluida.
Quando a pressão ao longo do volume de um fluido varia, forças de volume
tenderão a transportar massa fluida da região de maior para a de menor pressão.
Essa força, aplicada sobre uma unidade de volume, pode ser escrita como:
𝑓𝑝 = −∇𝑝
(12)
que é a força de pressão.
Um fluido viscoso exerce forças sobre si mesmo ao longo do volume. Essa
força depende da laplaciana do campo velocidade e pode ser descrita da
seguinte forma:
⃗
𝑓𝑣 = 𝜇∇2 𝑉
(13)
onde 𝜇 é a viscosidade dinâmica.
Quando o escoamento em questão é incompressível e pode ser considerado
newtoniano e laminar, essas serão as forças relevantes para a maior parte dos
problemas. Nesse regime, a equação (10) assume a seguinte forma:
𝜌(
⃗
𝜕𝑉
⃗ . ∇)𝑉
⃗ ) = −∇𝑝 + 𝜇∇2 𝑉
⃗
+ (𝑉
𝜕𝑡
(14)
Essa é a equação de Navier-Stokes (Landau e Lifshitz, 1959, e Vanyo,
1993) para escoamentos incompressíveis, newtonianos e laminares, e será
válida para velocidades subsônicas.
Outras forças que atuem sobre elementos de volume do fluido devem ser
adicionadas ao lado direito da equação.
Forças atuantes em corpos imersos em fluidos
Um meio fluido interage com corpos nele imersos de diversas formas. As
principais delas são o arrasto e o empuxo.
Arrasto
Todo corpo que se move em um fluido sofre uma resistência chamada
arrasto. O arrasto é uma combinação de forças de pressão e forças decorrentes
da viscosidade, e cresce com a velocidade relativa.
22
A componente viscosa do arrasto é denominada arrasto viscoso e é
diretamente proporcional à velocidade. A componente de pressão do arrasto é
denominada arrasto de pressão ou arrasto geométrico e é proporcional ao
quadrado da velocidade.
A forma geral do arrasto viscoso é:
⃗)
𝐹𝐷 = −𝑏(𝑣 − 𝑉
(15)
onde 𝑏 é um valor fortemente dependente da viscosidade do fluido e da
geometria do objeto, e é obtido empiricamente para cada problema particular.
Para uma esfera sólida sujeita a um arrasto predominantemente viscoso
(números de Reynolds muito baixos), um valor conhecido para a força de
arrasto pode ser aplicado:
⃗)
𝐹𝐷 = −6𝜋𝜇𝑅(𝑣 − 𝑉
onde R é o raio da esfera.
O arrasto geométrico é dado pela equação do arrasto:
⃗)
1
(𝑣 − 𝑉
2
⃗ | 𝐶𝐷 𝐴
𝐹𝐷 = − 𝜌|𝑣 − 𝑉
2
⃗|
|𝑣 − 𝑉
(16)
onde A é a área da sombra do corpo perpendicular ao sentido do escoamento e
𝐶𝐷 é o coeficiente de arrasto.
A forma relevante para a força de arrasto é escolhida a partir do número de
Reynolds e da geometria do corpo em questão. De um ponto de vista geral, a
região de transição entre as duas formas está em números de Reynolds
próximos a 1000.
Empuxo
O empuxo é uma força decorrente de gradientes de pressão. Massas fluidas
sujeitas a forças de volume, como o peso ou uma ação eletromagnética,
formam gradientes de pressão em seu interior, de forma que corpos ali imersos
estarão sensíveis a eles.
A forma de empuxo mais comum na maioria dos problemas é o
gravitacional, dado por:
𝐹𝐸 = −𝜌𝑔𝑉
23
onde 𝜌 é a densidade do fluido, 𝑔 é o vetor gravidade atuando na região e 𝑉 é o
volume de fluido que o corpo desloca. Outros campos que gerem forças sobre o
volume do fluido também poderão causar empuxo, como será visto adiante.
Força de Basset e efeito de massa virtual
Em sistemas fluidos que envolvem movimentação relativa entre fases, como
no caso de bolhas em fluidos, o movimento e a aceleração de uma fase gera
efeitos inerciais internos. Esses efeitos se dividem em duas componentes
principais: o chamado efeito de massa virtual (added mass effect) e a força de
Basset (Basset force ou history force).
O primeiro termo provém do fato da partícula fluida que se move não se
comportar como um corpo rígido, e apresentar internamente movimentos
decorrentes de acelerações.
O segundo termo corresponde ao efeito viscoso, e geralmente se manifesta
após a aceleração da massa fluida, atuando como um efeito de memória. Na
maioria dos casos, essa força tem pequeno peso sobre o resultado final do
problema, e pode ser negligenciada (por questões de conveniência). Para casos
de escoamento de partículas fluidas de múltiplas fases em baixos números de
Reynolds (Re<5), porém, seu efeito pode ser relevante.
1.2.2. Sistemas de referência não inerciais
A definição de sistemas de referência é vital e sempre está implícita na
análise de qualquer problema físico. As leis de Newton e aquelas que dela
derivam consideram o universo analisado de um referencial inercial, ou seja,
um referencial que não sofre acelerações (força resultante sobre o referencial é
nula).
Quando a análise por um referencial não inercial é conveniente, correções
precisam ser aplicadas às leis físicas relevantes, especialmente a Segunda Lei
de Newton. As acelerações a que esse referencial está sujeito são então
acopladas como correções nos corpos analisados.
Dado um corpo que se move de acordo com uma função 𝑟(𝑡) em relação a
um referencial inercial, a segunda lei de Newton para esse referencial será:
𝑑2𝑟
∑ 𝐹 = 𝑚 2 (𝑡)
𝑑𝑡
24
Caso um referencial não inercial seja adotado, a relatividade de Galileu
sugere como transformação de referencial a subtração da variação de posição
do novo referencial. Dessa forma, se o novo referencial sofre uma aceleração
𝑎, a nova forma para a segunda lei seria:
𝑑2𝑟
𝑑2𝑟 ′
∑ 𝐹 ′ = 𝑚 [ 2 (𝑡) − 𝑎] = 𝑚 2
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Por esse motivo, referenciais não inerciais observam forças denominadas
fictícias, que surgem dos termos adicionados à aceleração na segunda lei. As
possíveis componentes de forças fictícias a serem adicionadas aos modelos não
inerciais surgem de translações e rotações do referencial.
A Segunda Lei de acordo com um sistema de coordenadas em movimento
arbitrário pode ser descrita da seguinte forma (Thornton e Marion, 2004):
𝑚
𝑑2𝑟′
𝑑 2 𝑟 𝑑 2 𝑟𝑛𝑖 𝑑𝜔
⃗
=
𝑚
[
−
−
× 𝑟 ′ − 2𝜔
⃗ × 𝑣𝑀 − 𝜔
⃗ × (𝜔
⃗ × 𝑟 ′ )]
𝑑𝑡 2
𝑑𝑡 2
𝑑𝑡 2
𝑑𝑡
(17)
Onde:

𝑟 é a posição do corpo em relação ao referencial inercial anterior;

𝑟𝑛𝑖 é a posição do novo referencial não inercial em relação ao
anterior;

𝜔
⃗ é a velocidade angular com que o novo referencial gira em torno
de si;

𝑟 ′ é a posição do corpo em relação ao novo referencial.
O primeiro e o segundo termos subtraídos são decorrentes da aceleração de
translação e de rotação do referencial. O termo translacional é o mais relevante
para acelerômetros.
𝐹𝑡𝑟𝑎𝑛𝑙 = −𝑚
𝐹𝑟𝑜𝑡 = −𝑚
𝑑 2 𝑟𝑛𝑖
𝑑𝑡 2
𝑑𝜔
⃗
× 𝑟′
𝑑𝑡
O termo seguinte é a aceleração de Coriolis, que decorre da variação de
trajetória observada quando o corpo se desloca em relação ao referencial. O
último termo é a aceleração centrífuga.
𝐹𝑐𝑜𝑟 = −2𝜔
⃗ × 𝑟′
25
𝐹𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟 = −𝜔
⃗ × (𝜔
⃗ × 𝑟 ′)
Referencial rotacional contra referencial não rotacional
É importante entender que a equação (17) leva em consideração fatores não
inerciais no referencial. As forças de cunho rotacional, dependentes de 𝜔
⃗ , só
existirão quando o sistema de referência gira.
No estudo de fluidos em rotação, essas forças só serão consideradas para
referenciais rotacionais. Assim sendo, as forças de Coriolis, centrípeta e fictícia
de aceleração angular não podem ser consideradas para referenciais de
aceleração puramente translacional (distinção importante nesse trabalho).
1.2.3. Fluidos em rotação
Para o estudo de fluidos em rotação é conveniente a introdução da grandeza
vorticidade (Vanyo, 1993), que está relacionada com a velocidade do fluido em
torno de um núcleo de rotação. Essa grandeza é estudada intensivamente em
engenharia para problemas em que turbulências influenciam drasticamente a
dinâmica do dispositivo.
A vorticidade é um vetor definido pelo rotacional do campo velocidade do
fluido:
⃗
𝜁 = ∇×𝑉
Para um fluido de velocidade angular constante 𝜔
⃗ , a vorticidade assume a
forma:
𝜁 = 2𝜔
⃗
Define-se como circulação ao redor de uma área a integral de caminho
fechado da velocidade do fluido pelo elemento de comprimento ao longo da
curva C, tal que C define a curva fechada que circunscreve a área.
⃗ . 𝑑𝑙
𝛤=∮ 𝑉
𝐶
Um corpo imerso em um vórtice estará sujeito a uma força de sustentação,
uma força que recebeu seu nome da aerodinâmica de aviões e surge da
diferença de pressão gerada pela diferença de velocidade do fluido em lados
opostos do objeto. Ela pode ser definida a partir da circulação ao redor do
objeto:
26
𝐹𝑆 = −𝜌𝑉𝛤
Para um fluido em rotação, o conjunto de forças que garante a vorticidade
tem resultante centrípeta. O comportamento do fluido ao redor do vórtice pode
ser tratado como fruto de um mínimo de pressão no núcleo e um gradiente
radial que aponta do núcleo para a borda.
A conseqüência desse efeito é a existência de uma força similar ao empuxo
sobre corpos no vórtice, mas apontando para o centro. De acordo com esse
modelo, em um fluido que gira a uma velocidade angular constante 𝜔, corpos
próximos ao centro de vorticidade 𝑟0 estarão sujeitos a uma força 𝐹𝑐 tal que:
𝐹𝑐 = −𝜌𝑙 𝑉𝜔2 (𝑟 − 𝑟0 )
(18)
onde 𝜌𝑙 é a densidade do fluido e 𝑉 é o volume do corpo. Essa força fará com
que corpos de densidade menor que a do fluido tendam a se concentrar no
centro de rotação. Essa força centrípeta será equivalente à força de massa
virtual.
Uma bolha esférica imersa em um fluido gera uma componente modificada
da força de sustentação, denominada sustentação induzida por cisalhamento.
Essa força surge do fato de que a presença da bolha muda o perfil de
velocidade do fluido ao seu redor.
Magnaudet e Eanes (2000) escreveram uma forma para a força resultante
sobre bolhas esféricas em escoamentos invíscidos. De acordo com seu modelo,
uma bolha tratada como partícula obedecerá à seguinte forma para a Segunda
Lei de Newton:
𝜌𝑙 𝑉𝑏 𝐶𝐴
𝑑𝑣
⃗ + 𝜌𝑙 𝑉𝑏 𝐶𝐿 (𝑉
⃗ − 𝑣 ) × (∇ × 𝑉
⃗)
= 𝜌𝑙 𝑉𝑏 (𝐶𝐴 + 1)𝐷𝑡 𝑉
𝑑𝑡
1
⃗ − 𝑣 |(𝑉
⃗ − 𝑣 ) − 𝜌𝑙 𝑉𝑏 𝑔
+ 𝜌𝑙 𝐶𝐷 𝐴|𝑉
2
(19)
Essa equação leva em consideração arrasto, empuxo, efeitos de massa
virtual e força de sustentação, e de acordo com os autores é válida para
números de Reynolds maiores que 5. O valor de 𝐶𝐴 para bolhas esféricas é 1/2
para qualquer número de Reynolds (Lamb, 1934, citado por Nierop et al 2007).
Para um fluido em rotação “rígida” (velocidade angular constante em
relação ao centro do vórtice), o perfil de velocidade pode ser descrito por:
⃗ (𝑟) = 𝜔𝑟𝜃̂
𝑉
27
Isso implica em afirmar que:
⃗ = 2𝜔
∇×𝑉
⃗
⃗ = −𝜔2 𝑟
𝐷𝑡 𝑉
Nierop et al (2007) concluíram que uma forma conveniente para a
combinação da força de sustentação induzida por cisalhamento com o efeito de
massa virtual para bolhas em repouso (𝑣 = 0) nesse regime de escoamento é:
𝐹𝑆 + 𝐹𝐴 = 2𝐶𝐿𝛺 𝜌𝑙 𝑉𝑏 𝜔2 𝑟
(20)
Onde:
1
𝐶𝐿𝛺 = 𝐶𝐿 − (1 + 𝐶𝐴 )
2
A equação (20) corresponde ao primeiro e ao segundo termos ao lado direito
da equação (19), e é possível verificar que ela inclui a força descrita pela
equação (18).
Essa equação revela uma característica importante do equilíbrio de forças
atuante sobre uma bolha em um vórtice: o conjunto de forças que resulta da
rotação do fluido tende a trazer a bolha para o centro da vorticidade. A
intensidade dessa força será proporcional à velocidade angular do vórtice.
1.3. Proposta e Objetivos
O modelo didático que inspirou o trabalho utiliza uma esfera de isopor imersa
em água. Acelerações sobre o recipiente geram gradientes de pressão que
movimentam a esfera na direção da aceleração. Um fio preso ao fundo do
recipiente garante que a esfera se mantenha longe das paredes e retorne ao centro
após o fim da aceleração.
28
Figura 1-6 – Modelo didático de acelerômetro de esfera de isopor. Da esquerda para a direita, o
acelerômetro pode ser visto acelerado para esquerda, em repouso e acelerado para a direita.
(representação artística)
Observou-se que as características importantes para o funcionamento desse
modelo didático como sensor são a diferença de densidade entre a água e o isopor
e a tração do fio, que em conjunto com o empuxo atua como força restauradora.
Para esse trabalho, propôs-se o uso de uma bolha de ar e de um sistema em
rotação, de forma que as forças fictícias atuantes sobre o fluido gerassem um
gradiente de pressão que trouxesse a bolha ao centro. A intensidade dessas forças
poderia ser controlada a partir da velocidade angular com que se gira o fluido, o
que permitiria a mudança da sensibilidade do sensor.
Esperou-se que o sistema se comportasse de maneira que:

