logaritmos - Paulo Mottola

Mottola
LOGARITMOS
1) (UFMG) Para a função f(x) = log a (1 + x2), com a > 1, assinale a alternativa
incorreta.
(a) A função é definida para todo x  R.
(b) A função tem valor mínimo para x = 0.
(c) A função assume valores negativos.
(d) A função é satisfeita pelo par (0,0).
(e) A função não é crescente
2) (UFB) O conjunto de valores que satisfazem a relação log (2x - 8) < log x é
(a) {x  R/ x < 0}
(b) {x  R/ 0 < x  2}
(c) {x  R/ 4 < x < 8}
(d) {x  R/ 8 < x  12}
(e) {x  R/ x > 12}
3) (UFGO) Os gráficos das funções reais y = 3 log x e y = log 3x
(a) interceptam-se em um único ponto.
(b) interceptam-se em dois pontos.
(c) interceptam-se em três pontos.
(d) são coincidentes.
(e) não se interceptam.
4) (FUVEST) Se log 10 8 = a então log 10 5 vale
(a) a3
(b) 5a - 1
(c) 2a/3
(d) 1 + a/3
(e) 1 - a/3
5) (UFGO) Se log 2 (x-y) = a e x + y = 8, então log 2 (x 2- y 2) vale
(a) 2 + a
(b) 3a
(c) 3 + a
(d) 8a
(e) 8 + a
1
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6) (FUVEST) A função inversa de y  5( x ) é
3
(a) y  3 log 5 ( x)
(b) y  log 5 (3 x )
(c) y  log 5 ( x 3 )
(d) y  5 y
1
(e) y  y 3
5
3
7) (UFRGS) Considere as funções numeradas de 1 até 5 e os gráficos de A até E.
(a)
y
(b)
y
x
(c)
x
y
(d)
x
(e)
y
x
y
x
(1) y = log(x)
(2) y = 10x
(3) y = (1/10)x
(4) y = 10 log (x)
(5) y = log (10x)
Associando-se as funções a seus gráficos, obtêm-se os pares
(a) (1, A), (2, B), (3, C), (4, D), e (5, E)
(b) (1, A), (2, B), (3, C), (4, E), e (5, D)
(c) (1, A), (2, C), (3, B), (4, D), e (5, E)
(d) (1, B), (2, A), (3, C), (4, D), e (5, E)
(e) (1, B), (2, C), (3, A), (4, E), e (5, D)
2
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8) (VUNESP) A figura representa o gráfico de y = log 10 x
y
C
B
A
O
a
b
c
x
Sabe-se que 0A = BC. Então se pode afirmar que
(a) log a b = c
(b) a + b = c
(c) ac = b
(d) ab = c
(e) 10a + 10b = 10c
9) A expressão log(a) é equivalente a
log(b)
(a) log(a) - log(b)
(b) log(a - b)
(c) log b (a)
(d) log a (b)
(e) log(a/b)
10) Seja f definida por f(x) = log 1,72 (x). Podemos afirmar que
(a) f é uma função decrescente
(b) f tem uma assíntota horizontal
(c) não existe f(2)
(d) f -1 é definida por f -1(x) = 1,72x
(e) x . f(x) > 0 para todo x
11) Uma epidemia inicia com um contaminado. No segundo dia, este contaminado
contamina dois novos indivíduos. A cada novo dia, cada indivíduo contaminado irá
contaminar dois novos indivíduos. Considerando log(3)=0,4771, a quantidade total de
indivíduos contaminados dia 101 está no intervalo
(10n, 10m), para n e m, respectivamente,
(a) 10 e 20
(b) 20 e 30
(c) 30 e 40
(d) 40 e 50
(e) 50 e 60
3
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12) (UFRGS) Os conjuntos de soluções reais das desigualdades log x (1) > 0, log(x) > 0,
log(1) > x são, respectivamente,
(a) , (1, + ) e (- , 0)
(b) , (0, + ) e (- , 0)
(c) , (1, + ) e (0, + )
(d) (0, + ), (1, + ) e (- , 0)
(e) (0, + ), (0, + ) e (- , 0)
13) A solução de 4×2x – 5 = 0, com log(2)=a, é
(a) (1 - 3)/a
(b) 1/a + 3
(c) 1/a - 3
(d) 1 + 3a
(e) 1 – 3a
14) O domínio máximo real, da função real definida por f(x) = log (x - 1) , é
(a) (-  , 2]
(b) [-2 , +)
(c) [2 , +)
(d) R
(e) 
15) Em um terremoto, considere as variáveis:
A: amplitude relativa da onda sísmica a 100 km do epicentro.
M=log(A): magnitude do sismo.
M
6
5
4
A
As magnitudes formam uma escala logarítmica chamada de escala Richter.
Quando a magnitude de um terremoto passa de 4 para 6, a amplitude relativa da onda
sísmica é multiplicada por
(a) 2
(b) log(2)
(c) log(6)/log(4)
(d) 10
(e) 100
4
