Parte 2

b) Esforços Internos
Os esforços internos são os oriundos da ação de uma parte da estrutura ou
elemento estrutural, sobre outra parte da estrutura, por contato. No exemplo da fig.
1.3.1 podemos reconhecer que a força exercida no rodete A, embora seja um esforço
externo para a ponte giratória, será um esforço interno para o guindaste como um
todo.
Para o caso de elementos em forma de barras (caso mais comumente tratado
pela Resistência dos Materiais) podemos analisar os esforços internos atuantes em
uma seção transversal (perpendicular ao eixo da barra) e reconhecemos que a ação de
uma parte da barra sobre a outra pode ser reduzida a uma força F e a um conjugado
de momento G. Ao decompormos estes dois esforços na direção do eixo da barra
(direção normal) e no plano da seção (direção tangente), obtemos os chamados
esforços seccionais (ou solicitantes) a saber (fig. 1.3.2):
M – Momento Fletor
N – Força Normal
G
F
T – Momento Torque
Q – Força Cortante
M
A
G
G
N
T
Q
F
F
N
Q
M
T
Fig. 1.3.2 – Esforços Seccionais (ou Solicitantes)
A determinação dos esforços seccionais é feita, da mesma forma que os
esforços reativos, através das equações da Estática, analisando o equilíbrio dos
esforços que atuam na parte da estrutura que foi hipoteticamente secionada.
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A seguir são apresentados alguns exemplos de determinação de esforços
solicitantes.
z
1 - Na seção flangeada do engaste:
y
F x = N = 4 kN (tração)
F y= Q y = 0
F z = Q z = 3 kN
3 kN
600mm
M x = T = 3 x 0,750 = 2,25 kN.m
M y = 3 x 0,600 = 1,80 kN.m
M z = 4 x 0,500 = 2,00 kN.m
x
300d
M = (22 + 1,82) ½ = 2,69 kN.m
350
250
4kN
0,80 kN/m
2 - Traçar os diagramas de
esforços solicitantes N, Q e M
para o pórtico esquematizado:
3,2kN
2,4
kN
C
B
5m
4,0
3,2
1 2
2,4
4m
C
A
Ax
Ay
11
4
2,4
3,2
B
5
1
Solução
2
2
C
4
AX
Ay
1) Cálculo das Reações:
Pelo MA = 0 pode-se escrever:
4x5,5 + 3,2x2 – 2,4 x 4 = Cx8;
C = 2,35 kN ()
Pelo Fx = 0 e  Fy = 0, obtem-se:
Ax = 2,40 kN () e Ay = 4,85 kN ()
Força Normal (N)
O trecho AB estará comprimido
(N=4,85kN), como também o trecho BC
(N= 2,40kN). Relembra-se a convenção
de sinais para a força N:
[+]tração ; Compressão [-]
-2,4
N
(kN)
-4,85
+2,35
B
x
-1,65
-4,85
Força Cortante (Q)
Relembra-se a convenção de sinais para
a força cortante Q:
[+];[-]
A seção onde se anula o valor de Q é
importante (corresponde a um valor
extremo de M, já que Q = dM/dx):
No trecho CB, tal ocorre em x = 2,9375m.
Note que no “joelho” B, a força cortante se
converte em normal e vice-versa.
Momento Fletor (M)
Relembra-se a convenção de sinais para
M:
Q
(kN)
+2,4
-
+
Na seção crítica, onde a força Q é nula:
9,60
x
3,45
M* = 2,35 x 2,9375 – 0,80 x (2,9375)2/2
M* = 3,45 kN.m
M
KN.
m
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1.4 – Conceito de Tensão.
Os esforços locais, em pontos de uma dada seção, serão analisados através de
seus valores específicos (por unidade de área) por meio do conceito de tensão.
A tensão ( S ) presente em um ponto de uma dada seção de uma barra
carregada é o limite da relação entre a força elementar F e a área A no entorno
desse ponto, quando A tende a zero:
S = Lim (F / A) = dF / dA ............................. ( 1.4.1 )
A0
É uma grandeza que tem a mesma dimensão de pressão (como veremos, o
estado de tensão denominado “pressão” é uma situação particular do caso geral da
tensão), medida em N/m2 (Pascal – Pa), em kgf/cm2, lbf/in2 (psi), dyn/cm2 (bar), etc.
Ao decompormos o vetor força elementar dF na direção normal (perpendicular
ao plano da seção – dFn) e na direção do plano da seção (dFt), obtemos as duas
componentes da tensão:
tensão normal ......................... dFn / dA ..............................( 1.4.2)
(sigma), que pode ser de tração ou compressão (esmagamento), e
tensão tangencial..................... dFt / dA ............................(1.4.3)
(táu), também chamada de tensão de cisalhamento ou cisalhante.


