O que é a geometria não

O que é a geometria não-euclidiana?
Geometria construída em espaços que violam o postulado das paralelas. Esse postulado
diz que para toda reta L, e todo ponto P não pertencente a L, existe apenas uma reta
paralela a L passando por P. Esse é um dos postulados básicos da geometria ‘’comum’’
ou euclidiana, então existem diferenças consideráveis entre a geometria euclidiana e
não-euclidiana.
Qual a utilidade de geometria não-euclidiana? Por que ela foi inventada?
Apesar do modelo que estamos acostumados funcionar bem para planos 2D, é de
concordância geral entre físicos e matemáticos que ela não serve bem para o mundo
real. Novos modelos geométricos foram criados para simular melhor a realidade.
Exemplos de aplicações?
Geometria Hiperbólica: Baseada num espaço curvo, esse modelo descreve melhor
assuntos como relatividade geral (que lida com espaço curvo) e suas implicações (ex:
Estudos do campo gravitacional do Sol considerando a curvatura espacial gerada sobre
Mercúrio).
Geometria Esférica: Baseada na superfície de uma esfera, ela tem grandes aplicações na
navegação e na astronomia. Ex: O caminho mais curto entre a Flórida e as Filipinas (que
ficam ao sul da Flórida) passa pelo Alasca! Muitas rotas de navegação aparentemente
absurdas tem sua eficácia provada por essa geometria.
Definir qual modelo representa melhor a realidade também faz diferença. De acordo
com as teorias atuais da cosmologia, se a geometria é hiperbólica, o universo vai
expandir indefinidamente; se for euclidiana, o universo vai expandir indefinidamente
em velocidade de escape; se for elíptica (a esférica é um caso especial de elíptica), a
expansão vai eventualmente parar e o universo vai se contrair. Isso é devido às
diferenças entre a soma dos ângulos internos de um triângulo em cada modelo (180º no
euclidiano, mais de 180º no hiperbólico e menos de 180º no elíptico).
Mais aplicação: http://mathcentral.uregina.ca/QQ/database/QQ.09.03/geoffrey1.html
Sites por onde pegar material:
http://www.geom.uiuc.edu/~crobles/hyperbolic/ (hiperbólico)
http://www.maths.gla.ac.uk/~wws/cabripages/hyperbolic/hyperbolic0.html (hiperbólico)
http://mathworld.wolfram.com/topics/Geometry.html (geral)
http://math.rice.edu/~pcmi/sphere/#intro (esférico)
Wikipédia, como sempre...