Geometria Plana – Revisão Geral Fuvest – Unesp – Unicamp

Geometria Plana – Revisão Geral
Fuvest – Unesp – Unicamp
1. (Fuvest 2009) Na figura, B, C e D são pontos distintos da circunferência de centro O, e o
ponto A é exterior a ela. Além disso,
(1) A, B, C, e A, O, D, são colineares;
(2) AB = OB;
(3) CÔD mede α radianos.
Nessas condições, a medida de A B̂ O, em radianos, é igual a:
a) π - (α/4)
b) π - (α/2)
c) π - (2α/3)
d) π - (3α/4)
e) π - (3α/2)
2. (Unicamp 2003) Os pontos A e B estão, ambos, localizados na superfície terrestre a 60° de
latitude norte; o ponto A está a 15°45' de longitude leste e o ponto B a 56°15' de longitude
oeste.
a) Dado que o raio da Terra, considerada perfeitamente esférica, mede 6.400 km qual é o raio
do paralelo de 60°?
b) Qual é a menor distância entre os pontos A e B, medida ao longo do paralelo de 60 °? [Use
22/7 como aproximação para ð]
3. (Unicamp 2014) O perímetro de um triângulo retângulo é igual a 6,0 m e as medidas dos
lados estão em progressão aritmética (PA). A área desse triângulo é igual a
a) 3,0 m2.
b) 2,0 m2.
2
c) 1,5 m .
d) 3,5 m2.
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4. (Fuvest 2014) O triângulo AOB é isósceles, com OA  OB, e ABCD é um quadrado.
ˆ
Sendo θ a medida do ângulo AOB,
pode-se garantir que a área do quadrado é maior do que a
área do triângulo se
Dados os valores aproximados:
a)
b)
c)
d)
e)
tg 14  0,2493 , tg 15  0,2679
tg 20  0,3640 , tg 28  0,5317
14  θ  28
15  θ  60
20  θ  90
25  θ  120
30  θ  150
5. (Fuvest 2014) Uma das piscinas do Centro de Práticas Esportivas da USP tem o formato de
três hexágonos regulares congruentes, justapostos, de modo que cada par de hexágonos tem
um lado em comum, conforme representado na figura abaixo. A distância entre lados paralelos
de cada hexágono é de 25 metros.
Assinale a alternativa que mais se aproxima da área da piscina.
a) 1.600 m2
b) 1.800 m2
c) 2.000 m2
d) 2.200 m2
e) 2.400 m2
6. (Unicamp 2013) O segmento AB é o diâmetro de um semicírculo e a base de um triângulo
isósceles ABC, conforme a figura abaixo.
Denotando as áreas das regiões semicircular e triangular, respectivamente, por S  φ e T  φ ,
podemos afirmar que a razão S  φ T  φ , quando φ  π 2 radianos, é
a) π 2.
b) 2 π.
c) π.
d) π 4.
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7. (Fuvest 2013)
Percorre-se o paralelogramo ABCD em sentido anti-horário. A partir de cada vértice atingido ao
longo do percurso, prolonga-se o lado recém-percorrido, construindo-se um segmento de
mesmo comprimento que esse lado. As extremidades dos prolongamentos são denotadas por
A’, B’, C’ e D’, de modo que os novos segmentos sejam, então, AA’, BB’, CC’ e DD’. Dado
que AB  4 e que a distância de D à reta determinada por A e B é 3, calcule a área do
a) paralelogramo ABCD;
b) triângulo BB’C’;
c) quadrilátero A’B’C’D’.
8. (Unesp 2010) O papelão utilizado na fabricação de caixas reforçadas é composto de três
folhas de papel, coladas uma nas outras, sendo que as duas folhas das faces são “lisas” e a
folha que se intercala entre elas é “sanfonada”, conforme mostrado na figura.
O fabricante desse papelão compra o papel em bobinas, de comprimento variável. Supondo
que a folha “sanfonada” descreva uma curva composta por uma sequência de
semicircunferências, com concavidades alternadas e de raio externo (R Ext) de 1,5 mm,
determine qual deve ser a quantidade de papel da bobina que gerará a folha “sanfonada”, com
precisão de centímetros, para que, no processo de fabricação do papelão, esta se esgote no
mesmo instante das outras duas bobinas de 102 m de comprimento de papel, que produzirão
as faces “lisas”.
Dado: π ≈ 3,14.
a) 160 m e 07 cm.
b) 160 m e 14 cm.
c) 160 m e 21 cm.
d) 160 m e 28 cm.
e) 160 m e 35 cm.
9. (Unesp 2008) O planeta Terra descreve seu movimento de translação em uma órbita
aproximadamente circular em torno do Sol. Considerando o dia terrestre com 24 horas, o ano
com 365 dias e a distância da Terra ao Sol aproximadamente 150.380 × 10 3 km, determine a
velocidade média, em quilômetros por hora, com que a Terra gira em torno do Sol. Use a
aproximação π = 3.
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10. (Fuvest 2001) Numa circunferência, c1 é o comprimento do arco de
π
radianos e c2 é o
6
comprimento da secante determinada por este arco, como ilustrado na figura a seguir. Então, a
razão
a) 2
c1
π
é igual a
multiplicado por:
6
c2
b)
(1  2 3)
c)
( 2  3)
d)
(2  2 3)
e)
(3  3)
11. (Fuvest 2014) Considere o triângulo equilátero ΔA0OB0 de lado 7cm.
a) Sendo A1 o ponto médio do segmento A 0B0 , e B1 o ponto simétrico de A1 em relação à
reta determinada por O e B0 , determine o comprimento de OB1.
b) Repetindo a construção do item a), tomando agora como ponto de partida o triângulo
ΔA1OB1, pode‐se obter o triângulo ΔA2OB2 tal que A2 é o ponto médio do segmento A1B1,
e B 2 o ponto simétrico de A2 em relação à reta determinada por O e B1. Repetindo mais