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16) (UFRGS) A raiz da equação log(log (x + 1) ) = 0 é
(a) 0
(b) 1
(c) 9
(d) 10
(e) 11
17) (UFRGS) Encontre o par de gráficos que melhor representa a função y = log 0,1(x) e
sua inversa, nessa ordem.
(I)
y
( II )
y
x
( III )
y
( IV )
x
(V)
x
y
x
y
x
(a) I
(b) II
(c) II
(d) I
(e) IV
e
e
e
e
e
III
IV
V
II
III
18) (OSEC) Sabendo-se que a, b e c são três números inteiros e positivos e que
log 10 (ab) = 12,6 e log 10 (ac) = 0,2, então log 10 (b/c) vale
(a) 12,8
(b) 12,4
(c) 2,52
(d) 6,3
(e) 63
5
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19) (PUC) Um aluno do Ensino Médio deve resolver a equação 2x = 3 com o uso da
calculadora. Para que seu resultado seja obtido em um único passo, e aproxime-se o
mais possível do valor procurado, sua calculadora deverá possuir a tecla que indique a
aplicação da função f definida por
(a) f(s) = s2
(b) f(s) = 2s – 3
(c) f(s) = 2s
(d) f(s) = log(s)
(e) f(s) = log 2 (s)
20) (UFRGS) Na figura abaixo está representado o gráfico da função f(x) = log b (x).
f(x) = log b (2)
0,5
2
x
-1
A área da região sombreada é
(a) 2
(b) 2,2
(c) 2,5
(d) 2,8
(e) 3
21) (UFRGS) Para todo n > 1, tem-se que log n (n + 1) é
(a) 1
(b) n
(c) maior do que 1
(d) menor do que 1
(e) maior do que n
6
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22) (PUC) O número real x está no visor de uma calculadora. Ao pressionarmos duas
vezes seguida a tecla log a (x) , obtemos resultado zero. O valor de x é
(a) 0
(b) 1
(c) a
(d) a2
(e) 2a
23) (UFGRS) Dentre os gráficos abaixo, o que pode representar a função f ( x) 
log 2 x
log 3 x
é
y
y
x
(a)
y
x
(b)
y
x
(c)
y
x
(d)
x
(e)
24) (UNIFOR) O conjunto solução da equação (log x)2 - 2 . log x + 1 = 0, no universo
R, é
(a) {0}
(b) {0,1}
(c) {1}
(d) {10}
(e) {100}
25) A alternativa que contém o valor mais próximo de 2100 é
(a) 1010
(b) 1020
(c) 1030
(d) 1040
(e) 1050
Dado: log(2)=0,301
7
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RESOLUÇÃO
1) Em f(x) = log a (1 + x2), vamos atribuir um valor maior do que 1 para a base a, por
exemplo, a=2.
f(0) = log 2 (1 + 02) = log 2 (1) = 0
f(1) = log 2 (1 + 12) = log 2 (2) = 1
f(-1) = log 2 (1 + (-1)2) = log 2 (2) = 1
f(2) = log 2 (1 + 22) = log 2 (5), que é um número entre 2 e 3.
f(-2) = log 2 (1 + (-2)2) = log 2 (5), que é um número entre 2 e 3.
f(x) = log 2 (1 + x2)
3
2
-2 -1
1 2
(a) é V: A função é definida para todo x  R.
(b) é V: A função tem valor mínimo para x = 0.
(c) é F: A função é sempre positiva.
(d) é V: O gráfico passa por (0,0).
(e) é V: A função não está sempre crescendo.
Obs.: 1) 1 + x2 é sempre maior do que 1, pois x2 nunca é negativo. O logaritmo base 2
de números maiores do que 1 nunca é negativo.
2) O gráfico não é o de uma parábola, pois deve apresentar uma ponta em (0,0).
2) log (2x - 8) < log x  2x – 8 < x (base 101, não inverte o sinal da desigualdade).
x<8
Porém, 2x – 8 tem que ser positivo, ou seja, 2x – 8  0
2x  8
x  4.
x4ex<8
{x  R / 4 < x < 8}
 y  3 log x
3) O número de soluções do sistema 
é o número de pontos de intersecção
 y  log 3x
dos gráficos.
Igualando os y, temos: 3log(x) = log(3x)
x3 – 3x = 0
x(x2 – 3) = 0
log(x3) = log (3x)
x3 = 3x
x = 0 ou x = 3 ou x = -3
Como x tem que ser positivo, o único possível x é 3. Uma só solução.
8
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log 10 (23) = a
4) log 10 (8) = a
3 log 10 (2) = a
log 10 (2) = a/3
log 10 (5) = log 10 (10/2) = log 10 (10) – log 10 (2) = 1 – a/3
5) log 2 (x – y) = a e x + y = 8.
log 2 (x 2 – y 2) = log 2 ((x + y)(x – y)) = log 2 (x + y) + log 2 (x – y) = log 2 (8) + a =
8
a
3 + a.
6) f ( x)  5( x
3
)
x3

