O estudo dos Vetores e suas Aplicações na Fisica

JOCENIR AURELIANO DE AZEVEDO
O ESTUDO DOS VETORES E SUAS APLICAÇÕES NA FÍSICA
Sinop
2013
1
JOCENIR AURELIANO DE AZEVEDO
O ESTUDO DOS VETORES E SUAS APLICAÇÕES NA FÍSICA
Trabalho de Conclusão de Curso
apresentado a Banca Examinadora
do Departamento de Matemática –
UNEMAT, Campus Universitário de
Sinop, como requisito parcial para a
obtenção do título de Licenciado em
Matemática.
Orientadora: Profª. Dra. Darci
Peron.
Sinop
2013
2
JOCENIR AURELIANO DE AZEVEDO
O ESTUDO DOS VETORES E SUAS APLICAÇÕES NA FÍSICA
Trabalho de Conclusão de Curso
apresentado a Banca Examinadora
do Departamento de Matemática –
UNEMAT, Campus Universitário de
Sinop, como requisito parcial para a
obtenção do título de Licenciado em
Matemática.
BANCA EXAMINADORA
__________________________________________________
Profª. Dra Darci Peron
Professor (a) orientador
UNEMAT - Campus Universitário de Sinop
__________________________________________________
Profª. Ms. Chiara Maria Seidel Luciano
Professor (a) Avaliador
UNEMAT – Campus Universitário de Sinop
Sinop – MT
_________ de ______________________________ de 2013.
3
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus Trino que, com todo seu amor, nos possibilita viver na esperança de uma
vida eterna.
Agradeço aos meus pais João de Oliveira Azevedo e Inês Marcheti de Azevedo, que me
incentivaram e me prepararam para enfrentar os desafios impostos pelas conseqüências de
minhas escolhas.
Agradeço o incentivo de minha esposa Ana Claudia Borsa de Azevedo e também por todo o
apoio, compreensão, paciência e amor, que foram fundamentais para me manter firme em
minha caminhada.
Agradeço a todos os professores, que me ajudaram durante esta etapa de minha formação, em
especial a Professora Dra. Darci Peron que me orientou neste trabalho com paciência,
confiança e motivação.
4
Dedico este trabalho a pessoas que trazem um sentido diferente
para minha vivência e tudo que faço; à minha esposa Ana
Claudia Borsa de Azevedo e ao advento meu filho João
Victor de Azevedo que em breve estará em meus braços,
também aos meus pais que sempre me apoiaram e
merecem partilhar dessa felicidade.
5
RESUMO
AZEVEDO, Jocenir Aureliano. O estudo dos Vetores e Suas Aplicações na Física. Trabalho
de Conclusão de Curso de Licenciatura Plena em Matemática – Universidade Estadual do
Mato Grosso – UNEMAT / Faculdade de Ciências Exatas de Sinop/MT/ Campus
Universitário de Sinop. Sinop/MT, Brasil.
A presente pesquisa traz uma abordagem do processo histórico de desenvolvimento dos
estudos vetoriais, buscando explicitar características importantes sobre vetores, para que o
mesmo seja usado como ferramenta para a compreensão de fenômenos físicos, tendo esta
pesquisa um caráter bibliográfico de pesquisa qualitativa. Este estudo foi elaborado a fim de
sanar dúvidas remanescentes da graduação, bem como para aprofundar conhecimentos,
disponibilizando à quem tiver interesse em realizar estes estudos. Temos como principais
referencias para nosso embasamento teórico BUTKOV (1988), HALLIDAY (2001), SILVA
(2002) assim como STEWART (2006). Trazemos a parte histórica bem como os estudos
matemáticos e também os estudos físicos que apresentam as aplicações vetoriais, utilizando as
noções matemáticas trazidas para o nosso contexto acadêmico.
Nos estudos físicos apresentados estão presentes a mecânica de Newton e os sistemas
referenciais para sua representatividade; o conceito de ondas mecânicas, as relações
geométricas vetoriais e os estudos da Mecânica, nos Conceitos de Ondas e eletromagnéticos;
bem como as principais grandezas vetoriais relacionadas às aplicações físicas.
Palavras chave: Vetores, Grandezas Físicas.
6
ABSTRACT
AZEVEDO, Jocenir Aureliano. The study of Vectors and Their Applications in Physics.
Conclusion Work Full Degree Course in Mathematics - State University of Mato Grosso –
UNEMAT / Faculty of Exacts Sciences of Sinop/MT/ Campus Sinop. Sinop/MT, Brazil.
This research presents an approach to the historical process of development of vector
studies seeking to explain important features of vectors, so that it is used as a tool for
understanding physical phenomena taking this research one bibliographic qualitative
research.This study was designed to remedy lingering doubts graduation, as well as to deepen
knowledge, available to anyone interested in performing these studies.Our main references for
our theoretical BUTKOV (1988), HALLIDAY (2001), SILVA (2002) as well as STEWART
(2006).We bring the historical and mathematical studies and also studies that show physical
applications vector, using the mathematical notions brought to our academic context.
In physical studies presented are present Newton's mechanics and reference systems for
its representativeness, the concept of mechanical waves, geometric relationships and vector
studies of mechanics, the concepts and electromagnetic waves, as well as the main vector
magnitudes related to applications physical.
Keywords: Vectors, Physical Quantities.
7
SUMARIO
1.
BREVE HISTORIA SOBRE VETORES ..................................................................... 12
1.1.
A Construção da Representação Geométrica ............................................................. 12
1.2.
A Construção Científica e a Introdução dos Números Complexos ........................... 18
1.2.1.
Hamilton e os Quatérnions ................................................................................. 21
1.2.2.
Função Vetorial e Operador Nabla ..................................................................... 26
1.2.3
Vetores e Grandeza Vetorial............................................................................... 33
2. O ESTUDO DOS VETORES COMO ESTRUTURANTE DO CONHECIMENTO
FÍSICO .................................................................................................................................... 38
2.2.
3.
Vetores e Suas Aplicações em Conceitos Físicos: ..................................................... 38
2.2.1.
Na Mecânica ....................................................................................................... 38
2.2.2.
Na Ondulatória ................................................................................................... 48
2.2.3.
Na Eletricidade ................................................................................................... 53
CONSIDERAÇÕES FINAIS ......................................................................................... 61
REFERÊNCIAS ....................................................................................................................... 63
8
LISTA DE FIGURAS
Figura 1-1 Sistema de referencia oblíquo no espaço
. ......................................................... 13
Figura 1-2: Sistema de referência oblíquo no espaço
. ........................................................ 14
Figura 1-3: Distancia entre dois pontos no espaço
. ............................................................ 14
Figura 1-4: Coordenadas Polares. ............................................................................................. 16
Figura 1-5: Coordenadas Elípticas Ortogonais. ........................................................................ 16
Figura 1-6: Coordenadas Cilíndricas. ....................................................................................... 17
Figura 1-7: Coordenadas Esféricas. .......................................................................................... 17
Figura 1-8: Mudanças de eixos................................................................................................. 18
Figura 1-9: Adição de vetores. ................................................................................................. 23
Figura 1-10: Sistemas de Coordenadas no Plano e no Espaço. ................................................ 24
Figura 1-11: Quociente de dois Vetores ................................................................................... 24
Figura 1-12: é a reta traçada pelo movimento da ponta do vetor de posição
................ 28
Figura 1-13: vetor unitário
. ................................................................. 31
Figura 1-14: Vetores: a) vetor deslizante sobre um eixo; b) vetor posição do ponto ; c) vetor
num sistema de referencia cartesiano. ...................................................................................... 34
Figura 1-15: Projeção de um vetor em uma direção arbitrária definida pelo vetor . .............. 36
Figura 2-16: (a) Uma vista de cima de três pessoas puxando um pneu. (b) Um diagrama de
corpo livre para o pneu. ............................................................................................................ 41
Figura 2-17: Parte (b) da figura 2-17. Um diagrama de corpo livre para o pneu. .................... 42
Figura 2-18:Uma moeda na eminência de deslizar de um livro. .............................................. 45
Figura 2-19:Um diagrama de corpo livre para a moeda, mostrando as três forças (desenhadas
em escala) que agem sobre ela. ................................................................................................ 45
Figura 2-20: Uma vista de cima de um disco de hóquei de massa m se movendo com
velocidade constante em uma trajetória circular de raio sobre uma superfície horizontal
lisa. A força centrípeta sobre o disco é , a tração da corda, dirigida para dentro do circulo ao
longo do eixo radial que se estende passando pelo disco. ..................................................... 46
Figura 2-21: Uma força constante fazendo um ângulo com o deslocamento de uma
conta e um fio acelera a conta ao longo do fio, alterando a velocidade da conta de
para .
Um “medidor de energia cinética” indica a variação resultante da energia cinética da conta, do
valor
para
. ..................................................................................................................... 47
Figura 2-22: Onda senoidal. ..................................................................................................... 48
Figura 2-23: Os nomes das grandezas da equação (2.9), para uma onda senoidal transversal. 49
Figura 2-24:“Instantâneo” de uma onda em uma corda se propagando no sentido positivo de
um eixo . A amplitude
está associada. Um comprimento , medido a partir de uma
posição arbitrária ................................................................................................................. 50
Figura 2-25: um fasor de intensidade
girando em torno de uma origem a uma velocidade
angular representa uma onda senoidal. A projeção
do fasor sobre o eixo vertical
representa o deslocamento de um ponto pelo qual passa a onda. ............................................. 51
Figura 2-26: (a) Um segundo fasor com velocidade angular , mas com intensidade
e
girando a um ângulo constante do primeiro fasor, representa uma segunda onda, como uma
9
constante de fase . (b) A onda resultante das duas ondas é representada pela soma vetorial
dos dois fasores. A projeção sobre o eixo vertical representa o deslocamento de um
ponto quando essa onda resultante por ele. .............................................................................. 52
Figura 2-27: Os vetores de campo elétrico em vários pontos ao redor de uma carga pontual
positiva. .................................................................................................................................... 55
Figura 2 - 28:
Três partículas com cargas
e
estão à mesma distância da origem.
Os vetores campo elétrico
e
na origem devidos ás três partículas.
O vetor
campo elétrico
e a soma vetorial
na origem. ....................................................... 56
10
INTRODUÇÃO
Este trabalho traz o desenvolvimento do formalismo vetorial, usado para descrever os
fenômenos físicos e dessa forma elucidar conceitos que foram aprimorados e são utilizados
nos dias atuais. Os estudos vetoriais, que foram construídos paralelamente aos estudos físicos,
se desenvolveram através de noções geométricas que se estabeleceram em sistemas de
coordenadas e se fortaleceram com os estudos e descobertas matemáticas. Descobertas essas
que puderam auxiliar e descrever os estudos dos fenômenos físicos.
Tomando como ponto de partida as relações geométricas pelo plano cartesiano, que são
atribuídas aos estudos de René Descartes no século XVII e que são retomadas com a noção de
grandezas (conceito vetor),no final do século XIX por grandes estudiosos, podemos afirmar
que vetores nasceram nas primeiras duas décadas do século XIX com as apresentações
geométricas de números complexos. Gaspar Wessel (1745-1818), Jean Robert Argand (17681822), Carl Frederich Gauss (1777-1855) entre outros, conceberam números complexos como
pontos no plano bidimensional, isto é, como vetores bidimensionais. Estudiosos matemáticos
trabalharam com esses novos números e os aplicaram de varias maneiras; por exemplo, Gauss
fez um uso crucial de números complexos para provar o Teorema Fundamental da Álgebra
(1799). Em 1837, Willian Rowan Hamilton (1805-1865) mostrou que os números complexos
poderiam ser considerados abstratamente como pares ordenados (a, b) de números reais. Esta
idéia (de números complexos como pares ordenados) fez parte dos estudos de vários
matemáticos, incluindo Hamilton, para procurar uma maneira de estender os “números”
bidimensionais para três dimensões; e dessa forma houve a construção dos estudos vetoriais
que trouxeram até os dias atuais uma gama de conceitos matemáticos que expressam os
estudos e aplicações físicas.
As aplicações dos conceitos vetoriais foram estabelecidas através da descrição de
estudos físicos como as Leis de Newton, com o movimento dos corpos, onde Newton
conduziu, de certa forma, seus estudos para a necessidade de uma introdução de sistemas que
pudessem descrever tais fenômenos, essa necessidade estendeu-se para o conceito de ondas,
que também podem ser representados por vetores, bem como os estudos de eletricidade, nos
possibilitando ter uma noção matematicamente descrita de como o formalismo vetorial é
necessário para se ter um cunho científico de tais estudos físicos.