uma vez o procedimento, obtém‐se o triângulo ΔA3OB3 . Assim, sucessivamente, pode‐se
construir uma sequência de triângulos ΔAnOBn tais que, para todo n  1, An é o ponto médio
de An1Bn1, e Bn , o ponto simétrico de An em relação à reta determinada por O e Bn1,
conforme figura abaixo.
Denotando por an , para n  1, o comprimento do segmento A n1An , verifique que
a1,a2,a3 , ... é uma progressão geométrica. Determine sua razão.
c) Determine, em função de n, uma expressão para o comprimento da linha poligonal
A0 A1A2 ...An,n  1.
O ponto P’ é simétrico ao ponto P em relação à reta r se o segmento PP ' é
perpendicular à reta r e a interseção de PP ' e r é o ponto médio de PP '.
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12. (Unesp 1997) No cubo ABCDEFGH, sugerido pela figura a seguir, considere o ponto
médio, M, da aresta AE.
Se N é o ponto em que o plano determinado por H, M e B corta a aresta CG, prove que:
a) HMBN é um paralelogramo;
b) os lados de HMBN têm mesma medida.
13. (Fuvest 2004) Três cidades A, B e C situam-se ao longo de uma estrada reta; B situa-se
entre A e C e a distância de B a C é igual a dois terços da distância de A a B. Um encontro foi
marcado por 3 moradores, um de cada cidade, em um ponto P da estrada, localizado entre as
cidades B e C e à distância de 210 km de A. Sabendo-se que P está 20 km mais próximo de C
do que de B, determinar a distância que o morador de B deverá percorrer até o ponto de
encontro.
14. (Fuvest 1998) As retas t e s são paralelas. A medida do ângulo x, em graus, é
a) 30
b) 40
c) 50
d) 60
e) 70
15. (Fuvest 1996) Na figura adiante, as retas r e s são paralelas, o ângulo 1 mede 45 ° e o
ângulo 2 mede 55°. A medida, em graus, do ângulo 3 é:
a) 50
b) 55
c) 60
d) 80
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e) 100
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16. (Unesp 2012) Um artesão foi contratado para ornamentar os vitrais de uma igreja em fase
final de construção. Para realizar o serviço, ele precisa de pedaços triangulares de vidro, os
quais serão cortados a partir de um vidro pentagonal, com ou sem defeito, que possui n bolhas
de ar (n = 0, 1, 2…).
Sabendo que não há 3 bolhas de ar alinhadas entre si, nem 2 delas alinhadas com algum
vértice do pentágono, e nem 1 delas alinhada com dois vértices do pentágono, o artesão, para
evitar bolhas de ar em seu projeto, cortou os pedaços de vidro triangulares com vértices
coincidindo ou com uma bolha de ar, ou com um dos vértices do pentágono.
Nessas condições, determine a lei de formação do número máximo de triângulos (T) possíveis
de serem cortados pelo artesão, em função do número (n) de bolhas de ar contidas no vidro
utilizado.
17. (Unesp 2001) O número de diagonais de um polígono convexo de x lados é dado por
N(x)=(x2-3x)/2. Se o polígono possui 9 diagonais, seu número de lados é
a) 10.
b) 9.
c) 8.
d) 7.
e) 6.
18. (Fuvest 2000) Na figura adiante, ABCDE é um pentágono regular. A medida, em graus, do
ângulo á é:
a) 32°
b) 34°
c) 36°
d) 38°
e) 40°
19. (Fuvest 2005) A soma das distâncias de um ponto interior de um triângulo equilátero aos
seus lados é 9. Assim, a medida do lado do triângulo é
a) 5 3
b) 6 3
c) 7 3
d) 8 3
e) 9 3
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20. (Unicamp 2004) Um triângulo equilátero tem o mesmo perímetro que um hexágono regular
cujo lado mede 1,5 cm. Calcule:
a) O comprimento de cada lado do triângulo.
b) A razão entre as áreas do hexágono e do triângulo.
21. (Unesp 2013) Um aluno precisa localizar o centro de uma moeda circular e, para tanto,
dispõe apenas de um lápis, de uma folha de papel, de uma régua não graduada, de um
compasso e da moeda.
Nessas condições, o número mínimo de pontos distintos necessários de serem marcados na
circunferência descrita pela moeda para localizar seu centro é
a) 3.
b) 2.
c) 4.
d) 1.
e) 5.
22. (Unicamp 1991) Três canos de forma cilíndrica e de mesmo raio r, dispostos como indica a
figura adiante, devem ser colocados dentro de outro cano cilíndrico de raio R, de modo a
ficarem presos sem folga. Expresse o valor de R em termos de r para que isso seja possível.
23. (Fuvest 2011) As circunferências C1 e C2 estão centradas em O1 e O2, têm raios r1 = 3 e r2
= 12, respectivamente, e tangenciam-se externamente. Uma reta t é tangente a C 1 no ponto P1,
tangente a C2 no ponto P2 e intercepta a reta O1O 2 no ponto Q. Sendo assim, determine
a) o comprimento P1P2;
b) a área do quadrilátero O1O2 P2P1;
c) a área do triângulo QO2P2.
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24. (Unesp 2008) Uma certa propriedade rural tem o formato de um trapézio como na figura.
As bases WZ e XY do trapézio medem 9,4 km e 5,7 km, respectivamente, e o lado YZ margeia
um rio.
Se o ângulo X YZ é o dobro do ângulo X WZ, a medida, em km, do lado YZ que fica à margem
do rio é:
a) 7,5.
b) 5,7.
c) 4,7.
d) 4,3.
e) 3,7.
25. (Fuvest 2001) Na figura a seguir, os quadrados ABCD e EFGH têm, ambos, lado a e
centro O. Se EP = 1, então a é:
a)
b)

