1-) Introdução - Esforços comuns

1-) Introdução - Esforços comuns
Materiais sólidos tendem a se deformarem (ou eventualmente se romperem) quando submetidos a solicitações
mecânicas. A Resistência dos Materiais é um ramo da Engenharia que tem como objetivo o estudo do
comportamento de elementos construtivos sujeitos a esforços, de forma que eles possam ser adequadamente
dimensionados para suportá-los nas condições previstas de utilização.
Fig 1.1
A Figura 1.1 dá formas gráficas aproximadas dos tipos de esforços mais comuns a que são submetidos os
elementos construtivos:
(a) Tração: a força atuante tende a provocar um alongamento do elemento na direção da mesma.
(b) Compressão: a força atuante tende a produzir uma redução do elemento na direção da mesma.
(c) Flexão: a força atuante provoca uma deformação do eixo perpendicular à mesma.
(d) Torção: forças atuam em um plano perpendicular ao eixo e cada seção transversal tende a girar em relação
às outras.
(e) Flambagem: é um esforço de compressão em uma barra de seção transversal pequena em relação ao
comprimento, que tende a produzir uma curvatura na barra.
(f) Cisalhamento: forças atuantes tendem a produzir um efeito de corte, isto é, um deslocamento linear entre
seções transversais.
Em muitas situações práticas ocorre uma combinação de dois ou mais tipos de esforços. Em alguns casos há um
tipo predominante e os demais podem ser desprezados, mas há outros casos em que eles precisam ser
considerados conjuntamente.
2-) Tensão normal e tensão transversal
Seja, por exemplo, uma barra cilíndrica de seção transversal S submetida a uma força de tração F. É evidente
que uma outra barra de seção transversal maior (por exemplo, 2S), submetida à mesma força F, trabalha em
condições menos severas do que a primeira. Isto sugere a necessidade de definição de uma grandeza que tenha
relação com força e área, de forma que os esforços possam ser comparados e caracterizados para os mais
diversos materiais.
Tensão é a grandeza física definida pela força atuante em uma superfície e a área dessa superfície. Ou seja,
tensão = força / área.
Pela definição, a unidade de tensão tem a mesma dimensão de pressão mecânica e, no Sistema Internacional, a
unidade básica é a mesma: pascal (Pa) ou newton por metro quadrado (N/m2).
Na Figura 2.1 (a) uma barra de seção transversal S é tracionada
por uma força F. Supondo uma distribuição uniforme de tensões
no corte hipotético exibido, a tensão σ, transversal ao corte, é dada
por:
σ = F/S #II.1#.
Fig 2.1
Observação: no caso de barras lisas tracionadas, as tensões se
distribuem de modo uniforme se os pontos de aplicação das forças
estão suficientemente distantes. Em outros casos, as tensões
podem não ser uniformes e o resultado desta fórmula é um valor
médio.
Tensões podem ter componentes de modo análogo às forças. Na Figura 2.1 (b), é considerada uma seção
hipotética, fazendo um ângulo α com a vertical, em uma barra tracionada por uma força F. E a força atuante
nessa seção pode ser considerada como a soma vetorial da força normal (F cos α) e da força transversal (F sen
α).
Portanto, a tensão nessa superfície é a soma dos componentes:
Tensão normal: em geral simbolizada pela letra grega sigma minúsculo (σ).
Tensão transversal (ou de cisalhamento): em geral simbolizada pela letra grega tau minúsculo (τ).
3-) Tração e compressão: generalidades
Consideramos, conforme Figura 3.1, uma barra redonda de diâmetro D e comprimento L na condição livre, isto
é, sem aplicação de qualquer esforço.
Se aplicada uma força de tração F, o comprimento aumenta para
L1 (= L + ΔL) e o diâmetro diminui para D1.
O alongamento (ou deformação longitudinal) ε da barra é a
relação entre a variação de comprimento e o comprimento inicial:
ε = ΔL / L (adimensional).
Fig 3.1
Ou em termos percentuais: ε = 100 ΔL / L #III.1#.
Paralelamente ao aumento de comprimento, ocorre uma redução do diâmetro, chamada contração transversal,
dada por:
εt = (D - D1) / D #III.2#.
A relação entre a contração transversal e o alongamento é dita coeficiente de Poisson µ:
µ = εt / ε #III.3#. Valores típicos de µ para metais estão na faixa de 0,20 a 0,40.
Os ensaios de tração determinam graficamente a relação entre a
tensão aplicada e o alongamento em uma amostra de determinado
material. Mais informações são dadas nas páginas de Ciência dos
Materiais I deste site.
A Figura 3.2 (a) dá a curva aproximada para um aço estrutural
típico.
