matemática

PUERI DOMUS
ENSINO MÉDIO
MATEMÁTICA
Saber fazer
saber fazer +
MÓDULO
10
Saber fazer
7. (Unisa-SP) A equação da reta que passa pelo ponto
Geometria analítica
1. Determine as coordenadas dos pontos da figura.
A(– 3, 4) e cujo coeficiente angular é
a) x + 2y + 11 = 0
b)x – y + 11 = 0
c) 2x – y + 10 = 0
d)x – 2y + 11 = 0
e) 2x – y – 10 = 0
1
é:
2
8. (UEPA-PA) O comandante de um barco resolveu acom-
2. Sendo A (2, 2), B (4, 6) e C (7, 3) vértices de um triân-
gulo, determine qual dos ângulos internos desse
triângulo tem a menor medida.
3. (UFMA-MA) Determine todos os pontos P(x, y) equidistantes dos eixos coordenados cuja distância ao
ponto (0, 0) é 4.
4. Determine o ponto P da reta de equação y = x + 2 que
dista
3 2
de A (4, 0).
5. Determine os coeficientes angulares das retas r e s
da figura.
y
s
150°
panhar a procissão fluvial do Círio, fazendo o percurso
em linha reta. Para tanto, fez uso do sistema de eixos
cartesianos para melhor orientação. O barco seguiu a
direção que forma 45° com o sentido positivo do eixo
x, passando pelo ponto de coordenadas (3, 5). Este
trajeto ficou bem definido através da equação:
a) y = 2 x – 1
b)y = – 3x + 14
c) y = x + 2
d)y = – x + 8
e) y = 3x – 4
9. (Unifor-CE) Se B (0, 3) e C (2, 1), então a equação da
reta
é:
a) 2x + y + 3 = 0
b)2x + y – 3 = 0
c) x – y + 3 = 0
d)x + y – 3 = 0
e) x – 2y – 3 = 0
10.A equação da reta r paralela à reta determinada pelos
pontos P (3, 0) e Q (–2, 3), passando pela origem é:
a) y = – x
75°
x
r
6. (PUC-MG) No sistema cartesiano da figura, a reta r
divide o triângulo maior em dois triângulos menores
de mesma área. Então, o valor do coeficiente angular
de r é:
y=
2x
3
c)
y=
x
3
d)
y=−
x
3
y=−
3x
5
b)
e)
11.(Ufop-MG) Em um sistema de coordenadas cartesia-
nas, localizam-se o ponto P(3, 4) e a reta r de equação
x + y – 3 = 0. Seja Q o ponto de r cuja abscissa é o
dobro da ordenada.
a) 0,50
b)0,75
c) 1,00
d)1,25
3
MÓDULO 10
A distância de P até Q é:
a) 10
18.Calcule k para que a reta 3x + 4y + k = 0 esteja locali-
b)
19.(UFRGS-RS) Um círculo contido no 1o quadrante tan-
10
gencia o eixo das ordenadas e a reta de equa-
c) 4
d) 2
zada a três unidades do ponto P (5, 2).
ção
2
12. Determine o coeficiente angular da reta r com equações
paramétricas
 x = 3t − 1
.

 y = 2t − 5
13.(UFRGS-RS) Um ponto P (x, y) descreve uma trajetória
no plano cartesiano, tendo sua posição a cada instante t (t > 0) dada pelas equações:
 x = 2t