11
Isso nos possibilita compreender as aplicações físicas, com expressões gráficas que
mantém todas as propriedades descritas em fenômenos, e que estão sujeitos a estudos com
pretensão de representação vetorial.
O presente trabalho tem como objetivos elucidar fatos históricos que estruturaram os
estudos vetoriais de forma a expressar juntamente com as aplicações físicas a importância do
formalismo matemático. Dessa forma nossos estudos assim estão estruturados:
 No capitulo 1 abordamos fatos históricos que trazem a construção dos estudos
vetoriais e juntamente com esses estudos, formulações que nos mostram os
estudos remanescentes.
 No capítulo 2 abordamos de forma não aprofundada alguns conceitos físicos de
maneira que possamos apresentar aplicações vetoriais, ressaltando a importância
do uso dos vetores para diversas áreas pertinentes aos estudos da física.
12
1. BREVEHISTÓRIA SOBRE VETORES
Muitas descobertas matemáticas se deram através da geometria formalizada dos gregos,
com seus axiomas, demonstrações e teoremas. Este capítulo aborda os fatos históricos
relacionados aos estudos matemáticos dos vetores, abordando noções básicas que serviram de
ferramenta para construção dos estudos dos vetores, noções estas que contribuirão para uma
melhor compreensão das aplicações físicas que é objetivo deste trabalho.
1.1. A Construção da Representação Geométrica
Na sequência procuramos apresentar algumas informações básicas sobre como se deram
as construções empíricas e os primeiros passos dados pela ciência nos estudos dos vetores.
Utilizaremos argumentos históricos e as formalizações que podem ser utilizadas em tais
aplicações.
Verificamos que no decorrer dos tempos fomos presenteados com as descobertas de
grandes estudiosos, que construíram a partir da lei do paralelogramo para a adição de vetores
(ou entidades), explicações não tão formais e que não expressavam diretamente o conceito de
vetor.
Segundo Sánchez (2007), os sábios da Grécia antiga também se preocupavam com o
estudo do movimento dos corpos,que eram analisados por meio de conceitos geométricos. Os
textos de Aristóteles (384 a 322 a.C.) em Mecânica mostram que ele tinha a noção de
composição de movimentos. Nesses textos, enunciou de forma axiomática que a força que
movimenta um corpo é colinear com a direção do movimento de um corpo.
Por muito tempo a física veio se desenvolvendo e observando fenômenos, e esse
desenvolvimento foi dado por muitas vezes sem as ferramentas necessárias, onde se
observavam apenas propriedades geométricas, no entanto, algumas destas propriedades eram
limitadas, assim muitos fenômenos não puderam ser estudados e representados, devido à falta
de conceitos matemáticos, não desenvolvidos, até então.
Ainda para Sánchez (2007), o despertar de uma nova maneira de analisar o universo
estava a desabrochar nos anos 1600. A concepção sobre os estudos do mundo já não eram
obtidas sob o ponto de vista escolástico. Pois a razão, mais do que a fé, tornara-se o caminho
para novas descobertas e interpretações do mundo exterior.
13
O matemático Simon Stevin (1548-1620), ou Stevinos numa grafia latinizada, foi quem
demonstrou de maneira clara a regra da composição de forças, ao analisar o equilíbrio de um
corpo situado sobre um plano inclinado,e sustentados por pesos, um pendurado no extremo de
uma alavanca, e o outro pendurado numa polia fixa no cateto vertical do plano inclinado. Uma
idéia análoga faz parte dos escritos de Galileu Galilei (1564-1642) sobre o equilíbrio dos
corpos num plano inclinado.
Sánchez (2007) afirma que o início do conceito de vetor deu-se de forma empírica com
a formulação da regra do paralelogramo, pois Stevinos num trabalho publicado em 1586 sobre
mecânica aplicada estabeleceu um dos princípios da mecânica clássica, onde formalizou por
meio do equilíbrio de um sistema de forças, o conceito de um ente dependente da direção e do
sentido de sua atuação, possibilitando no futuro parte da elaboração teórica do conceito de
vetor.
A criação da Geometria Analítica atribuída a René Du Perron Descartes (15961650),uniu a geometria de Euclides à álgebra, estabelecendo uma correspondência unívoca
entre os pontos de uma reta e o conjunto dos números reais. A introdução do sistema de
coordenadas ortogonais, também denominadas coordenadas cartesianas, permitiu o cálculo da
distância entre dois pontos no espaço euclidiano.
Sánchez (2007), ainda nos traz os sistemas referenciais que hoje utilizamos baseados
nos planos cartesianos.
Os pontos do espaço plano ficam determinados de modo unívoco definindo-se dois
segmentos orientados
, com origens coincidentes, e que formam um ângulo
os quais são denominados de eixos referenciais (figura 1-1).
Figura 1-1 Sistema de referencia oblíquo no espaço
Fonte: Sánchez (2007)p.23.
.
,
14
Os pontos no espaço euclidiano ficam determinados de modo unívoco definindo-se três
segmentos orientados
que são denominados eixos referenciais com origens
coincidentes, que formam ângulos agudos entre si e as coordenadas da origem são
(figura 1-2).
Figura 1-2: Sistema de referência oblíquo no espaço
Fonte: Sánchez (2007)p. 23.
.
A cada ponto desse plano associa-se um terno de números reais
de coordenadas do ponto em
denominado
. Essa relação define o espaço euclidiano tridimensional
.
Para o caso particular em que os três eixos do sistema referencial são ortogonais, esse é
denominado sistema cartesiano ortogonal (figura 1-3).
A notação dessas coordenadas para um ponto genérico é escrita como
.
Figura 1-3: Distancia entre dois pontos no espaço
Fonte: Sánchez (2007) p. 25.
.
ou
15
O uso da geometria é essencial para determinar a distância do segmento determinado
pela origem dada por
onde a aplicação do teorema de Pitágoras nos apresenta
, e a determinação entre dois pontos
e
numeixo de referência, é dada pela diferença entre as coordenadas desses pontos nesse eixo,
tal como mostrado para o espaço
. Para distancia entre esses pontos no espaço
o teorema de Pitágoras:
aplica-se
.
Essas representações geométricas introduzem a noção de espaço e proporciona uma
inserção do que está por ser estudado, além disso, faltava saber quais as operações e fórmulas
matemáticas, que seriam utilizadas e como poderiam, ser utilizados na descrição de
fenômenos físicos.
Sánchez (2007), afirma que no inicio do século de XIX a Alemanha estava para se
tornar o maior centro mundial em matemática. Dentre várias de suas mentes brilhantes estava
Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Gauss ao se ocupar do estudo das curvas e superfícies,
cunhou o termo geometrias não euclidianas, sendo que em 1816 já havia concebido conceitos
relativos à geometria. Elaborou uma teoria das superfícies usando coordenadas curvilíneas no
trabalho Disquisitones Generales Circa Superficies Curvas, publicado em 1827. Gauss
argumentava que a geometria do espaço tem um aspecto físico, a ser descoberto pela
experimentação. Essas iam de encontro aos conceitos filosóficos de Immanuel Kant (17241804), Que preconiza que a concepção do espaço a priori é euclidiana.
Apresentamos aqui, de maneira superficial, os Sistemas de Referência Curvilíneos
tendo como base os quatro dos mais usuais, que são os sistemas de Coordenadas Polares,
Coordenadas Elípticas, Coordenas Cilíndricas e Coordenas Esféricas. Adotando uma notação
para as coordenadas expressas por meio de índices.
Os trabalhos de Gauss deram origem a alguns estudos que utilizamos hoje, onde temos
tais coordenadas expressadas no plano
e
e mais adiante pode se estender para
dimensões.
Sánchez (2007), nos traz que as coordenadas polares são escritas como
e são definidas nos intervalos
,
cartesianas e essas coordenadas são dadas por (fig. 1-4):
e
,
. As relações entre as coordenadas
16
Figura 1-4: Coordenadas Polares.
Fonte: Sánchez (2007) p. 25.
As Coordenadas Elípticas Ortogonais se apresentam como coordenadas elípticas
cilíndricas que são determinadas por uma elipse e uma hipérbole homo focais (fig. 1-5), e uma
terceira coordenada normal ao plano dessa curva. As coordenadas são expressas por
e escritas como
, definida nos intervalos
. As relações entre as coordenadas são dadas por (fig. 1-5):
,
,
Figura 1-5: Coordenadas Elípticas Ortogonais.
Fonte: Sánchez (2007) p. 27.
As coordenadas cilíndricas são escritas como
definidas nos intervalos
são expressas por
,
,
, e são
. Essas coordenadas
. A relação entre as coordenadas cartesianas e essas coordenadas é
dada por (fig. 1-6):
,
,
17
Figura 1-6: Coordenadas Cilíndricas.
Fonte: Sánchez (2007)p. 27.
As Coordenadas Esféricas são escritas como
intervalos
, e são definidas nos
. Essas coordenadas são expressas por
. As relações entre as coordenadas cartesianas e essas coordenadas são dadas por
(fig.1-7):
,
Figura 1-7: Coordenadas Esféricas.
Fonte: Sánchez (2007)p. 27.
Podemos aqui acrescentar que esses princípios nos trouxeram a possibilidade de
verificar as mudanças de eixos e coordenadas.
Segundo Butkov (1988), um vetor dado
está associado a um conjunto de três
números, suas componentes (ou coordenadas), relativas a certo sistema cartesiano ortogonal.
No entanto, é claro que, se mudarmos o sistema, as componentes também mudarão.
18
Considera-se, para os vetores no plano, a mudança no sistema de eixos produzida por
uma rotação de um ângulo , como mostrado na figura 1-5. O sistema antigo é
sistema novo é
componente
. Como
, a componente
e o
, e, do mesmo modo, para a
. Pelo diagrama, vemos que isso fornece
É instrutivo observar que o ângulo entre o eixo
ângulo entre o eixo
e o eixo
é
e o eixo
é
, enquanto que o
. Em virtude de
e
, vemos que todos os quatro coeficientes nas equações acima apresentam os cosenos dos ângulos entre os respectivos eixos.
Figura 1-8: Mudanças de eixos.
Fonte: Butkov (1988) p. 6.
Verificamos aqui que todas as coordenadas são representadas com relações geométricas
e trigonométricas. Tais representações nos dão uma noção do caminho de entidades 1 que
podem ter expressões que se limitam ao espaço
de espaços de
. Mas precisamos ressaltar que os estudos
dimensões também têm suas atribuições que apresentaremos mais adiante.
1.2. A Construção Científica ea Introdução dos Números Complexos
Segundo Boyer (2003),no século XVIII, Jacob Hermann (1678-1733) fez contribuições
à geometria analítica no espaço e as coordenadas polares, continuando os resultados dos
irmãos Bernoulli que eram os mais velhos da Família de matemáticos. Ao passo que Jacques
1
Descrição de fenômenos físicos quantificados, que e após os estudos matemáticos, são denominados Vetores.
19
Bernoulli aplicara, de forma cautelosa, coordenadas polares em modelos espirais, Hermann
deu equações polares também de curvas algébricas, juntamente com equações de
transformação de coordenadas retangulares para polares. O uso que Hermann fez de
coordenadas no espaço, também foi mais ousado que o de Jean Bernoulli, que desde 1962 se
referia ao uso de coordenadas como “geometria cartesiana”. Bernoulli tinha um tanto
timidamente sugerido, uma extensão da geometria cartesiana a três dimensões, mas Hermann
aplicou eficazmente coordenadas no espaço à planos e a diferentes tipos de superfícies
quadráticas. Deu-se início a noção de ângulo de direção mostrando que o seno do ângulo que
o plano de equação
faz com o plano
é dado por
.
Sánchez (2007) nos apresenta as propriedades algébricas de multiplicação por escalar
onde o produto de um escalar
por um vetor resulta em um novo vetor , colinear com o
vetor original:
O modulo desse vetor é igual ao modulo do vetor original multiplicado pelo escalar. O
sentido do vetor
fica definido pelo sinal do escalar. Se
for positivo esse vetor terá o
mesmo sentido do vetor , e se o escalar for negativo terá sentido contrário.
Ainda para Sánchez (2007), as propriedades distributivas e comutativas são aplicáveis
ao produto de um escalar por um vetor:
Propriedade distributiva:
Propriedade comutativa:
Verifica-se que a razão entre dois vetores colineares é dada por um número real:
20
Essa expressão permite concluir que para dois vetores colineares é sempre possível
exprimir de maneira unívoca um dos vetores em função do outro, admitindo-se que esse seja
não nulo.