S
dFn
dF
dA
dFt
Fig. 1.4.1 – Tensão. Tensão Normal. Tensão Tangencial.

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Um fato que, desde o início, deve ser reconhecido é que a tensão que atua em
um certo ponto de um certo plano de um corpo carregado depende da orientação do
plano selecionado. Num mesmo ponto, porém em um plano diferente, a tensão, em
geral, será diferente. Não são apenas as componentes que se modificam com a
orientação do plano, mas é o vetor tensão que se altera.
Assim é que, por exemplo, no caso simples de uma barra prismática (Fig.
1.4.2), de pequena seção transversal de área A0 e submetida a uma força de tração F
pelos topos, fácil será concluir que, em um certo ponto P do plano da seção
transversal, atuará uma tensão normal de tração cujo valor será, em média, F/A0,
sendo 0.
F
F
S = F / (A0/cos 
S0 =F/A0


F
(A)
A0
(B)
F
Fig. 1.4.2 – Variação da tensão com a orientação do plano da seção.
Para uma outra seção, inclinada de um ângulo  em relação à seção transversal
(a direção normal a esta seção formará também um ângulo  em relação ao eixo da
barra), a sua área será maior, valendo A = A0 / cos , e como a força total é a mesma
(F), a tensão será, em média, S = F / A0 cos , e suas componentes valerão:
ScosFcoseSsenF sencos
Os casos limites em que e, nos levam aos valores 0 F/A0 e
0, bem como, e


Observe o fato relevante de que, apesar de estar a barra simplesmente
tracionada, nas seções em que º (planos de clivagem), haverá uma tensão
tangencial de valor ½ (F/A0) (valor máximo dessa tensão tangencial - metade do
valor máximo da tensão normal, ocorrente no plano da seção transversal). Note
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também que nos planos longitudinais da barra ( ), tanto a tensão normal como
a tangencial são nulas.
Para identificar o estado de tensão em um ponto de um corpo carregado
necessário se torna o conhecimento das tensões ocorrentes em três planos ortogonais
que se interceptam no ponto considerado, e que são três vetores, totalizando nove
componentes escalares. Uma grandeza deste tipo é designada como um tensor de 2ª
ordem (a ordem [O] de um tensor é o expoente n da relação [O] = 3n que fornece o
número de componentes escalares da grandeza – uma grandeza escalar, como a
temperatura, é um tensor de ordem zero, enquanto uma grandeza vetorial, como a
força, é um tensor de 1ª ordem).
A figura 1.4.3 apresenta um estado de tensão genérico num ponto P de um
corpo carregado, definido pelas tensões que atuam em três planos ortogonais que se
interceptam no ponto P.
y
yy
*
yx
xy
dy
P
xx
zy
dz
dx
z
zz
x
xz
*
Fig. 1.4.3 – Estado de tensão em um ponto P de um corpo carregado (coloque os índices das
duas tensões assinaladas com *, seguindo a convenção exposta no texto a seguir).
Utilizou-se uma notação de dupla indiciação, na qual o 1º índice informa o
plano onde a tensão atua (definido pelo eixo que lhe é perpendicular) e o 2º indica a
direção da tensão propriamente dita (por exemplo, yz é a tensão, tangencial, que atua
em um plano perpendicular ao eixo y e é orientada na direção do eixo z). As tensões
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normais terão sempre índices iguais, por tal convenção, sendo designadas pela letra
.
Quanto aos sinais dessas tensões, adotaremos a seguinte convenção:
para uma tensão atuante em uma “face positiva” (aquela cuja normal exterior
está orientada no sentido positivo do eixo que lhe é perpendicular), será esta tensão
positiva se orientada no sentido positivo do eixo correspondente, e negativa se
orientada no sentido oposto;
para uma tensão atuante em uma “face negativa” (aquela cuja normal exterior
está orientada no sentido negativo do eixo que lhe é perpendicular), será ela negativa
se orientada no sentido positivo do eixo correspondente, e positiva se orientada no
sentido oposto. A Figura 1.4.4 a seguir mostra exemplos onde a nomenclatura e os
sinais das tensões são indicados.
x



