1 RESUMO O trabalho inicia contando a história das - TCC On-line

1
RESUMO
O trabalho inicia contando a história das geometrias não euclidianas, sendo
elas geometria hiperbólica, dos fractais e esférica. O estudo dessas geometrias faz
parte do currículo da Secretaria do Estado da Educação do Paraná. Traz algumas
aplicações dessas geometrias no nosso cotidiano e sugere algumas atividades
aplicadas para os estudantes do 9º ano do ensino fundamental. A importância de ser
ensinada tal geometria é que conseguimos abordar conceitos interdisciplinares, um
exemplo disso está na geometria esférica pois podemos utilizar os conceitos
abordados na disciplina de geografia tais como: polos, meridianos, curvas
geodésicas, latitude e longitude. Os estudantes do 9º ano do ensino fundamental
foram levados ao laboratório de matemática onde fizeram atividades que foram
enriquecedoras para que aprimorassem os seus conhecimentos sobre as mais
diversas geometrias. Foram formados 10 grupos cada grupo contendo de 3 a 4
alunos para que eles fizessem um comparativo entre a geometria euclidiana e não
euclidiana. No final da aplicação das atividades com os estudantes no nono ano do
ensino fundamental, percebeu-se que os estudantes compreenderam os conceitos
das diferentes geometrias.
Palavras Chaves: geometrias não euclidiana, geometria esférica, geometria de
fractais, geometria hiperbólica.
ABSTRACT
The work presents the story of non-Euclidean geometry, as hyperbolic geometry,
fractals and spherical. The study of these geometries is part of the curriculum of the
Paraná’s State Secretariat of Education. It brings some applications of this geometry
in our daily life and suggests some activities applied to the students of the 9th year of
elementary school. The importance of teach such geometry is that we were able to
address interdisciplinary concepts, an example of this is in spherical geometry
because we can use the concepts covered in the geography discipline such as:
polos, meridians, geodesic curves, latitude and longitude. Students of the 9th year of
elementary school were taken to the Math Lab where did activities that were
enriching for students to improve their knowledge about different geometries. Were
formed 10 groups, each group containing 3 to 4 students so that they make a
comparison between Euclidean and non-Euclidean geometry. At the end of the
activities implementation with the students in the ninth grade, it was realized that the
students understand the concepts of different geometries.
Key words: non-Euclidean geometry, spherical geometry, fractal geometry,
hyperbolic geometry.
2
1 INTRODUÇÃO
O objetivo deste trabalho é desenvolver atividades escolares concretas
sobre geometria não euclidiana. Esta geometria está muito presente no cotidiano
das nossas vidas, como por exemplo, na utilização do GPS, no estudo da
Astronomia, na forma do Globo Terrestre e etc. Queremos contribuir para deixar
esse conceito mais claro para os estudantes desenvolvendo as atividades propostas
neste artigo, de maneira que eles possam enxergar a utilização da geometria não
euclidiana, assim como os estudantes enxergam a geometria euclidiana e a
geometria espacial.
A escolha do tema deve-se ao fato de que o nosso cotidiano é cercado de
geometria não euclidiana, assim como da geometria euclidiana. Entretanto poucas
pessoas, inclusive professores de matemática, conhecem sobre o assunto.
Geometrias não euclidianas foram incluídas nos conteúdos estruturantes do ensino
fundamental e médio de Matemática pela Secretaria de Educação do Estado do
Paraná.
As geometrias não euclidianas se dividem em geometria hiperbólica, da
superfície esférica e dos fractais.
2 GEOMETRIA EUCLIDIANA
O livro “Os Elementos” de Euclides traz os cinco postulados de Euclides, que
norteiam a Geometria Euclidiana, são eles:
1. Uma linha reta pode ser traçada de um ponto a outro, escolhidos a
vontade.
2. Uma linha reta pode ser prolongada indefinidamente.
3. Um círculo por ser traçado com centro e raio arbitrários.
4. Todos os ângulos retos são iguais.
5. Se uma reta secante a duas outras forma ângulos, de um mesmo lado
dessa secante, cuja soma é menor que dois ângulos retos, então essas
retas se prolongadas suficientemente encontrar-se-ão em um ponto
desse mesmo lado.