Anda para Sánchez (2007), as propriedades, associativa e comutativa, podem ser
aplicadas à adição de vetores, donde seguem:
Propriedade associativa:
Propriedade comutativa:
Verificamos que Leonhard Euler (1707-1783), foi um dos precursores da álgebra com
suas diversas publicações, pode construir pensamentos que contribuíram para o formalismo
vetorial.
Segundo Brandemberg (2007), os trabalhos de Euler representam exemplos relevantes
do formalismo do século XVIII, isto é, da manipulação e da „implicação‟ das regras do
pensamento lógico. Estas abordagens, embora sem muito rigor, muitas vezes o conduziram a
resultados profundos e verdadeiros, como a obtenção de uma série infinita:
Suas notações, que são utilizadas nos dias atuais, foram fundamentais para um
pensamento mais formal das aplicações, que possibilitou os estudos do princípio de
incomensurabilidade e algumas indeterminações.
Ainda para Brandemberg (2007), cabe aqui registrar a importância da notação de Euler
(1972) para o posterior desenvolvimento da matemática. Ele é o responsável pela implantação
das seguintes notações:
(para funções),
somatório), e (para unidade imaginária
(para a base dos logaritmos naturais), ∑ (para o
), entre outras.
Ao olharmos artigos e publicações, vimos que a escrita em si traz consigo um
formalismo de pensamentos. Mas os autores nos mostram que muitas das descobertas
passadas foram bem particulares com uma forma de expressão própria de cada cientista em
21
seu contexto de estudos. Os trabalhos com números complexos foi um grande passo que
desafiou a matemática para estudos formalizados, a questão seria como trabalhar com esses
números de forma clara e expressar todas as propriedades específicas para suas aplicações.
Essas operações estavam para ser descobertas já no fim do século XIX.
1.2.1. Hamilton e os Quatérnions
Seguimos aqui com uma apresentação do que pode ser o início dos conceitos mais
elaborados dos estudos vetoriais. Verificando a abrangência proporcionada por tais estudos,
onde temos contribuições de grandes estudiosos como Willian Rowan Hailton (1805-1865),
Hermann Guther Grassmann (1809-1877), Peter Tait (1831-1901), James Clerk Maxwell
(1831-1879), Josiah Williard Gibbs (1839-1903) e Oliver Heavisid (1850-1925).
Os estudos relacionados a vetores,desenvolvidos até meados do século XIX, traziam
uma linguagem própria de seu contexto, um formalismo apresentado. Formalismo esse, que
fora desenvolvido por vários matemáticos, mas podemos tomar como ponto de partida o fim
do século XIX com a análise vetorial, que trouxe um melhora significativa para chegar aos
estudos vetoriais apresentados nos dias atuais.
Segundo Silva (2002), a questão debatida no final do século XIX era saber o sistema
matemático mais apropriado para tratar as grandezas vetoriais. Willian Rowan Hamilton
(1805-1865) e seus seguidores, principalmente Peter Tait, acreditavam que os quatérnions
eram a ferramenta apropriada para resolver problemas em física.
Queremos aqui abordar as operações com números complexos, como ponto de partida
para essa nova etapa de descobertas.
Apresentaremos aqui Willian Rowan Hamilton e suas contribuições, onde segundo
Boyer (2003), Willian Rowan Hamilton que tinha o pai advogado e, sua mãe, ao que se diz
alguns intelectuais bem dotados, morreram quando ele era ainda menino; mas mesmo antes de
ficar órfão a instrução do jovem Hamilton fora determinada por um tio, que era lingüística.
Jovem extremamente precoce, Willian lia grego, hebraico e latim aos cinco anos; aos
dez conhecia várias línguas orientais. Um encontro relâmpago com um calculista estimulou o
interesse já forte de Hamilton pela matemática. Hamilton entrou em Trinity College, Dublin, e
enquanto ainda estudante, aos vinte e dois anos, foi nomeado Royal Astronomer da Irlanda,
Diretor de Observatório de Dunsink, e professor de astronomia. No mesmo ano ele apresentou
à Academia Irlandesa um artigo sobre sistemas de raios em que exprimia em seus temas
22
favoritos, que o espaço e o tempo estão “indissoluvelmente ligados entre si”. Num certo
sentido pode-se tomar essa idéia como presságio da teoria da relatividade, mas Hamilton tirou
dela uma conclusão menos frutífera: assim como a geometria é a ciência do espaço somente, a
álgebra deve ser a ciência do tempo puro.
De acordo com Boyer (2003), Hamilton apresentou seu primeiro artigo,a predição de
refração cônica em certos cristais que foi experimentalmente confirmada por físicos. Essa
verificação de uma teoria matemática garantiu sua reputação, e aos trinta anos ele recebeu o
titulo de nobre. Dois anos antes, em 1833, ele tinha apresentado um artigo longo e
significativo à Academia Irlandesa, em que introduziu a álgebra formal de pares de números
cujas regras de combinação são precisamente as que hoje são dadas para números complexos.
A importante regra para a multiplicação dos pares é naturalmente (a, b)(α,β) = (aα – bβ, aβ +
bα).
E ele interpretava esse produto como uma operação envolvendo rotação. Aqui vê-se o
conceito definitivo de número complexo como par ordenado de números reais, idéia que
estava indicada nas representações gráficas de Wessel, Argand e Gauss, mas que agora era
explicitada pela primeira vez.
Hamilton percebia que seus pares ordenados podiam ser pensados como entidades
orientadas no plano, e naturalmente tentou estender a idéia a três dimensões passando dos
números complexos binários
às triplas ordenadas
. A operação de adição
não oferecia dificuldade, mas durante dez anos ele lutou com a multiplicação de n-uplas para
n maior que dois.
Esse conceito foi trazido devido aos estudos físicos da época e a necessidade de se
definir um padrão que expusesse todo o formalismo necessário, a fim de se organizar os
pensamentos e estudos apresentados, estudos esses que trariam os fenômenos físicos
representados por entidades.
Para Silva (2002), os quatérnions trazidos por Hamilton (1805-1865) eram explicitados
por dois vetores paralelos, um pode ser expresso por um escalar multiplicado pelo outro,
sendo que o escalar é a razão entre os comprimentos dos dois vetores e seu sinal é positivo
caso os vetores estejam no mesmo sentido e negativo caso estejam em sentidos opostos.
Para termos uma melhor compreensão onde Butkov (1988), afirma que, podemos
explicitar essa noção de vetores com um sistema de coordenadas cartesianas, em muitos
textos elementares um vetor é definido como uma quantidade caracterizada por grandeza e
direção. Mas os vetores são muito mais gerais do que isso, é correto dizer que o conceito de
vetor, foi pela primeira vez introduzido na matemática (pelos físicos), para representar
23
“quantidades” com direção, deslocamento, velocidade, força, etc. Sem dúvida, estas são as
espécies de vetores mais familiares e mais simples.
Ainda para Butkov (1988), como sabemos, quantidades com direção pode ser
representada graficamente por flechas, e estão sujeitas a duas operações básicas:
a) Multiplicação por um escalar (supondo aqui que os escalares são números reais).
b) Adição.
Estas operações estão ilustradas na figura 1-9.
Figura 1-9: Adição de vetores.
Fonte:Butkov (1988) p. 2.
Butkov (1988) afirma que em muitos casos podemos desenhar vários vetores a partir de
um mesmo ponto: a origem. Então, cada vetor pode ser caracterizado pelas coordenadas de
sua “ponta”. Podem-se utilizar vários sistemas de coordenadas, mas os sistemas de
coordenadas cartesianas são mais convenientes. A razão disso é muito simples e muito
profunda: as coordenadas cartesianas de um ponto podem servir, como componentes do vetor
correspondente. Isso é ilustrado na figura 1-10 onde escolhemos sistemas cartesianos
ortogonais no plano e no espaço.
24
Figura 1-10: Sistemas de Coordenadas no Plano e no Espaço.
Fonte: Butkov (1988) p. 2.
Silva (2002) destaca que, para Hamilton, ainda se os vetores não forem paralelos, a
questão é encontrar o valor da razão entre os comprimentos e também a razão entre as
direções dos dois vetores. Uma forma de resolver o problema é encontrar quantos números
diferentes são necessários par caracterizar esta razão. Podemos supor que um vetor OA possa
ser transformado em outro OB, e esta transformação possa ser separada em duas partes.
Primeiro o comprimento AO pode aumentar ou diminuir até ser igual ao de OB, sendo
que para determinar a razão entre os comprimentos precisamos de apenas um número, que
pode ser positivo ou negativo. Depois, AO pode ser girado em torno de um eixo perpendicular
que passa por O até que sua direção coincida com a de OB. Para determinar esta operação são
necessários três números: dois ângulos para determinar o plano em que ocorre a rotação e um
terceiro para determinar o ângulo AOB, como mostra a figura 1-11.
O
A
B
Figura 1-11: Quociente de dois Vetores
Fonte: Silva (2002) pg. 67.
Ainda para Silva (2002), os quatro elementos usados para definir uma transformação
desta maneira não são todos de mesma natureza, pois é preciso um número para determinar o
comprimento, dois ângulos para determinar o plano que contem os dois vetores e um terceiro
25
ângulo para levar AO até OB. Apesar de os elementos não serem todos números, Hamilton
chamou esse conjunto de quatro elementos de “quatérnion”, devido ao fato de sua completa
construção ou determinação depender de quatro elementos numéricos.
Ao passo que Hamilton desenvolveu a representação, que passava a ser algébrica,
percebemos que as notações passaram a ter um cunho cientifico e apresentar um grau de
complexidade elevado.
Silva (2002) afirma que, em uma carta escrita em 1843 para John T. Graves, Hamilton
narra os passos que o levaram aos quatérnions. Vamos seguir esta sequência descrita nesta
carta de Hamilton.
A tentativa de generalização natural para um número complexo representar algo no
espaço tridimensional seria
. O uso de Hamilton da representação geométrica no
desenvolvimento da teoria de quatérnions pode ser visto no trecho abaixo: “Como
, em
um sentido bem conhecido, é uma linha perpendicular à linha 1, parece natural que deva haver
outro imaginário para expressar a linha perpendicular a ambas anteriores; e como a rotação
dupla de 1 em relação a ela também conduz a -1, ela também deve ser a raiz quadrada da
unidade negativa, embora não deva ser confundida com a anterior. Chamado a antiga raiz,
como os alemães frequentemente fazem, de i, e a nova de j, questionei quais leis deveriam ser
assumidas para a multiplicação de
”
com
Butkov (1988) nos traz uma melhor compreensão de como aplicamos atualmente os
números complexos. Ao estudarmos as raízes de equações algébricas, e, em particular, as
raízes das equações cúbicas, será conveniente introduzir o conceito de um número, cujo
quadrado é igual a
, e escrevemos =
. Segundo uma tradição já estabelecida, este numero é representado por
,e
. Se permitirmos que seja multiplicado por números reais,
obteremos as regras usuais da multiplicação aos úmeros imaginários, deveremos então
concluir que os produtos de números imaginários são números reais; além disso, seus
quadrados são números reais negativos. Por exemplo:
,
.
Se juntarmos os números imaginários aos números reais, teremos um sistema no qual
poderemos efetuar multiplicações e divisões (exceto por zero, naturalmente). Dizemos que um
sistema como esse é fechado, em relação à multiplicação e à divisão. No entanto, nosso
sistema não é fechado em relação à adição e à subtração. Para eliminar esta deficiência,
26
introduzimos os chamados números complexos. Estes são números geralmente escritos sob a
forma
e devem obedecer as regras algébricas apropriadas.
Vemos aqui que tais estudos têm um cunho cientifico mais aprofundado e de
matemática pura.
Silva (2002), afirma que os quatérnions são uma extensão dos números complexos para
quatro dimensões, Hamilton usou a representação no plano complexo para explicar o
significado de
, a partir da representação geométrica de um número complexo.
As obras de Hamilton que se limitaram, de certa forma, a operações com os números
complexos e a maior parte das aplicações dos quatérnions, era geométrica e não física. Isso foi
uma infelicidade, pois o interesse em quatérnions e análise vetorial era maior entre os físicos
que entre os matemáticos.
1.2.2. Função Vetorial e Operador Nabla
Para compreender o que estudamos nos dias atuais, devemos salientar que o uso dos
métodos de diferenciação juntamente com conceito de limites também eram utilizados e
foram importantes. O uso das funções estavam presentes juntamente com o cálculo vetorial,
que são apresentados a seguir.
As funções vetoriais servem como base para a utilização do cálculo vetorial,
utilizaremos o espaço
para apresentar algumas propriedades importantes.