 y = 3t − 2
. O centro desse círculo pertence à reta
de equação:
a) x – y = 0
b)2x – y = 0
c) 2x + y = 0
d)3x – 2y = 0
e) x – 2y = 0
20. (PUCCamp-SP) São dadas a reta r, de equação
,
A distância percorrida pelo ponto P (x, y), para
0 ≤ t ≤ 3, é:
a) 2
e a circunferência l, de equação x + y – 4x = 0. O
centro de l e as intersecções de r e l determinam
um triângulo cuja área é:
a)
b)3
b)3
c)
c)
d) 3
e)
13
2
2
d)6
13
e)
61
14.(UERGS-RS) As retas s: x + ay = 3 e t: 4x – 2y + 5 = 0
são paralelas, então o valor de a é:
a) 2
b)1,5
c) 0,5
d)– 0,2
e) – 0,5
21.(Fuvest-SP) A reta y = mx (m > 0) é tangente à circun-
ferência (x – 4)2 + y2 = 4. O seno do ângulo que a reta
forma com o eixo x é igual a:
15.(Unifor-CE) As retas de equações
e
são perpendiculares entre si. É verdade que k é igual a:
22.Sendo A (1, 0) e B (5, 0), determine o ponto P de
máxima ordenada que enxerga AB sob ângulo reto.
23.(ESPM-MG) O triângulo retângulo ABC está, inicialmente, na posição representada na figura abaixo.
y
A
16.Para quais valores de k a reta (r) x + 2y + 3 = 0 intercepta o segmento
AB , sendo A (1, 1) e B (3, k)?
4
17.Determine a equação reduzida da circunferência de
centro da figura:
B
3
C
A’
x
Após sofrer uma rotação em torno do vértice C, de
modo que o vértice A passe para a posição A`, as
novas coordenadas do vértice B serão:
a) (4,8; 2,0)
d) (4,8; 2,4)
b)(5,0; 2,0)
e) (4,2; 2,5)
c) (5,0; 2,4)
4
Matemática
24.(PUC-SP) Sendo a > 0 e b < 0, o ponto P(– a, a – b)
pertence:
a) ao 1o quadrante.
b)ao 2o quadrante.
c) ao 3o quadrante.
d)ao 4o quadrante.
e) ao eixo x.
31.ABCDEF é um hexágono regular. Determine o coeficiente angular das retas suportes dos lados desse
polígono.
25.Sendo A (– 2, 5) e B o ponto simétrico de A em relação
à bissetriz dos quadrantes pares, determine o ponto
C simétrico de B em relação ao eixo das ordenadas.
26.(Vunesp-SP) O triângulo PQR, no plano cartesiano,
de vértices P = (0, 0), Q = (6, 0) e R = (3, 5), é:
a) equilátero.
b)isósceles, mas não equilátero.
c) escaleno.
d)retângulo.
e) obtusângulo.
32.(Ufla-MG) Seja uma reta r1, que no plano cartesiano
passa pelos pontos correspondentes aos pares ordenados (3, 2) e (5, 4). Seja ainda outra reta r2, que
forma um ângulo com r1 igual a 120°, conforme ilustrado abaixo. Calcule o ângulo a que r2 forma com o
eixo das abscissas.
27.(UFRJ-RJ) Sejam M1 = (1, 2), M2 = (3, 4) e M3 = (1, –1)
os pontos médios dos lados de um triângulo, determine as coordenadas dos vértices desse triângulo.
R1
R2
4
28.(PUC-RS) Determine o ponto do eixo das ordenadas
120°
que forma com A (1, 0) e B (5, 0) um triângulo de área
igual a 16.
2
29.(Uerj-RJ) No sistema de coordenadas cartesianas a
seguir, está representado o triângulo ABC.
α
3
5
33.(Unicamp-SP) Os pontos A, B, C e D pertencem ao
gráfico da função y = 1/x, x > 0. As abscissas de A, B
e C são iguais a 2, 3 e 4, respectivamente, e o segmento AB é paralelo ao segmento CD.
a) Encontre as coordenadas do ponto D.
b)Mostre que a reta que passa pelos pontos médios
dos segmentos AB e CD passa também pela
origem.
34.(UFPE-PE) A equação cartesiana da reta que passa
Em relação a esse triângulo:
a) demonstre que ele é retângulo;
b)calcule a sua área.
30.(Mack-SP) Se os pontos (2, – 3), (4, 3) e (5, k/2) estão
numa mesma reta, então k é igual a:
a) –12
b)– 6
c) 6
d)12
e) 18
pelo ponto (1, 1) e faz com o semieixo positivo ox um
ângulo de 60o é:
a)
b)
c)
d)
e)
35.(Uerj-RJ) A promoção de uma mercadoria em um
supermercado está representada, no gráfico a seguir,
por 6 pontos de uma mesma reta.
5
MÓDULO 10
39.(UERJ-RJ)
Quem comprar 20 unidades dessa mercadoria, na
promoção, pagará por unidade, em reais, o equivalente a:
a) 4,50
b)5,00
c) 5,50
d)6,00
36.(UEL-PR) A reta r intercepta o eixo das ordenadas em
y = 2 e a parábola p em seu vértice. Se a equação de
p é y = 3x2 – 6x + 8, então r intercepta o eixo das
abscissas no ponto:
a) (3/4; 0)
b)(2/5; 0)
c) (0; 0)
d)(–1/2; 0)
e) (–2/3; 0)
37.(Cesgranrio-RJ) A equação da reta mostrada na figura
a seguir é:
y
3
–4
x
a) 3x + 4y – 12 = 0
b)3x – 4y + 12 = 0
c) 4x + 3y + 12 = 0
d)4x – 3y – 12 = 0
e) 4x – 3y + 12 = 0
38.(ESPM-SP) A equação da reta r do plano cartesiano
abaixo é:
Sabedoria egípcia
Há mais de 5 000 anos os egípcios observaram que a
sombra no chão provocada pela incidência dos raios
solares de um gnômon (um tipo de vareta) variava
de tamanho e de direção. Com medidas feitas sempre
ao meio-dia, notaram que a sombra, com o passar
dos dias, aumentava de tamanho. Depois de chegar
a um comprimento máximo, ela recuava até perto da
vareta. As sombras mais longas coincidiam com os
dias frios. E as mais curtas, com dias quentes.
Adaptado da Revista Galileu, janeiro de 2001.
Sol
A
comprimento da
sombra ao meio-dia
vareta
v
B
O
ínicio do
verão (sombra
mais curta)
outono ou
primavera
início do
inverno(sombra
mais longa)
Um estudante fez uma experiência semelhante à descrita no texto, utilizando uma vareta AO de 2 metros
de comprimento. No início do inverno, mediu o comprimento da sombra OB, encontrando 8 metros.
Utilizou, para representar sua experiência, um sistema
de coordenadas cartesianas, no qual o eixo das ordenadas (y) e o eixo das abscissas (x) continham, respectivamente, os segmentos de reta que representavam
a vareta e a sombra que ela determinava no chão.
Esse estudante pôde, assim, escrever a seguinte
equação da reta que contém o segmento AB:
a) y = 8 – 4x
b)x = 6 – 3y
c) x = 8 – 4y
d)y = 6 – 3x
40.(UFPE-PE) Na figura a seguir, as retas r e s são paralelas,
e a distância da origem (0, 0) à reta s é 3 . A equação
cartesiana da reta s é y = ax + b. Determine 6a2 + 4b2.
a) 13x – 14y + 52 = 0
b)12x – 13y + 48 = 0
c) 7x – 8y + 28 = 0
d)9x – 11y + 36 = 0
e) 6x – 7y + 24 = 0
6
Matemática
41.(UFMT-MT) Em um determinado instante t (em
minutos), as posições de duas partículas P e Q são
dadas, respectivamente, pelas equações paramétricas das retas
x = 4 + t
 x = 1 + 2t
e 