A geometria não euclidiana surgiu da negação do quinto postulado de
Euclides. (ÁVILA, RPM, Nº 45).
3
3 HISTÓRIA DA GEOMETRIA NÃO EUCLIDIANA
O estudo da geometria iniciou-se com o grego Euclides há 300 a.C cujo livro
mais famoso é “Os Elementos”. O tema deste livro não se refere apenas à
geometria, como muitas pessoas pensam. Um exemplo disso é que nos capítulos
VII, VIII e IX trata da teoria dos números. Muitos matemáticos tentaram provar o
quinto postulado de Euclides, que trata do postulado das paralelas, pois eles
acreditavam que se tratava de um teorema dada à complexidade do postulado.
(Ávila, RPM, nº45).
Os primeiros matemáticos a estudar a geometria não-euclidiana foram Carl
Friedrich Gauss (1777-1855); Nicolai Ivanovich Lobachevski (1793-1856), Johann
Bolyai (1802-1860) e Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866). (SILVA, p 13).
Segundo Silva, “a geometria hiperbólica surgiu da negação do quinto
postulado de Euclides por Johann Bolyai em 1820 e este afirmava que existia mais
de uma paralela a tal reta”.
O primeiro matemático a fazer uma publicação sobre geometria não
euclidiana foi Lobachevsky, em 1829, e atraiu pouca atenção, morrendo sem ter o
reconhecimento pelo seu trabalho. Anos mais tarde (1848), Bolyai também publicou
seu trabalho sobre geometria não euclidiana, dando créditos do seu trabalho junto
com Bolyai. (SILVA, p 13).
Os trabalhos de Lobachevski e Bolyai foram divulgados e reconhecidos a
partir de 1866. Os três matemáticos que concluíram que o quinto postulado de
Euclides era independente dos demais foram Bolyai, Gauss e Lobachevsky. (SILVA,
p. 15).
A pseudoesfera foi o primeiro modelo matemático de geometria não
euclidiana, tal modelo foi desenvolvido pelo matemático italiano Eugênio Beltrami
(1835-1900), trata-se de uma superfície de curvatura negativa. (SILVA, p. 17).
É comum as pessoas acharem que a geometria não euclidiana trata-se
apenas da Geometria Hiperbólica e Elíptica. Basta analisar as Diretrizes Curriculares
do Estado do Paraná para verificar que a geometria não euclidiana vai além destas
duas, temos como geometria não euclidiana: Geometria Projetiva, Geometria
Topológica e Geometria dos Fractais. (SILVA, p. 19). A Geometria do Táxi também é
uma geometria não euclidiana.
A Geometria Fractal descreve a natureza e iniciou-se com o matemático
4
polonês Benoit Mandelbrot (1924-2010). (SILVA, p. 20).
“Por volta de 1830 já havia sérias suspeitas de que o postulado das
paralelas não pudesse ser demonstrado a partir dos outros. Suspeitava-se
que ele fosse independente dos outros quatro, e que se pudesse
desenvolver uma geometria a partir de negociações do postulado das
paralelas, ao lado dos outros postulados de Euclides. Foi nessa época que
o matemático húngaro János Bolyai (1802-1860) e o russo Nicokolai
Ivanovich Lobachevsky (1792-1856) publicaram, independentemente um do
outro, a descoberta de geometrias não euclidianas, ou seja, geometrias que
negam o postulado das paralelas” (ÁVILA)
“Nicolai Ivonovich Lobachevsky (1793 – 1856) é considerado o “Copérnico
da Geometria”, o homem que revolucionou o assunto pela criação de todo
um ramo novo, a geometria de Lobachevsky, mostrando que a geometria
euclidiana não era a ciência exata ou a verdade absoluta que antes se
supunha ser. Em 1829, Lobachevsky publicou um artigo “Sobre os
Princípios da Geometria”, que marca o nascimento oficial da geometria não
euclidiana. Nesta data, tornou-se o primeiro matemático a dar o passo
revolucionário de publicar uma geometria especificamente baseada em uma
hipótese em conflito direto com o postulado das paralelas: por um ponto C
fora de uma reta AB podem ser traçadas mais de uma reta no plano que não
encontram AB.