(elevar ao cubo)
x
:

5( x
(exponencial base 5)
x 
log 5 (x)


(logaritmo base 5)
(tirar a raiz cúbica)
Inversa:
3
3
)
log 5 ( x)
7)
(1) y = log(x) é uma função logarítmica base 101, logo é crescente: A
(2) y = 10x é uma função exponencial base 101, logo é crescente: C
(3) y = (1/10)x é uma função exponencial base 1/10<1, logo é decrescente: B
(4) y = 10 log (x) = x, que é a identidade, mas x tem que ser positivo: D
(5) y = log (10x) = x log(10) = x, que é a identidade: E
Resposta: (1, A), (2, C), (4, D), (5, E)
8)
y = log(x)
log(c)=C
log(b)=B
log(a)=A
O
a
b
log(a)=A, log(b)=B, log(c)=C.
c
x
OA tem tamanho A=log(a).
BC tem tamanho C-B= log(c)-log(b).
Se AO=BC, então log(a)=log(c)-log(b).
log(a)=log(c/b)
a=c/b
ab=c
9
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9) Passando log b (a) para a base 10, temos: log b (a) 
log( a)
.
log( b)
10) f(x) = log 1,72 (x).
(a) é F: Quando a base é maior do 1, a função é crescente.
(b) é F: As funções logarítmicas básicas têm Y como assíntota vertical.
(c) é F: Funções logarítmicas não são reais apenas para negativos ou zero.
(d) é V: A inversa da logarítmica base 1,72 é a exponencial base 1,72.
(e) é F: Observando o gráfico, para x(0,1), x×f(x) < 0.
x
1
f(x)
11)
Dia
Novos Contaminados
Total de Contaminados
1
2
3
4
...
1
2
6
18
...
1=30
3=31
9=32
27=33
...
101
...
3100
3100= x
log(3100) = log(x)
100log(3) = log(x)
1000,4771 = log(x)
47,71 = log(x)
x = 1047,71
x está entre 1040 e 1050.
10
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12) a) log x (1)  0
y = log x (1) não é uma função logarítmica básica. A base não pose ser variável.
Vamos passar para a base constante 10:
log(1)
0
. Se o denominador for nulo, não existe. Caso contrário é
log x (1) 

log( x) log( x)
zero.
De qualquer forma, nunca será maior do que zero. O conjunto que satisfaz é vazio.
b) log(x) > 0
Analisando o gráfico da função y = log(x), observamos que os afastamentos x tais
que y é positivo são os maiores do que 1. O conjunto que satisfaz é (1, +).
y=log(x)
1
c) log(1) > x
log(1) = 0
x
x
Temos: 0  x, ou seja, x < 0. O conjunto que satisfaz é (-, 0)
13) 4×2x = 5 2x = 5/4
log( 5)  log( 4)
x
log( 2)
log(2x) = log(5/4)
x log(2) = log(5) – log(4)
 10 
log( 5)  log   log(10)  log( 2)  1  a.
2
1  a  2a 1  3a 1
log(4)=log(22)=2log(2)=2a.
Logo, x 