A bolha se mantivesse ao centro enquanto o sistema não fosse
acelerado;

A bolha se deslocasse no sentido da aceleração quando ela ocorresse;

O arrasto do fluido sobre a bolha deslocasse sua posição no sentido da
rotação;

A bolha se afastasse do centro de rotação a uma distância maior para
acelerações maiores.
29
Figura 1-7 – Comportamento esperado para a bolha no dispositivo: a) em estado inercial; b) sujeito
a uma aceleração.
Assim sendo, definiu-se como o objetivo geral desse trabalho:

A elaboração de um acelerômetro fluido bidimensional de sensibilidade
variável a partir de uma bolha de ar em um disco de fluido em rotação.
Como objetivos específicos foram definidos:

O entendimento do comportamento do acelerômetro didático tomado
por base;

A aplicação de seu princípio em um acelerômetro de bolha de ar em
fluido em rotação;

A construção do dispositivo acelerômetro;

A análise dos parâmetros envolvidos em seu uso para medidas de
aceleração;

A caracterização do dispositivo enquanto sensor.
A escolha da bolha como massa de prova se deve especialmente à grande
diferença de densidade entre o ar e a maior parte dos líquidos.
Com a conclusão desse trabalho buscou-se a obtenção de um dispositivo sensor
de aceleração e sensibilidade continuamente variável. Na maior parte das
aplicações onde é necessária a variação da sensibilidade, os dispositivos
comerciais dispõem de múltiplos arranjos sensores, cada um com uma
sensibilidade distinta. O uso desse princípio na medida de acelerações é inédito e
até agora não pôde ser encontrado na literatura.
30
Nesse trabalho foi desenvolvido um sensor cuja sensibilidade pode ser variada
arbitrariamente com a mudança da velocidade angular do disco, e o ajuste fino
pode ser realizado ao limite da precisão da variação de rotação.
31
2. Processo experimental
Para atingir os objetivos propostos, o primeiro passo foi a construção de um disco
transparente plano e oco dentro do qual se pudesse injetar o fluido que atuará como
sensor.
Ao disco foi acoplado um mecanismo de rotação e foi escolhido um método de
captura de imagem para análise. Como a velocidade angular se mostrou um
parâmetro importante na análise do sensor, uma forma para sua medição foi
escolhida.
2.1. Materiais e Métodos
O material escolhido foi o PMMA por ser transparente e adequado para a
usinagem a laser, possibilitando a confecção de vários sensores e da reposição
mais rápida de peças danificadas. Diferentes formas de cola e vedação foram
experimentados.
Para a captura de imagem, foi utilizada uma câmera CCD de interface USB e
software de captura (Cheese).
Para a rotação do disco foram testados diversos motores com a finalidade de
determinar o mais adequado. Buscou-se um motor que permitisse uma rotação a
velocidade angular controlável e constante, com baixo ruído (tanto elétrico quanto
mecânico) e que não perdesse torque nas diversas situações de velocidade angular
experimentadas. Por fim, optou-se por um motor de corrente contínua com
redução.
O aparato foi controlado por um Arduino, uma plataforma de prototipagem
eletrônica de fonte aberta composta por um microprocessador capaz de realizar
tarefas programadas e com interface serial para comunicação com um
computador.
Como referência para medidas, utilizou-se um acelerômetro comercial, um
MMA7361, baseado em um acelerômetro microfabricado da Freescale
Semiconductors.
32
2.1.1. A Fresadora
Para o corte de peças de acrílico, adotou-se a técnica da fresagem a laser. O
equipamento utilizado foi a fresadora a laser de CO2 Laser Solution 100, da
empresa Gravograph®.
Figura 2-1 – Fresadora a laser de CO2 Laser Solution 100, da Gravograph®
Este equipamento usa um laser de CO2 de 30W e uma lente convergente
com a finalidade de concentrar a incidência no ponto focal. O aparato é preso a
dois trilhos ortogonais e conduzido por motores de passo, de modo que há
liberdade de movimento em duas dimensões (mesa x-y).
O equipamento se conecta ao computador pela porta de impressora. O
software que o controla é compatível com desenho vetorial, permitindo assim
bom controle das linhas de corte de forma mais intuitiva.
Por software, as variáveis controláveis são a potência do laser e a velocidade
de deslocamento ao longo dos trilhos. Na máquina, a altura da bandeja pode ser
definida, de forma a variar a posição da peça fresada em relação ao foco da
lente do laser.
Foi utilizado nesse trabalho o software Corel Draw para o desenho das
peças e impressão. Schneider (2010) realizou um estudo pormenorizado do uso
dessa máquina para a confecção de peças em acrílico utilizando o mesmo
programa.
Os dois modos de trabalho disponíveis e utilizados nesse trabalho são:
Vector: o software utiliza os contornos das formas enviadas em formato
vetorial e o laser percorre o mesmo trajeto, sendo essa uma ferramenta ideal
para corte;
Raster: o software envia as áreas das formas geométricas e o laser faz um
mapeamento completo, sendo esse método ideal para a formação de escavações
nas peças.
33
Análises dos perfis de corte por ablação a laser a partir desse equipamento
foram realizadas por Schneider (2010) e por Rahal (2011) para peças em
PMMA.
2.1.2. Arduino
O Arduino é uma iniciativa de fonte aberta que tem por intuito facilitar a
prototipagem eletrônica para fins de estudo e hobbismo.
Sua base é um processador das séries ATMega, que variam de 8 a 32 bits, e
tem por padrão 14 pinos digitais de entrada e saída (I/O) e 6 pinos analógicos
de entrada. Ele é capaz de armazenar um programa escrito em linguagem C
pelo usuário e enviado a partir de interface serial e usá-lo para definir seu
comportamento. A equipe Arduino disponibiliza gratuitamente na Internet todo
o software necessário para a operação desse equipamento, tal como referências
de programação e prototipagem eletrônica.
A alimentação do aparato pode ser fornecida por uma fonte externa, mas
pode também ser provida pela interface USB, que atuará como uma porta serial
virtual e fonte de alimentação simultaneamente.
Figura 2-2 – Modelo comercial de placa Arduino
Os pinos digitais podem ser inicializados como entrada (INPUT) ou saída
(OUTPUT). Quando configurado como entrada, o pino entra em um estado de
alta impedância e o processador passa a medir a tensão nele aplicada. Caso a
tensão seja maior ou igual a 3V em relação ao terra, diz-se que ele está em
estado ALTO (“HIGH” = 1 lógico) . Caso contrário, estará em estado BAIXO
34
(“LOW” = 0 lógico). Uma função pode ser usada no programa passado à placa
para testar o estado de um pino de entrada.
Caso seja inicializado como saída, um pino digital entrará em estado de
baixa impedância. Uma função pode ser chamada pelo programa para que o
processador altere sua tensão para 5V (HIGH) ou terra (LOW). Uma saída
digital pode suprir uma corrente de 40mA, suficiente para alimentar um LED
ou fornecer corrente para alimentar a base de um transistor de junção bipolar.
O Arduino possui uma função interna para que um pino digital de saída se
comporte como um modulador de largura de pulso (PWM) controlado pelo
programa.
Os pinos analógicos do Arduino são usados para medir a tensão neles
aplicada, uma informação particularmente útil para a aquisição de dados de
sensores e potenciômetros. A tensão medida é convertida para um formato
digital de 10 bits, entendido como um número inteiro de 0 (para tensões iguais
ao terra) a 1023 (para tensões iguais a 5V ou a outra referência definida
externamente). Apesar dessa funcionalidade, esses pinos podem também ser
inicializados como pinos digitais de entrada ou saída.
A placa conta ainda com um pino de alimentação de 5V, cuja alimentação é
fornecida diretamente pela fonte externa, e outro de 3,3V, cuja alimentação é
fornecida pelo circuito FTDI1 interno (corrente máxima de 50mA).
2.1.3. Acelerômetro MM7361
O MM7361 é uma placa construída a partir de um circuito integrado
MMA7361L, produzido pela Freescale Semicondutors, que é um acelerômetro
capacitivo micro-usinado tridimensional de baixo consumo com compensação
de temperatura e dois níveis de sensibilidade.
Seu funcionamento se baseia em capacitores de três placas (duas placas
fixas ao aparato e uma placa central móvel sensível a acelerações). A placa
central está sujeita a uma força restauradora e sua posição varia de acordo com
a aceleração externa. A variação de sua posição altera a espessura do dielétrico
1
O circuito FTDI (FTDI chip) é um dispositivo desenvolvido pela Future Technology Devices
International (FTDI) para a conversão de sinal serial (RS-232 ou TTL) para formato USB, permitindo
assim que dispositivos microcontrolados que se beneficiem dessa tecnologia possam se comunicar
com computadores modernos. Este circuito está presente nas placas Arduino comerciais.
Maiores informações podem ser encontradas no site da empresa (http://www.ftdichip.com/).
35
entre ela e as placas vizinhas, alterando assim a capacitância. Essa alteração é
utilizada para a medida eletrônica da aceleração, e o sinal de saída é uma
tensão analógica diretamente proporcional à aceleração aplicada.
Figura 2-3 – Placa MM7361, com acelerômetro MMA7361
As duas sensibilidades são 1,5g e 6g, onde g indica a aceleração da
gravidade. A seleção da sensibilidade é feita pela aplicação de um sinal
positivo no pino GS.
A placa tem três pinos de saída, x, y, e z, que correspondem a diferentes
conjuntos de capacitores e indicam acelerações em três eixos ortogonais,
permitindo assim medidas em três dimensões. A tensão de saída desses pinos
varia de terra a 3,3V, de forma que uma tensão de 1,65V indica aceleração nula
no eixo.
2.1.4. Projeto
A peça principal do sensor é o disco contendo um fluido com uma bolha,
chamado disco sensor. A forma mais conveniente encontrada foi a confecção
de um disco em três peças, sendo dois discos, chamados tampas, e um anel,
chamado anel de volume, coladas em forma de sanduíche. A espessura do anel
de volume define o volume máximo de fluido admitido pelo disco.
Para que o fluido pudesse ser introduzido após a colagem, uma ranhura no
anel, chamada ranhura de admissão, foi adicionada ao projeto de forma a
permitir a entrada de uma agulha de seringa hipodérmica.