Jonas Bolyai (1802-1860), por volta de 1829 chegou a conclusão a que
Lobachevsky chegara poucos anos antes. Bolyai partiu da hipótese de que
por um ponto não sobre uma reta, não uma, mas infinitas retas podem ser
traçadas no plano, cada uma paralela à reta dada.” (BOYER)
4 A GEOMETRIA NÃO EUCLIDIANA NO COTIDIANO
Buscando dentro da geometria não euclidiana uma utilização no cotidiano,
pode-se falar da utilização de um equipamento presente no dia a dia, que é o GPS
(Sistema de Posicionamento Global). Este equipamento mostra claramente a
utilização da geometria não euclidiana. Com o uso do GPS podemos associar
matemática com a disciplina de geografia.(ALVES, RPM, nº 59).
Esse instrumento é utilizado por taxistas, velejadores e pilotos de aviões
todos os dias para saberem com precisão a sua localização, também é utilizado por
vários outros profissionais, tais como roteirista de viagens para localizar os pontos
turísticos mais próximos um do outro; monitoramento de abalos sísmicos, pois sabese que os abalos sísmicos alteram o campo gravitacional da Terra, distorcendo as
ondas de rádio, sendo assim, é possível prever terremotos com horas de
antecedência; aplicações industriais, pois quando uma área rural muito grande é
infectada por pestes, é possível utilizar um GPS para fazer a localização exata do
ocorrido, guiando tratores para a área infectada e fazer o controle da peste com
pesticidas. (ALVES, RPM, n° 59 e GLOBO CIÊNCIA. TÍT ULO GPS).
O GPS é constituído de uma constelação de vinte e quatro satélites
5
orbitando em torno da Terra a uma altura aproximada de 20200 Km acima do nível
do mar, em seis planos orbitais com quatro satélites em cada plano de forma que no
mínimo seis sejam visíveis em qualquer ponto da Terra. (ALVES, RPM, n° 59 e
GLOBO CIÊNCIA. TÍTULO GPS).
O GPS precisa de no mínimo quatro satélites para dar uma posição exata
permitindo a receptores conhecer sua posição em qualquer lugar com uma notável
precisão, e pode calcular a velocidade, aceleração e direção. A localização é feita
não em coordenadas cartesianas, mas em coordenadas geográficas (latitude,
longitude e a elevação). (GLOBO CIÊNCIA TÍTULO GPS).
A geometria fractal também tem suas contribuições no cotidiano, tais como:
diagnóstico de câncer. O câncer bucal é o mais difícil de ser diagnosticado, sendo
assim, é possível medir a tortuosidade da borda em que o tumor se encontra. Na
construção civil e na arquitetura foi feito um estudo sobre a estrutura do concreto,
que é um fractal, mais leve e durável. (SILVA, p 43).
5 GEOMETRIA NÃO EUCLIDIANA NOS ENSINO FUNDAMENTAL E MÉDIO
De acordo com as Diretrizes Curriculares de Matemática da Educação
Básica do Paraná, para o ensino fundamental e médio, os conteúdos estruturantes
de Geometria pede-se que se trabalhe as noções básicas de geometrias nãoeuclidiana, dentre as outras geometrias.