Para uma melhor compreensão Stewart (2006), afirma que em geral, uma função é uma
regra que associa cada elemento de seu domínio a um elemento de sua imagem. Uma função
vetorial, ou função de valor vetorial, é uma função cujo domínio é um conjunto de números
reais e cuja imagem é um conjunto de vetores. Em particular, estamos interessados nas
funções r, cujos valores são vetores tridimensionais. Isso significa que para todo número t no
domínio de r existe um único vetor
componentes do vetor r
, então ,
denotado por
e
Se
,
e
são os
são funções de valor real, chamadas funções
componentes de r e escrevemos
Como na maioria das aplicações, a variável independente é o tempo, utilizaremos a letra
para indicá-la.
Apresentaremos aqui apenas definições do que são funções vetoriais e curvas espaciais,
para melhor compreensão consultar Stewart (2006) no capítulo 13.
27
Segundo Stewart (2006), o limite de uma função vetorial r é definido tomando-se os
componentes como se segue.
Definição 1:
Se
então
desde que os limites das funções componentes existam.
Uma função vetorial r é contínua em a se
.
Em vista da definição 1, vemos que r é contínua em a, se e somente se, suas funções
componentes f, g e h são continuas em a.
As curvas espaciais e as funções vetoriais contínuasestão intimamente relacionadas.
Suponha que f, g e h sejam funções reais contínuas em um intervalo I. Então o conjunto C de
todos os pontos
no espaço para os quais:
Definição 2:
E varia no intervalo I é chamado curva espacial. As equações em (2) são denominadas
equações paramétricas de C e é conhecido como parâmetro. Podemos pensar em C como
tendo sido traçado pelo movimento de uma partícula cuja posição no instante t é
. Se considerarmos a função vetorial
um vetor de posição do ponto
define uma curva espacial
, então
é
sobre . Assim, qualquer função vetorial r
que é traçada pela ponta do vetor em movimento
, como
podemos mostrar na figura 1-12
Para Silva (2002), um operador que chamamos atualmente de nabla, simbolizado por ,
foi definido em 1847 por Hamilton, representado por outro símbolo.
O estudo desse operador teve continuidade com Peter Tait (1831-1901) que dedicou 36
anos de sua vida à divulgação e desenvolvimento da análise dos quatérnions.
28
Figura 1-12: é a reta traçada pelo movimento da ponta do
vetor de posição
Fonte: Stewart (2006) p. 849.
Para entender o que nos é apresentado atualmente, utilizamos um trecho apresentado
por Butkov (1988) onde o vetor mais simples é, talvez, um vetor posição que depende do
tempo t.
Em um sistema de coordenadas fixas isso equivale a dizer que suas componentes são
funções do tempo e escrevemos
.
Tais vetores podem ser diferenciados em relação à variável , por meio da definição
.
Se escrevermos
e
por meio de suas componentes é lógico deduzir que
de maneira que a operação de diferenciação de um vetor fica reduzida à diferenciação de suas
componentes. Mesmo que os vetores dependentes do tempo sejam muito usados na mecânica
das partículas, estaremos mais interessados em um outro tipo de vetores variáveis: aqueles
que dependem de coordenadas espaciais
. Dizemos que tais vetores formam campos
vetoriais, que podem ser representados como segue:
.
Campos bem conhecidos são os campos elétricos e magnéticos no espaço, o campo
velocidade de um fluido em movimento e outros.
O mais simples de tais campos é provavelmente o chamado Campo Gradiente (é
também chamado de campo conservativo ou campo potencial)que pode ser obtido a partir de
29
uma só função escalar
, geralmente chamada de campo escalar. Casos familiares de
campos escalares incluem a distribuição de temperaturas em um corpo sólido, a densidade de
um meio não homogêneo, o potencial eletrostático, etc.
Um campo escalar dá origem a várias outras quantidades por meio intermédio de suas
diferentes derivadas parciais. Em particular, concentramos nossa atenção em
a)
a diferencial total
e
b)
a derivada direcional
As expressões nos lados direitos das equações em (a) e (b) possuem aparência de m
produto escalar. É conveniente definir o gradiente de um campo escalar
como
sendo o vetor
Podemos então escrever
onde
representa um deslocamento infinitesimal em uma certa
direção e
é o vetor unitário da direção especificada.
Como todo campo escalar é diferenciável, possui um campo gradiente, é
natural perguntar se um campo vetorial arbitrário
não será o
gradiente de um certo campo escalar . A resposta é negativa e isso se
tornara claro quando examinarmos as propriedades básicas dos campos
gradientes. Neste resumo, necessitamos de certas hipóteses sobre
diferenciabilidade de várias funções e sobre as propriedades analíticas das
curvas e superfícies envolvidas na análise vetorial. Mencionamos estas
hipóteses quando delas necessitamos. Em muitos casos podem ser
enfraquecidos e os resultados generalizados, mas nos limitaremos as
situações encontradas na física. (BUTKOV, 1988, p. 16).
30
Essa noção de campo sofreu transformações, após as descobertas de Hamilton, outros
nomes deram continuidade em seus estudos e trabalharam com essas hipóteses, para chegar
no que conhecemos hoje.
Para Silva (2002), Tait (1831-1901) aplica o operador
a funções escalares e vetoriais,
como por exemplo, potencial de uma força, fluxo de calor, vetor deslocamento de um ponto e
um meio elástico, a força elétrica, corrente elétrica, etc. Tait (1831-1901) interpreta a parte
vetorial separada da parte escalar do operador
aplicado a uma função vetorial.
Uma melhor compreensão do operador
pode ser apresentada pelas derivadas
direcionais juntamente com o Vetor Gradiente que utilizamos hoje. Podemos complementar
as apresentações de Butkov (1988), com algumas definições. Utilizaremos aqui algumas
definições importantes, para uma melhor compreensão consultar exemplos contidos no
capitulo 14.6 de Stewart (2006).
Segundo Stewart (2006), lembremo-nos de que, se
, as derivadas parciais
são definidas como
Definição 3:
e representam as taxas de variação de
na direção dos eixos x e y, ou seja, nas direções dos
versores i e j.
Definição 4: A derivada direcional de
em
na direção do vetor unitário
é
se esse limite existir.
Comparando a definição 2 com (1), vemos que, se
, então
e
, então
. Em outras palavras, as derivadas parciais de
e se
com relação a
são casos particulares da derivada direcional.
Stewart (2006), ainda nos traz que pelo teorema 3(p. 940 ), que se uma função
diferenciável em x e y, então
tem uma derivada direcional na direção de qualquer versor
e
.
31
Por outro lado podemos escrever
, onde
, e
pela Regra da Cadeia, vem
Se o versor u faz um ângulo
podemos escrever
com o eixo
positivo (como na figura 1-13), então
e a fórmula do teorema 3 fica
Figura 1-13: vetor unitário
.
Fonte: Stewart (2006) p.938.
Com as definições e teoremas de derivada direcional podemos compreender melhor o
conceito de vetor gradiente, que é uma função vetorial especial devido suas diversas
aplicações.
Segundo Stewart (2006), note no teorema 3, que a derivada direcional pode ser escrita
como produto escalar de dois vetores( Stewart (2006),Fórmula 7 p. 942):
O primeiro vetor no produto escalar ocorre não somente no cômputo da derivada direcional,
mas também em muitas outras situações. Assim daremos a ele um nome especial (o gradiente
de f) e uma notação especial (
Se
ou
, que lemos “del ”).
é uma função de duasvariáveis
definida por: (Stewart,2006.p. 943)
e , o gradiente de
é a função vetorial
32
Com a notação de vetor gradiente, podemos reescrever a expressão (7) para derivada
direcional como
Que expressa a derivada direcional na direção de u como a projeção escalar do vetor
gradiente sobre u.
Estendemos aqui a noção do espaço de funções de três variáveis, que é semelhante ao
estudo com duas variáveis.
Stewart (2006) nos traz que, para as funções de três variáveis podemos definir derivadas
direcionais de modo semelhante. Novamente
pode ser interpretado como a taxa
de variação da função na direção de um versor u.
A derivada direcional de uma função
em
na direção do vetor unitário
é
se o limite existir.(Stewart (2006), Definição10 p. 943).
Se usarmos a notação vetorial, poderemos escrever tanto a definição (2) quanto a (10)
da derivada direcional na forma compacta
Onde
se
e
vetorial da reta que passa por
portanto
Se
se
. Isso era esperado porque a equação
na direção do vetor u é dada por
representa o valor de
for diferenciável e
, e
em um ponto dessa reta(Stewart, 2006. p.943).
, então o mesmo método usado na prova do
Teorema 3 pode ser usado para mostrar que
(Stewart (2006), Fórmula 12
p.943).
Para uma função de três variáveis, o vetor gradiente, denotado por
ou
,é
ou, simplificando: (Stewart (2006) Fórmula 13 pg.943)
Então, como para as funções de duas variáveis, a Fórmula 12 para derivada direcional
pode ser escrita como
33
1.2.3 Vetores e Grandeza Vetorial
Para Silva (2002), Hamilton não foi o único que buscava um sistema formal de
descrição de entes geométricos no espaço em meados do século XIX. Pelo menos outras seis
pessoas de quatro países diferentes estavam desenvolvendo sistemas semelhantes ao cálculo
vetorial, embora diferentes do formalismo atual. São eles August Ferdinand Mobiüs (17901868), Giusto Bellavitis (1803-1880), Hermann Günther Grassmann (1809-1877), Adhémar
Barré, Conde de Saint-Venant (1797-1886) Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) e o
reverendo Mathew O‟Brien (1814-1855). O mais importante de todos esses foi Grassmann,
cujo sistema foi publicado em sua obra Ausdehnungslehre de 1844.
Na sequência trazemos partes superficiais que apresentaram as idéias principais desses
grandes estudiosos. Definimos então o conceito de Grandeza Vetorial que nos dá a definição
da utilização dos vetores na física.
Segundo Sánchez (2007), define-se como vetor livre aquele que exige para sua perfeita
determinação três parâmetros: um número real, uma direção e um sentido. Se for vinculado a
uma reta tem-se um vetor deslizante. Para um vetor fixo tem-se um quarto parâmetro: o ponto
de aplicação.
As grandezas vetoriais são associadas a variedades matemáticas denominadas vetores,
que são geometricamente representados por segmentos orientados (setas). A figura (1-14a)
mostra um vetor sobre um eixo
, definido por:
Em termos das coordenadas dos seis pontos extremos o seu módulo fica determinado
por:
Na concepção de Grassmann o conceito de vetor esta vinculado à idéia de transportar,
pois é tratado como um operador que transporta um ponto
até um ponto
ao longo da reta
que os une, numa direção e num sentido definido.
Essa definição pode ser ampliada para o espaço
por meio da adoção de um sistema
cartesiano de referencia figura (1-14b). Admitindo-se que o ponto inicial
situa-se sobre a
origem dos eixos, tem-se o vetor posição do ponto considerado, cujo módulo é dado por:
Onde
são as coordenadas do ponto extremo .
34
No caso mais geral em que o ponto inicial do vetor
tem coordenadas
,
esse vetor fica definido por um par de ternos escalares figura (1-14.c).
Figura 1-14: Vetores: a) vetor deslizante sobre um eixo; b) vetor posição do ponto ; c)
vetor num sistema de referencia cartesiano.
Fonte: Sánchez (2007) p.59.
Sendo que seu módulo dado por:
.
Com a introdução do sistema referencial cartesiano tem-se uma abordagem mais ampla
do estudo dos vetores, e o seu comportamento pode ser estudado usando-se os diversos tipos
de sistemas referenciais, o que permite exprimi-los em termos algébricos.
A afirmação, de Sánchez (2007),nos traz que na primeira metade do século XIX o
alemão Hermann Guther Grassmann (1809-1877), professor do segundo grau da cidade de
Stettin situada na região que pertencia a Pomerânia, e que atualmente faz parte da Polonia,
publicou o livro Die Lineale Ausdehnunsglehereinneuer Zweig der Mathematik (Teoria da
Extensão), no qual estuda uma geometria de mais de três dimensões, tratando
dimensões, e
formulando uma generalização da geometria clássica. Para delinear essa geometria usou o
conceito de invariantes (vetores e tensores), o que possibilitou que outros estudiosos
desenvolvessem posteriormente o cálculo e a análise vetorial.