O disco pronto foi então anexado a uma peça de encaixe que pudesse ser
acoplada a um motor. A cada novo modelo, aprimoramentos foram realizados
36
para estabilizar a rotação do disco, reduzir a interferência da vibração do
motor, obter velocidades angulares mais constantes e melhores imagens para
análise.
As dimensões escolhidas para o disco sensor dão de 5,0cm de diâmetro
externo (diâmetro das tampas e diâmetro externo do anel de volume) e 4,8cm
de diâmetro interno (diâmetro interno do anel de volume). As espessuras de
anel de volume experimentadas foram de 1, 2 e 3 milímetros.
Figura 2-4 – Peças do disco sensor em ordem de colagem
Formas diferentes de vedação foram experimentadas, tanto na colagem das
peças quanto na ranhura de admissão. Uma vedação inadequada resultaria num
acréscimo do raio da bolha ao longo do tempo, o que é indesejável para esse
trabalho.
Figura 2-5 – Disco sensor após montagem
Para girar o disco sensor, um disco de encaixe foi elaborado em cada etapa
do projeto. A função do disco de encaixe é se prender ao disco sensor e ao eixo
37
do motor, transferindo o torque de um para o outro. A forma desse disco sofreu
alterações e é diferente em cada modelo.
Até o segundo modelo experimental, o disco de encaixe foi experimentado
tanto encaixado ao disco sensor quanto colado.
Figura 2-6 – Anel de volume com ranhura de admissão
Formas de colagem e vedação
Para a colagem das peças de acrílico, três métodos foram testados: o uso de
fita adesiva dupla-face, a aplicação de clorofórmio e o uso de uma cola de
fabricação própria de acrílico dissolvido em clorofórmio.
Ao longo do progresso do trabalho, cada método foi testado diversas vezes
em cada situação para a busca do método ideal, não havendo assim a ligação de
nenhum método a protótipos específicos do experimento.
Fita adesiva dupla-face: O uso de fita adesiva dupla-face foi o primeiro
método experimentado. O material foi utilizado no momento da confecção do
anel de volume nas duas faces da placa de acrílico antes da fresa. A fresadora
foi então ajustada para ter potência suficiente para cortar as duas camadas de
fita adesiva junto com a placa de acrílico.
O anel então tinha então duas camadas de material adesivo e poderia
facilmente ser colado às tampas.
A maior vantagem desse método se encontra na facilidade de aplicação e
vedação do disco sensor, especialmente em comparação com os outros
métodos utilizados. Em discos de álcool, porém, a vedação teve sua duração
muito curta.
38
Clorofórmio: O PMMA que constitui as placas utilizadas para a confecção
das peças é solúvel em clorofórmio. Uma vez que à temperatura ambiente esse
solvente é muito volátil, ele pôde ser utilizado para dissolver bordas de peças e
deixar, após sua evaporação, as peças unidas por uma liga do próprio PMMA,
um processo semelhante a uma solda.
O anel de volume era então posto sobre uma fina camada de clorofórmio em
um recipiente de vidro. A face molhada em clorofórmio estaria pronta para a
cola. O processo era repetido com a outra face e o anel molhado era posto entre
as duas tampas e prensado com uma morsa até a evaporação completa do
solvente.
Esse foi o método mais eficiente enquanto cola, permitindo a confecção de
peças mais resistentes e uma boa vedação. Seu maior contratempo era a
dificuldade de colar as peças na posição adequada, uma vez que o processo
deveria ser todo realizado antes do clorofórmio evaporar completamente. O
método a seguir foi a opção adotada para facilitar esse processo.
Cola de clorofórmio e PMMA de fabricação própria: Pequenas peças de
acrílico foram diluídas no clorofórmio ainda dentro de um recipiente de
armazenamento. Em um período de vinte e quatro horas aproximadamente, o
resultado era um fluido viscoso e denso, menos volátil que o clorofórmio puro.
Sua aplicação foi realizada nos dois lados do anel de volume com uma
seringa. O anel era então cuidadosamente apoiado sobre uma das tampas para
que a posição pudesse ser controlada. Após isso, a outra tampa era posta sobre
o anel e a peça completa era levada à morsa. A secagem a partir de então
seguiria o mesmo processo do clorofórmio puro.
A vantagem desse método é a possibilidade de colar as peças de forma mais
minuciosa. As peças fabricadas dessa forma, porém, não ficam tão resistentes
quanto as que usam clorofórmio puro. A vedação poderia ser aprimorada
depois da cola. Esse foi o método que apresentou os melhores resultados.
Em todos os métodos, uma forma de sanar as imperfeições na distribuição
da cola (que poderiam gerar vazamentos) foi a aplicação externa de cola ao
longo da borda do disco.
39
Para fechar a ranhura de admissão após a introdução do fluido, o maior
desafio enfrentado foi vedar a passagem antes que a evaporação ou mudanças
de pressão do ambiente alterassem o tamanho da bolha. Para essa função,
foram experimentadas a parafina, a cola de fabricação própria e a cola
comercial Super Bonder®. As duas últimas deram bons resultados.
2.2. Evolução do modelo experimental
Ao longo da elaboração dos diversos modelos utilizados para estudar o
conceito do dispositivo proposto, a única peça que não sofreu alteração de design
foi o disco sensor (exceto pela experimentação com diferentes espessuras do anel
de volume).
2.2.1. Modelo 1
O primeiro modelo foi elaborado com o único objetivo de verificar questões
de dimensionamento do dispositivo. Um motor de corrente contínua foi
utilizado, primeiramente ligado a uma fonte de corrente contínua de tensão
variável. Posteriormente, ele foi ligado à saída amplificada de um PWM de
fabricação própria baseado em um circuito integrado 555.
Um disco de encaixe foi confeccionado em acrílico cortado com um
diâmetro de 5,4cm, e um círculo em raster de 5cm foi cavado dentro dele,
permitindo o encaixe do disco sensor.
O eixo do motor não tinha forma própria de encaixe, então esse modelo
incluiu uma peça intermediária entre o motor e o disco de encaixe em forma de
borboleta.
40
Figura 2-7 – Peças do modelo 1 em ordem de encaixe
Esse modelo serviu como introdução ao dispositivo e revelou os primeiros
problemas a serem enfrentados. Primeiramente, notou-se que velocidades
angulares menores (𝜔 < 5 𝑟𝑒𝑣/𝑠) seriam melhores para medidas de
acelerações.
Figura 2-8 – Modelo 1 montado (representação artística)
Foi através desse modelo que foram observados os primeiros indícios de que
a posição de equilíbrio da bolha não seria próxima à linha que sai do centro do
disco na direção da aceleração. Acreditou-se através da observação do
comportamento da bolha nesse modelo que ela não atingiria uma posição de
equilíbrio.
41
Esse modelo não foi viável para nenhum tipo de análise mais minuciosa,
uma vez que as velocidades angulares mais baixas eram difíceis de serem
obtidas, pois o motor perdia torque a baixas velocidades de rotação.
2.2.2. Modelo 2
O modelo 2 foi desenvolvido com o intuito de reduzir a velocidade de
rotação do disco sem perda de torque pela baixa tensão aplicada ao motor.
O disco de encaixe foi adaptado para funcionar como engrenagem enquanto
outra engrenagem de acrílico foi confeccionada para ser encaixada no motor.
Um eixo metálico foi utilizado para manter o centro de rotação do conjunto
disco de encaixe e disco sensor.
Figura 2-9 – Peças do modelo 2 em ordem de encaixe
Esse modelo demonstrou uma leve redução no ruído da posição da bolha em
relação ao primeiro. Por limitações do processo de fresa, porém, o eixo das
engrenagens tinha uma pequena liberdade para se movimentar para os lados
por conta do perfil de fresa em forma de cone.
42
Figura 2-10 – Modelo 2 montado (representação artística)
A consequência desses defeitos de fresa para o encaixe das engrenagens é
que, durante a rotação, em diversos momentos uma peça era pressionada contra
a outra. Com efeito, a pressão sobre o eixo do motor o impedia de manter a
velocidade angular constante.
Foi verificado que as peças com largas extensões de raster, como o caso do
disco de encaixe até então utilizado, geralmente se deformavam após a fresa.
As peças que ainda poderiam se encaixar no disco sensor apresentavam leves
desníveis que resultavam em um disco desalinhado com o plano de rotação.
Para o próximo modelo foi necessário um sistema de redução mais eficiente
e a eliminação do raster sobre as peças na medida do possível.
2.2.3. Modelo 3
Para esse modelo, foi adquirido um motor com redução. Os motores
comerciais com redução demonstraram ser mais estáveis que a redução
fabricada especificamente para este trabalho, em acrílico, além de serem
disponibilizados em dimensões muito menores. Foi também nesse modelo que
a placa Arduino passou a ser utilizada.
A forma desses motores é similar a um motor comum de corrente contínua,
mas com um sistema de engrenagens encaixado ao eixo, encapsulado
geralmente por uma carenagem parafusada sobre o motor.
Um motor Servo de rotação também foi experimentado. Infelizmente,
apesar do alto torque e da rotação estável, esses motores não têm ajustes de
velocidade de rotação. Para esse trabalho a variação desse parâmetro é
43
fundamental, então um motor reduzido ligado a um PWM foi a melhor
alternativa.
Figura 2-11 – Peças do disco de encaixe sem raster, em ordem de colagem
A plataforma foi adaptada para admitir o motor servo com parafusos, e
posteriormente adaptada para o motor com redução. O encaixe “borboleta” foi
adaptado para ser similar a uma das borboletas que acompanham o servo,
tornando assim possível fabricar discos de encaixe que servissem tanto para um
motor quanto para o outro.
O disco de encaixe foi reelaborado para não ter peças em raster. Ao invés
disso, um disco e dois milímetros de espessura foi cortado e um anel de um
milímetro foi colado sobre ele, formando assim o encaixe necessário para o
disco sensor.
Também nesse modelo, foi incluído um pedestal que permitisse o
acoplamento da câmera USB para a aquisição de imagens.
44
Figura 2-12 – Peças da plataforma com pedestal para câmera, em ordem de colagem
Um encaixe para o acelerômetro MM7361 foi feito ao lado do espaço do
disco, de forma que disco e acelerômetro compartilhassem um de seus eixos e,
estando no mesmo plano, sentissem as mesmas acelerações. Para isso, foram
utilizados dois conectores de encaixe com cinco contatos, de forma que se