x

y
y


z

z
Fig. 1.4.4 – Nomenclatura e sinais das tensões (os eixos x,y,z devem formar triedros
diretos).
A tensão  é tangencial, atua numa face que tem o eixo x como normal
externa (face positiva), é paralela ao eixo y, em seu sentido negativo. Logo, a tensão
será designada pelo símbolo xy e terá sinal negativo;
A tensão 2 é tangencial, atua numa face que tem o eixo z como normal
externa (face positiva), é paralela ao eixo x, em seu sentido positivo. Logo, a tensão
será designada pelo símbolo zx e terá sinal positivo;
A tensão 3 é normal, atua numa face que tem o eixo y como perpendicular,
porém é uma face negativa; a tensão é paralela ao mesmo eixo y, e em seu sentido
negativo. A tensão será nomeada como y, e terá sinal positivo.
Observe que as tensões ij para as quais i=j são tensões normais  sendo
positivas, se de tração, e negativas, se de compressão, independentemente do sinal
das faces, não necessitando ter seus índices repetidos (seria uma redundância).
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Fica como exercício mostrar que: zy (sinal +); yx (sinal -); x
(sinal -).
O tensor das tensões [S], com suas 9 componentes escalares, é representado
por uma matriz quadrada (3 x 3), sendo a diagonal principal composta pelas tensões
normais e os elementos secundários pelas tensões tangenciais.
 
yx
zx
x

S
=
xy
y
zy
xz
yz
z
................................. ............( 1.4.4
)
Convém realçar que, ao se modificar a orientação dos eixos coordenados, as
componentes ij sofrerão alterações, porém o estado de tensão no ponto considerado
(dependente do carregamento aplicado ao corpo) se mantém invariante.
É também importante caracterizar desde logo que a matriz em (1.4.4) é
simétrica em relação à diagonal principal, ou seja:
xy = yx
yz = zy
zx = xz
.......................................... (1.4.5)
A demonstração das equações (1.4.5) pode ser feita analisando-se o equilíbrio
de momentos das forças atuantes sobre as faces do paralelepípeto elementar
mostrado na Fig. 1.4.3, momentos esses tomados em relação a 3 eixos paralelos aos
eixos coordenados, passando pelos pontos médios das faces (equilíbrio de momentos
válido, inclusive, para o caso de o elemento estar acelerado, já que o momento de
inércia da massa elementar em relação a um seu eixo é nulo – “M = I ”).
Assim, para um eixo paralelo ao z, passante pelo ponto médio da face que lhe
é perpendicular, de área dx.dy, as únicas forças atuantes nas demais faces e que
provocam momentos em relação a tal eixo (as que não o cruzam ou que não lhe são
paralelas) serão:
xy (dy.dz) e yx (dx.dz), que, multiplicadas pelos respectivos braços para
tomada de momentos nos permite escrever:
xy (dy.dz). (dx/2) = yx (dx.dz). (dy/2),
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ficando demonstrado que xy = yx . O mesmo procedimento repetido para os
outros dois eixos, na mesma condição, nos levará ao que consta nas equações (1.4.5).
Uma conseqüência importante dessa propriedade do tensor das tensões é o fato
de que a tensão tangencial no contorno livre de peças carregadas é sempre tangente
ao contorno (como mostrado na Fig. 1.4.5)