2
2 1

2
( 3  1)
2
2
c)
d) 2
e)
2
( 2  1)
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26. (Fuvest 2000) Um trapézio retângulo tem bases 5 e 2 e altura 4. O perímetro desse
trapézio é:
a) 13
b) 14
c) 15
d) 16
e) 17
27. (Fuvest 2010) No triangulo ABC da figura, a mediana AM , relativa ao lado BC , e
perpendicular ao lado AB . Sabe-se também que BC = 4 e AM = 1. Se á e a medida do angulo
A B̂ C, determine
a) sen á.
b) o comprimento AC.
c) a altura do triangulo ABC relativa ao lado AB .
d) a área do triangulo AMC.
28. (Fuvest 2001) Na figura a seguir, tem-se que AD=AE, CD=CF e BA=BC. Se o ângulo EDF
mede 80°, então o ângulo ABC mede:
a) 20°
b) 30°
c) 50°
d) 60°
e) 90°
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29. (Unicamp 2014) Considere um hexágono, como o exibido na figura abaixo, com cinco
lados com comprimento de 1cm e um lado com comprimento de x cm.
a) Encontre o valor de x.
b) Mostre que a medida do ângulo α é inferior a 150°.
30. (Fuvest 2013) São dados, no plano cartesiano, o ponto P de coordenadas (3,6) e a
2
2
circunferência C de equação  x  1   y  2   1. Uma reta t passa por P e é tangente a C em
um ponto Q. Então a distância de P a Q é
a) 15
b) 17
c) 18
d) 19
e) 20
31. (Unicamp 2013) Em um aparelho experimental, um feixe laser emitido no ponto P reflete
internamente três vezes e chega ao ponto Q, percorrendo o trajeto PFGHQ. Na figura abaixo,
considere que o comprimento do segmento PB é de 6 cm, o do lado AB é de 3 cm, o polígono
ABPQ é um retângulo e os ângulos de incidência e reflexão são congruentes, como se indica
em cada ponto da reflexão interna. Qual é a distância total percorrida pelo feixe luminoso no
trajeto PFGHQ?
a) 12 cm.
b) 15 cm.
c) 16 cm.
d) 18 cm.
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32. (Unesp 2013) A figura, fora de escala, representa o terreno plano onde foi construída uma
casa.
Sabe-se do quadrilátero ABEF que:
ˆ e AFE
ˆ são retos.
• Seus ângulos ABE
• AF mede 9 m e BE mede 13 m.
• o lado EF é 2 m maior que o lado AB .
Nessas condições, quais são as medidas, em metros, dos lados AB e EF?
33. (Unicamp 2012) A planta de um cômodo que tem 2,7 m de altura é mostrada abaixo.
a) Por norma, em cômodos residenciais com área superior a 6 m², deve-se instalar uma
tomada para cada 5 m ou fração (de 5 m) de perímetro de parede, incluindo a largura da
porta. Determine o número mínimo de tomadas do cômodo representado ao lado e o
espaçamento entre as tomadas, supondo que elas serão distribuídas uniformemente pelo
perímetro do cômodo.
b) Um eletricista deseja instalar um fio para conectar uma lâmpada, localizada no centro do teto
do cômodo, ao interruptor, situado a 1,0 m do chão, e a 1,0 m do canto do cômodo, como
está indicado na figura. Supondo que o fio subirá verticalmente pela parede, e desprezando
a espessura da parede e do teto, determine o comprimento mínimo de fio necessário para
conectar o interruptor à lâmpada.
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34. (Unesp 2012) No futebol, um dos gols mais bonitos e raros de se ver é o chamado gol
olímpico, marcado como resultado da cobrança direta de um escanteio.
Suponha que neste tipo de gol:
1. A projeção da trajetória da bola descreva um arco de circunferência no plano do gramado;
2. A distância (d) entre o ponto da cobrança do escanteio e o ponto do campo em que a bola
entra no gol seja 40 m;
3. A distância máxima (h) da projeção da trajetória da bola à linha de fundo do campo seja 1m.
