Revisão de Função, função do 1ºgrau e inequação

4. Função
O objeto fundamental do cálculo são as funções. Assim, num curso de Pré-Cálculo é
importante estudar as idéias básicas concernentes às funções e seus gráficos, bem como as
formas de combiná-los e transformá-los.
Ao estudar algum fenômeno de qualquer natureza, sempre se procura estabelecer
relações entre as grandezas envolvidas. Se duas grandezas x e y estão relacionadas de tal
maneira que a cada valor atribuído a x existe, em correspondência, um único valor
associado a y, então se diz que y é uma função de x. Por exemplo, a distância percorrida
por um carro em um determinado período de tempo é uma função de sua velocidade, a área
de uma circunferência é uma função de seu raio, a área de um quadrado é uma função de
seu lado, a população de um determinado país é uma função do tempo, dentre muitos outros
exemplos.
Definição: Uma função f é uma regra que associa a cada elemento de um conjunto A um
único elemento de um conjunto B. f: A -> B
x f(x)
Se x  A então o elemento de B que f associa a x é denotado f(x).
O conjunto A é chamado domínio da função.
O conjunto B é chamado de contradomínio da função.
O conjunto que compreende todos os valores assumidos por y=f(x) quando x toma todos os
possíveis valores em seu domínio é chamado de imagem da função f.
OBS:
1. x é denominada variável independente da função (varia sem depender de nenhuma
outra variável).
2. y é chamada variável dependente da função (como y=f(x), temos que y depende da
variação da variável x) .
Uma função de uma variável real a valores reais é uma função f: A  B, onde A e B são
subconjuntos de IR.
Seja f: A B uma função. O conjunto Gf={ (x, f(x)) / xA }denomina-se gráfico de f.
Assim, o gráfico de f é um subconjunto do conjunto de todos os pares ordenados (x,y) de
números reais. Munindo-se o plano de um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas, o
gráfico de f pode então ser pensado como o lugar geométrico descrito pelo ponto (x,f(x))
quando x percorre o domínio de f.
Domínio
Para determinarmos o domínio (leia “o maior domínio”) de uma função, estaremos
procurando qual o maior conjunto possível A IR que satisfaça a lei de correspondência
definida (lembremo-nos de que, para termos uma função, todos os elementos do conjunto A
têm que estar associados a um elemento em B).
Graficamente, o domínio da função é a projeção do gráfico de f, sobre o eixo das abscissas.
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Problemas de domínio
É usual representar uma função f de uma variável real a valores reais e com domínio A,
simplesmente por y=f(x), xA
Exemplo 1: Seja y=f(x)=x2. Tem-se:
a) Df = IR
b) f(2)=22=4 (o valor que f assume em 2 é 4)
c) f(-1)=(-1) 2=1
d) f(0)=02=0
e) f(t)=t2
f) f(x+1)=(x+1) 2
g) Gráfico de f = {(x,y)/ y=x2, xIR}
Exemplo 2:
Seja f: A  IR  B  IR uma função. Vamos determinar o (maior) domínio das seguintes
leis de correspondência:
a) f(x)=7x
b) f(x)=y=
1
2x  4
c) f(x)= x  8
2
d) f(x)=
2
x x
e) f(x)=
2
1
x2
f) f(x)= x  1  1  x
Exemplo 3: Dada a função f(x)=-x2+2x , simplifique:
a)
b)
f ( x)  f (1)
x 1
f ( x  h)  f ( x )
h
3
Exercícios:
1) Calcule:
a) g(0), g(2) e g( 2 ) sendo g(x)=
b)
x
x 1
2
f ( a  b)  f ( a  b)
, sen do f ( x)  x 2 e ab  0
ab
2) Simplifique
f ( x)  f ( p )
( x  p) sendo dados:
x p
f(x)=x2 e p=1
f(x)=x3 e p=2
f(x)=x3 e p qualquer
f(x)=5 e p=2
1
e) f(x)= e p=1
x
f) f(x)=x2-3x e p=-2
a)
b)
c)
d)
Exercícios propostos:
1) Determine o domínio de cada uma das seguintes funções:
a) y= 3 x  1
2x  1
d)
y=
b) y= 3 2 x  1  3x  1
3x  1
x
1
1
c) y= 2
e) y= 3

x  x6 x4
x
2)
4
3)
Respostas:
1) a) IR
b) {xIR/x-1/3}ou [-1/3, +[
c){ xIR /x-4 e x-2 e x-3}ou ]- ,-4[ U ]-4,-3[ U ]-3,-2[ U ]-2,+ [
d) { xIR /x>1/3}
e){ xIR /x0}
2)
Imagem e contradomínio
O conjunto que compreende todos os valores assumidos por y=f(x) quando x toma todos os
possíveis valores em seu domínio é chamado de imagem da função f.
Graficamente, o conjunto imagem da função é a projeção do gráfico de f sobre o eixo das
ordenadas.
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Raízes ou zeros
Chama-se raiz ou zero de uma função o número r do seu domínio tal que f(r)=0.
Taxa de variação
Sejam x1 e x2 dois elementos distintos do domínio de uma função f. Chama-se taxa de
variação média de f entre x1 e x2 a razão:
f ( x1 )  f ( x 2 )
, x1  x 2
x1  x 2
Exercício
1) Dada a função f(x)= 2 x  1, responda:
a) Qual o seu domínio?
b) Qual a imagem de x=5?
c) Qual o valor de x que possui imagem 5?
OBS: Uma função f com valores em IR só está bem definida quando sabemos seu (maior)
domínio e sua lei de correspondência.