Ainda assim um ponto no espaço euclidiano de três dimensões fica definido por três
coordenadas, que podem ser expressas em sistema referenciais cartesianos, cilíndricos,
esféricos, etc. Os sistemas coordenados são adotados em função do tipo de estudo que se
35
deseja realizar. Por exemplo, o deslocamento de um ponto sobre uma esfera fica mais fácil de
ser determinado ao se adotar as coordenadas esféricas. Porem, no caso de uma analise que
requer a determinação da interseção de planos, as coordenadas cartesianas são as aplicáveis.
A generalização para um número maior de dimensões não é uma abstração matemática,
mas uma necessidade para os problemas da geometria e da física.
O espaço com quatro dimensões, onde se tem as três coordenadas ordinárias do espaço
euclidiano de três dimensões mais a variável tempo, que é a quarta coordenada, é o
fundamento da teoria da Relatividade, onde se define o conceito de espaço-tempo.
A mecânica das estruturas apresenta diversos outros exemplos. Seja um elemento de um
pórtico plano, no qual cada um de seus nós extremos admite duas translações e uma rotação, e
a inclinação da barra fica determinada pelo seu co-seno diretor. O conjunto de barras no
espaço
. De maneira geral um sistema mecânico com
espaço
.
As
variáveis
referencial
graus de liberdade define um
, relativas a um ponto , e relacionamos a um sistema
, são denominadas de coordenadas do ponto nesse sistema de referência. O
conjunto de pontos associados de forma biunívoca às coordenadas do sistema de referencia
define o espaço
dimensional
Um subespaço
.
, com M<N, é de igual modo um grupo de pontos relacionados
biunivocamente com as coordenadas definidas no sistema referencial
. Por vezes é melhor
dividir o espaço em subespaços para facilitar alguns estudos específicos.
O espaço com
dimensões é denominado espaço afim. Se a esse espaço é vinculada a
noção de distância entre dois pontos fica estabelecida uma métrica para o espaço é
denominado espaço métrico.
O que pudemos perceber até aqui é que os quatérnions, de Hamilton, serviram como
base para novas formulações dos fenômenos físicos. Os quatérnions em si não foram levados
adiante, mas, assim como o operador nabla, muitas de suas idéias foram utilizadas.
Uma dessas idéias hoje nos dá a noção de espaço e segundo Butkov (1968), podemos
associar a um vetor u (do espaço) com o conjunto de três escalares
maneira que
corresponderá a
e
, de tal
corresponderá a
. Em geral, nenhuma de tais relações se verificará, se um vetor for caracterizado
por outros tipos de coordenadas, como as esferas ou cilíndricas.
Além disso, coordenadas cartesianas ortogonais dão origem a fórmulas muito simples
para outras quantidades usuais associadas a vetores, tais como
36
a) O comprimento (a grandeza) de um vetor:
b) Projeções de um vetor sobre eixos coordenados:
c) Projeção de um vetor em uma direção arbitrária definida pelo vetor s (fig. 1-15):
,
d) Produto escalar de dois vetores:
,
e) Produto vetorial:
.
Figura 1-15: Projeção de um vetor em uma direção arbitrária
definida pelo vetor .
Fonte: Butkov (1988) p. 3.
Para Silva (2002), Gibbs fez uma melhora nos trabalhos de Hamilton onde tentou obter
uma álgebra mais simples para expressões das relações da Geometria, Física, etc.
O interesse de Gibbs sobre eletricidade e magnetismo o levou ao Treatisede Maxwell,
onde percebeu que os quatérnions eram úteis para física matemática. Assim, a partir do
trabalho de Maxwell, Gibbs passou a estudar os quatérnions e depois fez exatamente o que
Maxwell havia declarado ser necessário em uma analise vetorial útil para tratar problemas
físicos, incorporando as questões que foram criticadas por Maxwell e também seu uso
discriminado de certos aspectos da teoria de quatérnions, como a soma de vetores, o produto
separado em parte escalar e vetorial e também o uso do operador .
Ao tratar produto entre vetores, Gibbs introduziu o “produto indireto” escrito como
e o “produto torcido” escrito como
que correspondem aos atuais produto escalar e
produto vetorial. A relação entre esses produtos e o sistema de quatérnions pode ser expresso
por
escrito como
e
. O produto completo (quaternônico) entre vetores seria
, mas Gibbs nunca fez esse tipo de
combinação e essa era justamente uma das principais criticas aos quatérnions.
37
O produto direto entre
e
“é a quantidade escalar obtida pela multiplicação do
produto de suas magnitudes pelo cosseno do ângulo formado por suas direções”. O produto
torcido é uma quantidade vetorial, cuja “magnitude é obtida pela multiplicação das
magnitudes de
e
pelo seno de ângulo formado entre suas direções”. Sua direção é
perpendicular aos vetores
e
e o sentido é dado pela regra da mão direita.
38
2. O
ESTUDO
DOS
VETORES
COMO
ESTRUTURANTE
DO
CONHECIMENTO FÍSICO
A construção do conhecimento físico teve seu desenvolvimento em épocas distintas.
Podemos dividir mais facilmente as descobertas por temas.Neste capítulo iremos abordar de
forma não aprofundada os temas, de modo que tenhamos uma noção da aplicabilidade
vetorial, nos segmentos que serão apresentados.
Podemos afirmar é que as descobertas matemáticas não aconteceram juntamente com as
descobertas físicas. Segundo Pietrocola (2002), os fenômenos se apresentaram por
observações, e dessas observações foram feitas abstrações que possibilitaram uma elaboração
mais conceitual, esses conceitos em sua grande parte são apresentados matematicamente e
necessários para explicar tais fenômenos físicos.
Percebemos que a teoria física traz sempre idéias experimentais, de tal forma que a
ferramenta matemática influi na representatividade que quantifica o estudo, isso possibilita
uma fundamentação científica. Na construção do conhecimento já se verifica a necessidade
dos estudos dos conceitos matemáticos e não é diferente a idéia trazida por Pietrocola (2002),
A formação para a pesquisa leva em conta o fato da Matemática estar
alojada, em definitivo, no corpo das ciências, produzindo currículos
universitários com forte ênfase em conteúdos matemáticos. A situação
parece se encaminhar para soluções de pré-requisitos profissionais: para
fazer Física há de saber Matemática, então vamos ensiná-la! Porém, a
questão colocada dessa forma mascara o problema de saber como a
Matemática deve ser ensinada e, portanto, aprendida no contexto da Física.
As eventuais soluções devem se apoiar em uma análise mais profunda sobre
as relações que a Física entretém com a matemática, que implicam em
posturas didático-pedagógicas complementares diferentes. (PIETROCOLA,
2002, p.89)
Em nosso trabalho como já dissemos vamos nos ater em aplicações vetoriais, mas, vale
ressaltar essa importância que existe na relação entre Física e Matemática, que contribui para
o desenvolvimento do conhecimento científico.
2.2. Vetores e Suas Aplicações em Conceitos Físicos:
2.2.1. Na Mecânica
39
Tomaremos como partida a Física Mecânica onde são estabelecidas as leis de
movimentos dos corpos.Segundo Boyer (2003), um dos precursores desse estudo foi Isaac
Newton nascido na cidade inglesa de Whoolsthorp, Lincolnshire, no dia 25 de dezembro de
1642, exatamente 11 meses após a morte de Galileu. Newton faleceu em Londres no dia 20 de
março de 1727.
Para Halliday, Resnick e Walker (2002a), Newton em suas descobertas estabeleceu três
leis, elas são as seguintes:
1.
Todo corpo permanece em seu estado de repouso ou movimento retilíneo
uniforme a não ser que seja obrigado, por uma força, a mudar de tal estado.
2.
Mudança de movimento é proporcional à força aplicada e ocorre na direção da
3.
A cada ação corresponde sempre a uma reação em sentido oposto, ou seja, as
força.
ações mutuas de dois corpos são sempre iguais, em módulo, e com sentidos opostos.
Para Halliday, Resnick e Walker(2002a), a primeira Lei de Newton, está presente
puramente pela experimentação onde é apresentado fenômeno do movimento, utilizamos um
exemplo como afirmativa
Se você fizer um disco de borracha deslizar em um piso de madeira, onde ele
realmente diminui de velocidade e depois pára. Se você quiser fazer ele se
mover no piso com velocidade constante, devemos empurrá-lo
constantemente.
Entretanto, fazendo um disco de borracha deslizar sobre o gelo de um rinque
de patinação, ele irá muito mais longe. Podemos imaginar uma superfície
longa, extremamente escorregadia (chamada de superfície sem atrito),
sobre a qual o disco dificilmente diminuiria de velocidade. (Podemos de fato
chegar perto desta situação em laboratório, fazendo um disco de borracha
deslizar sobre a mesa de ar horizontal, através da qual ele se move sobre uma
fina camada de ar.)
Concluímos destas observações, que um corpo continuará a se mover com
velocidade se nenhuma força agir sobre ele. Isso nos leva a primeira das três
leis de Newton: Se não houver forças atuando sobre um corpo, então a
velocidade do corpo não pode variar; ou seja, o corpo não pode estar
acelerado(HALLIDAY, RESNICK e WALKER 2002a, p. 72).
Em outras palavras, se o corpo estiver em repouso, ele permanece em repouso. Se ele
estiver se movendo, ele continuará se movendo com a mesma velocidade (mesmo módulo,
mesma direção e sentido).
A Primeira Lei de Newton descreve uma propriedade comum a toda matéria: a inércia.
Ela afirma um corpo em movimento descreve uma trajetória retilínea com velocidade
constante a menos que alguma influência chamada força impeça de fazê-lo. O fato de um
40
corpo se mover ou não em linha reta com velocidade constante depende não somente de
influencias externas (forças), mas também do sistema utilizado para descrever o movimento.
Uma das entidades que precisam ser definidas matematicamente é a força. Na primeira
Lei de Newton fica explicita a necessidade de sua representatividade que quando evidenciada
proporciona as relações entre as forças sobre um corpo e quantifica o estudo dos movimentos.
Quando quantificada a força a primeira Lei de Newton pode descrita como: Se não há força
resultante agindo sobre um corpo
, então a velocidade do corpo não pode se alterar;
ou seja, o corpo não pode estar acelerado.
23
A segunda Lei de Newton com base nas experiências do dia-a-dia nos diz que uma força
produz diferentes intensidades de aceleração para corpos diferentes. A segunda lei de Newton
sintetiza as definições de massa e deslocamento assim como experimentos e observações
nesse sentido onde; a força resultante sobre um corpo é igual ao produto da massa do corpo
pela aceleração do corpo. Em forma de equação temos:
(2.1)
Segundo Halliday, Resnick e Walker (2002a), esta equação é simples, mas deve ser
usada com cautela. Em primeiro lugar, devemos ter certeza sobre o corpo ao qual estamos
aplicando essa equação. Então
deve ser a soma vetorial de todas as forças que atuam
sobre esse corpo. Apenas forças que atuam sobre esse corpo devem ser incluídas na soma
vetorial, não forças que atuam sobre outros corpos que poderiam estar envolvidos na situação
dada.
Ainda para Halliday, Resnick e Walker (2002a), como outras equações vetoriais, a
equação (2.1) é equivalente a três equações de componentes, cada uma escrita para cada eixo
de um sistema de coordenadas
:
. (2.2)
Cada uma dessas equações relaciona a componente da força resultante ao longo do eixo
com a aceleração ao longo do mesmo eixo. Por exemplo, a primeira equação nos diz que a
soma de todas as componentes de força ao longo do eixo
causa a componente
aceleração do corpo na direção , mas não causa nenhuma aceleração nas direções
sua vez, a componente de aceleração
da
e . Por
é causada apenas pela soma das componentes de
força ao longo do eixo . De uma forma geral, a componente de aceleração ao logo de um
eixo é causada apenas pela soma das componentes de força ao longo de qualquer outro eixo.
2
3
A unidade de força utilizada nesta sessão é o sistema MKS.
Para uma melhor compreensão consultar Halliday, Resnick e Walker (2002a), p. 72.
41
Aqui verificamos que as teorias físicas que são expressas apenas por afirmativas, ficam
de certa forma difíceis de compreender, então de maneira clara necessitamos expressar as
coordenadas que propiciem a noção de espaço, e dessa forma a concepção física fica mais
bem expressa com o formalismo matemático.
Apresentamos aqui um exemplo para expressar melhor a representação cartesiana
bidimensional onde ficam representadas algumas propriedades vetorias. Temos então o
exercício apresentado por Halliday, Resnick e Walker (2002a), em um cabo-de-guerra
bidimensional, Alex, Betty, e Charles puxam na horizontal um pneu de automóvel, segundo
ângulos mostrados na vista superior mostrada na figura
. O pneu permanece imóvel
apesar dos três puxões. Alex com uma força
, e Charles puxa com uma
força
de módulo
Betty
?