pudesse nos conectores soldar os fios que ligariam o acelerômetro às entradas
analógicas do Arduino.
Figura 2-13 – Peças do modelo 3 em ordem de encaixe
O modelo 3 foi importante por fornecer as primeiras imagens do
funcionamento do disco enquanto sensor. A forma da plataforma visava
45
permitir seu acoplamento a um eixo de motor de passo, com o intuito de
inclinar o sistema a pequenas variações de ângulo.
Alguns problemas no design foram percebidos, e estes permitiram a chegada
a uma versão definitiva.
Figura 2-14 – Modelo 3 montado (representação artística)
O Arduino foi ligado às partes do aparato (motor e acelerômetro) através de
fios de cobre, que eram danificados pela sucessão de inclinações da plataforma.
Um segundo problema verificado era quanto à estabilidade do plano de
rotação do disco. Para solucionar esse problema, o disco de encaixe precisou
ainda sofrer pequenas alterações, mas seu princípio livre de raster foi
preservado.
A intenção inicial era a medida da velocidade angular do disco a partir da
filmagem pela câmera USB. Observou-se nessa etapa que esse método não
seria eficiente e, além disso, essa medida só poderia ser realizada
posteriormente, durante a análise das imagens. Uma forma de medida de
velocidade angular em tempo real seria necessária para uma aquisição mais
sistemática de dados.
2.2.4. Modelo 4
Após as correções feitas ao modelo três, foi obtido um modelo interessante
para medidas. Uma caixa plástica com tampa foi utilizada como base para a
46
construção do aparato experimental completo. Dentro dela foram fixados o
Arduino e a placa com os circuitos necessários ao funcionamento do
experimento (como os circuitos para amplificação do sinal PWM do motor,
capacitores para filtrar o sinal de saída do acelerômetro, etc).
A plataforma para o disco e o acelerômetro foi fixada sobre a tampa, que
por sua vez recebeu furos para a passagem dos fios de contato e do eixo do
motor.
Nessa versão, o pedestal da câmera foi separado da plataforma. Ao invés de
colá-lo, optou-se por parafusá-lo. Um trilho foi cortado na plataforma para
permitir que o pedestal fosse deslocado de um lado para o outro.
Para a medida da velocidade angular foi escolhido um conjunto de diodo
emissor de luz (LED) de infra-vermelho associado a um fotodiodo, dentro de
uma armadura de proteção contra a luz ambiente. Uma adaptação no disco de
encaixe (a adição de um anel de contagem) permitiu que o fotodiodo pudesse
enviar ao Arduino informações sobre a rotação do disco, de forma que a
velocidade angular pudesse ser medida. Um suporte móvel foi incluído sobre a
plataforma para sustentar o conjunto.
Figura 2-15 – Peças do disco de encaixe com anel de contagem em ordem de colagem
Um anel de estabilização foi adicionado sob a base do disco de encaixe com
o objetivo de afastá-lo da peça de acrílico da base. Usando uma espessura
maior para esse anel (3mm), o conjunto colado ficaria mais estável em relação
ao plano. O encaixe em borboleta seria então composto de duas peças idênticas
coladas para que alcançassem o disco de encaixe. Com isso, o encaixe não
47
ficava fixo ao disco de encaixe, evitando que seu desnível interferisse no nível
do disco.
O efeito final dessa adaptação foi uma rotação mais estável e uma maior
facilidade para nivelar o disco sensor com o plano da plataforma.
O cabo USB que alimenta o Arduino e permite sua comunicação com um
computador foi introduzido na caixa por um orifício lateral na caixa.
Figura 2-16 – Peças do modelo 4 em ordem de encaixe
48
Figura 2-17 – Plataforma do modelo 4 montada (representação artística)
A
caixa
completa
com
a
plataforma
atua
como
acelerômetro.
Simultaneamente, dados da câmera USB e do MM7361 são obtidos para
comparação.
Foi observado também que o funcionamento do motor por PWM interferia
nos dados obtidos pelo acelerômetro. Para solucionar esse problema, tanto o
motor quando as entradas analógicas do Arduino foram filtradas com
capacitores. Simultaneamente, uma vez que a corrente fornecida pela USB do
computador é muito baixa, uma fonte externa de 5V foi utilizada para
alimentar o motor, garantindo um funcionamento mais estável.
2.3. A escolha do fluido sensor
Inicialmente, o experimento foi idealizado para ser realizado com água. O
disco sensor foi plenamente preenchido com água deixando bolhas de tamanhos
diferentes para testes.
A água é um fluido de tensão superficial bastante elevada. Devido a esse fator,
as bolhas em água tendem a ser esféricas para diâmetros maiores que em outros
fluidos, como o álcool.
O contratempo decorrente da elevada tensão superficial foi o fato de que, por
vezes, a bolha que encontrava uma parede de acrílico rompia o filme de água que
os separava. Uma vez que isso ocorria, se tornava muito difícil mover a bolha para
49
longe dessa parede, gerando um efeito semelhante a uma fricção. A conseqüência
desse efeito se refletiu em um constante movimento da bolha, que dificilmente
encontrava uma posição de equilíbrio.
Percebido esse problema, o próximo passo foi tentar reduzir esse valor de
tensão superficial a um valor administrável, mas que ainda mantivesse as bolhas
esféricas, então fez-se a experiência com álcool etílico e álcool isopropílico. Na
ocasião, o material de vedação utilizado era a fita dupla face, que é solúvel em
álcool, o que inviabilizou essa escolha.
Foi realizada então a experiência de misturar água com um surfactante. Para
tanto, foi escolhido o Triton X-100, um surfactante não-iônico comumente
utilizado como detergente em indústrias.
Diferente da água pura, a água com o surfactante demonstrou maior potencial
para a obtenção de movimentos mais estáveis da bolha. Apesar disso, em
situações em que o disco sofre acelerações bruscas, o fluido transformava a bolha
em espuma, o que tornava mais medidas impossíveis até que esta fosse desfeita.
A partir do momento que passaram a ser usados os métodos de colagem à base
de clorofórmio, foi possível retomar o uso do álcool como fluido sensor. O álcool
escolhido como para o trabalho foi o etílico.
2.3.1. Definição de um diâmetro estável da bolha
Foi observado já nos primeiros modelos que as dimensões da bolha têm
certa influência na estabilidade de seu movimento, que será discutida ao longo
dos resultados experimentais.
Ao longo de um experimento, então, a título de sistematização, foi
necessário encontrar formas de manter o volume de ar dentro do disco estável,
de forma a não alterar o volume da bolha.
O primeiro obstáculo foi a má vedação na borda do disco sensor. As
vedações menos eficientes permitiam que ao longo das tomadas de medidas o
fluido sensor fosse expulso de dentro do disco, permitindo que nos intervalos
entre medidas o ar do ambiente entrasse pelos mesmos pontos de vazamento.
Apesar da otimização da vedação, foi observado que o volume da bolha não
se mantinha constante ao longo da tomada de dados. Ao invés disso, ele
aumentava até um certo valor e estagnava. Por esse motivo, a obtenção de
bolhas pequenas (1 a 2mm de diâmetro) era muito difícil. A razão para esse
50
aumento no volume da bolha estava ligada ao ar absorvido no fluido sensor. O
movimento de rotação do disco concentra o ar no centro, agregando-o ao
volume da bolha até um certo limite.
A solução encontrada foi a expulsão do ar do fluido sensor por sonicação. O
fluido, após esse processo, era então utilizado para encher o disco sensor.
Nesse caso, o processo inverso ocorre: o fluido captura ar da bolha, reduzindolhe o volume até um valor estável. Dessa forma, era possível obter bolhas de
diâmetros variantes entre 0,5 e 2,0 mm sem maiores dificuldades.
2.4. Obtenção dos dados
2.4.1. Obtenção da aceleração
Para simular acelerações constantes sofridas pelo sistema, ele era inclinado
para que uma componente da gravidade atuasse de forma semelhante a
acelerações de referencial não inercial.
Para obter o valor da aceleração a que o sistema está sujeito em cada
situação, dois métodos simultâneos foram utilizados: a medida do ângulo de
inclinação do plano da plataforma e os dados do acelerômetro MM7361, cuja
saída é um valor analógico que pode ser interpretado pelo Arduino.
2.4.2. Obtenção da distância da bolha ao centro
O programa de captura de imagem utilizado dava sua saída em formato
webm, um formato compacto e de resolução compatível com o equipamento
utilizado. A câmera capturava imagens a uma taxa aproximada de vinte e cinco
quadros por segundo.
Os arquivos em formato webm foram então convertidos em um formato sem
compactação (raw) para posterior análise quadro a quadro. Para realizar a
conversão, foi utilizado o Super® Video Converter, que utiliza o mencoder
(um encoder de código aberto) como seu motor.
Para a realização da análise dos vídeos foi utilizado o Datapoint, um
programa gratuito desenvolvido para análise de vídeos em laboratórios
didáticos. Esse programa permite que o usuário utilize a interface gráfica para
localizar em cada quadro o objeto que deseja, e dá como saída um arquivo
ASCII com os valores em pixels das posições nas duas dimensões e no tempo
de vídeo.
51
De posse desses dados, partindo de distâncias conhecidas dentro da própria
imagem, é possível encontrar em milímetros a posição da bolha em relação ao
centro. Para tal, toma-se uma referência de distância conhecida na imagem,
encontra-se seu valor em pixels e aplica uma regra de proporção para encontrar
as distâncias desejadas.
A câmera utilizada gravou imagens a uma resolução de 352 pixels de
largura por 288 pixels de altura.
Figura 2-18 – Pontos marcados no disco para cálculo de distância da bolha ao centro
A Figura 2-18 mostra um instantâneo capturado de um vídeo em uma
tomada de dados. Os pontos utilizados interessantes a medida da distância entre
a bolha e o centro estão demarcados em vermelho e a bolha está circulada em
verde: a distância entre p1 e p2 é conhecida, tal como a distância entre p3 e p4
(o diâmetro do disco sensor). A distância 𝑟 da bolha em relação ao centro pode
ser encontra a partir das coordenadas x e y dela e desses pontos a partir da
seguinte relação:
𝑟 = √(𝑥 − 𝑥0 )2 + (𝑦 − 𝑦0 )2
(21)
onde os valores com índice zero indicam coordenadas do centro (pc). Para uma