Existe um valor limite de tensão até o qual a tensão aplicada é
proporcional à deformação:
Fig 3.2
σ = E ε #III.4#.
Esta igualdade é chamada Lei de Hooke e o fator de proporcionalidade E é dito módulo de elasticidade do
material (desde que ε é uma grandeza adimensional, ele tem a mesma unidade da tensão). O módulo de
elasticidade também é conhecido por módulo de Young (homenagem ao cientista inglês Thomas Young).
Obs: para compressão, podemos considerar a mesma lei, considerando a tensão com sinal contrário (até, é claro,
o valor absoluto igual ao limite de proporcionalidade). Entretanto, alguns materiais exibem valores de E
diferentes para tração e compressão. Nesses casos, podemos usar as notações Et e Ec para a distinção.
Abaixo valores típicos de E e µ para alguns metais.
Metal
E (GPa)
µ
Aços
206
0,30
Alumínio
68,6
0,34
Bronze
98
0,33
Cobre
118
0,33
Ferro fundido Latão
98
64
0,25
0,37
Voltando à Figura 3.2 (a), σp é o limite de proporcionalidade do material, isto é, tensão abaixo da qual o
material se comporta segundo a lei de Hooke.
A tensão σe é a tensão de escoamento, ou seja, o material entra na região plástica e as deformações são
permanentes. σb é a tensão máxima e σr é a tensão de ruptura.
Em materiais pouco dúcteis como ferro fundido, esses limites não ocorrem e uma curva típica é parecida com a
Figura 3.2 (b).
Para aços, o teor de carbono exerce significativa influência nas tensões máximas. Abaixo alguns valores típicos
de tensões de escoamento e de ruptura para aços-carbono comerciais.
Teor C % 0,10
σe (MPa) 177
σr (MPa) 324
0,20
206
382
0,30
255
470
0,40
284
520
0,50
343
618
Em geral, para fins de dimensionamento, no caso de materiais dúcteis considera-se a tensão admissível igual à
tensão de escoamento dividida por um coeficiente de segurança. No caso de materiais frágeis, a tensão de
escoamento não é definida e é usada a de ruptura dividida pelo coeficiente de segurança.
4-) Energia da deformação elástica
Considerando a deformação elástica, isto é, de acordo com a lei de Hooke, deseja-se saber a energia gasta para
deformar a barra da condição de repouso A (sem força aplicada) até B, onde uma força F mantém a barra no
comprimento L + ΔL (Figura 4.1). Observar que essa energia não é o simples produto F ΔL, uma vez que a
força varia com o valor da deformação.
De acordo com a lei de Hooke (#III.4#),
σ = F / S = E ε = E ΔL / L #IV.1#. Chamando de x uma
deformação qualquer entre A e B, temos
Fig 4.1
F / S = E x / L ou F = (ES/L) x. E o trabalho é dado pela integração ∫ F(x) dx entre A (x = 0) e B (x = ΔL):
W = ∫0,ΔL F(x) dx = ∫0,ΔL (ES/L) x dx = (ES/L) (ΔL)2 / 2.
Conforme #IV.1#, ΔL = FL / SE. Assim, W = (ES/L) F2 L2 / (S2 E2 2). Simplificando,
W = F2 L / (2 E S) #IV.2#.
5-) Tensão devido à dilatação linear
Se, conforme Figura 5.1 (a), uma barra de comprimento L a uma determinada temperatura t for submetida a
uma variação (positiva neste caso) de temperatura Δt, a variação do seu comprimento é dada por
ΔL = L α Δt #V.1#. Onde α é o coeficiente de dilatação linear do
material da barra.
Uma simples análise dimensional da fórmula acima permite
concluir que a unidade de α no Sistema Internacional é 1/K ou
1/°C, uma vez que variações unitárias de graus Kelvin e Celsius
são idênticas.
Fig 5.1
Se a barra é impedida de dilatar, conforme Figura 5.1 (b), ela será submetida a uma força e, por conseqüência,
tensão de compressão.
Considerando o trabalho na região elástica conforme lei de Hooke, podemos usar a equação #III.4# para
determinar a tensão (neste caso, é claro, o esforço é de compressão e não de tração):
σ = E ε = E ΔL / L. Substituindo ΔL pelo valor dado em #V.1#: σ = E α Δt #V.2#.
A tabela abaixo dá valores aproximados do coeficiente de dilatação linear para alguns metais ou ligas comuns.
Metal
Aços
-5
α 10 1/°C 1,2
Alumínio
2,3
Bronze
1,9
Cobre
1,7
Ferro fundido Latão
1,2
1.9