1
y
=
+
t
 y = −3 + 6t

(16)r e s sempre se interceptam para quaisquer
valores de a e b.
(32)se
.
A partir das informações dadas, julgue os itens.
1. As trajetórias se interceptam no ponto (5, 3).
2. As partículas se chocam no ponto (5, 3).
3. A partícula Q passa, em (5, 3), 1 minuto depois que a
partícula P.
42.(Mack-SP) Seja a o ângulo que a reta
forma com o eixo positivo do x. O valor de cos a é:
a=−
1
2
então as retas r e s serão perpendicu-
lares qualquer que seja o valor de b.
46.Para que valores de a as retas r, s e t não são concorrentes duas a duas?
(r) x + y – 1 = 0
(s) 3x – y + 2 = 0
(t) ax + 2y – 5 = 0
47.Determine a equação da reta t, simétrica da reta
(r) x + 2y – 4 = 0, em relação ao eixo das ordenadas.
a)
1
3
48.Determine a equação da reta t, simétrica da reta
b)
2 7
7
49.(UFRGS-RS) Na figura abaixo:
c)
21
7
d)
2
3
e)
(r) 2x – y – 2 = 0, em relação à reta (s) x – 2 = 0.
1
2
43.As retas r: 3x – y + 5 = 0 e s: kx + 2y – 7 = 0 são concorrentes se:
a) k ≠ 2/3
b)k ≠ – 6
c) k ≠ 0
d)k ≠ 4
e) k ≠ – 2
44.(UFMG-MG) A relação entre m e n, para que as retas
de equações(r) 2x – my + 1 = 0 e (s) nx + 3y + 5 = 0
sejam paralelas, é:
a)
b)
c)
m 3
=
n 2
a região sombreada do plano xy é descrita pelas
desigualdades da alternativa:
a) 0 ≤ x ≤ 4 e 0 ≤ y ≤ 5 – x
b)0 ≤ x ≤ 5 e 0 ≤ y ≤ 5 + x
c) 1 ≤ x ≤ 4 e 0 ≤ y ≤ 5 – x
d)1 ≤ x ≤ 4 e 0 ≤ y ≤ 5
e) 1 ≤ x ≤ 4 e 0 ≤ y ≤ 5 + x
50.(Ufes-ES)
m 2
=
n 3
m 2
=
n 3
d)m · n = – 6
e) m · n = 6
45.(Unioeste-SP) Sobre a reta r de equação y = 2x + b e a
reta s de equação y = ax + 3, onde a e b são números
reais, é correto afirmar que:
(01)se a = 2, então r e s serão paralelas para qualquer
valor de b.
(02)se a = 1 então r e s sempre se interceptarão no
terceiro quadrante, para qualquer valor de b.
(04)para que r e s sejam paralelas é necessário que se
tenha b = 3.
(08)se b = 0 então existe pelo menos um valor para
a tal que r seja paralela a s.
A região triangular hachurada ao lado pode ser descrita como o conjunto solução de:
a)
4 y + 3 x ≤ 12

y + 4x ≤ 4
y ≥ 0

b) 4y + 3x ≤ 12

y + 4x ≥ 4
y ≥ 0

MÓDULO 10
c)
4 y + 3 x ≥ 12

y + 4x ≤ 4
y ≥ 0

7
57.O triângulo ABC da figura é equilátero. Determine a
equação reduzida da circunferência, sendo A (5, 6).
d) 4y + 3x ≥ 12