situação geral, deve-se levar em consideração que nem sempre a captura e
gravação de imagem obedece as mesmas proporções na horizontal e na
vertical. Assim sendo, as distâncias nas duas coordenadas devem
primeiramente ser transformadas para uma unidade real e depois unidas pela
relação acima.
Considerando que a posição em pixels da bolha seja (𝑝𝑥 ,𝑝𝑦 ), vale então:
𝑥 − 𝑥0 =
(𝑝𝑥 − 𝑝𝑐𝑥 )
𝑑
(𝑝4𝑥 − 𝑝3𝑥 )
52
𝑦 − 𝑦0 =
(𝑝𝑦 − 𝑝𝑐𝑦 )
(𝑝1𝑦 − 𝑝2𝑦 )
𝑑
onde 𝑑 é o diâmetro do disco.
Apesar da distância d ser a mesma em x e em y, não se pode afirmar que o
vídeo capturado respeite a mesma proporção nas duas dimensões. Por esse
motivo, os cálculos para x utilizam p3 e p4 ao passo que os cálculos em y
utilizam p1 e p2.
As constantes:
𝐶𝑥 =
𝑑
𝑝4𝑥 − 𝑝3𝑥
𝐶𝑦 =
𝑑
𝑝1𝑦 − 𝑝2𝑦
são dependentes da resolução da câmera, do ângulo sólido coberto pelo seu
jogo de lentes e pela distância entre a câmera e o objeto. Elas são as constantes
de proporcionalidade entre as distâncias em pixels e as distâncias em
milímetros dos objetos, e serão equivalentes caso o vídeo capturado tenha a
exata mesma proporção nas duas dimensões.
2.5. Arranjo experimental
Para a realização do experimento, foi escolhido um plano inclinado como o
método mais conveniente para a obtenção de acelerações constante.
Um transferidor com precisão de um grau foi acoplado à plataforma do modelo
final. Em seu centro de referência foi feito um furo que permitisse a passagem de
um fio de barbante. À ponta do barbante foi presa uma peça de metal. O fio indica
a inclinação da plataforma em relação à gravidade.
Ao se definir um ângulo para a plataforma, uma bateria de dados era tomada
em diferentes velocidades angulares.
Após finalizada uma bateria de dados a um determinado ângulo, movia-se a
rampa até atingir o próximo ângulo desejado.
O valor da aceleração equivalente obtido a partir dessa inclinação pode ser
obtido geometricamente.
53
Figura 2-19 – Arranjo experimental com rampa e transferidor (representação artística)
Figura 2-20 – Ângulo de inclinação em relação à gravidade e aceleração equivalente
Pode-se demonstrar geometricamente que o módulo de 𝑎𝑒 será, nesse caso:
|𝑎𝑒 | = |𝑔|𝑠𝑒𝑛𝛼
(22)
54
Isso ocorre porque a força gravitacional se comporta de maneira análoga a uma
força de referencial não inercial devida a uma aceleração em sentido oposto. Essa
equação é a base para o cálculo das acelerações equivalentes utilizadas nesse
estudo.
Para a observação do comportamento da bolha em acelerações variáveis foi
adicionado ao aparato experimental uma plataforma sobre rodas. A plataforma foi
presa através de um fio a uma massa que era pendurada em uma roldana em uma
bancada.
A massa solta sofre ação da gravidade e exerce força constante sobre o carro
através do fio. Quando a massa toca o chão, o carro assume um movimento
retilíneo e uniforme.
Figura 2-21 – Arranjo experimental para observação do comportamento do sensor sujeito a
acelerações variáveis
Isso ocorre porque a força gravitacional se comporta de maneira análoga a uma
força de referencial não inercial devida a uma aceleração em sentido oposto. Essa
equação é a base para o cálculo das acelerações equivalentes utilizadas nesse
estudo.
55
3. Resultados e discussão
3.1. Resultados experimentais
O experimento demonstrou a sensibilidade do acelerômetro de acordo com a
velocidade de rotação do disco e a aceleração externa aplicada.
3.1.1. Posição de equilíbrio da bolha
O experimento foi conduzido com o objetivo de estabelecer uma relação
entre a aceleração externa e a posição de equilíbrio da bolha dentro do fluido
sensor. O perfil de distâncias da bolha em função da aceleração variou com a
velocidade angular, conforme esperado.
Os valores de aceleração foram obtidos por inclinação do plano de rotação.
As diferentes inclinações utilizadas foram os valores entre 10 e 50 graus, a um
passo de 5 graus. As acelerações equivalentes podem ser obtidas a partir do
valor da gravidade.
A aceleração equivalente a cada inclinação foi calculada utilizando uma
aceleração gravitacional de 9,79 m/s². Os valores resultantes estão na Tabela
3-1.
Tabela 3-1 – Diferentes inclinações utilizadas para simular acelerações fixas e valores
correspondentes de aceleração
Inclinação
(graus)
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Aceleração
(m/s2)
1,70
2,53
3,35
4,14
4,89
5,61
6,29
6,92
7,50
Os valores de velocidade angular utilizados na análise foram entre 2,0 e 4,0
revoluções por segundo, a um passo de 0,1 revoluções por segundo.
Cada valor obtido para posição da bolha foi calculado a partir da posição
média da bolha ao longo de aproximado um segundo de vídeo (25 quadros).
O diâmetro aproximado da bolha utilizada nessa bateria de dados era de
1,2mm e se manteve estável ao longo do experimento.
Verticalmente (ao longo da altura do cilindro), a bolha não oscilou durante o
experimento. Seu movimento foi exclusivamente no plano das tampas.
56
Ângulo da aceleração e o ângulo de deslocamento da bolha
O primeiro resultado relevante para esse trabalho diz respeito ao ângulo
entre o deslocamento da bolha e a direção da aceleração.
Foi esperado que o deslocamento da bolha ocorresse na direção da
aceleração, como no modelo didático, mas que fosse deslocado na direção da
velocidade do fluido em rotação. Ao invés disso, foi observado que a bolha se
desloca em uma direção aproximadamente perpendicular à aceleração externa.
Figura 3-1 – Ângulo da posição da bolha. a) aceleração nula; b) aceleração positiva em y (resultado
esperado); c) aceleração positiva em y (resultado observado)
Condições para uma posição de equilíbrio
Foi possível observar que o diâmetro da bolha influencia em seu equilíbrio
dinâmico. Conforme as dimensões da bolha aumentavam, tornava-se difícil a
definição de sua geometria com maior precisão.
Bolhas maiores tendiam a se deformar em decorrência da atuação de forças
de pressão do fluido em movimento ao seu redor. O que impede essa
deformação é a tensão superficial do fluido sensor.
57
Dessa forma, fluidos com maiores tensões superficiais permitiriam mais
facilmente uma situação de equilíbrio dinâmico sobre a bolha se esse fator for
considerado isoladamente, uma vez que a geometria mais constante reduz
variações nas forças de elevação e arrasto.
Como mencionado na Introdução, Nierop et al (2007) afirmam que o
número de Weber permite a estimativa da tendência da bolha a se deformar ou
permanecer esférica, levando em conta os fatores marcantes, como o raio da
bolha, as características do fluido e a velocidade relativa entre fluido e bolha. A
minimização desse parâmetro então garante melhores resultados em termos de
estabilidade.
Observa-se da equação (9) que o número de Weber cresce com a velocidade
relativa entre fluido e bolha. Sua influência no equilíbrio dinâmico do sistema
foi clara quando valores intermediários de diâmetro da bolha foram
experimentados: o desvio padrão na distância entre bolha e centro cresce com a
velocidade angular e com a aceleração experimentada (uma vez que a
aceleração aumenta a distância da bolha para o centro e, consequentemente, a
velocidade relativa entre bolha e fluido).
Dessa forma, pode-se afirmar que as medidas mais estáveis são aquelas em
que a velocidade angular do fluido, a aceleração sentida e o diâmetro da bolha
são menores.
O pior cenário (maior número de Weber) para este experimento é o disco a
4 revoluções por segundo (maior velocidade angular utilizada) com a bolha na
borda do disco (maior distância possível, o que implica em maior velocidade
escalar do fluido). O melhor cenário está em baixas acelerações e baixa
velocidade angular.
O número de Reynolds foi calculado de forma semelhante. Ele será
importante para definir a forma relevante para o arrasto e o regime de
escoamento quanto à laminaridade ou não-laminaridade. Ele é sensível ao
diâmetro da bolha, e nos limites testados foi possível trabalhar na região de
transição entre Reynolds que caracterizem regimes laminares e turbulentos
(102 ). Isso significa que diferenças no diâmetro da bolha também podem gerar
turbulências.
58
Tabela 3-2 – Parâmetros para o número de Weber e número de Reynolds (álcool etílico e raio da
bolha utilizada)
Raio da bolha
(m)
6 × 10−4
Densidade
(kg/m³)
789
Tensão superficial
(N/m)
2,227 × 10−2
Viscosidade
(Pa.s)
0,248 × 10−3
A Tabela 3-2 mostra os parâmetros utilizados para o cálculo destes
adimensionais nas várias situações consideradas.
O plano de rotação deve ser mantido constante ao longo das medidas, pois
uma inclinação relativa entre a normal do disco e o eixo de rotação inclui
forças inerciais de rotação no sistema.
Vibrações e instabilidades na velocidade angular do disco também
contribuem para o aumento do desvio padrão das medidas. Dessa forma, a
escolha do motor é um parâmetro importante para definir a precisão do sensor.
3.1.2. Resultados para posição da bolha
A posição encontrada para o equilíbrio da bolha em função dos parâmetros
aceleração e velocidade angular obedeceu a alguns critérios da estimativa
realizada durante a motivação do trabalho.
Observou-se que a distância da bolha ao centro cresceu com a aceleração e
diminuiu com a velocidade angular.
Uma forma de resumir os dados obtidos está na Figura 3-2, que mostra o
comportamento do sensor em função dos dois parâmetros principais.
59
Figura 3-2 – Bateria completa de dados para distância da bolha ao centro em função da aceleração
medida e da velocidade angular do disco
A análise dos parâmetros de forma independente se dará a seguir. Será
necessário partir da consideração de que a bolha, em uma aceleração nula,
tenderá ao centro do disco (a=0 → r=0).
A distância r pode ser escrita como uma função da velocidade angular e da
aceleração externa.
𝑟 = 𝑟(𝑎𝑒 , 𝜔)
(23)
Número de Weber
O cálculo do número de Weber nesse trabalho considerou os dados
presentes na Tabela 3-2 e os dados constantes no gráfico da Figura 3-2.
Utilizando esses dados, os valores calculados formam o gráfico presente na
Figura 3-3.
60
Figura 3-3 – Número de Weber em função de 𝒂𝒆 e 𝝎
Foi possível notar que o número de Weber tem variação muito pequena em
função da velocidade angular, mas uma variação acentuada proporcional à
aceleração externa.