Determine o raio da circunferência (R), em metros, do arco descrito pela trajetória da bola, com
uma casa decimal de aproximação.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Um carpinteiro foi contratado para construir uma cerca formada por ripas de madeira. As
figuras abaixo apresentam uma vista parcial da cerca, bem como os detalhes das ligações
entre as ripas, nos quais os parafusos são representados por círculos brancos. Note que cada
ripa está presa à cerca por dois parafusos em cada extremidade.
35. (Unicamp 2012) Para construir uma cerca com 300 m de comprimento, são necessários
a) 1201,5 m de ripas.
b) 1425,0 m de ripas.
c) 2403,0 m de ripas.
d) 712,5 m de ripas.
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36. (Unesp 2014) Em um plano horizontal encontram-se representadas uma circunferência e
as cordas AC e BD. Nas condições apresentadas na figura, determine o valor de x.
37. (Unicamp 2010) Um artesão precisa recortar um retângulo de couro com 10 cm x 2,5 cm.
Os dois retalhos de couro disponíveis para a obtenção dessa tira são mostrados nas figuras a
seguir.
a) O retalho semicircular pode ser usado para a obtenção da tira? Justifique.
b) O retalho triangular pode ser usado para a obtenção da tira? Justifique.
38. (Fuvest 2014) Uma circunferência de raio 3 cm está inscrita no triângulo isósceles ABC, no
qual AB  AC. A altura relativa ao lado BC mede 8 cm. O comprimento de BC é, portanto,
igual a
a) 24 cm
b) 13 cm
c) 12 cm
d) 9 cm
e) 7 cm
39. (Unesp 2013) Uma semicircunferência de centro O e raio r está inscrita em um setor
circular de centro C e raio R, conforme a figura.
O ponto D é de tangência de BC com a semicircunferência. Se AB  s, demonstre que
R  s  R  r  r  s.
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40. (Fuvest 2013) Um teleférico transporta turistas entre os picos A e B de dois morros. A
altitude do pico A é de 500 m, a altitude do pico B é de 800 m e a distância entre as retas
verticais que passam por A e B é de 900 m. Na figura, T representa o teleférico em um
momento de sua ascensão e x e y representam, respectivamente, os deslocamentos horizontal
e vertical do teleférico, em metros, até este momento.
a) Qual é o deslocamento horizontal do teleférico quando o seu deslocamento vertical é igual a
20 m?
b) Se o teleférico se desloca com velocidade constante de 1,5 m/s, quanto tempo o teleférico
gasta para ir do pico A ao pico B?
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[C]
ˆ x
ABD
ˆ =π-x
ˆ
ΔCOB é isósceles de base BC, logo OBC=OCB
ˆ = π-x
ˆ
ΔABO é isósceles de base AO, logo OAB=BOA
2
No triângulo AOB:
απ-x +
π-x
(ângulo externo)
2
2α = 2π  2x  π  x
3x  3π  2α
x
3 π  2α
3
x  π
2α
3
ˆ  π   2α /3 
Portanto, ABO
Resposta da questão 2:
a) 3200 km
b) 28160/7 km
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Resposta da questão 3:
[C]
Sejam x, x  r e x  2r as medidas, em metros, dos lados do triângulo, com x, r  0.
Aplicando o Teorema de Pitágoras, encontramos x  3r. Logo, os lados do triângulo medem
3r, 4r e 5r.
Sabendo que o perímetro do triângulo mede 6,0 m, vem
3r  4r  5r  6  r 
1
.
2
Portanto, a área do triângulo é igual a
2
3r  4r
 1
 6     1,5 m2 .
2
2
Resposta da questão 4:
[E]
Considere a figura, em que M é o ponto médio do lado AB.
Do triângulo retângulo OMB, obtemos tgMOB 
BM
MO
 MO 
AB
.
θ
2 tg
2
Sem perda de generalidade, suponhamos que AB  1. Assim,
(AOB) 
AB  MO