y + 4x ≥ 4
y ≥ 0

e) 4y + 3x ≤ 12

y + 4x ≤ 4
y ≤ 0

51.(UEMS-MS) O conjunto
representa:
a) o interior de um círculo.
b)o interior de um triângulo.
c) uma reta contida no 2º, 3º e 4º quadrantes.
d)duas retas paralelas.
e) o interior de um quadrado.
52.Determine a equação reduzida de circunferência de
centro C(– 2, 1) e que passa pelo ponto P(0, 3).
58.Dadas as retas (r) y – 2 = 0, (s) x – 2 = 0 e (t) x – 6 = 0,
determine a equação reduzida da circunferência
tangente às três retas dadas.
59.(UFG-GO) Considere duas circunferências no plano
cartesiano descritas pelas equações x2 + y2 = 10 e
(x – x0)2 + (y – y0)2 = 1. Determine o ponto P(x0, y0)
para que as duas circunferências sejam tangentes
externas no ponto A(3,1).
60.A corda AB da figura mede 2. Qual a equação reduzida
da circunferência, sendo 3 o seu raio?
53.Determine a equação reduzida da circunferência com
diâmetro com extremidades A(3, 3) e B(– 5, – 1).
54.Determine a equação reduzida da circunferência
da figura:
61.Calcule a distância do ponto (– 2, 3) ao eixo das
ordenadas.
62.(UFPE-PE) No sistema cartesiano de eixos, a distância
55.Determine a equação reduzida da circunferência
da figura:
do ponto (5, 3) à reta que passa pelos pontos de
coordenadas (0, 4) e (3, 0) é igual a:
a)
23
5
b) 17
5
c)
13
5
d)
11
5
e)
9
5
63.(UFC-CE) Considere a reta r cuja equação é y = 3x. Se
56.Sendo A(–
3 , 0), B( 3 , 0) e o triângulo ABC equilátero,
qual a equação reduzida da circunferência da figura?
P0 é o ponto de r mais próximo do ponto Q(3,3) e d
é a distância de P0 a Q, então
é igual a:
a) 3
b)4
c) 5
d)6
e) 7
64.(Ufop-MG) A equação da circunferência de centro P
(3, 1) e tangente à reta r: 3x + 4y + 7 = 0 é:
a) x2 + y2 + 6x – 2y – 6 = 0
b)x2 + y2 – 6x – 2y – 6 = 0
8
Matemática
70.(UFPB-PB) Na figura abaixo, está representado o quadra-
c) x2 + y2 + 6x + 2y + 6 = 0
d)x2 + y2 + 2y – 6x – 6 = 0
e) x2 + y2 – 6x – 2y + 6 = 0
65.O ponto
P
(
) , em relação à circunferência 4x
2, 1
do OMNP que se encontra subdividido em 16 quadradinhos, todos de lado 1,5 cm.
2
+
+ 4y = 9, é:
a) externo.
b)pertencente.
c) interno
d)centro.
e) nda.
2
66.(UEL-PR) Considere a reta r de equação y – 2x – 2 = 0.
Com relação à representação geométrica da reta r no
plano cartesiano, pode-se afirmar:
I. A área do triângulo formado pela reta r e pelos eixos
coordenados tem o valor de 1 unidade quadrada.
II. A circunferência de equação x2 + y2 = 2 contém
todo o triângulo formado pela reta r e pelos eixos
coordenados.
III.A circunferência de equação x2 + y2 + 2x – 4y = 0
tangencia a reta r.
IV.A reta r é perpendicular à reta 2y + x + 10 = 0
A alternativa que contém todas as afirmativas corretas é:
a) I e II
b)I e III
c) I e IV
d)II e III
e) II, III e IV
67.(UFU-MG) Deseja-se que a reta r de equação y = x + k
intercepte a circunferência de equação x2 + y2 = 2 em
dois pontos. Para isso, k deve satisfazer a seguinte condição:
a) – 3 < k < 3
b)– 2 < k < 2
c) –
<k<
d)–
≤k≤
68.(ITA-SP) Considere, no plano cartesiano xy, duas cir-
y
P
N
F
O
E
M
x
Uma formiguinha sai do ponto
, andando
paralelamente aos eixos e passando pelo centro de
cada quadradinho, até o seu formigueiro localizado
em
, conforme mostrado na figura.
Sabendo-se que passa apenas uma vez em cada
ponto do percurso, essa formiguinha percorreu:
a) 24,0 cm
b)23,5 cm
c) 23,0 cm
d)22,5 cm
e) 22,0 cm
71.(Unifor-CE) Seja r a reta paralela ao eixo das abscissas
e que contém o ponto Q (0; k). Se o ponto P (a; b) não
pertence a r, então o simétrico de P em relação a r é:
a) (b; 2k – a)
b)(a; k + b)
c) (b; 2k + a)
d)(a; 2k – b)
e) (a; k – b)
72.(Vunesp-SP) O tetraedro VABC da figura a seguir é
regular e sua base encontra-se sobre um plano cartesiano, em relação ao qual seus vértices têm coor
3
−1   1 
,0 ,B
, 0 e C  0,
.
 2   2 
2 