Isso indicou que a forma da bolha tendeu a formas mais constantes em
valores baixos de aceleração. Em valores altos, a hipótese da bolha livre de
deformação não é precisa, o que tornou o modelo de forças proposto por
Magnaudet e Eanes (2000) impróprio para este trabalho.
A dependência da posição da bolha nos parâmetros 𝑎𝑒 e 𝜔 seria obtido mais
facilmente de forma empírica nesse caso.
Número de Reynolds
Utilizando os dados da Tabela 3-2 aplicados sobre os parâmetros medidos e
presentes no gráfico da Figura 3-2, o número de Reynolds na região da bolha
foi calculado considerando-se o diâmetro da bolha como dimensão
característica para o problema (uma vez que ela é o único obstáculo relevante
transversal ao movimento do fluido). Os resultados estão na Figura 3-4.
61
Figura 3-4 – Número de Reynolds em função de 𝒂𝒆 e 𝝎
O número de Reynolds, como pode ser observado, se manteve no intervalo
entre 100 e 500. Analisando isoladamente por esses dados, pode-se dizer que o
regime de escoamento encontra-se na região de transição entre o escoamento
laminar e turbulento. Nessa situação, pequenas variações no diâmetro da bolha
podem ter grandes efeitos sobre a laminaridade do escoamento e, como
discutido na introdução, baseado nos resultados de Nagami e Saito (2012), na
influência da turbulência sobre a posição da bolha.
Posição em função da aceleração
Em todas as velocidades angulares experimentadas, a posição se comportou
de maneira similar em relação à aceleração.
62
Figura 3-5 – Posição da bolha (r) em função da aceleração medida (a e) para diferentes valores de
velocidade angular
É possível verificar que a distância da bolha ao centro varia de forma
aproximadamente linear, especialmente em velocidades angulares mais altas.
Também é possível verificar que a taxa de variação dessa função é menor para
valores maiores de velocidade angular.
A forma mais coerente encontrada para a variação da distância em função
da aceleração externa foi a de uma combinação linear de um termo linear em
𝑎𝑒 com um termo de raiz quadrada. A explicação mais coerente encontrada
para isso está ligada à forma da força de arrasto.
Posição em função da velocidade angular
Como esperado, maiores valores de velocidade angular resultaram em
medidas mais próximas ao centro do disco. Isso é consequência da força
direcionada ao centro que o fluido sensor exerce sobre a bolha devido à
rotação.
63
Figura 3-6 – Medidas da posição da bolha (r) em função da velocidade angular para diferentes
acelerações medidas
Foi observado através da Figura 3-6 que a posição da bolha em função da
velocidade angular tem uma taxa de proporcionalidade aproximadamente
inversa. Para verificar essa hipótese foi construído um novo gráfico utilizando
valores de 1/𝜔, utilizando radianos ao invés de revoluções.
Figura 3-7 – Posição em função do inverso da velocidade angular
64
O gráfico da Figura 3-7 evidencia que a dependência da posição da bolha no
inverso da velocidade angular é linear, o que confirma a hipótese de
proporcionalidade inversa entre a posição da bolha (𝑟) e a velocidade angular
(𝜔).
Análise do desvio padrão
Foi possível observar através dos gráficos da e da que os desvios padrão
obtidos para as medidas foram bastante pequenos, especialmente para as
maiores medidas de 𝑟. As principais causas do desvio padrão nas medidas são a
dimensão da bolha e a instabilidade de sua posição.
Os valores absolutos de desvio padrão para cada medida dos gráficos foram
todos muito próximos, variando entre 0,13𝑚𝑚 e 0,25𝑚𝑚. Apesar disso, para
as medidas de menores acelerações (e consequentemente menores valores de
𝑟), os pesos relativos das incertezas em relação às medidas se tornam maiores.
Figura 3-8 – Desvio padrão relativo médio para as medidas de distância de cada aceleração
utilizada
O gráfico da Figura 3-8 mostra então o peso dos desvios padrão sobre o
valor das medidas em cada aceleração experimentada. As menores acelerações
65
apresentam maiores erros relativos especialmente pelas medidas de distância
serem menores. Espera-se, nesse caso, que as medidas de menor aceleração
sejam as menos precisas.
3.1.3. Análise da posição de equilíbrio da bolha
A dependência linear na aceleração e inversa na velocidade angular
implicam que a função 𝑟(𝑎𝑒 , 𝜔) pode ser escrita como um produto de duas
funções, uma exclusivamente dependente de 𝑎𝑒
e outra exclusivamente
dependente de 𝜔.
𝑟(𝑎𝑒 , 𝜔) = 𝑓(𝑎𝑒 )𝑔(𝜔)
(24)
𝑓(𝑎𝑒 ) = 𝐶𝑎𝑒
(25)
𝑔(𝜔) = 𝐷𝜔−1
(26)
de forma que:
onde C e D são constantes. Dessa forma, a equação (24) pode ser reescrita
como a partir de (25) e (26):
𝑟(𝑎𝑒 , 𝜔) = 𝐸𝑎𝑒 𝜔−1
(27)
onde E é uma constate. O valor de E estará relacionado às características do
dispositivo, como os parâmetros do fluido sensor, o diâmetro da bolha e o
diâmetro do disco sensor.
A equação (27) é a forma geral para determinar o a resposta do sensor a
acelerações constantes caso esse modelo seja satisfatório.
Convertendo as medidas para metros de forma que haja concordância nas
unidades de medida de distância, o valor estimado para E com base nos dados
obtidos é 0,00306 𝑠 3 /𝑟𝑒𝑣.
É conveniente utilizar r em milímetros e manter 𝑎𝑒 em 𝑚/𝑠 2 . Nesse caso, o
valor de E na unidade adequada é 3,06 𝑚𝑚 𝑠 3 𝑟𝑒𝑣 −1 𝑚−1 .
66
Figura 3-9 – Comparação dos dados experimentais (acima) com a equação deduzida (abaixo).
Foi possível observar pelos gráficos tridimensionais que para valores mais
altos de 𝑎𝑒 , a medida se diferenciou mais da previsão. Uma análise numérica
mostrou que para os valores médios, os resultados foram os mais precisos.
Para realizar essa verificação, foi feita a subtração dos dois gráficos. Os
valores das subtrações foram então divididos pelo valor esperado pela equação.
67
Figura 3-10 – Diferença relativa entre modelo proposto e dados experimentais
Foi possível perceber pelo gráfico na Figura 3-10 que as diferenças relativas
são mais acentuadas quando mais próximo dos extremos de aceleração. Um
gráfico de erro relativo foi então feito a partir dos módulos da diferença
relativa distribuídos de forma ponderada.
Nesse gráfico, foi possível verificar que os maiores erros experimentais
estavam nas acelerações mais altas, ao passo que os valores médios
demonstraram resultados mais precisos.
Essa análise permitiu a percepção de que a consideração da dependência
linear de r em 𝑎𝑒 não é uma boa aproximação.
68
Figura 3-11 – Distribuição ponderada do módulo da diferença relativa entre modelo proposto e
dados experimentais (imprecisão do modelo)
A elevação do erro experimental para baixas acelerações se devia
especialmente ao maior erro relativo das medidas para pequenas distâncias.
Para altas acelerações, o modelo proposto pela equação (27) se distanciou
mais do resultado experimental. Nessa região, a suposição de uma dependência
linear na aceleração se tornou gradativamente menos precisa. A melhor forma
para tentar entender essa dependência foi a partir de uma análise das forças
envolvidas.
69
Figura 3-12 – Forças atuantes sobre a bolha: Sustentação, centrípeta, arrasto e força de empuxo
decorrente da aceleração externa
A Figura 3-12 mostra as forças atuando sobre a bolha para uma dada
aceleração externa. As duas forças relevantes são 𝐹𝑎𝑒 , que surge do gradiente
de pressão no fluido quando o recipiente é acelerado, e 𝐹𝑎𝑟𝑟 , que é a força de
arrasto que surge do fato do fluido estar girando em torno do centro enquanto a
bolha está em repouso em relação a ele. A primeira força aponta na direção da
aceleração ao passo que a segunda é perpendicular ao vetor posição da bolha.
Assim sendo, em uma situação em que o vetor posição é perpendicular à
aceleração exerna, 𝐹𝑎𝑒 e 𝐹𝑎𝑟𝑟 serão colineares.
Para uma posição de equilíbrio, essas duas forças devem se anular. Assim
sendo, pode-se afirmar:
𝐹𝑎𝑒 = −𝐹𝑎𝑟𝑟
(28)
A forma de 𝐹𝑎𝑟𝑟 será fortemente dependente do regime de escoamento em
questão. Os números de Reynolds considerados nesse trabalho caracterizam um
regime de transição entre o domínio viscoso do arrasto e o domínio
geométrico. Dessa forma, ambas as contribuições serão consideradas
relevantes. Assim,
𝐹𝑒 = 𝐴𝑣 + 𝐵𝑣 2
(29)
será uma forma coerente para definir a igualdade de forças de (28), onde A e B
são constantes dependentes dos parâmetros do fluido e da bolha. Como a bolha
70
está em repouso em relação ao referencial (posição de equilíbrio), a velocidade
no ponto será equivalente à velocidade linear do fluido que por ali passa.
𝐴𝑟𝜔 + 𝐵(𝑟𝜔)2 − 𝑎𝑒 = 0
(30)
A equação (30) tem solução da forma:
𝑟=
1
[𝐶 √𝐶 + 𝐶3 𝑎𝑒 ] + 𝐶4
𝜔 1 2
(31)
É interessante ressaltar a permanência do termo inverso em 𝜔 na equação
(31).
Tentativas com valores para as constantes demonstraram que o termo não
linear é uma parte importante da equação e que 𝐶2 pode ser desprezada.
A relação (31) não resultou em um bom modelo empírico para os dados
encontrados. Para uma solução mais robusta, foi utilizada uma combinação
linear das duas soluções possíveis em 𝑎𝑒 : uma para 𝜔𝑟 (força de arrasto
viscoso) e outra para (𝜔𝑟)2 (força de arrasto geométrico). A primeira resulta
em um termo linear em 𝑎𝑒 e a segunda em um termo de 𝑎𝑒 1/2.
Assim, foi obtida uma relação empírica de baixo erro em comparação com
os modelos anteriores.
𝑟=
1
[𝐶 𝑎 + 𝐶2 √𝑎𝑒 ] + 𝐶3
𝜔 1 𝑒
(32)
Realizando os ajustes manualmente e buscando os melhores resultados,
foram encontrados os seguintes valores para as constantes:
𝐶1 = 9,3653𝑚𝑚. 𝑚−1 𝑠 3
𝐶2 = 23,8390𝑚𝑚. 𝑚−1 𝑠 3
𝐶3 = −0,56𝑚𝑚
Idealmente, para um valor nulo de 𝑎𝑒 , seria esperado um valor nulo de r, o
que indica que 𝐶3 deveria ter um valor nulo. Seu valor estimado é da ordem do
raio da bolha (6 × 10−4 𝑚), um dos principais causadores do desvio padrão
como discutido anteriormente, o que torna sua medida realista dentro do
experimento. Apesar dessa constatação mostrar que o nível de incerteza é
tolerável, não se pode afirmar a partir do experimento realizado que o raio da
bolha e 𝐶3 tenham alguma relação.
71
Foi possível perceber que o valor encontrado pelo ajuste manual se
aproximou da realidade, pois foi pequeno próximo aos valores encontrados
para r.
Apesar disso, em valores muito pequenos de r essa constante poderia incluir
um erro não desprezível nas previsões.
A exemplo do modelo anterior para a equação deduzida, uma razão entre a