Ainda de acordo com as Diretrizes Curriculares de Matemática da Educação
Básica do Paraná, um estudante do ensino fundamental precisa conhecer as noções
da geometria não euclidiana sendo elas: geometria projetiva (pontos de fuga e linhas
do horizonte), geometria topológica (conceitos de interior, exterior, fronteira,
vizinhança, conexidade, curvas e conjuntos abertos e fechados) e noções da
geometria de fractais. No Ensino Médio, o mesmo deve aprofundar o seu
conhecimento de geometrias não euclidianas, ao abordar a geometria dos fractais,
geometria hiperbólica e elíptica. Para a geometria dos fractais, pode-se explorar o
floco de neve e as curvas de Koch, tapete e triângulo de Sierpinski. Ainda no ensino
médio, para abordar a geometria hiperbólica pode-se trabalhar com o postulado de
Lobachevsky (partindo-se do conceito de pseudoesfera, pontos ideais, triângulo
hiperbólico e a soma dos ângulos internos de um triângulo hiperbólico). Para a
geometria elíptica, abordar postulado de Riemann, curva na superfície esférica e o
6
conceito de geodésia, círculos máximos e menores, distância na superfície esférica,
ângulo esférico, triângulo esférico e a soma das medidas dos ângulos internos de
um triângulo, classificar os triângulos esféricos quanto à medida dos lados e dos
ângulos, conceitos referentes à superfície da Terra: polos, equador, meridianos,
paralelos e direções de movimento.
A sugestão dada pelas diretrizes curriculares de Matemática do estado do
Paraná é que a geometria não euclidiana seja avaliada a partir do 7° ano (6ª série)
da seguinte maneira: o estudante compreende noções topológicas através do
conceito de interior, exterior, fronteira, vizinhança, conexidade, curvas e conjuntos
aberto e fechados. No 8° ano (7ª série) ele deverá conhecer fractais através da
visualização e manipulação de materiais e discuta suas propriedades). No 9° ano (8ª
série) o estudante deverá ter as noções básicas de geometria projetiva. No Ensino
Médio, o ensino de geometrias não euclidianas continua a partir do 1° ano sendo
que ao final da sua vida escolar ele compreenda e perceba a necessidade das
geometrias não euclidianas para a compreensão de conceitos geométricos, quando
analisados em planos diferentes do plano de Euclides. Compreenda a necessidade
das geometrias não euclidianas para o avanço das teorias científicas, e por fim,
articule ideias geométricas em planos de curvatura nula, positiva e negativa.
Conheça os conceitos básicos da geometria elíptica, hiperbólica e fractal.
6 GEOMETRIA HIPERBÓLICA
O primeiro modelo matemático para a geometria hiperbólica é a
pseudoesfera. Por definição, pseudoesfera é uma superfície gerada pela revolução
de uma curva conhecida como tractriz em torno de uma reta ou eixo (sua assíntota).
(SILVA, p. 25).
7
Figura 1 - revolução de uma curva tractriz
Fonte<http://www.searadaciencia.ufc.br/donafifi/hiperbolica/hiperbolica5>
Em curvaturas negativas a soma dos ângulos internos de um triângulo não é
180°. Outro modelo matemático para a geometria hipe rbólica é o disco de Poincaré,
desenvolvido por Henry Poincaré. (SILVA, p 26-27).
Na geometria hiperbólica a soma das medidas dos ângulos internos de um
triângulo é sempre menor que 180°. (COUTINHO, p. 57 ).
Na geometria hiperbólica, o teorema de Pitágoras não é válido, pois não
existem retângulos. (SILVA, p. 40).
Num quadrilátero hiperbólico, a soma dos ângulos internos será sempre
menor que 360°. (SILVA, p 52). Na geometria hiperbó lica, figuras semelhantes são
inexistentes. Segundo Coutinho (p.59), todos os triângulos de mesma forma têm,
necessariamente, a mesma área. Um ponto é dito ideal quando é o encontro de
duas retas paralelas na geometria hiperbólica. ( COUTINHO, p. 59).
Figura 2 - pseudoesfera
Fonte: Karolina Barone, 2011, p 24
8
7 GEOMETRIA DA SUPERFÍCIE ESFÉRICA
Na geometria plana, a menor distância entre dois pontos é uma reta; na
geometria espacial o menor arco de uma das circunferências máximas da superfície
esférica é um segmento esférico.
Uma linha na geometria esférica é uma circunferência máxima da esfera,
embora seja ilimitada não é infinita. Numa superfície não plana as linhas são curvas.
Geodésicas são circunferências máximas com o mesmo diâmetro da esfera.