denadas A 
cunferências C1 e C2, que se tangenciam exteriormente em P (5,10). O ponto Q (10,12) é o centro de C1.
Determine o raio da circunferência C2, sabendo que
ela tangencia a reta definida pela equação x = y.
69.(UFPA-PA) Os círculos x2 + y2 – 2x = 0 e x2 + y2 + 4x = 0
são:
a) tangentes externos.
b)concêntricos.
c) secantes.
d)coincidentes.
e) tangentes internos.
Dando-se à face ABV uma rotação em torno da aresta
AB, no sentido indicado pela figura, até fazê-la coincidir com o plano ABC da base, quais as coordenadas
do ponto P que o vértice V ocupará após a rotação?
9
MÓDULO 10
73.(Uerj-RJ) Duas pessoas A e B decidem se encontrar
em um determinado local, no período de tempo entre
0h e 1h.
Para cada par ordenado (x0, y0), pertencente à região
hachurada do gráfico a seguir, x0 e y0 representam,
respectivamente, o instante de chegada de A e B ao
local de encontro.
Determine as coordenadas dos pontos da região
hachurada, os quais indicam:
a) a chegada de ambas as pessoas ao local de encontro exatamente aos 40 minutos;
b)que a pessoa B tenha chegado ao local de encontro aos 20 minutos e esperado por A durante
10 minutos.
74.(PUCCamp-SP) Sabe-se que os pontos A = (0, 0),
77.Dados A (2, 3) e B (0, 0), vértices do triângulo
ABC com área
13 2
e sendo BC = 2 13,
2
determine o
coeficiente angular da reta BC, sendo C no primeiro quadrante.
78.(FGV-SP) Seja r a reta 4x + 7y – 56 = 0 que intercepta
o eixo das ordenadas no ponto A e o eixo das abscissas no ponto B.
Considere uma reta s, que passa pela origem O (0, 0)
e intercepta a reta r no ponto C, de modo que a área
do triângulo OCB seja igual à metade da área do triângulo OAC.
a) Encontre a equação da reta s.
b)Determine as coordenadas do ponto C.
79.(Ufes-ES) Dados no plano cartesiano os pontos
A = (–2, 1) e B = (0, 2), determine:
a) uma equação da reta que passa por A e B;
b)uma equação da reta que passa por A e é perpendicular ao segmentoAB.
80.O triângulo ABC da figura tem área 6 e é retângulo
em A. Sendo B(0, 3), C(4, 0) e AB AC, determine a
equação da reta suporte do cateto AC.
B = (1, 4) e C = (3, 6) são vértices consecutivos do
paralelogramo ABCD. Nessas condições, o comprimento da diagonal BD é:
a) 2
b)
3
c)
2 2
d)
5
e) 5
75.Sendo A (a, ya), B (b, yb) e C (c, yc) vértices de um
81.(UFMG-MG) Observe a figura.
triângulo, mostre que a abscissa do baricentro desse
triângulo é: y = 2x + 6 .
2
2
76.(Vunesp-SP) Dados dois pontos, A e B, com coordenadas cartesianas (–2, 1) e (1, –2), respectivamente,
conforme a figura:
a) Calcule a distância entre A e B.
b) Sabendo que as coordenadas cartesianas do baricentro do triângulo ABC são (xG , yG) = ( 2 , 1), calcule
3
as coordenadas (xC · yC) do vértice C do triângulo.
Nessa figura, estão representadas duas perpendiculares que são gráficos de y = f(x) e y = g(x).
O valor máximo da função h(x) = f(x) · g(x) é:
a) 5/4
b)9/4
c) 3
d)4
82.Determine a equação da reta t, simétrica da reta
(r) y = 2x, em relação à reta (s) y = 4x – 4.
10
Matemática
83.Resolva a inequação:
a)
b)
c)
d)
.
84.Dada expressão E = (x + y)2 – 4:
a) fatorar a expressão E;
b)representar os pontos (x,y) tais que E > 0.
91.(FGV-SP) No plano cartesiano, existem dois valores
85.Determine a equação reduzida da circunferência de
centro C da figura:
86.Determine a equação reduzida da circunferência
circunscrita ao quadrado de vértices:
A(2, 0), B(4, 2), C(2, 4) e D(0, 2).
87.Determine a equação reduzida da circunferência
inscrita no quadrado de vértices:
(
) e D ( − 2, 0 ).
(
A 0, 2
C 0, − 2
), B (
2, 0
),
88.Dadas as circunferências:
(C1) (x – 2)2 + (y – 2)2 = 4 e (C2) (x – 10)2 + (y – 2)2 = 4,
determine a equação da menor circunferência tangente às duas circunferências dadas.
89.(UFF-RJ) A circunferência C1, de raio 1, é tangente
aos eixos coordenados, conforme representação
abaixo.
de m de modo que a distância do ponto P (m, 1) à
reta de equação 3x + 4y + 4 = 0 seja 6. A soma destes
valores é:
a) – 16
3
b)– 17
3
18
c) –
3
d)– 19
3
20
e) –
3
92.(FGV-SP) A reta de equação y = x + 1 determina, na
circunferência de equação x2 + y2 = 13, uma corda de
comprimento:
a) 4 2
b) 5 2
c) 6 2
d) 7 2
e) 8 2
93.(FGV-SP) a) No plano cartesiano, para que valores de
m as retas de equações (r) mx + 2y + 4 = 0 e
(s) mx – 4y + 5 = 0 são perpendiculares?
b)Qual a distância entre as retas (t) 3x + 4y = 0 e (v) 3x +
4y + 5 = 0?
 x y 1
94.(Unifesp-SP) Dada a matriz, 3 x 3,
Determine a equação da circunferência C2, tangente
simultaneamente aos eixos coordenados e à C1.
90.(AFA-RJ) Os pontos A (0, 0) e B (3, 0) são vértices
consecutivos de um paralelogramo ABCD situado
no primeiro quadrante. O lado AD é perpendicular
à reta y = –2x e o ponto D pertence à circunferência
de centro na origem e raio
. Então, a diagonal
AC mede:
y = –2x
distância entre as retas r e s de equações, respectivamente, det(A) = 0 e det(A) = 1 vale:
a)
2
4
b)
2
c) 2
d)3
e) 3
2
95.(Vunesp-SP) Determine os pontos de abscissa 2 tais
y
D
que, para cada um deles, o produto de suas distâncias
aos eixos coordenados seja igual ao quadrado de sua
distância à reta y = x.
C
5
x
A (0,0)


