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(Aula03-Top3) Continuidades 1
Aula03-Top3-Exercitando(Link )
EXERCITANDO
Nos exercícios 1 a 16, verifique se a função dada é contínua no valor indicado:
| x 1|
, c  1;
x2  4
4. j(x)  x se x  1, c  1;
 1 se x  1
1. f (x)   3x 3  x  1 , c  1;
2
2. g(x) 
x 1
3. h(x)   1 se x  0, c  0;
 1 se x  0
2

 x  4 se x  2
5. m(x)   x  2
, c  2;

3
se
x

2

2

x  1 se x  2
7. F(x)   3x
, c  2;

se x  2

 2
 2
9. H(x)  x  x2 se x  1, c  1;
x  x
se x  1
 x  1 se x  0

11. N(x)   1  x se 0  x  1, c  0 e c  1;
x 2  1 se x  1
2
 x


se x  
 4x  3 se x  3
8. G(x)  | x  1 | se x  1, c  1;
1 se x  1

| x 1|


10. M(x)   x  1 se x  1, c  1;

0 se x  1

3x  1 se x  0

12. p(x)  1  x 2 se 0  x  2 c  0 e c  2
 x  2 se x  2
 x2  1
se x  1

14. r(x)   x 2  [x]
, c  1;

1 se x  1
 
13. q(x)  (x  1)[x  1], c  1 ;
15. P( x)  1  cos x
2
6. n(x)   2x  3 se x  3 , c  3;
, c  ;
1 se x  
1

16. Q(x)  x sen x se x  0, c  0 .

0 se x  0
Nos exercícios 17 a 28, determine os maiores intervalos em que a função dada é
contínua:
17. f ( x)  x2  4 ;
18. g( x)  9  x2 ;
19. h( x)  x2  2 x ;
20. j( x)  x3  x ;
23. n( x) 
26. r(x) 
x
4
x  x2
21. k ( x) 
;
x2 1 ;
x 6
x2
24. p( x) 
1
;
1 x
x 1
x2  1
x 1
;
2x
x3
25. q ( x) 
;
x 1
x cos 1
x.
28. u(x) 
1 x
22. m( x) 
;
1
x
27. s( x)  x sen ;
 3x  3 se x  1

29. Verifique se a função f (x)   x 2  1 se  1  x  1 é contínua em (  ,  ).
x 3  2x se x  1
Nos exercícios 30 a 33, encontre os valores das constantes a e/ou b, para que a
função dada seja contínua em ( ,):
(Aula03-Top3) Continuidades 2
 2
30. f (x)  a 2  x se x  1;
x  2 se x  1
 x  a se x  2

32. h(x)  ax2  b se  2  x  2;
 b  x se x  2
x  b se x  2
2  bx  3 se x  2;
x

31. g(x)  
 x 2  2a se x  1

33. j(x)   ax  bx se 1  x  3.
 bx 2  ax se x  3
34. Seja f a função f ( x )  m x n , onde m e n são inteiros positivos. Encontre os valores
de m e n para que f seja contínua nos intervalos dados:
(a) (  , 0];
(b) [ 0,  );
(c) (  ,  ).
35. Dê exemplos de funções f e/ou g descontínuas num valor c, tais que:
(a) f  g seja contínua em c:
(b) f  g seja contínua em c;
(c) fg seja contínua em c;
(d) gf seja contínua em c.
36. Dê um exemplo para mostrar que o produto de uma função contínua por uma função
descontínua, pode ser uma função contínua.
37. Dê exemplo de uma função f que seja descontínua, mas que | f | seja contínua.
3
38. Mostre que a função f ( x )  g ( x)  g( x)  1
lim g( x)  1 e lim g( x)  1.
x c
é contínua em
c, se:
g(c)  0,
xc
39. Mostre que a função f (x)  senx x se x  0 e f (0)  1 é contínua em 0.
40. Sejam f uma função contínua num intervalo I, a e b valores em I. Se f ( a ) e f ( b )
são valores com sinais contrários, mostre que a equação f ( x )  0 tem pelo menos uma
raiz real no intervalo [ a , b ].
41. Mostre que a equação x3  x 2  x  12  0 tem uma raiz real entre  1 e
0. Use a
média aritmética dos extremos do intervalo [1, 0] para achar um intervalo de
amplitude menor onde esteja essa raiz; repita o processo até encontrar um intervalo de
amplitude igual a 81 e calcule uma aproximação para o valor da raiz nesse intervalo.
42. Mostre que a equação x 6  1  x  0 tem pelo menos uma raiz real e use o processo
do exercício anterior para achar uma aproximação para o valor dessa raiz.
43. Mostre que toda equação polinomial de grau ímpar, tem pelo menos uma raiz real.
44. Seja f uma função definida num valor x0 , diz-se que x 0 é um valor fixo de f se
f  x 0   x 0 . Se f é contínua em [a, b] e f ( x ) [ a , b ] para todo x  [a, b], mostre que
f tem um valor fixo em [a, b], isto é, a equação f ( x )  x tem solução em [a, b].
Sug.: usar o teorema do valor intermediário (enunciado no final do tópico 3 desta
(Aula03-Top3) Continuidades 3
aula).
45. Seja f uma função contínua e crescente em [a, b], mostre que f tem uma inversa
crescente em [f (a ), f ( b)].
46. Seja f uma função contínua e decrescente em [a, b], mostre que f tem uma inversa
decrescente em [f ( b), f (a )].
RESPOSTAS (Exercícios ímpares)
1. contínua; 3. descontínua; 5. descontínua; 7. contínua; 9. descontínua;
11. descontínua em 0 e contínua em 1; 13. contínua; 15. descontínua;
17. (  , 2] e [ 2,  ); 19. (  , 0] e [ 2 ,  ); 21. (  ,1); 23. ( 0,1);
25. (, 1) e [3, ); 27. ( ,0) e (0,); 29. descontínua;
31. 1 ; 33. a  b   1 ;
35. (a) c  0, f (x)   1 se x  0 e g(x)   1 se x  0 ,
 1 se x  0
 1 se x  0
(b) c  0, f (x)  1 se x  0 e g(x)   1 se x  0 ,
1 se x  0
 3 se x  0

(c) c  0, os exemplos do item a,

 1 se x  0
(d) f (x)   x
37. f (x) 


 0 se x  0
1 se x  0
1 se x  0
 1 se x  0

e g(x)   x 2
;

1
se
x

0

pois | f ( x )|  1 para todo x; 41.  0,6875 .
3
4