Livro6

Mecanismos e Dinâmica das Máquinas
Capítulo 6 Forças de inércia em
mecanismos
6.1 Equação do Movimento
Deslocamento de um corpo rígido pode ser considerado como a soma de um
deslocamento linear de algum ponto deste corpo mais um deslocamento angular do
corpo em torno deste ponto. Mesmo conceito vale para a velocidade e aceleração. É
conveniente que este ponto seja o centro de gravidade deste corpo rígido.
Deseja-se encontrar qual a força e torque que deve ser aplicado ao corpo rígido para
produzir AG e  .
Força F  mAG produz AG e torque T  I  produz  .
I é o momento de inércia de massa sobre o eixo perpendicular ao plano de rotação e
passa por G.
Em geral, um corpo rígido com movimento plano pode estar sujeito a mais de uma
única força e um único torque. Então F é a resultante de todas as forças externas e T
é o torque resultante de todos os torques agindo sobre o corpo. Assim, F e T são
chamados, respectivamente de força e torque resultantes.
Um princípio importante em mecânica é que força e torque podem ser substituídos por
uma única força.
O corpo aparece com três forças de igual magnitude de modo que:
Fh  T  I 
h
I
F
As forças F de sentidos opostos se cancelam, portanto uma única força a uma
distancia h do centro de gravidade substitui a força F e o torque T.
6.2 Forças de Inércia e Torque de Inércia
Força de inércia Fo é definida como uma força resultante contrária a F e o torque de
inércia To é definido como um torque resultante contrário a T.
Assim, somando ao sistema uma força de inércia e um torque de inércia definidos
acima o corpo está em equilíbrio. Isto é conhecido como princípio de D´ALEMBERT e
ajuda na solução de problemas em dinâmica permitindo resolvê-los como um
problema de estática.
6.3 Forças de Inércia de um mecanismo de
quatro barras
Construir o polígono de acelerações para encontrar as acelerações lineares dos
pontos G2, G3 e G4. Nesta etapa encontram-se as componentes tangenciais de
aceleração a partir das acelerações  3 e  4 .
A) Peça 2:
F2 é a força resultante na peça 2
f2 é a força de inércia na peça 2.
B) Peça 3:
T3 é o torque resultante
t3 é o torque de inércia
I3 é o momento de inércia com relação ao centro de gravidade da peça 3.
A barra 3 é mostrada novamente sujeita a ação de f 3 com a mesma magnitude, porém
com uma linha de ação deslocada de G3. Fazendo assim, evita-se a colocação
(envolvimento) deste torque de inércia na análise cinética.
F3 h3  t 3
h3 
t3
I
 3 3
f 3 m3 AG3
C) Peça 4:
Procedendo da mesma maneira com a peça 3
h4 
t4
I
 4 4
f 4 m4 AG4
Serão procuradas as forças em cada pino de conexão das barras e o torque que o
eixo em O2 exerce para realizar o movimento prescrito.
D) Diagramas de corpo livre:
As forças de inércia fi são tratadas como forças externas e cada barra está em
equilíbrio devido à ação das forças reativas não conhecidas. A determinação destas
forças se dá da mesma forma que na estática.
Começando com a peça quatro, fazendo a soma dos momentos em torno de O4 igual
a zero determina-se F34T. Coloca-se esta força com mesma intensidade e sentido
contrário na peça três.
A soma de momento da peça3 em torno do ponto B igual a zero determina-se F43N.
O polígono de forças para a peça 3 determina F23.
A partir de F23 calcula-se T2 e F12.
M
O2
0
T2   f 2  F32 a
A força F14 é obtida do polígono de forças para os corpos 2, 3 e 4 tomando-se o
sistema como um todo.
A força de agitação FS é definida como a resultante de todas as forças de inércia que
agem sobre a estrutura do mecanismo (devido apenas a forças de inércia).
6.4 Análise Cinética de Motores Alternativos
Mecanismo cursor manivela (biela manivela) para motores de combustão interna,
monocilíndrico de quatro tempos.
Manivela contrabalançada de modo que o centro de massa coincida com o centro de
rotação,
Manivela com rotação teoricamente constante (volante) e, portanto a aceleração
angular é zero.
 2  T2  0
Força peso dos elementos desprezíveis;
Força de atrito do pistão camisa é desprezível;