A =  1 1 1 , a
 −1 −1 1


B (3,0)
96.(Mack-SP-Adaptada) Na figura, AOB é um triângulo
isósceles e
. A distância de C à reta, determinada pelos pontos A e B, vale:
MÓDULO 10
11
d)r e s são concorrentes, s é tangente a C e r não é
tangente a C.
e) r e s são concorrentes e ambas são tangentes a C.
y
A
100.(UFU-MG) Sejam r a reta de equação y = x + 2 e C a
circunferência de equação x2 + y2 – 4x – 2y + a = 0,
em que a é uma constante real. Determine o maior
número real a de modo que ocorra intersecção
entre a reta r e a circunferência C.
D
O
3
B
x
101.(ITA-SP) Sejam os pontos A: (2, 0), B: (4, 0) e
P: x − y + 1 + 2 = 0 .
a)Determine a equação da circunferência C, cujo
centro está situado no primeiro quadrante,
passa pelos pontos A e B e é tangente ao eixo y.
b)Determine as equações das retas tangentes à
circunferência C que passam pelo ponto P.
C
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
2
2
102.(PUCCamp-SP) Considere as circunferências (l1) x2 +
2
2
2
97. (Fuvest-SP) Na figura abaixo, os pontos A, B e C são vértices de um triângulo retângulo, sendo B$ o ângulo reto.
+ y2 – 8x – 4y + 15 = 0 e (l2) x2 + y2 + 4x + 2y – 75 = 0.
Concluímos que:
a)l1 e l2 possem 2 pontos de interseção (ou seja,
são secantes).
b)l1 e l2 se tangenciam internamente.
c) l1 e l2 se tangenciam externamente.
d) l1 e l2 são disjuntas e externas.
e) l1 e l2 são disjuntas e internas.
103.(FGV-SP) A intersecção das circunferências de equa Sabendo-se que A = (0 , 0), B pertence à reta x – 2y =
0 e P = (3, 4) é o centro da circunferência inscrita no
triângulo ABC, determine as coordenadas:
a) do vértice B;
b)do vértice C.
98.(ITA-SP) Seja C a circunferência de centro na origem,
passando pelo ponto P = (3, 4). Se t é a reta tangente
a C por P, determine a circunferência C’ de menor
raio, com centro sobre o eixo x e tangente simultaneamente à reta t e à circunferência C.
99.(ITA-SP) São dadas as retas (r) x – y + 1 +
2=
0 e
(s) x 3 + y – 2 + 3 = 0 e a circunferência (C) x2 + 2x +
+ y2 = 0. Sobre a posição relativa desses três elementos, podemos afirmar que:
a)r e s são paralelas entre si e ambas são tangentes a C.
b)r e s são perpendiculares entre si e nenhuma delas
é tangente a C.
c) r e s são concorrentes, r é tangente a C e s não é tangente a C.
ção x2 + y2 = 1 e (x – 1)2 + y2 = 4 é:
a) (0, 0)
b) (–1, 0)
c) (0, –1)
d) (0, 1), (2, 0)
e) (0, 2), (1, 0)
104.(UFSC-SC) Determine o raio da circunferência C1,
cujo centro é o ponto de intersecção da reta r
de equação x – y – 1 = 0 com a reta s de equação
2x – y + 1 = 0, sabendo que C1 é tangente exteriormente à circunferência C2 de equação x2 + y2 –
– 12x – 6y – 4 = 0.
105.(UFPE-PE) Para quantos valores de a o sistema:
admite precisamente três soluções?
106.(UFES-ES) Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, determine:
a)a equação da circunferência com centro (a, 0)
que passa pelo ponto (– 5, 3);
b)o intervalo de variação de a de modo que a circunferência do item anterior intercepte a circunferência com centro (2, 0) e raio 2;
c)o valor de a, de modo que os raios das circunferências dos itens anteriores sejam perpendiculares em um dos pontos de intersecção delas.
Saber fazer
+
8. Calcule os coeficientes angulares das retas r e s para-
Geometria analítica
lelas que fazem com a horizontal um ângulo de 60o.
1. Obter a medida do segmento AB, sendo:
a) A(3, 1) e B(4, 2)
b)A(–1, –3) e B(5, –2)
c) A(3, 4) e B(0, 0)
d)A(2, 1) e B(5, 1)
e) A(0, 3) e B(0, 7)
f) A(5, 2) e B(4, 1)
g) A(–2, –1) e B(–3, 1)
h)A(4, 3) e B(0, 0)
2. Calcule o perímetro do triângulo ABC, dado: A(0, 0),
B(4, 1) e C(0, 5).
3. Cada uma das arestas do cubo mede 1 cm. Calcule a
distância do vértice A à reta CH.
F
G
y = –3x + 1.
10.Escreva a equação geral de uma reta perpendicular
ao eixo das abscissas que passa pelo ponto (2, 10).