2
1
θ
4 tg
2
.
A área do quadrado ABCD é maior do que a área do triângulo AOB se
(ABCD)  (AOB)  12 
1
4 tg
 tg
θ
2
θ 1
  0,25.
2 4
Logo, como tg15  0,2679  0,25 e 0  θ  180, vem que 30  θ  180. Note que
]30, 150[  ]30, 180[.
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Resposta da questão 5:
[A]
Seja
a medida, em metros, dos lados dos hexágonos que constituem a piscina.
Sabendo que a distância entre lados paralelos de um hexágono regular é igual ao dobro do
apótema do hexágono, obtemos
 25  tg30 
25 3
m.
3
Desse modo, a área da piscina é dada por
2
3 2 3 9  25 3 
3
 
  3
2
2  3 
1875

 3
2
 1.623,8 m2
e, portanto, 1.600 m2 é o valor que mais se aproxima da área da piscina.
Resposta da questão 6:
[A]
Sejam φ  π 2  90, R o raio do semicírculo e x o lado do triângulo isósceles.
x 2  x 2   2R   x 2  2.R 2
2
1
 π  R2
S(φ) 2
π  R2 π  R2




2
2
1
T(φ)
x
2R
xx
2
π
2
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Resposta da questão 7:
a) A = 4  3 = 12.
b) No triângulo ADE, senθ 
3
.
x
Logo, a área do triângulo BB’C será dada por:
1
1
3
A   2x  4  senθ   2x  4   12.
2
2
x
3
c) Considerando que senθ  sen(180  θ)  .
x
S(A’B’C’D’) = S(A’DD’) + S(AA’B’) + S(BB’C’) + S(C’C’D’) + S(ABCD)
S(A’B’C’D’) =
1
1
1
1
.2x.4.sen(θ)  .2.4x.sen(180  θ)  .2x.4.sen(θ)  .2.4x.sen(180  θ)  12
2
2
2
2
S(A’B’C’D’) = 12 + 12 + 12 + 12 + 12
S(A’B’C’D’) = 60
Resposta da questão 8:
[B]
Número de semicircunferências = 102 m, dividido por 0,003 m (diâmetro) = 34.000 ou 17.000
circunferências.
Total de papelão = 17.000 . 0,003 . 3,14 = 160,14 m = 160 m e 14 cm.
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Resposta da questão 9:
Aproximadamente, 103.000 km/h.
Resposta da questão 10:
[C]
Resposta da questão 11:
a) Como OB0  A1B1, A1A2  A2B1 e OA 2 é comum aos triângulos OA1A2 e OB1A 2 ,
segue-se que os triângulos OA1A2 e OB1A 2 são congruentes por LAL. Além disso,
OA1B0  OA1A2  90 e A1B0 A 2  60 implicam em OA1B1  60. Portanto, o triângulo
OA1B1 é equilátero. Desse modo, o resultado pedido corresponde à altura do triângulo
A0OB0 , ou seja,
7 3
cm.
2
b) Raciocinando de forma inteiramente análoga ao item (a), concluímos que
OA n 
OA n1  3
,
2
com n  1.
Daí, como an  An1An 
OAn1
, temos
2
OAn
an1
3
2