Função polinômio
Definição: Um polinômio ou função polinomial P, na variável x, é toda expressão do tipo:
P(x)=a n x n  an1 x n1  ...a2 x 2  a1 x  a0 , onde nIN, ai , i  0,1,..., n são números reais
chamados coeficientes e as parcelas ai x i , i  1,..., n , termos do polinômio. Cada
termo é denominado monômio.
Gráfico: A representação gráfica de um polinômio pode ser feita por pontos. No entanto,
para a representação gráfica de uma função polinômio de grau n>2, num intervalo
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dado, devemos tomar o cuidado de considerar um número suficientemente grande
de pontos do referido intervalo a fim de evitar erros grosseiros de representação.
Os polinômios são usados comumente para modelar diversas quantidades que ocorrem em
ciências sociais e naturais. Por exemplo, os economistas frequentemente usam uma função
polinomial para representar o custo da produção de x unidades de um produto.
4.1 Função afim ou função polinomial do 1o grau
Denomina-se função afim ou função polinomial do 1o grau a função que associa a todo
número real x, outro número real y, tal que:
y=f(x)=ax+b,
onde a e b são constantes reais (a0).
Domínio: O domínio da função afim é IR.
Imagem: IR
Gráfico: Reta não paralela aos eixos x e y.
Interseção da reta com o eixo 0y: (0,b). Assim, o número b chama-se coeficiente linear.
Interseção da reta com o eixo 0x: (-b/a,0). Graficamente, a interseção da reta com o eixo 0x
é o zero de uma função do 1o grau.
O valor –b/a é a raiz dessa função. A taxa de variação de uma função do 1o grau é constante
e igual ao coeficiente a.
 x1,x2  IR, x1x2.
O número real a é denominado coeficiente angular ou declividade da reta.
Graficamente:
Funções crescentes e decrescentes:
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A função afim é crescente se, e somente se, o coeficiente angular for positivo, isto é, se, e
somente se, a>0.
A função afim é decrescente se, e somente se, o coeficiente angular for negativo, isto é, se,
e somente se, a<0.
4.1.1 Função constante:
Seja f(x)=ax+b. Se a=0, a função polinomial do 1o grau se torna de grau zero e é chamada
de função constante. Assim, teremos f(x)=b
Domínio: IR.
Imagem: {b}
Gráfico: reta paralela ao eixo x, passando pelo ponto (0,b).
Sinais de uma função
Seja f: A  IR  B  IR.
Para que valores de x temos f(x)>0, f(x)=0 e f(x)<0?
Resolver esta questão é estudar o sinal da função.
 Para saber quando f(x)>0, temos que determinar os valores de x, onde y>0, ou seja,
os valores de x em que o gráfico está acima do eixo x.
 Para saber quando f(x)=0, devemos determinar as raízes da função, ou seja, os
valores de x onde o gráfico corta esse eixo.
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 Para saber quando f(x)<0, temos de determinar os valores de x onde y<0, ou seja, os
valores de x onde o gráfico está abaixo do eixo x.
No caso da função afim, como o zero da função (f(x)=0) é x=-b/a, podemos verificar que:
Exercícios
1) Determine o domínio, imagem e esboce o gráfico de cada uma das funções
seguintes:
a) f(x)=y= -8
b) f(x)=y=-3x
c) f(x)=y=3x-6
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Exercícios propostos
1)
2)
3)
4) (UNIRIO) Sejam f e g funções tais que f(x)= 5x+2 e g(x)=-6x+7. Determine a lei
que define a função afim h, sabendo que h(-5)=1 e que o gráfico de h passa pelo ponto
de interseção dos gráficos de f com g.
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5) Determine o domínio, imagem e esboce o gráfico de cada uma das funções
seguintes:
a) f(x)=y= 
b) f(x)=y= x/3
c) f(x)=y=-3x+1
6)
a)
a)
c)
b)
13)
d)
c)
7)
14)
a)
b)
b)
c)
Respostas:
1) A 2) a) $12,90 b) 21km 3) a) firma 3 b) 20 dias 4) h(x)=(3/5)x+4
5) a) D=IR, Im={} b)D=IR, Im=IR
c) D=Im=IR
6)a)y=-x/7 + 4/7 D(f)=Im(f)=IR /b)y=-3x-6; D(f)=Im(f)=IR c) y=1;D(f)=IR, Im(f)={1}
7)a)y=-3x+11;D(f)=Im(f)=IR/ b)y=-4x-20; D(f)=Im(f)=IR/ c) y=-4; D(f)=IR, Im(f)={-4}
Inequações produto
Sendo f(x) e g(x) duas funções na variável x, as inequações
f(x).g(x)>0, f(x).g(x)<0 , f(x).g(x) 0 e f(x).g(x) 0 são denominadas inequações produto.
Exemplo: Resolva a inequação (2x-1)(x+4)>0
1o.) Faremos inicialmente o estudo dos sinais das funções f(x) =2x-1 e g(x)=x+4
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2o.) Faremos um quadro-produto, no qual figuram os sinais dos fatores e sinal do produto.
Exercício:
1) Determine os valores de x que verificam cada uma das seguintes desigualdades:
a) (-3x+2)(x+1)<0
b) –2x(x-1)(3x+4)<0
2) Obtenha o domínio da função f(x)= (3x  5)( x  4)(1  2 x).
Exercícios propostos
1)
2)
Inequação quociente
Sendo f(x) e g(x) duas funções na variável x, as inequações:
f ( x)
f ( x)
f ( x)
 0,
 0,
0
g ( x)
g ( x)
g ( x)
e
f ( x)
 0 são denominadas inequações quociente.
g ( x)
As regras de sinais do produto e do quociente de números reais são análogas. Na resolução
de inequaçoes quociente, podemos, portanto, usar o quadro de sinais.
Exemplo:
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Resolva a inequação
( x  3)(1  x)
 0.
( x  2)
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