11.Determine os coeficientes angular e linear da reta
5y + 4x – 2 = 10.
12.Considere a reta que passa pelos pontos (0, –5),
(2, 1). Escreva:
a) sua equação fundamental;
b)sua equação geral;
c) sua equação reduzida;
d)seu coeficiente angular e seu coeficiente linear.
13. Escreva a equação reduzida da reta que passa pela
origem e pelo ponto de intersecção das retas 4x – 2 = 0
e 8x – 2y – 14 = 0.
B
A
9. Determine a intersecção entre as retas y = 2x – 5 e
14.Determine a equação de uma reta que faz 45o com a
horizontal e cruza o eixo das ordenadas em
5 unidades.
H
E
D
15.Considere as retas: y = 3x – 7; y = –2mx + 1; y = 6kx.
C
4. Dados os pontos A(0, 0) e B(25, 25), determine as
coordenadas do ponto médio do segmento AB.
5. Determine o ponto da bissetriz dos quadrantes pares
que dista 2 unidades da origem.
6. (Fuvest-SP) Na figura, o triângulo ABC é retângulo em
A, ADEF é um quadrado, AB = 1 e AC = 3. Quanto
mede o lado do quadrado?
B
E
D
A
passa pelo ponto (2, 8).
17.Determine a equação da reta s que passa pelo ponto
(5, 1) e é perpendicular à reta y = 2x + 1.
18. Considere duas retas s e t perpendiculares entre si. O
ponto (2, 5) pertence a ambas as retas. A equação da
reta s é y = –2x + 9. Determine a equação da reta t.
19.Determine a equação de uma reta qualquer que seja
20.Obtenha a equação da circunferência de centro
C
7. (Mauá-SP) A figura abaixo mostra um quadrado,
inscrito em um triângulo de base 20 cm e altura 12
cm. Calcule o lado desse quadrado.
A
l
12
G
F
20
C(2, 1) e raio 1.
21.Obtenha o centro e o raio das circunferências
abaixo:
a) (x – 2)2 +(y – 3)2 = 9
b)x2 + y2 – 4x – 8y + 16 = 0
22.Determine o centro e o raio da circunferência de
E
l
B
16.Determine a equação da reta paralela a y = 4x + 5 que
perpendicular à reta r que passa pela origem dos
espaços e faz um ângulo de 45o com a horizontal.
F
D
Determine os valores de m e k para que as três retas
sejam paralelas.
equação 2x2 + 2y2 – 8x – 16y + 32 = 0.
23.Para que valores de m e k a equação mx2 + y2 + 4x +
+ 6y + k = 0 representa uma circunferência?
C
13
MÓDULO 10
24.Indique as condições que devem ser satisfeitas pelos
coeficientes da equação: ax2 + by2 + 2cxy + 2dx + 2ey +
+ f = 0, para que ela represente uma circunferência.
25.Obtenha as equações das circunferências de centro
uma de suas cordas são os pontos (2, 2) e (8, 4), obtenha a área da superfície plana limitada por λ.
39.(Mack-SP) Obtenha o maior valor inteiro de k, de
modo que a equação x2 + y2 – 4x – 6y + k = 0 represente uma circunferência.
C e raio r, em cada caso:
a) C(0, 0), r = 1
1
b)C(– 2, – 1), r = 2
40.(PUC-SP) Quantos são os pontos que têm coordena-
(2, 1), que passa pelo ponto (3, 3).
41.(UFC-CE) Qual a posição relativa das circunferências
26.Obtenha a equação da circunferência de centro
27.Determine o centro e o raio das seguintes circunferências:
a) x2 + y2 – 4x – 3y = 0
b)x2 + y2 + 6x + 8y = 0
c) x2 + y2 + 6x =0
d)2x2 + 2y2 – 4x – 8y + 6 = 0
e) 3x2 + 3y2 – 6x + 12y + 14 = 0
28.Se Ax2 + Ay2 + Bx + Cy + D = 0 (A ≠ 0) é a equação de
uma circunferência, determine o centro e o raio.
29.Para que valores de m e k cada equação abaixo representa uma circunferência?
a) x2 + m · y2 + 6x + 4y + k = 0
b)mx2 + 2y2 + 12x – 8y + k = 0
das inteiras e são interiores à circunferência de
equação x2 + y2 = 6?
dadas pelas equações x2 + y2 = 25 e (x – 3)2 + + y2 = 4?
42.(PUC-SP) Dadas as circunferências C1: x2 + y2 – 2x –
– 2y = 0 e C2: x2 + y2 – 2x – 3 = 0, qual é a posição de
C1 em relação a C2?
43.Dadas a circunferência (x – 1)2 + y2 = 4 e a reta x = k,
para que valores de k a reta intercepta a circunferência
em pontos distintos?
44.Determine os pontos P e Q, onde a circunferência
x2 + y2 – 3x + 4y + 2 = 0 encontra o eixo das abscissas.
45.Determine a equação da reta t, tangente à circunferência (λ) x2 + y2 = 4, e paralela à reta (s) x + y – 2 = 0.