É a secção plana da esfera passando pelo seu centro.
Figura 3 - geodésicas
Fonte <http://www.pucsp.br/pos/edmat/mp/dissertacao/irene_conceicao_rodrigues_prestes.
pdf >
Curvas Geodésicas são as linhas que cobrem a menor distância entre dois
de seus pontos. Um meridiano é uma linha geodésica pois é um círculo máximo do
nosso planeta; um paralelo terrestre é uma linha e não é uma geodésica da Terra.
9
Figura 4 – curva geodésica
Fonte <http://www.pucsp.br/pos/edmat/mp/dissertacao/irene_conceicao_rodrigues_prestes.
pdf >
Ângulo Esférico é a reunião de dois arcos de circunferência máxima, que se
cruzam em certo ponto. Tal ponto é o vértice do ângulo. Na superfície esférica dois
pontos distintos determinam infinitas retas distintas.
Figura 5 – ângulo esférico
Fonte <http://www.pucsp.br/pos/edmat/mp/dissertacao/irene_conceicao_rodrigues_prestes.
pdf >
Triângulo Esférico é uma figura obtida ao unir três pontos distintos numa
10
superfície esférica, tais que, dois a dois, pertençam a um mesmo arco de
circunferência máxima e a soma dos seus ângulos internos é maior que 180°. Num
triângulo esférico tem-se o triângulo retângulo, com apenas um ângulo reto.
Triângulo Birretângulo é aquele com dois ângulos retos. E o trirretângulo é aquele
com três ângulos retos.
Figura 6 – triangulo esférico
Fonte <http://www.pucsp.br/pos/edmat/mp/dissertacao/irene_conceicao_rodrigues_prestes.
pdf >
Segue em uma tabela a comparação da definição de retas na geometria
euclidiana e na geometria esférica, no quadro 1.
Quadro 1
Euclidiana
Esférica
Um segmento de reta é um caminho Um arco de círculo máximo é o caminho
mais curto entre dois pontos
mais curto entre dois pontos
Uma reta é infinita
Um círculo máximo é finito
Uma reta não tem centro
Um círculo máximo tem dois centros que
são os polos
11
Duas retas podem ser paralelas
Dois círculos máximos nunca são paralelos
Duas retas não paralelas se interceptam Dois círculos máximos se interceptam em
em um ponto
dois pontos
Percorrendo uma reta, a partir de um Percorrendo um círculo máximo a partir de
ponto, nunca se retorna a esse ponto
um ponto,sempre se retorna a ele.
Por dois pontos, passa uma única reta, Por dois pontos passa um único círculo
estes pontos dividem a reta em duas máximo. Se esses pontos forem os polos,
semirretas e um segmento
então passam infinitos círculos máximos.
Dois pontos dividem o círculo máximo em
dois arcos finitos.
Fonte: adaptada do site
<http://ww4pucsp.br/pos/edmat/ma/dissertacao/joao_pedro_marqueze.pdf
8 GEOMETRIA FRACTAL
São figuras com detalhes que se multiplicam em partes cada vez menores,
sem perder a forma original. Uma dimensão fractal é aquela dimensão maior que 1 e
menor que 2, pois trata-se de uma dimensão fracionária, e portanto, é uma
dimensão fractal.
O primeiro exemplo de fractal que podemos citar é a curva de Koch, criada
pelo matemático alemão Helge Von Koch em 1904. Para construir a curva de Koch,
basta pegarmos um segmento de reta de comprimento 1 e dividir o segmento em
três partes iguais e retirar o terço médio. Para cada segmento formado, vamos
dividindo em três partes e tirando o terço médio.
Na figura a seguir, temos os primeiros níveis de construção da curva de
Koch.
12
Figura 7 - curva de Koch
Fonte: Celso Penteado Serra e Elizabeth Wagner Karas, 1997, p 7
(adaptado)
Os fractais possuem características fundamentais sendo elas: estrutura fina,
autossimilaridade e simplicidade da lei de formação.
Estrutura Fina: Um fractal possui detalhes mínimos. Isso quer dizer que cada
vez que recorta-se um fractal, obtém-se um fractal menor com as mesmas
características da figura inicial.