  3.
a
a
a
14) Se f(x) = log(x –1) , então log(x–1) tem que ser maior do que zero.
0
1
++++
y=log(x)
Os afastamentos x para
os quais y=log(x-1) é
positivo, são os maiores
do que 2.
y=log(x-1)
11
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15) A: amplitude relativa da onda sísmica a 100 km do epicentro.
M=log(A): magnitude do sismo.
M
6
5
4
A1
log(A1)=M1 e log(A2)=M2
104=A1 e 106 = A2
A2
A
log(A1)=4 e log(A2)=6
A2=100A1
Logo, é multiplicada por 100.
16) log10 (log( x  1))  0  10 0  log( x  1)
1  log10 ( x  1)  101  x  1
x=9
17) y=log 0,1 (x) é uma logarítmica básica decrescente, pois a base é 0,1<1.
Logo, seu gráfico tem a forma:
A inversa da logarítmica y=log 0,1(x) é a exponencial y=0,1x, que á uma
exponencial básica decrescente.
Logo, o seu gráfico tem a forma:
Assim, os gráficos que melhor representam y=log 0,1 (x) e a sua inversa são os de
números II e IV.
12
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18)
log 10 (ab) = 12,6
log 10 (ac) = 0,2
log(ab) - log(ac) = 12,4
b
log   12,4
c
 ab 
log   12,4
 ac 
19) 2x = 3 equivale a dizer que log 2 (3) = x.
Se tivermos uma função definida por f(s) = log 2 (s) e substituirmos s por 3, teremos
f(3) = log 2 (3), que é o x procurado.
20)
f(x) = log b (2)
h
h=f(2)
0,5
x
2
-1
A área do retângulo é obtida por basealtura. A base é 2 e a altura h.
Logo, A = 2h.
h é f(2). Se descobrirmos a lei da função f, obteremos h.
Na lei da função f, b é uma letra a ser determinada.
O ponto (1/2, -1) pertence ao gráfico da f.
Substituindo este ponto na expressão y = log b (x), temos:
-1 = log b (1/2)
b-1 = 1/2
Logo, f(x) = log 2 (x).
b=2
h = f(2) = log 2 (2) = 1.
A = 21 = 2.
13
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21) n > 1. Queremos o valor de log n (n + 1).
nx = n + 1
log n (n + 1) = x
y = nx
y = n+1
1
1
x
Temos nx = n + 1 para um valor x maior do que 1.
22)
Pressionando duas vezes a tecla loga(x) temos log a (log a (x)).
Se log a (log a (x)) = 0, então a0 = log a (x).
Ou seja, 1 = log a (x).
Se log a (x) = 1, então a1 = x.
Logo, x = 1.
23)
log 3 x
log 2 x log 3 2 log 3 x
1
1
, que é uma constante k.
f ( x) 




log 3 x log 3 x log 3 2 log 3 x log 3 2
Logo, f(x) = k, correspondendo ao gráfico da alternativa (a).
k
14
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Obs.: A questão deveria ser anulada, pois f(0) e f(1) não estão definidas, uma vez que
envolveria log(0) e divisão por zero.
Assim, o gráfico correto deveria ser o seguinte:
k
0
1
24) (log x)2 - 2 . log x + 1 = 0
Seja t = log(x)
Substituindo, t2 – 2t + 1 = 0. Resolvendo, temos t´=t”=1
Como t=log(x), temos que log(x)=1.
Logo, x=10
25)
1º Modo
2100=x
log (2100) = log(x)
30,1 = log(x)
100 log(2) = log(x)
100×0,301 = log(x)
x = 1031
Logo, o valor mais próximo é 1030.
2º Modo
log(2) = 0,301  100,301 = 2
2100 = (100,301 )100 = 1030,1  1030
3º Modo
2100 = 210×10 = (210 )10= 102410 100010 = (103 )10 =1030
15
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RESPOSTAS
1) C
2) C
3) A
4) E
5) C
6) A
7) C
8) D
9) C
10) D
11) D
12) A
13) C
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
C
E
C
B
B
E
A
C
C
A
D
C
16