. A direção de
de módulo
não é mostrada. Qual é o módulo da força de
Solução: como as três forças que puxam o pneu não aceleram sua aceleração é
(ou seja, as forças estão em equilíbrio). A Idéia Fundamental aqui é que podemos relacionar
essa aceleração com a força resultante
sobre o pneu por meio da segunda lei de Newton
, que pode ser escrita como
Figura 2-16: (a) Uma vista de cima de três pessoas puxando um pneu. (b) Um diagrama de corpo livre para o pneu.
Fonte: HallidayResnick e Walker (2002a) vl. 1 p.76.
ou
42
O diagrama de corpo livre para o pneu pode ser visto na figura (2-16), onde centramos por
conveniência um sistema de coordenadas no pneu e denominamos
o ângulo
.
Extraindo da figura 2-17 a parte (b), verificamos toda a construção matemática de um
fenômeno físico, com a construção bidimensional, com as relações de ângulo e operações
básicas dos vetores em que atuam como forças.
Figura 2-17: Parte (b) da figura 2-17. Um diagrama de corpo
livre para o pneu.
Fonte: Halliday, Resnick e Walker (2002a) vl. 1 p.76
Ainda em relação ao exercício, segundo Halliday, Resnick e Walker (2002a), Queremos
determinar o modulo de
de
. Apesar de conhecermos tanto o módulo como a direção e sentido
, conhecemos apenas o módulo de
e ignoramos sua direção e sentido. Portanto, com
incógnitas nos dois lados da equação (2.3), não conseguimos resolvê-la diretamente em uma
calculadora capaz de realizar operações vetoriais. Em vez disso, devemos reescrever a
equação (2.3) na direção do eixo
ou do eixo
. Como
está na direção do eixo
escolhemos esse eixo e escrevemos
Calculando estas componentes com seus ângulos usando o ângulo
para
, obtemos
que, com os dados fornecidos para os módulos, resulta em
Entretanto, não conhecemos .
Podemos achá-lo reescrevendo a equação (2.3) para o eixo
como
,
43
E daí como
Que fornece
e
Inserindo esta equação na equação (2.3), achamos
(Resposta).
Segundo Halliday, Resnick e Walker (2002a), a equação 2.1 nos diz que se a força
resultante sobre um corpo for nula, a aceleração do corpo
. Se o corpo estiver em
repouso, ele permanece em repouso; se ele estiver se movendo, ele continua a se mover com
velocidade constante. Em tais casos, quaisquer forças atuantes sobre o corpo se equilibram
entre si, e diz-se que as forças se cancelam, mas a expressão “se cancelam” pode ser mal
interpretada. Ela não significa que as forças deixam de existir (cancelar forças não é com
cancelar reservas para o jantar). As forças continuam a atuar sobre o corpo.
Os estudos que são aliados às operações vetoriais trazidas pelo estudo de uma grandeza,
representam as características físicas através da noção geométrica do sistema cartesiano, isso
nos remete aos estudos de Grassmann que são apresentadas no capítulo 1 deste trabalho.
A terceira lei de Newton fica definida pela interação entre dois corpos, segundo
Halliday, Resnick e Walker (2002a), quando dois corpos interagem, a força provocada por um
dos corpos sobre o outro é sempre igual em módulo, possui a mesma direção e sentido
contrário à força que o outro corpo exerce sobre ele.
Queremos aplicar tais definições na representação na descrição de movimentos que
necessitam da noção de espaço e Força. Baseando-se nas Leis de Newton, podemos apresentar
várias de suas aplicações e expressar a contingência vetorial em suas fórmulas.
Para Halliday, Resnick e Walker (2002a), o atrito mostra-se experimentalmente que
quando um corpo seco não lubrificado comprime uma superfície na mesma condição uma
força tenta deslizar o corpo ao longo da superfície, a força de atrito que surge possui três
propriedades:
Propriedade 1. Se o corpo não se move, então a força de atrito estático
e a componente de
que é paralela à superfície se equilibram. Elas possuem o mesmo módulo e
direção, mas com sentido contrario ao da componente de .
esta na mesma
44
Propriedade 2. O módulo de
Onde
possui um valor máximo
que é dado por
é o coeficiente de atrito estático e N é o módulo da força normal que a superfície
exerce sobre o corpo. Se o módulo da componente de
que é paralela à superfície exceder
, o corpo começa a deslizar ao longo da superfície.
Propriedade 3. Se o corpo começar a deslizar ao longo da superfície, o módulo da força de
atrito diminui rapidamente para um valor
Onde
dado por
é o coeficiente de atrito cinético. A partir daí, durante o deslizamento, uma força de
atrito cinético
com módulo dado pela equação (2.5) se opõe ao movimento.
As equações (2.5) e (2.6) não são equações vetoriais: a direção
ou
é sempre
paralela à superfície e no sentido contrario à tentativa de deslizamento, e a força normal
é
sempre perpendicular à superfície. Halliday, Resnick e Walker (2002a) faz uma comparação
onde ele descreve que:
Os coeficientes
e
são dimensionais e devem ser determinados
experimentalmente. Seus valores dependem de certas propriedades, tanto
corpo quanto superfície; por isso, eles são normalmente usados com a
preposição “entre”, como em “o valor de entre um ovo e uma frigideira
revestida de teflon é de 0,04, mas entre sapatos de rock climbing 4 e uma
rocha pode chegar a 1.2”. Supomos que o valor de
não depende da
velocidade com que o corpo desliza sobre a superfície. (HALLIDAY,
RESNICK e WALKER 2002ª, p. 99).
Tomemos como exemplo o problema trazido por Halliday, Resnick e Walker (2002a), a
figura (2-18) mostra uma moeda de massa em repouso sobre um livro, que foi inclinado de
um ângulo
aumentamos
em relação à horizontal. Experimentalmente, verifica-se que quando
até
de inclinação, a moeda fica na iminência de deslizar sobre o livro, ou
seja, mesmo um ligeiro acréscimo que faça
coeficiente de atrito estático
4
ultrapassar
entre a moeda e o livro?
Esporte que consiste em escalar superfícies rochas íngremes.
produz deslizamento. Qual é o
45
Figura 2-18:Uma moeda na eminência de
deslizar de um livro.
Fonte: Halliday, Resnick e Walker (2002a) v.
1 p.99.
Figura 2-19:Um diagrama de corpo livre para a moeda, mostrando as
três forças (desenhadas em escala) que agem sobre ela.
Fonte: Halliday, Resnick e Walker (2002a) v. 1 p.99.
Trazemos aqui outro exemplo de Halliday, Resnick e Walker (2002a) onde a força que é
o Movimento Circular Uniforme, definido quando um corpo se move em circulo (ou arco de
círculo) com velocidade constante , dez-se que ele está em movimento circular uniforme.
Lembre-se também de que o corpo possui uma aceleração centrípeta (em direção ao centro do
círculo), com intensidade constante dada por
(aceleração centrípeta),
Onde
(2.6)
é o raio do círculo.
Uma força centrípeta acelera um corpo, modificando a direção do seu vetor velocidade,
sem modificar a velocidade escalar com que o corpo se move.
46
Da segunda lei de Newton e da equação (2.6), podemos escrever a intensidade
de uma
força centrípeta (ou de uma força centrípeta resultante) como:
(módulo da força centrípeta). (2.7)
Figura 2-20: Uma vista de cima de um disco de hóquei de massa m se movendo com velocidade
constante em uma trajetória circular de raio sobre uma superfície horizontal lisa. A força
centrípeta sobre o disco é , a tração da corda, dirigida para dentro do circulo ao longo do eixo
radial que se estende passando pelo disco.
Fonte: Halliday, Resnick e Walker (2002a) v.1 p.102.
Como a velocidade escalar
neste caso é constante, os módulos da aceleração e da força
também são.
Entretanto, as direções da aceleração e da força centrípeta não são constantes; elas
variam continuamente de forma a sempre apontar para o centro do círculo. Por esta razão, os
vetores força e aceleração são, às vezes, desenhados ao longo de um eixo radial
que se move
com o corpo e sempre se estende do centro do circulo para o corpo, como na figura (2-20). A
direção do eixo é radial e o sentido positivo é para fora, mas os vetores força e aceleração
apontam para dentro na direção radial.
Das leis de Newton ainda temos a Energia Cinética e o Trabalho, que são estabelecidas
por Halliday, Resnick e Walker (2002a) da seguinte forma:
A Energia Cinética
é a energia associada ao estado de movimento de um objeto.
Quanto mais rapidamente um objeto estiver se movendo, maior será a sua energia cinética.
Quando o objeto está em repouso, sua energia cinética é nula.
Para um objeto de massa
cuja velocidade
definimos sua energia cinética como
(energia cinética).
(2.8)
é bem inferior à velocidade da luz,
47
O trabalho fica definido a partir da energia cinética, pois segundo Halliday (2002), se
você acelera um objeto aplicando ao objeto uma força, você aumenta a sua velocidade e,
portanto, a sua energia cinética
. De forma análoga, se você desacelera o objeto
aplicando uma força, você reduz a sua velocidade e sua energia cinética. Levamos em conta
estas variações de energia cinética dizendo que a sua força transferiu energia de você para o
objeto ou do objeto para você.
Em tal transferência de energia por meio de uma força, diz-se que a força realiza
trabalho
sobre o objeto. De uma maneira mais formal, definimos da seguinte forma: O
trabalho
é a energia transferida para ou de um objeto por meio de uma força atuando no
objeto. A energia transferida para o objeto é um trabalho positivo, e a energia retirada do
objeto é um trabalho negativo.
Aqui percebemos que tanto o Trabalho quanto a Energia Cinética são grandezas
escalares e a determinação de uma expressão para o trabalho pode ser dada por uma conta5
que pode deslizar ao longo de um fio sem atrito, que é esticado ao longo de um eixo
horizontal
figura (2.4). Uma força
Figura 2-21: Uma força constante fazendo um ângulo com o deslocamento de uma conta e um
fio acelera a conta ao longo do fio, alterando a velocidade da conta de
para . Um “medidor de
energia cinética” indica a variação resultante da energia cinética da conta, do valor
para .
Fonte: Halliday, Resnick e Walker (2002a) v. 1 p.115.
Constante , fazendo um ângulo
com a direção do fio, acelera a conta ao longo do fio.
Podemos relacionar a força com a aceleração usando a segunda lei de Newton, escrita para as
componentes ao longo do eixo :
.
5
Pequena esfera com orifício por onde passa fio.
48
2.2.2. Na Ondulatória
Também podemos encontrar aplicações vetoriais nos estudos de Ondas e Partículas,
ressaltando as características da mecânica newtoniana nessas aplicações. Existem três tipos de
ondas que são: Ondas mecânicas, Ondas eletromagnéticas e ondas materiais. Trazemos nesta
sessão suas principais características e as aplicações vetoriais.
Segundo Halliday, Resnick e Walker (2002b), ondas mecânicas são as mais familiares
porque as encontramos praticamente o tempo todo; exemplos comuns incluem as ondas na
água, as ondas sonoras e as ondas sísmicas. Todas estas ondas possuem certas características
centrais: elas são governadas pelas leis de Newton e pode existir apenas dentro de um meio
material, como a água, o ar e as rochas.
Uma maneira de estudar as ondas é monitorar as formas de onda (formato das ondas)
quando elas se movem para a direita. Outra possibilidade é monitorar o movimento de um
elemento que oscila para cima e para baixo enquanto uma onda passa por ele. Concluiríamos
que o deslocamento de todos estes elementos de onda que estão oscilando é perpendicular a
direção de propagação da onda. Diz-se que este movimento é transversal e que a onda é uma
onda transversal figura (2.5).
Figura 2-22: Onda senoidal.
Fonte: Halliday, Resnick e Walker (2002b) v. 2. p. 95.
Com base em Halyday, Resnick e Walker (2002b),para descrevermos completamente
uma onda, precisamos de uma função que nos dê a forma da onda. Isto significa que
precisamos de uma relação da forma
qualquer elemento de corda como uma função
, na qual
é o deslocamento transversal de
do tempo e da posição
do elemento ao
49
longo da sua trajetória senoidal. Em geral, uma forma senoidal semelhante a onda pode ser
descrita sendo
uma função seno ou uma função cosseno; ambas fornecem a mesmo forma
geral para onda. Usaremos a função seno para nossas representações.