Força dos gases (P) sobre o pistão é o produto da pressão pela área transversal da
cabeça do pistão.
A pressão poderá ser obtida através de uma análise termodinâmica ou por medições
experimentais da pressão na câmara de combustão.
A.R. Holowenko, Dynamics of Machinery, John Wiley and Sons 1955 ilustra um grande
número de tipos de motores e variações. Contem também ordem de queima e analisa
o balanceamento motor em excelentes detalhes. Vide pagina 294-382.
A) Expansão:
Válvula de entrada de gases fechada;
Válvula de saída (descarga) fechada;
Abre nas imediações do fim de curso.
B) Exaustão:
Válvula de descarga aberta;
Válvula de admissão abre no fim de curso.
C) Admissão:
Válvula de admissão aberta;
Válvula de descarga fechada durante a maior parte do curso.
D) Compressão:
Ambas as válvulas estão fechadas.
Força dos gases:
P  pAg (Carga estática)
Forças dinâmicas
FO4 agindo sobre o pistão;
FO3 agindo sobre a biela
FO2 árvore balanceada
CG2 = 02
Velocidade angular da manivela constante (volante).
Uma partícula infinitamente pequena tem somente movimento linear. O movimento
angular é caracterizado como o movimento de uma linha de um corpo.
Na análise de máquinas, o movimento angular de uma peça é determinado pelo
movimento angular de uma reta fixa a essa peça.
6.5 Métodos para
Mecanismo
a
A) Solução gráfica por superposição;
Copie dados (Mabie pg 428).
Polígono de aceleração
Análise
Cinética
do
n2=3000 rpm;
O2A=5,08 cm;
m4=0,907 kg;
Ap=45,48 cm2;
m3=1,360 kg;
AB=20,32 cm;
I3=0,01017 kgm2
Força dos gases:
P  p  Ap  137,89  45,48  6271,4 N
Forças de inércia:
Polígonos de aceleração
aA=5029,2 m/s2
aB=1767,84 m/s2
aG3=4023,36 m/s2
 3  21900 rad/s2
Portanto,
f O 4  m4  a B  0,907  1767,54  1603,78 N
f O3  m3  aG 3  1,36  4023,36  5472,75 N
h3 
t3
I
0,01017  21900
 3 3 
 0,0407 m
f 3 m3 AG 3
5472,751
h3  4,07 cm
Forças no pistão
F4  P  f O 4  6271,4  1603,78  4667,46 N
F14  1023,04 N
F34  4759,36 N
Biela e manivela
F43  F23  F32  F12  4759,36 N
Te  4759,36  0,04826  229,69 N.m
Forças na biela
Do polígono:
F43  F34  F14  146,78 N
F23  F32  F12  5204,16 N
Te  5204,16  0,00635  33,05 N.m
Superposição:
Dos polígonos
F43  4759,36 N
F23  5382,08 N
F12  5382,08 N
Torque no eixo de manivela
Te  229,69  33,05  196,64 N.m (S.A.H.)
B) Solução analítica utilizando massas pontuais cineticamente equivalentes.
Qualquer peça rígida com movimento no plano com massa M e inércia I, pode ser
representado por um sistema equivalente de duas massas pontuais de modo que a
inércia das duas massas seja cineticamente equivalente a da peça.
Portanto,
Mp, Mq massas pontuais
FP  FQ  Fo
Para satisfazer a equação devem ser observadas três condições de equivalência.
1) Equivalência de massa
MP  MQ  M
2) Equivalência de centro de massa:
M P l P  M Q lQ  0
3) Equivalência de momento de inércia:
M P l P  M Q lQ  I
2
2
Para se determinar o sistema equivalente é necessário determinar quatro quantidades:
MP, MQ, lP e lQ
Logo, tem-se:
MP  M
MQ  M
lQ
l P  lQ
,
lP
;
l P  lQ
Então se tem:
l P lQ 
I
M
Assim, têm-se quatro incógnitas para três equações.
Portanto, uma das incógnitas devem ser adotadas convenientemente, usualmente
adota-se lP ou lQ.
6.6 Torque de saída de motores
Particular interesse identificar a variação de torque de saída com o ciclo de 720º da
manivela.
Há grande variação em intensidade e sentido. Em algumas fases o torque tem o
mesmo sentido do movimento da manivela e outras tem o sentido oposto.
A suposição de velocidade constante da manivela é inválida, portanto utiliza-se
volante.
Um volante com momento de inércia relativamente pequeno reduz as variações de
velocidades a 1 a 2% da velocidade angular da manivela.
Em projeto de volantes é interessante conhecer o torque de saída.
Conforme já estudado,
Ts  F12  d ;
FB  P  Fo 4  FB3  ;
F12 
FB
;
cos 
d  h  sen ;
Ts  FB  h  tan 
Para expressar o torque em função de theta, significa expressar FB , h,   em função
de theta.
Da figura:
sen 
x
,
L
sen 
L  sen  R  sen
R