Q
Esta componente de  não pode existir
Fig. 1.4.5 – Tensões tangenciais nos contornos livres das peças.
T
Outro fato que será analisado em detalhe mais adiante é que a simetria da
matriz (1.4.4) nos indica a possibilidade de, por uma conveniente mudança da
orientação dos eixos coordenados (x, y, z), obter-se uma matriz equivalente
diagonalizada (ij = 0), obtendo-se na diagonal principal as tensões chamadas
principais que descrevem o estado de tensão no ponto considerado.
Assim como o conceito de força, a idéia de tensão é puramente abstrata, não
podendo essa grandeza ser medida diretamente. Como veremos, as tensões são
avaliadas indiretamente, através de seus efeitos, as deformações.
1.5 – Tensões em peças sob carregamento centrado.
Como aplicações iniciais para o estudo do cálculo de tensões em casos mais
simples, trataremos de peças que, por suas condições de simetria geométrica e de
carregamento centrado, nos permitem admitir uma distribuição uniforme para as
tensões ao longo da área em que atuam (em seções afastadas dos esforços
localizados, segundo Saint’Venant). Tal valor, embora possa não representar a
distribuição real das tensões nos diversos pontos da área considerada, pelo menos,
nos indica um valor médio para tais tensões, dando-nos idéia de sua ordem de
grandeza. No caso de tração/compressão ou corte (cisalhamento) puros,
calcularemos as tensões simplesmente fazendo:
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N/A
e
Q/A
.................. (1.5.1)
Para exemplificar, veja-se a união de chapas mostrada na Fig. 1.5.1,
transmitindo uma força de tração de 72 kN, provocando tração nas chapas, corte no
pino e compressão (esmagamento) no corpo do pino e nos furos das chapas.
80 75
150
100
B
A
72 kN
72 kN
15
20
36 kN
72 kN
36 kN
15
P
d = 25mm
TRAÇÃO NA CHAPA
CORTE DO PINO
CORTE NA CHAPA
COMPRESSÃO (ESMAGAMENTO)
do furo e do corpo lateral (efeito mancal)
Área
projetada
Fig. 1.5.1 – Cálculo de tensões em peças simétricas sob carregamento centrado.
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As tensões críticas de tração nas chapas ocorrerão nas seções onde há os furos
(menor área) e valerão:
AT = (36 x 103 N) / [(100 – 25) x 15 x 10-6 m2] = 32 x 106 N/m2 = 32,0 MPa

72 x 103 N) / [(150 – 25) x 20 x 10-6 m2] = 28,8 x 106 N/m2 = 28,8 MPa


As tensões críticas de cisalhamento nas chapas (nos planos em que seriam
rasgadas tangencialmente) valerão:

(36 x 103 N) / [(2) x 75 x 15 x 10-6 m2] = 16 x 106 N/m2 = 16,0 MPa
(72 x 103 N) / [(2) x 80 x 20 x 10-6 m2] = 22,5 x 106 N/m2 = 22,5 MPa 

A tensão de compressão (esmagamanto) nos furos das chapas será calculada
dividindo-se o valor da força de compressão por uma área menor do que a área em
que os esforços se distribuem, a saber, a área projetada num plano perpendicular à
direção da força. O valor assim obtido, demonstra-se, é até ligeiramente superior ao
valor máximo atingido pelo valor da tensão variável, ocorrente na aresta mediatriz da
área solicitada (tensões de Hertz). Teremos então (a favor da segurança):
AC = (36 x 103 N) / [25 x 15 x 10-6 m2] = 96 x 106 N/m2 = 96,0 MPa (C)
BC = (72 x 103 N) / [25 x 20 x 10-6 m2] = 144 x 106 N/m2 = 144 MPa (C)
Para o pino de união das chapas, teremos uma tensão tangencial calculada por:
P(36 x 103 N) / [(/4) x [25]2 x 10-6 m2] = 73,34 x 106 N/m2 = 73,3 MPa
As tensões de compressão (esmagamento) no corpo médio do pino (em contato
com a chapa B) e em suas duas extremidades (em contato com as chapas A), valerão,
respectivamente 144 e 96 MPa (conforme se pode presumir, calcado no Princípio da
Ação e Reação – já que as áreas de contato se superpõem).
OBSERVAÇÃO: os resultados numéricos devem ser apresentados com 3 (três)
algarismos significativos (compatível com a precisão dos dados em geral disponíveis
na Engenharia – como por exemplo: g = 9,81 m/s2, aço = 7,83 tf/m3, etc).
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