Autossimilaridade: É a semelhança observada em qualquer nível de fractal,
ou seja, uma parte do fractal será igual ao todo.
Simplicidade da lei de formação: A construção de fractais é feita com
algoritmos simples. Apesar de terem um alto grau de detalhamento e a estrutura de
um fractal seja complexa, isso não impede que sejam formados por processos
simples e diretos.
9 EXERCÍCIOS SUGERIDOS AOS ESTUDANTES
As atividades a seguir propostas neste artigo foram adaptadas do site
(UNICAMP – recursos educacionais multimídia para a matemática do ensino médio)
13
e trabalhadas com os estudantes do 9º ano do ensino fundamental na aula de
laboratório.
Antes de iniciarmos esta aula os estudantes já haviam visto nas aulas
anteriores as definições de ponto, reta e plano.
Primeiro foi apresentado um vídeo do super-herói RADIX que mostra a
necessidade de uma geometria não euclidiana no lançamento de um satélite,
comenta da locomoção dos mesmos no espaço e que algumas regras da geometria
euclidiana não são válidas na geometria esférica.
Contou-se uma parte da história da matemática em que houve a
necessidade de se negar o quinto postulado de Euclides e surge então a geometria
não euclidiana, apresentou-se novamente os cinco postulados e então distribuiu-se
as tarefas digitadas nas folhas sulfites com uma bola de isopor para cada estudante
afim de que pudessem comparar a geometria plana com a geometria esférica. Os
materiais utilizados para as atividades foram os seguintes: lápis, lápis de cor, caneta
hidrocor, régua, compasso profissional, bolinhas de isopor de 75mm, folha A3 com o
molde do triângulo equilátero de 30cm de lado.
Atividade 1
As atividades propostas foram realizadas no laboratório de Matemática, com
duração de duas aulas de 50 minutos cada uma. Quando os estudantes chegaram
ao laboratório, os materiais já estavam disponíveis nas mesas e formaram-se grupos
de três ou quatro estudantes, para realizarem as atividades. A atividade foi aplicada
em quatro turmas do nono ano do ensino fundamental. Em duas turmas, iniciou-se a
aula falando dos cinco postulados de Euclides e explanou-se que a geometria não
euclidiana surgiu da negação do quinto postulado. Após essa explanação, passou-se
um vídeo no qual explica-se como funciona o lançamento de um foguete, e que para
lançá-lo são necessários os conhecimentos da geometria não euclidiana. Após o
vídeo os estudantes responderam as questões da primeira atividade. As conclusões
foram as mais diversas. Nas duas outras turmas, primeiro falou-se apenas da
geometria euclidiana e propuseram-se as questões a e b. Em seguida, explicou-se a
diferença entre geometria euclidiana e não euclidiana e exibiu-se um vídeo; logo em
seguida, encaminhou-se as questões c e d. Nas outras duas turmas mudou-se a
metodologia, pois percebeu-se que alguns estudantes estavam concluindo de
maneira equivocada as questões propostas. O resultado obtido após a mudança de
14
metodologia, foi que alguns estudantes ainda continuavam concluindo as questões
de maneira errônea. O estudante faz o mesmo exercício na folha de papel e na bola
de isopor para poder comparar as duas situações e perceber a necessidade de outra
geometria, as respostas na sua maioria foram corretas, isso indicou que os
estudantes entenderam as propostas dos exercícios. Uns 5% dos estudantes na
primeira atividade fizeram no plano um triângulo sugerindo que o caçador volta para
casa nas condições propostas. Quando faltavam dez minutos para o final da
segunda aula, foram feitas as considerações finais das atividades propostas,
esclarecendo aos estudantes as diferenças entre os dois conceitos e comentando as
dificuldades encontradas por eles em relação às duas geometrias e corrigindo os
estudantes que tiveram uma conclusão equivocada.
''Um jovem caçador saiu de sua fazenda e andou 10 km ao sul. Depois virou
a oeste e andou mais 10 km. Então virou ao norte e andou novamente mais 10 km.