30.Qual a posição do ponto P(2, 3) em relação à circunferência (x – 1)2 + (y – 1)2 = 4
r
31.Represente no plano cartesiano o conjunto dos pontos P(x, y), tais que:
a) x2 + y2 < 9
b)x2 + y2 · 4
c) x2 + y2 – 6x – 4y + 12 < 0
t
32.Determine a posição do ponto P em relação à circunferência λ, em cada caso:
a) P(0, 0) e (λ) x2 + y2 + 2x – 4y +1 = 0
b)P(1, 2) e (λ) 2x2 +2y2 = 4
33.Represente no plano cartesiano os pontos P(x, y),
s
t
46.Obtenha a equação da reta (t), tangente à circunferência (λ), passando por P em cada caso:
satisfazendo as seguintes condições:
x2 +y2 > 1
x2 + y2 < 4
x2 + y2 < 25
b) 2
x + y2 –12x +20 < 0
34.(UEL-PR) Sejam A(– 2, 1) e B(0, – 3) as extremidades
P
a)
C
t
de um diâmetro de uma circunferência λ. Obtenha a
equação de λ.
35.(UE-RS) Obtenha a equação da circunferência de
diâmetro AB, com A(3, 1) e B(1, – 3).
36.(PUC-SP) Obtenha o ponto da circunferência (x – 2)2 +
+ (y + 4)2 = 4 que tem ordenada máxima.
37.Obtenha a área do disco: x2 + y2 – 4x – 6y + 8 < 0.
38.(FCMSC-SP) Seja (λ) uma circunferência cujo centro
pertence ao eixo das abcissas. Se as extremidades de
a) (λ) X2 + y2 = 25 e P(3, – 4)
b)(λ) X2 + y2 – 12x – 12y + 47 = 0 e P(6, 13)
c) (λ) X2 + y2 – 4x – 5 = 0 e P(–1, 7)
47.(FGV-SP) Obtenha os pontos comuns à reta x – y = 1
e à circunferência x2 + y2 = 1.
48.(FGV-SP) Obtenha os valores de k, tais que a circunferência x2 + y2 = 20 e a reta y = 2x + k sejam tangentes.
14
Matemática
49.(Fuvest-SP) A reta y = 3x é tangente a uma circun-
ferência de centro C(2, 0). Obtenha o raio dessa
circunferência.
50.Escreva as equações das retas tangentes à circunferência x + y – 8x – 8y + 24 = 0, paralelas à reta y = x.
2
2
51.Determine as equações das retas tangentes à circun-
ferência x2 + y2 – 2x – 2y + 1 = 0, e perpendiculares à
reta x = –y.
52. Determine o comprimento da corda determinada pela
reta x – y = 0 sobre a circunferência: (x + 2)2 + (y – 2)2 = 16.
53.Determine as equações das paralelas à reta 3x + 4y +
+ 7 = 0, exteriores à circunferência x 2 + y2 = 25.
54.(Cesgranrio-RJ) Obtenha a equação da reta do plano
xoy, que passa pela origem 0 e é tangente à circunferência (x – 2)2 + (y – 2)2 = 8.
55.Determine as equações das retas tangentes à
circunferência(x – 2)2 + (y – 3)2 = 9, pelo ponto (3, –2).
56.(UFPE-PE) Obtenha a equação da circunferência de
raio 2, e que tangencia os dois semieixos positivos.
57.(PUC-SP) A equação de uma circunferência é x2 +
+ y2 = 16. Obtenha a equação da reta que possui uma
corda, cujo ponto médio é (3, 2).
58.As retas y = x e y = – x tangenciam uma circunferência
respectivamente nos pontos (3, 3) e (3, – 3). Obtenha
o raio dessa circunferência.
59. Obtenha a equação da circunferência que tangencia as
retas x + y = 0 e x + y = 8, e que passa pelo ponto (0, 0).
60.(UEL-PR) Sejam A e B os pontos de intersecção da
reta definida por y = – x + 1 com a circunferência de
centro O(1, 2) e raio 2 cm. Obtenha a área do triângulo ABO.
61.(UFRGRS-RS) Uma circunferência, de centro (10, – 6),
tangencia o eixo dos y. Obtenha os pontos onde ela
corta o eixo dos x.
62.(FGV-SP) Calcule o comprimento da corda determinada numa circunferência de centro C(2, 0) e raio 8 ,
pela reta y = 2.
63.(Fuvest-SP) A reta da equação 3x – 4y – 6 = 0 inter-
cepta a circunferência 4x2 + 4y2 – 8x + 16y – 5 = 0 nos
a
pontos A e B. Determine o valor de tg , em que α
2
é a medida do ângulo ACB, e C é o centro da
circunferência.
64.(Fuvest-SP) Por um ponto P do semieixo positivo dos x,
traçam-se tangentes à circunferência de equação
x2 + y2 = 3. O quadrilátero, cujos vértices são P, o centro
da circunferência e os dois pontos de tangência têm
área 3 . Determine as equações dessas tangentes.
65.(UFRGS-RS) Se os gráficos de x2 + y2 = 1 e x2 + y2 +
+ 4x = m são circunferências tangentes, determine o
valor de m.