,
an
2
OAn1
2
para todo n  1 e, portanto, a1, a2 , a3 ,
a1 
é uma progressão geométrica de primeiro termo
7
3
cm e razão
.
2
2
c) O comprimento da poligonal A0 A1A2 An, com n  1, corresponde à soma dos n primeiros
termos da progressão geométrica a1, a2 , a3 , , ou seja,
n
 3
1 
n
 
 2 
7
3 




 7(2  3 ) 1  
 cm.
  2  
2
3

 
1

2
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Resposta da questão 12:
a)
Sendo α o plano definido por HMBN, tem-se:
α ⋂ pl (ADHE) = HM
α ⋂ pl (BCGF) = BN
pl (ADHE) // pl (BCGF), portanto, HM // BN (I)
α ⋂ pl (ABFE) = MB
α ⋂ pl (DCGH) = HN
pl ( ABFE) // pl (DCGH), portanto MB // NH (II)
De (I) e (II) vem que HMBN é um paralelogramo.
b)
AM ≈ EM
AB ≈ EH
BAM ≈ HEM (ângulos retos)
⇔ (L.A.L.) portanto, ∆ABM ≈ ∆ EHM ⇔ BM ≈ HM (III)
No paralelogramo HMBN, tem-se:
HM ≈ BN e BM ≈ NH (IV)
De (III) e (IV) pode-se concluir que:
HM ≈ MB ≈ BN ≈ NH
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Resposta da questão 13:
60 km
Resposta da questão 14:
[E]
Resposta da questão 15:
[E]
Resposta da questão 16:
Soma dos ângulos internos de um pentágono: 180  5  2   540
Ao redor de cada bolha temos 360°
Seja T o número de triângulos e n o número de bolhas, temos a seguinte relação:
T  180  n  360  540 : 180 
T  2n  3
T  2n  3
Resposta da questão 17:
[E]
Resposta da questão 18:
[C]
Resposta da questão 19:
[B]
Resposta da questão 20:
a) 3 cm
b) 3/2
Resposta da questão 21:
[A]
Marcando três pontos na circunferência, determinamos os vértices de um triângulo inscrito na
mesma. O centro da moeda é o circuncentro do triângulo obtido.
Resposta da questão 22:
R=r
2
33

3
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Resposta da questão 23:
a) x2 + 92 = 152  x = 12
 9.12 
b) A  12.3 
 90
2
y
3