Ele ficou espantado, pois descobriu que tinha retornado novamente a sua fazenda.''
a) Em uma folha de papel, desenhe o caminho percorrido pelo jovem caçador.
b) De acordo com a história descrita acima é possível que o jovem caçador volte ao
ponto de partida? Escreva suas conclusões.
c) Em uma bola de isopor, desenhe o caminho percorrido pelo jovem caçador.
d) Analisando o caminho desenhado na bola, é possível para o jovem caçador voltar
ao mesmo ponto de partida? Justifique sua resposta.
Pode-se ver a seguir algumas conclusões dos estudantes.
Foto 01 – caminho percorrido pelo jovem caçador no plano
Fonte: própria autora
15
Foto 02 – caminho percorrido pelo jovem caçador no plano
Fonte: própria autora
Foto 03 – caminho percorrido pelo jovem caçador no plano
Fonte: própria autora
16
Foto 04 – caminho percorrido pelo jovem caçador no plano
Fonte: própria autora
Foto 05 – caminho percorrido pelo jovem caçador na esfera
Fonte: própria autora
17
Foto 06 – caminho percorrido pelo jovem caçador na esfera
Fonte: própria autora
Atividade 2
Para os estudantes terem uma noção da geometria dos fractais distribuiu-se
para cada um uma folha de papel A3 com um triângulo equilátero de lado igual a 30
cm desenhado com o software Geogebra, exibiu-se um vídeo cujo tema era a
construção do triângulo de Sierpinski e sugeriu-se que eles construíssem o triângulo
de
Sierpinski.
A
atividade
foi
adaptada
do
site
<http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/2207-8.pdf>
A
orientação dada para os estudantes foi a seguinte: com o triângulo equilátero de
30cm de lado, marque o ponto médio em cada um de seus lados, e ligue esses
pontos. Para cada triângulo formado, exceto o central, marque o ponto médio em
cada um de seus lados e ligue esses pontos novamente. Repita o processo mais
uma vez para os triângulos restantes. Sabendo que esse fractal é formado retirando
o triângulo central em cada etapa, pinte os triângulos restantes de uma mesma cor.
18
A cada etapa da construção do triângulo, eles deveriam completar a tabela
proposta na atividade.
Pense e responda:
a) Qual o nome do fractal que você acabou de construir?
b) Registre na tabela abaixo o número de triângulos em cada etapa da construção.
Etapa
Números de triângulos
0
1
2
3
Tabela 2: Etapa x Número de triângulos
Fonte: site <http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/2207-8.pd >
Para realizar essa atividade os estudantes devem ter um conhecimento
prévio de desenho geométrico. Neste caso específico os estudantes já tinham esse
conhecimento, pois na grade curricular do colégio onde foi aplicada a atividade, a
disciplina de desenho geométrico faz parte do currículo no oitavo e nono anos.
Entretanto nada impede do professor de matemática dar tais noções elementares
aos estudantes, caso eles não possuam na grade curricular a disciplina de desenho
geométrico. Para realizar a atividade o único conceito necessário era saber como
traçar ponto médio com o compasso. Alguns estudantes encontraram dificuldade em
traçar o ponto médio na extremidade da folha, que foi resolvido com o conhecimento
prévio do ano anterior e com orientação do professor de matemática. Nessa
atividade todos acertaram a construção do triângulo de Sierpinski, mas alguns
estudantes erraram ao completar a tabela, pois deixaram para preenchê-la ao
término da construção do triângulo e também porque não prestaram muita atenção
no vídeo que foi passado como introdução da atividade. A tarefa foi mais trabalhosa,
pois os estudantes tiveram que desenhar os triângulos, pintar para colocar em
evidência o triângulo que era retirado da figura e repetir o processo três vezes
lembrando sempre de completar a tabela com o número de triângulos em cada
19
etapa. Os estudantes fizeram três iterações.
Figura 2 – triângulos de Sierpiski
Fonte: Site<http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/2207-8.pdf
A seguir algumas fotos dos trabalhos realizados pelos estudantes.