Imagine uma onda senoidal como o da figura (2-22) se propagando no sentido positivo
de um eixo . Quando a onda passa por elementos sucessivos (isto é, seções muito curtas) da
linha, os elementos oscilam paralelamente ao eixo . No instante do tempo , o deslocamento
localizado na posição
é dado por
(2.9)
Como esta equação é escrita em termo da posição
, ela pode ser usada para
encontrarmos os deslocamentos de todos os elementos da linha em função do tempo.
Portanto, ela pode nos dizer o formato da onda em qualquer tempo dado e como esse formato
varia quando a onda se move ao longo da corda. Os nomes das grandezas na equação 2.9 são
exibidos na figura (2-23) e definimos a seguir.
Figura 2-23: Os nomes das grandezas da equação (2.9), para uma onda senoidal
transversal.
Fonte: Halliday, Resnick e Walker (2002b) v. 1. p. 95.
A amplitude
de uma onda é a intensidade do deslocamento máximo dos elementos a
partir das suas posições de equilíbrio quando a onda passa por eles. (O índice
máximo.) como
significa
é uma intensidade, ela é sempre uma grandeza positiva, mesmo se ela for
medida para baixo, em vez de ser medida para cima.
Para Halliday, Resnick e Walker (2002b), a fase da onda é o argumento
da
função seno na equação (2.9) quando a onda passa por um elemento de linha em uma posição
50
particular , a fase varia linearmente com o tempo . Isto significa que o seno também varia,
oscilanto entre
e
. Seu valor positivo extremo
movendo através do elemento; então, o valor de
extremo
posição
corresponde a um pico da onda se
na posição
é–
. Seu valor negativo
corresponde a um vale se movendo através do elemento; então, o valor de
é–
na
. Desse modo, a função seno e a fase de uma onda dependente do tempo
correspondem à oscilação de um elemento de corda, e a amplitude da onda determina os
extremos do deslocamento do elemento.
O comprimento de onda
de uma onda é a distância (paralela à direção de propagação
da onda) entre repetições da forma da onda. Um comprimento de onda típico está marcado na
figura 2.6, que é um instantâneo da onda no instante
. Naquele instante, a equação 2.9
fornece, para a descrição da forma da onda,
Figura 2-24:“Instantâneo” de uma onda em uma corda se propagando no sentido
positivo de um eixo . A amplitude
está associada. Um comprimento , medido
a partir de uma posição arbitrária .
Fonte: Halliday, Resnick e Walker (2002b) v. 2. p. 95.
Por definição, o deslocamento
de onda – isto é, em
é o mesmo nas duas extremidades deste comprimento
e em
, assim pela equação 2.9
.
(2.10)
Uma função seno começa a se repetir quando o seu ângulo (ou argumento) é aumentado
de
rad, portanto na equação 2.10 devemos ter
(numero de onda angular).
(2.11)
, ou
51
Chamamos de
de número de onda angular da onda; sua unidade no SI é o radiano por
metro.
Halliday, Resnick e Walker (2002b), afirma que estabelecidas as propriedades de uma
onda podemos representá-la vetorialmente com um fasor. Que essencialmente é um vetor
possuindo intensidade igual a amplitude da onda e que gira ao redor de uma origem; a
velocidade angular do fasor é igual à freqüência angular
da onda. Por exemplo, a onda
. (2.12)
é representada pelo fasor mostrado na figura 2.7. A intensidade do fasor é a amplitude
onda. Quando o fasor gira ao redor da origem a uma velocidade angular
sobre o eixo vertical varia senoidalmente, de um máximo de
mínimo de –
deslocamento
e então de volta
da
, sua projeção
passando por zero até o
. Esta variação corresponde à variação senoidal no
de qualquer ponto ao longo da corda quando a onda passa por ele.
Figura 2-25: um fasor de intensidade
girando em torno de uma origem a uma
velocidade angular representa uma onda senoidal. A projeção
do fasor sobre o eixo
vertical representa o deslocamento de um ponto pelo qual passa a onda.
FonteHalliday, Resnick e Walker (2002b) vl. 2. p.105 .
Ainda para Halliday, Resnick e Walker (2002b), quando duas ondas se propagam ao
logo da mesma corda no mesmo sentido, podemos representá-las e a sua onda resulta em um
diagrama fasorial. Os fasores da figura 2-25 representam a onda da equação (2.12) e uma
segunda onda dada por
. (2.13)
Esta segunda onda esta defasada da primeira onda por uma constante de fase . Se
for uma grandeza positiva, o fasor para a onda 2 estará atrasado em relação ao fasor para a
onda 1 quando eles giram, como desenhado na figura (2-26). Se
o fasor para a onda 1.
for uma grandeza negativa,
52
Como as ondas
frequência angular
e
possuem o mesmo número de onda angular
e a mesma
, sabemos da interferência de onda a equação (2.14)
(2.14)
que a sua resultante é da forma
(2.15)
onde
é a amplitude da onda resultante de
valores de
é a sua constante de fase. Para encontrarmos os
e , teríamos que somar as suas duas ondas que estão se combinando.
Para fazermos isto em um diagrama fasorial, somamos vetorialmente os dois fasores em
qualquer instante durante a sua rotação, como na Figura (2-26)b, onde o fasor
deslocado para a ponta do fasor
foi
. A intensidade da soma vetorial é igual à amplitude
na equação (2.15). O ângulo entre o vetor soma e o fasor para
é igual à constante de fase
na equação (2.15).
Figura 2-26: (a) Um segundo fasor com velocidade angular , mas com intensidade
e girando a um ângulo
constante do primeiro fasor, representa uma segunda onda, como uma constante de fase . (b) A onda resultante
das duas ondas é representada pela soma vetorial
dos dois fasores. A projeção sobre o eixo vertical representa o
deslocamento de um ponto quando essa onda resultante por ele.
Fonte: Halliday, Resnick e Walker (2002b) v. 2. p.105.
Nesta seção verificamos a relação vetorial para combinarmos ondas mesmo que suas
amplitudes sejam diferentes, dessa forma fica explicito o uso dos estudos vetoriais na
construção dos conceitos e suas representatividades relacionando toda a parte angular e
projeção de um vetor.
53
2.2.3. Na Eletricidade
Segundo Silva (2002), atualmente os físicos utilizam dois sistemas dimensionais para
tratar a teoria eletromagnética: o sistema eletrostático e o sistema eletromagnético. Os físicos
também estão acostumados com a idéia de que a escolha entre os sistemas é arbitraria e se
relaciona apenas com as unidades nas quais as grandezas são expressas.
Apresentamos aqui alguns estudos feitos por Maxwell que são trazidospor Silva (2002),
onde ficam expressas noções particulares das representações vetoriais na eletricidade.
Para Silva (2002), as intensidades eletromotrizes e magnéticas pertencem à classe de
grandezas definidas em relação a uma linha, por isso Maxwell se refere a elas como
Intensidades. A indução elétrica e magnética e as correntes elétricas pertencem à classe dos
fluxos e são definidas em termos de áreas. Cada uma das intensidades produz um respectivo
fluxo:
Assim, a intensidade eletromotriz produz corrente elétrica em condutores e tende a
produzi-la em dielétricos. [...] Da mesma forma, a intensidade magnética produz indução
magnética.
De acordo com Silva (2002) Maxwell identificou certas relações de fluxo-intensidade
relevantes para a teoria eletromagnética. Por exemplo: em um dielétrico, o deslocamento
elétrico
é um fluxo produzido pela intensidade elétrica E. O deslocamento elétrico é
definido como a quantidade de eletricidade que atravessa uma a área perpendicular a
eé
dada pela expressão
Embora essa expressão seja idêntica à usada atualmente, seu significado é bastante
diferente, Maxwell interpretou
como um fluxo de cargas provocado pelo campo elétrico
e
não como um campo do mesmo tipo que , multiplicado por uma constante.
Essa distinção entre vetores do tipo intensidades e fluxos, só faz sentido dentro do
espírito da teoria de Maxwell que associa as grandezas eletromagnéticas com grandezas
mecânicas de um éter em movimento e que, portanto, poderiam estar associadas a
deslocamentos, velocidades e fluxos.
Em seguida Maxwell introduz uma segunda distinção, entre vetores com propriedades
longitudinais e propriedades rotacionais. Essa distinção continua sendo utilizada atualmente
(no entanto, com um sentido mais abstrato). Hoje em dia nos referimos às “propriedades de
54
simetria” dos vetores e não associamos os vetores a translações e rotações de nenhum meio
físico.
Maxwell comentou que esta segunda divisão entre as grandezas vetoriais “embora
muito importante de um ponto de vista físico, não é necessariamente observada considerandose métodos matemáticos”.
Ainda para Silva (2002), como exemplo disso, temos a lei circuital de Ampère escrita na
forma diferencial discutida por Maxwell na parte IV do artigo “Physical Lines”. A expressão
matemática relaciona a corrente com campo magnético:
densidade da corrente elétrica,
são as componentes do vetor
são as componentes cartesianas do vetor intensidade do
campo magnético:
, etc.
Para ilustrar o profundo significado dessas equações, Maxwell listou uma série de
exemplos mecânicos para os quais essas equações poderiam ser aplicadas:
1) Se
representam deslocamentos lineares ou mudanças de posição, então
representam deslocamentos rotatórios ou mudança de posição angular.
2) Se
representam velocidades lineares, então
representam velocidades
angulares.
3) Se
representam forças então
De uma maneira geral, se
representam um torque ou torção.
representam quantidades lineares, então
representam quantidades rotatórias. Essas equações representam um tipo de relação entre
fenômenos de caráter rotatório com fenômenos de caráter linear e vice-versa.
Com base em Halliday, Resnick e Walker (2003),podemos determinar os conceitos
matemáticos na eletricidade pela lei de Coulomb que traz a força eletrostática de atração ou
repulsão entre as partículas como a fórmula
(lei de Coulomb), (2.16)
que são duas partículas carregadas com intensidades de cargas
e
separadas por uma
distancia . A força eletrostática entre elas fica definida pela equação (2.16) onde
é uma
constante.
Essa determinação necessita de estabelecer um sistema referencial com um estudo
vetorial que é a Força e dessa forma estabelecer propriedades matemáticas.
Temos os campos elétricos determinados por
(campo elétrico), (2.17)
55
as forças reagem de acordo com a carga elétrica, são determinadas as linhas de campo que
proporciona a visualização de padrões em campos elétricos. Linhas de campo elétrico se
estendem para fora de uma carga positiva (de onde elas se originam) e em direção a uma
carga negativa (onde elas terminam).
Trazemos dessa forma por Halliday, Resnick e Walker (2003), uma ilustração dos
vetores de campo elétrico em vários pontos ao redor de uma carga pontual positiva.
Figura 2-27: Os vetores de campo elétrico em vários pontos ao redor de uma carga
pontual positiva.
Fonte: Halliday, Resnick e Walker (2003) v. 3 p. 19.
(carga pontual) (2.18)
A direção e sentido de
são os mesmo que os da força sobre a carga de teste positiva:
na direção que une as cargas e se afastando da carga pontual se
ela se
for positiva, e voltada para
for negativa.
Como não há nada especial em relação ao ponto que escolhemos para
, a equação
(2.18) fornece o campo em todos os pontos o redor da carga pontual . O campo para uma
carga pontual positiva é mostrado na figura (2-27) na forma vetorial (não com linhas de
campo).
Podemos determinar rapidamente o campo elétrico resultante devido a mais do que uma
carga pontual. Se colocarmos uma carga teste positiva
próximo a
cargas pontuais
, então, da equação (2.19)
, (2.19)
a força resultante
das
cargas pontuais que agem sobre a carga de teste será
56
.
Portanto, da equação (2.17), o campo elétrico resultante na posição da carga teste é
. (2.20)
Nesta equação,
é o campo elétrico que seria estabelecido pela carga pontual
atuando
sozinha. A equação (2.20) nos mostra que o principio da superposição se aplica tanto a
campos elétricos quanto forças eletrostáticas.
Para melhor relacionarmos os estudos matemáticos com estudos físicos trazemos aqui
um problema que, segundo Halliday, Resnick e Walker (2003), apresenta três partículas com
cargas
e
Qual o campo elétrico resultante
, cada uma delas a uma distancia
da origem.
produzido na origem?
Figura 2 - 28:
Três partículas com cargas
e
estão à mesma distância da origem.
Os
vetores campo elétrico
e
na origem devidos ás três partículas.
O vetor campo elétrico
e a soma vetorial
na origem.
Fonte: Halliday, Resnick e Walker (2003) v.3 p.19.