 sen 
L

  arcsen
Para determinar FB.
P  f   é obtido experimentalmente
P  p  Ap
x
R
Forças inerciais:
Fo 4  FB3  M 4  M B3   a B
Também sabe-se do capitulo 2 do Mabie que:
R


a B  R 2  cos   cos 2  ou
L


aB
R


  cos   cos 2  Forma adimensional.
2
L
R


Assim:

R


Fo 4  FB 3  M 4  M B 3    R 2  cos   cos 2 
L



Determinação de h
Da figura
h tan   R cos  L cos   tan  ou
h
L


tan    cos   cos   tan 
R
R


Potencia de saída
P
Tmed   Tmed  n
T   Tmed  n


[HP], P  med
[CV]
76
725,75
75
716,2
6.7 Dimensionamento de volantes
Torque de saída ora maior ora menor que o torque médio para intervalos de  .
Área hachurada representa trabalho que ora aumenta ora diminui a energia cinética do
sistema.
Acréscimo ou decréscimo na velocidade da árvore de manivelas.
O grau de aumento ou diminuição desta velocidade depende da inércia do sistema.
Ec 
1 2
I
2
Obtêm o controle das flutuações da velocidade da manivela primeiramente com um
volante.
Motor monocilíndrico com um volante
Esta figura mostra o desequilíbrio de torques que nele atuam necessário para acelerar
o seu movimento angular. Colocando o volante aumenta-se a inércia do sistema e
diminue  (T-TR = Constante).
Ts  TR  I
Em que I é o momento de inércia do volante em torno do eixo da manivela.

d d d
d



, logo
dt
d dt
d
Ts  TR  I
d
d
Ts  TR d  I  d
1
2
2
 T  TR d   Id  2I max  min 
w max
 max
w min
 min
Os limites  para a integral são encontrados por inspeção.
 max Onde ocorre a maior variação positiva em  ;
 min Onde ocorre a maior variação negativa em  ;
Trabalha-se a partir de um gráfico que representa a integral onde:
A

I
 max 2   min 2
2

Na pratica, ao invés de dar  max e  min utiliza-se o coeficiente de flutuação k de modo
que a flutuação ou a diferença entre velocidades máxima e mínima seja uma pequena
fração da velocidade média pedida no projeto.
k
 max   min
 med
A
I
I
 max 2   min 2   max   min  max   min 
2
2


A  I   max   min    med
 2   n 
2
A  k  I   med  I  k  

 60 
I  91
2
A
kn2
Exercício:
Determine o torque médio e a potencia de saída do motor; as posições dos ângulos de
manivela onde as velocidades da manivela são máximas e mínimas; e o momento de
inércia de um volante tal que a flutuação máxima de velocidade seja 20 rpm. O
diâmetro do volante é 400 mm.