Foto 7 – construção do triangulo de Sierpiski
Fonte: própria autora
20
Foto 8 – construção do triangulo de Sierpiski
Fonte: própria autora
Foto 09 – construção do triangulo de Sierpiski
21
Fonte: própria autora
Foto 10 – construção do triangulo de Sierpiski
Fonte: própria autora
Foto 11 – construção do triangulo de Sierpiski
22
Fonte: própria autora
CONCLUSÃO
O trabalho foi de grande valia, pois pode-se conhecer muito sobre as
geometrias não euclidianas. Tinha-se um conhecimento prévio sobre o assunto, mas
após o trabalho enriqueceu-se o conhecimento sobre as geometrias euclidianas e
não euclidianas. Encontraram-se dificuldades em conseguir literatura que trate do
assunto. Ainda é um assunto pouco conhecido dos profissionais matemáticos,
gerando muita dificuldade em encontrar atividades práticas de serem aplicadas aos
estudantes. As geometrias estão no cotidiano muito mais do que se imagina, pois
encontra-se na aviação, navegação, no GPS. Pode-se fazer um comparativo entre a
geometria euclidiana e não euclidiana, observando que os conceitos válidos para a
geometria euclidiana não são válidos para a não euclidiana. A geometria de fractais,
por exemplo, é de fundamental importância para o estudo da medicina. A geometria
esférica ilustra bem como o GPS funciona. As geometrias não euclidianas estão
muito próximas dos estudantes, ficando acessível ensiná-las com exemplos práticos
e que os motivam.
23
REFERÊNCIAS
ALVES, Sérgio. Titulo: A matemática do GPS, RPM, n 59 . Disponível em
<http:www.rpm.org.br/conheca/gps.pdf> Acesso em 15/12/2012.
AVILA, Geraldo. Título: Euclides, Geometria e Fundamentos, RPM, n 45 . Disponível
em < www.rpm.org.br/conheca/45/1/euclides.htm> Acesso em 10/11/2012.
BOYER,Carl , MERZBACH, Uta C. Titulo: História da Matemática.3 edição,
São Paulo: Blucher, 2012.
COUTINHO,Lázaro. Titulo: Convite as Geometrias não-Euclidianas. 2 Edição, Rio de
Janeiro: Interciencia, 2001.
DIRETRIZES CURRICULARES DE MATEMATICA DO ESTADO DO PARANA
Disponível em <http://ww.nre.seed.pr.gov.br/irati/arquivos/file/matematica.pdf>
Acesso em 01/02/2013.
GLOBO CIENCIA . TITULO: GPS- 04/05/2013 Disponivel em
< http://globotv.globo.com/rede-globo/globo-ciencia/>, Acesso em 04/05/2013.
MARQUEZE, João Pedro . Titulo: As faces dos Sólidos Platônicos na superfície
esférica: uma proposta para o ensino e aprendizagem de noções básicas de
geometria esférica.2006, disponível em
24
<http://www4.pucsp.br/pos/edmat/ma/dissertacao/joao_pedro_marqueze.pdf >
Acesso em 15/05/2013.
SILVA, Karolina Barone Ribeiro da. Titulo: Noções de Geometrias Não Euclidianas:
Hiperbólica, da Superfície Esférica e dos Fractais.1ª edição. Editora CRV,
Curitiba, 2011.
UNICAMP, Titulo: Recursos educacionais multimídia para a matemática do ensino
médio. Disponivel em
<http://m3.ime.uni.camp.br/recursos/search:geometria+esferica> acesso em
10/11/2012.
Projeto Condigital.Titulo: Um Triangulo Fractal Especial,episodio 06.Disponivel em
<http://diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/2207-8.pdf> acessado em
13/03/2013.
Prestes, Irene da Conceição Rodrigues. Titulo: GEOMETRIA ESFÉRICA: Uma
conexão com a Geografia.Disponivel em :
<http://www.pucsp.br/pos/edmat/mp/dissertacao/irene_conceicao_rodrigues_prestes.
pdf >. Acesso em 15/05/2013.