A idéia fundamental neste problema é que as cargas
campo elétrico
e
e
produzem vetores de
, respectivamente, na origem, e que o campo elétrico resultante é a
57
soma vetorial
. Para encontrarmos esta soma, devemos determinar primeiro
as intensidades e orientações dos três vetores de campo. Para determinarmos a intensidade de
, causada por
, usamos a equação (2.18), substituindo
por
e
por
, obtendo
.
Analogamente, concluímos que os módulos dos campos
e
são
e
.
Em seguida devemos determinar as orientações dos três vetores de campo elétrico na
origem. Como
é uma carga positiva, o vetor de campo que ela produz se afasta dela na
direção que as une à origem, e como
e
são ambas negativas, os vetores de campo que
elas produzem apontam para cada uma delas na direção que as une à origem. Assim, os três
campos elétricos produzidos na origem pelas três partículas carregadas estão orientados como
na figura (2-28 b).6
Podemos agora somar os campos vetorialmente. Neste caso, entretanto, podemos usar
simetria para simplificarmos o procedimento. Da figura (2-28 b), vemos que
e
possuem a
mesma direção e o mesmo sentido. Consequentemente, seu vetor soma possui essa direção,
esse sentido e uma intensidade
que neste caso é igual à intensidade do campo
Devemos agora combinar dois vetores,
.
e o vetor soma
, que possuem a
mesma intensidade e que estão orientados simetricamente em relação ao eixo
, como
mostrado na figura (2-28 (c)). Da simetria da figura (2-28(c)), percebemos que as
componentes
de mesma intensidade dos nossos dois vetores se cancelam e que as
componentes , também de mesma intensidade, se somam. Assim, o campo elétrico resultante
na origem esta no sentido positivo da direção do eixo e
e possui intensidade
.
Com isso verificamos que essas grandezas podem ser expressas em um sistema que
utiliza uma combinação de vetores para formalizá-las e representar matematicamente os
estudos físicos, apreciando assim essa necessidade matemática e suas propriedades.
6
Podemos observar que são colocadas as extremidades posteriores dos vetores no ponto onde os campos elétricos
estão sendo computados; ao fazer isso, diminui a chance de errarmos.
58
Segundo Silva (2002), os conceitos de eletromagnetismo foram trazidos, por Maxwell, a
partir de distinções das grandezas físicas por meio de diferentes grandezas matemáticas que as
representam. A primeira divisão utilizada por Maxwell é a distinção entre grandezas escalares
e vetoriais feita por Willian Hamilton.
Ainda para Silva (2002), além de vetores Maxwell distingue outra grandeza relacionada
com direções espaciais que, em linguagem moderna, são os tensores. 7 Maxwell, introduz
distinções entre grandezas vetoriais. Uma delas diferencia os vetores referentes à linha e os
vetores referentes a áreas.
Maxwell concluiu que o fenômeno magnético deve ser do tipo rotatório e a força
elétrica deve ser do tipo longitudinal a partir de vários argumentos.
Quatro tipos de evidência contribuíram para Maxwell concluir que o magnetismo é
rotatório:
1) os efeitos lineares da corrente como eletrólise;
2) falta de efeitos rotatórios da corrente elétrica;
3) falta de efeitos lineares no magnetismo;
4) efeitos rotatórios no magnetismo, com a rotação do plano e polarização da luz.
Ainda segundo silva (2002), para Maxwell a natureza do campo eletromagnético
deveria ser mecânica e as equações que descrevem as relações eletromagnéticas seriam as
expressões de condições mecânicas. No entanto, a estrutura das equações do
eletromagnetismo relaciona a força elétrica e a magnética através de formulas que só podem
ser válidas se representarem a relação entre quantidade linear (seja força ou deslocamento)
com uma quantidade rotacional (seja torque ou rotação). Dessa forma, não importa se é o
magnetismo ou a eletricidade que possui caráter linear ou rotacional, mas sim que sejam
diferentes entre si.
Silva (2002) nos traz que Langevin discute que o produto escalar entre dois vetores do
mesmo tipo é um escalar e o produto entre vetores de tipos diferentes é um pseudo-escalar.
Além disso, o produto vetorial entre vetores do mesmo tipo é um vetor axial, ao passo que o
produto vetorial entre dois vetores entre dois vetores de tipos diferentes é um vetor polar.
Ainda para silva (2002), o operador
pode ser usado na forma de produto vetorial
(rotacional) ou produto escalar ou produto escalar (divergente ou gradiente). O rotacional de
um campo vetorial polar é um vetor axial e o rotacional de um campo vetorial axial é um
7
Em nossos estudos apresentamos estudos voltados aos tipos de vetores mais comuns. Para melhor compreensão
sobre tensores consultar Silva (2002) p. 120.
59
vetor polar. No caso de divergente, o divergente de um campo vetorial polar é uma grandeza
escalar e o divergente de um campo vetorial axial é uma grandeza pseudo-escalar.
Para termos uma noção prática dessa representatividade,trazemos os estudos de
Potencial Retardado apresentado por Butkov (1988), onde fica deduzida a solução geral da
equação de D‟Alembert.
, em que a função
é dada, e a solução se estende por todo o
espaço. Esta equação representa ondas geradas por fontes distribuídas por todo o volume e
não é provável que ocorra acústica, onde as ondas sonoras são geralmente produzidas por
superfícies vibrantes. No entanto tem grandes aplicações na teoria do eletromagnetismo
devido às seguintes razões: em um meio não polarizável e não magnetizável, o campo elétrico
e o campo de indução magnético
devem satisfazer as equações de Maxwell. Em unidades
MKASA, onde a densidade de carga
e a densidade de corrente
são, em geral,
dependentes do espaço e do tempo, estas equações são
1)
, 2)
, 3)
,4)
Um dos métodos de resolver este sistema de equações é introduzindo o chamado
potencial escalar
e o potencial vetorial
,
por meio de
.
Esta escolha satisfaz automaticamente as segundas e terceiras equações de Maxwell.
Além disso, é conveniente exigir que
e
satisfaçam a chamada condição de Lorentz
.
Substituindo estas relações nas duas equações restantes de Maxwell, podemos verificar
que
e
devem satisfazer
,
e
.
A primeira destas equações é a equação de D‟Alembert. A segunda se reduz a três
equações de D‟ Alembert, se
for escrito em suas componentes cartesianas. Então
, e temos
60
Nosso problema magnético é, portanto, redutível a resolver a equação de D‟ Alambert.
Como no caso unidimensional, é conveniente achar a função de Green que satisfaz
,
onde fica convencionado que
é uma função das variáveis
; e por definição
e dos parâmetros
.
O trabalho envolvido nesta dedução pode ser reduzido pelo uso da notação vetorial e
certas mudanças de variáveis. Em primeiro lugar, introduza as novas variáveis
,
,
,
, e observe que, com estas novas
variáveis, a EDP para G é
Segue que
deve, em verdade, ser uma função escalar e do vetor
; isto é, deve depender somente das diferenças
Podemos escrever
e
.
.
Com isso podemos ter uma noção do quão os estudos eletromagnéticos são
aprofundados, tanto na área da física quanto da matemática, trazendo a tona toda a
importância dos estudos vetoriais e a relevância que se tem para uma matemática mais formal
e mais aplicada.
61
3. CONSIDERAÇÕES FINAIS
No intuito de desenvolver um estudo sobre vetores e o uso desse como estruturante para
os conceitos físicos, esse trabalho encaminhou-se para um desafio grandioso. Desafio esse
que nos motivou a produzi-lo em um estudo que abrange diversas áreas da matemática e da
física.Encontramos muitas dificuldades em construir o Referencial Bibliográfico, pois, a
maioria dos textos em que poderíamos ter acesso direto a informações sobre a construção dos
estudos vetoriais, são editados em língua estrangeira ocasionando grandes dificuldades em
utilizá-los.
Mesmo assim pudemos apresentar a relação entre os sistemas referenciais, trazidos no
capitulo 1, e os estudos da Mecânica de Newton do capitulo 2, que estão expressos por
vetores que trazem em suas componentes, que com noções geométricas básicas, foram
desenvolvidas e formalizadas com as noções algébricas e os estudos trazidas por Hamilton.
Isso possibilitou o desenvolvimento científico com maior fundamento matemático e as
grandezas puderam melhor ser representadas. Os vetores que se apresentaram com
propriedades suficientes, permitiram assim ser inseridos nos conceitos de ondas mecânicas, de
forma a expressar desde as representações mais comuns as operações abstratas e números
complexos. Dessa forma conseguimos verificar que por consequência os estudos físicos
trazidos por Maxwell possibilitaram os desenvolvimentos de métodos utilizados até os dias de
hoje e que abrangem desde as propriedades mais básicas até os estudos mais desenvolvidos,
de forma a facilitar a compreensão dos estudos físicos e construir métodos de resoluções de
problemas que estão presentes em estudos mais avançados.
Entretanto podemos afirmar que esse trabalho foi de grande relevância, pois, os estudos
de vetores trouxeram uma maior compreensão do quê e para quê, se utilizam as ferramentas
matemáticas. Sendo esse nosso intuito, procuramos ressaltar a necessidade e a importância
cientifica desse estudo. E dessa forma a parte histórica nos revela, o quão dificultoso foi para
os intelectuais de cada época realizar seus estudos, tanto físicos quanto matemáticos, e
desenvolver métodos de fácil compreensão para que posteriormente pudessem ser utilizados.
Acreditamos que conseguimos apresentar nesse trabalho partes importantes da história e
uma boa relação entre estudos vetoriais e os estudos pertinentes a física, assim como
representações matemáticas cruciais para essa compreensão.
Percebemos que nossos
conhecimentos, de certa forma, se fortaleceram podendo assim, com mais segurança,
representar tais estudos sabendo “de onde vem e para onde vão”, com a cautela e respeito ao
62
formalismo necessário para suas representações. São essas representações que fisicamente são
chamadas grandezas (escalares e vetoriais), que por suas distinções, foram estabelecidas a
partir de fenômenos físicos formulados matematicamente, que nos possibilitam estudar tanto a
parte matemática quanto física em um conceito mais fortalecido.
63
REFERÊNCIAS
BOYER, Carl B. História da Matemática. Tradução Elza F. Gomide - 2 ed.; São Paulo:
Edgard Blücher, 2003.
BRANDEMBERG, Joao Claudio. Algumas contribuições do trabalho de Euler para o
desenvolvimento da Matemática. REMATEC: Revista de Matemática, Ensino e Cultura –Ano
1 n. 2 (Jan/Jun. 2007). – Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Natal, RN: EDURFN
editora
da
UFRN,
2007.45p.
Mensagem
disponível
em:<http://www.rematec.net.br/arquivos/revista_rematec_02.pdf>. Acesso em 04 jun. 2013.
BUTKOV, Eugene. Física Matemática. Tradução João Bosco Fernandes de Carvalho;
Revisão técnica Livros Técnicos e Científicos, Editora S.A. Rio de Janeiro. 1988. 725p.
PIETROCOLA, Maurício. A Matemática Como Estruturante do Conhecimento
Físico. Caderno Catarinense de Ensino de Física, Florianópolis, v.19, n.1 p. 88-108, ago.
2002. Disponível emhttp://moodle.stoa.usp.br/file.php/408/6-A_matematica.pdfAcesso em
03/10/2013.
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl.Fundamentos da Física:
Eletromagnetismo. Tradução de André Soares de Azevedo; Revisão Técnica de Livros
Técnicos e Científicos Editora S.A. Rio de Janeiro. 2003. 227 p.
_______________Fundamentos de Física: Mecânica. Tradução de André Soares de Azevedo;
Revisão Técnica de Livros Técnicos e Científicos Editora S.A. Rio de Janeiro. 2002a. 277 p.
_______________Fundamentos da Física: Gravitação, Ondas e Termodinâmica. Tradução de
André Soares de Azevedo; Revisão Técnica de Livros Técnicos e Científicos Editora S.A. Rio
de Janeiro. 2002b. 281 p.
SÁNCHEZ, Emil. Tensores. Rio de Janeiro: Interciência, 2007. 293 p.
SILVA, Cibele Celestino. Da Força ao Tensor: Evolução do conceito físico e da representação
matemática do campo eletromagnético. 2002. 250 f. Tese (Doutorado em Ciências) – Instituto
de
Física
Gleb
Wataghin,
UNICAMP,
Campinas.
Disponível
em:<http://webbif.ifi.unicamp.br/tesesOnline/teses/IF487.pdf>. Acesso em 22 maio. 2013.
STEWART, James. Cálculo volume 2. Tradução Antonio Carlos Moretti, Antonio Carlos
Martins – 5 ed.; Thompson Learning. São Paulo. 2006.