diferença e os valores previstas foi realizada para encontrar uma estimativa do
quanto os resultados experimentais diferem dos valores previstos.
Figura 3-13 – Diferença relativa entre dados experimentais e o segundo modelo proposto
A Figura 3-13 mostra as diferenças relativas para todos os dados. Foi
possível perceber que, para a maior parte das medidas, o experimento fugiu das
previsões em valores inferiores a 5% para mais ou para menos. Para as regiões
de mais baixa aceleração, picos de erro surgiram, sugerindo uma região de
menor precisão. As hipóteses válidas para esse erro são a imprecisão da relação
de potências que exige um valor não nulo de 𝐶3 e a maior imprecisão relativa
das medidas para valores mais baixos de r.
72
Realizando o módulo e distribuindo os erros ponderadamente, as regiões de
menor e maior erro foram facilmente observadas na bateria de dados, como
pode ser visto na Figura 3-14.
Figura 3-14 – Distribuição ponderada do módulo da diferença relativa entre o segundo modelo e os
dados experimentais (imprecisão do modelo)
Foi possível perceber nessa análise que valores mais baixos de aceleração
tornaram a relação (32) menos precisa, ao passo que os valores mais altos
demonstraram boa precisão.
Assim, concluiu-se que o melhor modelo para relacionar a aceleração
externa com a posição da bolha combina um termo linear com um termo
quadrado de 𝜔𝑟.
Com essa informação foi possível verificar qual é a resposta do
acelerômetro para cada valor de aceleração e velocidade angular utilizados.
Com os valores conhecidos de aceleração e utilizando os dados coletados foi
deduzida empiricamente uma relação para utilizar os valores de velocidade
angular e distância da bolha ao centro para calcular a aceleração a que o
aparato está sujeito. A forma da relação é:
73
𝑎𝑒 = 𝐴𝜔𝑟 + 𝐵(𝜔𝑟)2
(33)
onde:
𝐴 = 43,34𝑠 −1
𝐵 = 135,1𝑚−1
Com essa relação foi possível estimar o comportamento do acelerômetro em
vários regimes de aceleração e velocidade angular.
Com os dados obtidos e a relação deduzida foi possível estimar a precisão
do acelerômetro para diversos valores de aceleração externa. Assumindo os
valores médios de todas as velocidades angulares para cada aceleração é
possível estimar um desvio médio de medida. Os resultados estão na Tabela
3-3. A Figura 3-15 reúne todos os valores de aceleração calculados pelo
modelo empírico e os coloca ao lado dos valores esperados.
Aceleração
(m/s²)
Desvio
relativo
1,70
2,53
3,35
4,14
4,90
5,62
6,29
6,92
7,50
9,8%
5,1%
3,8%
3,6%
1,5%
4,0%
2,9%
0,9%
3,4%
Tabela 3-3 – Desvio relativo percentual entre a medida obtida a partir do acelerômetro de bolha e o
valor conhecido das acelerações equivalentes
Foi possível perceber que os desvios entre o modelo e os dados são maiores
nas regiões de mais baixas acelerações, o que concorda com a discussão sobre
desvio padrão no início desse capítulo.
74
Figura 3-15 – Dados obtidos pelo acelerômetro de bolha em comparação com acelerações
equivalentes (pontos à esquerda) a partir da relação deduzida empiricamente.
75
Medidas de aceleração variável
Para realizar as medidas de aceleração variável foram utilizados três valores
distintos de massa aceleradora: 200g, 300g e 400g. Para cada massa foram
realizadas dez observações.
O resultado da montagem experimental utilizada é um período de aceleração
nula (carro em repouso) seguido de um período de aceleração não nula
constante, com um período de transição entre eles. Após o período de
aceleração, a massa aceleradora toca o chão e o carro entre em um regime de
movimento retilíneo aproximadamente uniforme.
No momento da transição da aceleração nula para a não nula a bolha se
desloca em um ângulo intermediário entre o da aceleração e o ângulo em que a
bolha repousaria na aceleração constante. Após esse breve deslocamento, a
bolha entra rapidamente no regime de aceleração constante.
Quando a aceleração cessa, a bolha espirala lentamente até o centro do
disco.
A medida de aceleração variável serviu pra observar a limitação quanto a
tempo de resposta do tipo proposto de sensor. Para uma aplicação em que o
intervalo entre diferentes acelerações é muito curto sua aplicação pode não
retornar dados precisos.
76
4. Conclusão
Nesse trabalho são apresentados resultados referentes à caracterização de um
acelerômetro fluido baseado na análise do comportamento de uma bolha dentro de
um disco com um fluido em rotação. Até o momento, não foi encontrado na literatura
nenhum modelo similar utilizando o mesmo mecanismo, o que indica a originalidade
da proposta.
Embora o comportamento do sensor não tenha sido o esperado no que diz respeito
à direção da aceleração aplicada, seu funcionamento foi demonstrado tanto para a
estimativa de valor de aceleração quanto para direção, após aplicada a correção no
ângulo.
Os diâmetros ideais para a bolha são fortemente dependentes das características
do fluido, mas como uma regra as menores bolhas dão os resultados mais confiáveis.
Esse fator se torna mais relevante levando-se em conta que os melhores fluidos para
esse tipo de trabalho são os de menor tensão superficial (o que prejudica a
estabilidade do formato da bolha). Atribuiu-se esse efeito à geração de turbulências
devida ao tamanho da bolha.
A distância da bolha ao centro cresce com a aceleração a uma taxa que combina
um termo linear somado a um termo de potência ½. A maior precisão das medidas
está nos pontos em que a bolha se afasta mais do centro por conta do desvio padrão
relativo às medidas ser menor. A imprecisão média do sensor esteve na faixa de 3%
nas regiões de menor desvio e na faixa de 10% para as acelerações mais baixas, as
regiões de maior erro.
O outro parâmetro, a velocidade angular, afeta a medida da distância da bolha ao
centro a uma razão inversa. Isso significa que maiores velocidades angulares farão
com que a bolha se afaste menos do centro, o que indica menor sensibilidade e a
possibilidade de medidas de acelerações de maior magnitude. Para baixas
velocidades angulares, a bolha tem maior liberdade de movimento, tornando o sensor
mais sensível e preciso para baixas acelerações.
Por conta do fator tensão superficial, o fluido mais adequado para as dimensões
usadas nesse trabalho é o álcool etílico. Para aplicações em miniaturização, fluidos
de menores tensões superficiais podem ser testados.
77
Quando o sensor está sujeito a uma aceleração constante, a bolha tende a uma
posição de equilíbrio, ao passo que, em um movimento de aceleração crescente, a
bolha se desloca levemente na direção da aceleração, e mais pronunciadamente para
maiores acelerações.
A análise dos dados e a observação experimental demonstraram o potencial do
uso de bolhas em fluidos em rotação controlada para a medida de aceleração com
sensibilidade variável e para a medida de acelerações variáveis com um pequeno
atraso de resposta. Demonstraram também que esse princípio é mais confiável se
usado para medidas em regimes de acelerações constantes ou que variem suavemente
(como acelerações em navegação marítima ou em satélites artificiais em regime
orbital).
78
5. Apêndice A: Análise esquemática do arranjo experimental
Como discutido na seção Materiais e Métodos, o experimento contou com um
motor reduzido, um contador de velocidade angular, uma câmera USB, uma placa
Arduino e uma fonte de alimentação externa.
Figura 5-1 – Visão geral do circuito do arranjo experimental
A Figura 5-1 mostra a visão geral do circuito utilizado. À esquerda está a placa do
acelerômetro e à direita o Arduino. Os pinos de saída do acelerômetro estão
denotados pelos símbolos correspondentes a seus eixos (x, y e z). As entradas
analógicas 0, 1 e 2 estão marcadas como EA0, EA1 e EA2, respectivamente. Ao ler
esses dados, o Arduino realiza uma conversão analógico-digital e armazena na
memória um valor numérico correspondente (0 para terra e 1024 para +5V).
A saída +3,3V do Arduino foi utilizada para alimentar o acelerômetro.
Os resistores R1, R2 e R3 foram adicionados por sugestão do manual do circuito
integrado, uma vez que após várias medidas consecutivas a corrente extraída dele
79
reduz a carga nos capacitores internos e adultera a medida. Eles são denominados
então como resistores limitadores de corrente para fins desse trabalho.
Também para a saída do acelerômetro foi observada uma oscilação no sinal que
prejudicava a obtenção de medidas confiáveis. O manual sugere como solução para
esse problema a instalação de capacitores para estabilizar o sinal, nesse caso os
capacitores C1, C2 e C3.
As saídas digitais estão denotadas pela letra D seguida do número correspondente.
A parte demarcada como “Conjunto conta-giro” na imagem corresponde ao
conjunto formado pela armadura de LED e fotodiodo para detecção de obstruções e
os resistores a eles ligados. Os valores utilizados foram obtidos por experimentação.
Uma porta digital foi utilizada como PWM (no pino 9) e ligada à base de um
transistor TIP122, que foi utilizado para amplificar o sinal. Um capacitor eletrolítico
foi utilizado para filtrar o ruído gerado pelo motor para que ele não interferisse nas
medidas do conta-giro.
O LED D1 tem por finalidade a comunicação visual da etapa experimental. Em
alguns experimentos realizados com esse mesmo aparato, era importante exibir se a
tomada de medidas ainda estava ocorrendo.
A alimentação do Arduino foi fornecida pela interface USB. A fonte externa que
fornece os 5V utilizados pelo motor e pelo conjunto conta-giro é uma fonte ATX de
220W.
Nos primeiros experimentos, a saída de 12V da fonte foi utilizada para o motor,
mas, por conta dos motores utilizados, optou-se pelo uso apenas da saída de 5V. A
razão de se empregar uma fonte externa ao invés da alimentação 5V própria do
Arduino está no baixo fornecimento de corrente (e, consequentemente, de potência),
o que compromete a estabilidade da rotação.
Para simplificar o trabalho de comunicação e aquisição de dados, o Arduino foi
utilizado em conjunto com software em um computador auxiliar. O programa escrito
e enviado ao Arduino (Apêndice B) o torna um aparato que aguarda comandos de
porta serial e os executa, devolvendo pela mesma via os dados quando solicitado.
Os comandos seriais inclusos no código enviado ao Arduino são:

r – realizar a leitura do acelerômetro e enviar em formato numérico;

w – iniciar a tomada de dados do conta-giro;

d – parar a tomada de dados do conta-giro;
80

h – liga o LED de comunicação;

l – desliga o LED de comunicação;

o – muda o valor de “motoron” para verdadeiro (desativa a trava de
segurança que mantém o motor desligado);

D – muda o valor de “motoron” para falso (reativa a trava de segurança
que mantém o motor desligado – opção padrão ao ligar a placa);

+ ou - – Ajuste fino da velocidade de rotação (muda o valor da variável
que define a potência controlada pelo PWM);

0 a 9 – Ajuste grosso da velocidade de rotação (0 equivale a potência
zero).
Para realizar a contagem do número de voltas para a velocidade angular, o
conjunto conta-giro detecta as mudanças de estado no material entre ela entre
transparente (sem fita adesiva) e opaco (com fita adesiva).
Como foram postos quatro trechos de fita adesiva, uma volta corresponde a oito
mudanças de estado. Assim sendo, cada vez que o contador de mudanças de estado
atinge o valor 8, o cálculo da velocidade angular é feito a partir do tempo atual. O
valor da velocidade angular é então enviado por interface serial em revoluções por
segundo. A saída de velocidade angular é realizada uma vez por volta.
O modelo para a contagem de voltas se mostrou eficaz e estável com imprecisão
de meio 0,05 volta por segundo para todos os valores de velocidade angular
utilizados nesse trabalho.
81
6. Apêndice B: Códigos fonte
Nesse apêndice estão expostos os códigos fonte das versões finais do programa
enviado ao Arduino e do programa utilizado para obter a aceleração da placa de
acelerômetro.
6.1. Programa enviado ao Arduino (C)
Códigos fonte para programas para o Arduino são escritos em C por padrão. A
fundação Arduino disponibiliza gratuitamente na Internet o compilador que conta
com um editor de texto próprio com destaque de sintaxe e uma plataforma gráfica
para auxiliar a comunicação serial.
// ------------------------------------// terceiro_prototipo.ino – versao final
// ------------------------------------int ledPin = 3;
int pwm = 9;
// led para sincronizacao de video
// pwm do motor de rotacao constante
int XPin = 0;
int YPin = 1;
int ZPin = 2;
//
// pinos acelerometro
//
int Photo = 4;
// alterado desde o segundo_prototipo para uma
porta digital (segundo_prototipo utilizava porta analogica 3)
int
int
int
int
int
int
valx = 0;
valy = 0;
valz = 0;
valPhoto=0;
photoStat=0;
photoStatOld=0;
//
// valor lido no acelerometro
//
int cont=0;
unsigned long time=0;
unsigned long time0=0;
unsigned long per=1;
float freq;
int pot = 0;
char incomingByte = 0;
int temp = 0;
// leitura do potenciômetro (10k)
// leitura serial
int motorOn = 0;
// motor ligado ou não
int showfreq = 0;
// decidir se mostra ou não a velocidade
angular w (adicionado no terceiro_prototipo)
void setup()
{
Serial.begin(9600);
// setup serial
82
pinMode(ledPin, OUTPUT);
pinMode(pwm, OUTPUT);
}
void loop()
{
if(Serial.available()>0){
incomingByte = Serial.read();
switch(incomingByte){
case '+':
pot = pot+1;
break;
case '-':
pot = pot-1;
break;
case 'h':
digitalWrite(ledPin, HIGH);
break;
case 'l':
digitalWrite(ledPin, LOW);
break;
case 'o':
motorOn = 1;
break;
case 'r':
valx = analogRead(XPin);
valy = analogRead(YPin);
valz = analogRead(ZPin);
valPhoto = digitalRead(Photo);
Serial.print(valx);
Serial.print(" ");
Serial.print(valy);
Serial.print(" ");
Serial.println(valz);
break;
case 'w':
showfreq = 1;
break;
case 'd':
showfreq = 0;
break;
case 'D':
motorOn = 0;
break;
default:
temp = atoi(&incomingByte);
if((temp>0) && (temp<=9)) pot = 25 * temp + 5;
if(temp==0) pot = 0;
break;
}
incomingByte = 0;
}
valPhoto = digitalRead(Photo);
if(valPhoto==HIGH)
photoStat=1;
else
photoStat=0;
83
if(!(photoStat==photoStatOld))
{
cont+=1;
if(cont>8)
{
cont = 1;
time = millis();
per = time - time0;
time0 = time;
freq = 1000. / per;
}
photoStatOld=photoStat;
if(showfreq) Serial.println(freq);
}
if(motorOn){
analogWrite(pwm, pot);
} else analogWrite(pwm, 0);
}
6.2. Programa para a obtenção da aceleração (Python)
O programa foi escrito com o intuito de capturar valores de aceleração do
acelerômetro através do Arduino. A saída é uma linha de texto com quatro valores
numéricos, correspondentes ao tempo de execução e aos eixos x, y e z.
O programa faz sua saída completa na linha de comando, o que permite
facilmente seu direcionamento para um arquivo ASCII.
####################################################
# medida.py – obtenção das medidas do acelerômetro #
####################################################
import serial
import time
import sys
print 'Serial...'
tend = 10
t=0
i=0
h=0.2
ih=1
medidas
# Tempo de tomada de dados em segundos
# Intervalo entre tomadas de dados em segundos
# Intervalo entre mudanças de estado do LED em número de
ard = serial.Serial('/dev/ttyUSB0', timeout=0.5) # Obter o
para a porta serial via dmesg e alterar essa linha de acordo
caminho
time.sleep(2)
ard.write('0') # Certificar que o motor esta desligado (reduz ruído)
ard.write('h')
time.sleep(3)
ard.write('l')
84
on = 0
t0 = time.time()
tend = tend + t0
nt = t0
print 'Start!'
while t < tend:
t = time.time()
i = i+1
if t > nt:
ard.write('r')
nt = nt + h
accel = ard.readline().split(' ')
print "{0:.2f} {1} {2} {3}".format(t
int(accel[1]), int(accel[2]))
if i >= ih:
if on:
ard.write('l')
on = 0
else:
ard.write('h')
on = 1
i = 0
-
t0,
int(accel[0]),
ard.close()
print ‘fim’
85
7. Referências
BASUMALLICK, N.; BISWAS, P.; DASGUPTA, K.; BANDYOPADHYAY, S.
Design and optimization of fiber Bragg grating accelerometer for maximum sensitivity.
Sensors and Actuators A: Physical, n. 194, p. 31-39, 2013.
BATCHELOR, G. K. An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press
2000.
BEJAN, A. Convection heat transfer. Second edition. John Wiley & Sons, inc, 1995.
BRUUS, H. Theoretical mycrofluidics. Terceira edição. Oxford University Press, 2008.
EICHNER, D.; GIOUSOUF, M.; MÜNCH, W. VON. Measurements on
micromachined silicon accelerometers with piezoelectric sensor action. Sensors and
Actuators A: Physical, n. 76, p. 247-252, 1999.
Fonte de Figura 2-1 disponível em:
<http://www.e-engraving.com/lasers/gravograph/Gravograph_LS100_Laser.htm>.
Acessado em 16/09/2013.
Fonte de Figura 2-2 disponível em:
<http://arduino.cc/en/Main/ArduinoBoardUno>. Acessado em 16/09/2013.
Fonte da Figura 2-3 disponível em:
< http://www.elecfreaks.com/store/mma7361l-3axis-accelerometer-p-310.html>.
Acessado em 16/09/2013
FINN, J.; SHAMS, E.; APTE, S. V. Modeling and simulation of multiple bubble
entrainment and interactions with two dimensional vortical flows. Physics of Fluids, n.
23, 023301, 2011.
FREESCALE SEMICONDUTOR. Technical Data: ±1.5g, ±5g Three Axis Low-g
Micromachined Accelerometer (MMA7351L). Freescale Semiconductor Inc., 2008.
LAMB, H. Hydrodinamics. Sixth Edition, Dover, 1934.
LANDAU, L. D.; LIFSHITZ, E. M. Fluid Mechanics. Second Edition, Pergamon Press,
1987.
KAMPEN, R. P. VAN; WOLFFENBUTTEL, R. F. Modeling the mechanical behavior
of bulk-micromachined silicon accelerometers. Sensors and Actuators A: Physical, n.
64, p. 137-150, 1998.
LEGENDRE, D.; ZENIT, R.; VELEZ-CORDERO, J. R. On the deformation of gas
bubbles in liquids. Physics of Fluids, n. 24, 043303, 2012.
LIAO, K.; CHEN, R.; CHOU, B. C. S. A novel thermal-bubble-based micromachined
accelerometer. Sensors and Actuators: Physical, n. 130-131, p. 282-289, 2006.
86
MAGNAUDET, J.; EAMES, I. The motion of high Reynolds number bubbles in
inhomogeneous flows. Annual Review of Fluid Mechanics, n. 32, p. 659-708, 2000.
NAGAMI, Y.; SAITO, T. Measurement of modulation induced by interaction between
bubble motion and liquid-phase motion in the decaying turbulence formed by an
oscillating grid. Particuology, n. 11, p. 158-169, 2012.
NEMIROVSKY, Y.; NEMIROVSKY, A.; MURALT, P.; SETTER, N. Design of a
novel thin-film piezoelectric accelerometer. Sensors and Actuators A: Physical, n. 56, p.
239-249, 1996.
NIEROP, E. A.; LUTHER, S.; BLUEMINK, J. J.; MAGNAUDET, J.; PROSPERETTI,
A.; LOHSE, D. D, Drag and lift forces on bubbles in a rotating flow. Journal of Fluid
Mechanics, n. 571, p. 439-454, 2007.
PARMAR, M.; BALACHANDAR, S.; HASELBACHER, A. Equation of motion for a
drop or bubble inviscous compressible flows. Physics of fluids, n. 24, 056103, 2012.
POORTE, R. E. G.; BIESHEUVEL, A. Experiments on the motion of gas bubbles in
turbulence generated by an active grid. Journal of Fluid Mechanics, n. 461, p. 127-154,
2002.
RAHAL, F. A. S. Desenvolvimento de sistemas de bombeamento microfluídicos de
fluxo bidirecional: Prova de conceito. 2011. 130f. Dissertação (Mestrado em
Engenharia) – Programa Interdisciplinar de Pós-Graduação em Engenharia e Ciência de
Materiais, Universidade Federal do Paraná, Curitiba. 2011.
SATO, A.; SHIROTA, M.; SANADA, T.; WATANABE, M. Modeling of bouncing of
a single clean bubble on a free surface. Physics of Fuids, n. 23, 013307, 2011.
SCHNEIDER, L. B. Desenvolvimento de um chip microfluídico para diagnósticos em
saúde pública: Prova de conceito. 2010. 153f. Dissertação (Mestrado em Física) –
Programa de Pós-Graduação em Física, Universidade Federal do Paraná, Curitiba. 2010.
SILVA, C. S.; DIAS, R. A.; VIANNA, J. C.; PONTES, A. J.; ROCHA, L. A. Static and
dynamic modeling of a 3-axis thermal accelerometer. Procedia engineering, n. 47, p.
973-976, 2012.
SPINEANU, A.; BÉNABÈS, P.; KIELBASA, R. A digital piezoelectric accelerometer
with sigma-delta servo technique. Sensors and Actuators A: Physical, n. 60, p. 127-133,
1997.
VANIO, J. P. Rotating Fluids in Engineering and Science. Dover Publications Inc,
1993.
WLODKOWSKI, P. A.; DENG, K.; MANFRED, K. The development of highsensitivity, low-noise accelerometers utilizing single crystal piezoelectric materials.
Sensors and Actuators: Physical, n. 90, p. 125-131, 2001.
YANG, J.; JIA, S.; DU, Y. Novel optical accelerometer based on Fresnel diffractive
micro lens. Sensors and Actuators: Physical, n. 151, p. 133-140, 2009.
87