 3x  12  y  4
c)
y  12 12
Logo, A =
12.(12  4)
 96
2
Resposta da questão 24:
[E]
Resposta da questão 25:
[E]
Resposta da questão 26:
[D]
Resposta da questão 27:
1
(  30 o e   60 o )
2
a) No ABM :
sen 
b) No ABM :
AB 2  12  3  AB  3
2
2
AC 2  4 2  3  2.4. 3. cos 
2
AC 2  4 2  3  2.4. 3..
c) No BHC : sen30 
o
d)
3
 AC  7
2
h
h2
4
AMˆ C  180 o  60 o  120 o
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A=
1
1
3
3
=
.1.2.sen120 o  .1.2
2
2
2
2
Respostas: a) 30
b) 7
c) 2
d)
3
2
Resposta da questão 28:
[A]
Resposta da questão 29:
a) Considere a figura.
Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos ABC, ACD, ADE e AEF, vem
2
2
2
2
2
2
2
2
2
AC  AB  BC  12  12  2,
AD  AC  CD  2  12  3,
AE  AD  DE  3  12  4
e
2
2
2
AF  AE  EF  x 2  4  12
 x  5 cm.
b) É imediato que BAC  45.
Do triângulo ACD, temos
tgCAD 
CD
AC
 CAD  arctg
1
2
 45.
Do triângulo ADE, vem
tgD AE 
DE
AD
 D AE  arctg
1
3
 30.
Do triângulo AEF, segue
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tgE AF 
EF
AE
 E AF  arctg
1
4
 30.
Portanto, tem-se
α  BAC  CAD  DAE  EAF
 45  45  30  30
 150.
Resposta da questão 30:
[D]
A circunferência C tem centro no ponto A(1, 2) e raio igual a 1. Logo, de acordo com as
informações, considere a figura abaixo.
Como PQ  PQ' e AQ  AQ'  1, vem
2
PA  (3  1)2  (6  2)2  20
e, portanto,
2
2
2
2
PQ  PA  AQ  PQ  20  1
 PQ  19 u.c.
Resposta da questão 31:
[B]
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ΔHPQ  ΔFQP(L.A.A o )  HP  FQ  K e PF  HQ
ΔBHG  ΔAFG(L.A.A o )  AG  BG 
3
e HG = GF
2
3
6 K
ΔAGF~ΔQPF  2 
K 4
3
K
2
5
3
No ΔGBH : GH2  22     GH 
2
2
No Δ HPQ: HQ2  4 2  3 2  HQ  5
Logo, a distância total percorrida pelo feixe luminoso no trajeto PFGHQ é
PF + FG + GH + HQ = 5 + 5/2 + 5/2 + 5 = 15 cm.
Resposta da questão 32:
Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos AFE e ABE, obtemos
2
AE  92  (AB  2)2
2
2
AE  AB  132.
e
Logo,
2
2
81  AB  4  AB  4  AB  169  AB  21m.
Portanto, AB  21m e EF  23 m.
Resposta da questão 33:
a) Perímetro do quarto = 10,8 m = 2,5 m + 0,8 m.
3 tomadas espaçadas a cada
10,8
 3,6m.
3
b) Na figura tem-se x2 = 1,22 + 0,52.
x = 1,69.
x = 1,3 m.
Logo, o comprimento do fio será:
1,3 m + (2,7 – 1) = 3 m.
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Resposta da questão 34:
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo assinalado, temos:
R2 = (R – 1)2 + 202
R2 = R2 – 2  R + 01 + 400
2  R = 401
R = 200,5 m.
Resposta da questão 35:
[A]
Calculando a medida x da barra diagonal, temos:
x 2  22  1,52
x 2  6,25
x  2,5 m
Para construir 300 m de cerca utilizaremos 150 partes, como a da figura mais uma ripa vertical.
150.(2 m + 2 m + 1,5 m + 2,5 m) + 1,5 m = 105,1 m de ripa.
Resposta da questão 36:
Utilizando a relação entre as cordas, temos:
2x  (x  3)  x  (3x  1)
2x 2  6x  3x 2  x
 x 2  7x  0
Resolvendo a equação temos: x = 0 (não convém) ou x  7 .
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Resposta da questão 37:
a) No semicírculo
x 2  5 2  6 2  x  11 (maior que 3)
Logo o retalho semicircular poderá ser usado para a obtenção da tira.
b) no triângulo.
6  x 10

 x  2,25 (menor que 2,5)
6
16
Logo o retalho triangular não poderá ser usado para a obtenção da tira.
Resposta da questão 38:
[C]
Considere a figura, em que H é o pé da perpendicular baixada de A sobre BC, e D é o ponto
em que o lado AC tangencia a circunferência de centro em O.
Como OH  OD  3cm e AH  8 cm, segue que AO  5cm. Logo, AD  4cm. Além disso, os
triângulos AHC e ADO são semelhantes por AA e, assim,
AD
AH

DO
HC

4
3

8 HC
 HC  6cm.
Portanto, como H é o ponto médio de BC, segue-se que BC  12cm.
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Resposta da questão 39:
Considere a figura.
Os triângulos retângulos ODC e BAC são semelhantes. Logo,
OC OD
R r r



R
s
BC BA
 R  s  r  s  R r
 R  s  R  r  r  s.
c.q.d.
Resposta da questão 40:
a) ΔATD ~ ΔABC :
b) AB 
x
20

 x  60 m.
900 300
3002  9002
 300 10
Sendo t o tempo para o televérico ir de A até B, temos:
300 10  1,5.t  t  200 10.
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