PDF do Artigo - Gazeta de matemática

GAZETA
DE
27
MATEMÁTICA
Produfos
por Graciano
Infinitos
Neves
§ 1 — Consideremos o produto infinito
(1.1)
n
em que supomos
o
-
n
:
teremos
t-i
2
o
l o g Pm =
Passando aqui aos limites
conclui-se q u e :
2
o
lo
2
para
< e
para m > ml (e) segue-se que
s
I. A c o n d i ç ã o necessária é suficiente para
que o produto (1. 1) c o n v i r j a para um
número superior a z e r o é que seja
(2. 1)
Inversamente se a série (1. 2) é c o n v e r gente é também convergente e diferente de
zero o produto (1. 1).
Se o p r o d u t o infinito é nulo ter-se-á
o?
2 log W„ = — oo
0
e inversamente.
I I I . S e o produto (1. 1) é
diverge também a série (1, 2).
l ü 8 w*>
WÍ = ™
e representando por P e S respectivamente
os valores do produto infinito e da Bérie
tem-se
log P S.
II.
I V . Re a série (1. 2) diverge o p r o d r u t o
(1. 1) é divergente ou nulo.
•
I . Se o produto ( 1 - 1 ) é c o n v e r g e n t e e
diferente de zero ó convergente a série
(1. 2)
Oliveire
§ 2 — A consideração da série (1. 2 ) e m
correspondência com o p r o d u t o (1- 1) permite tirar facilmente de propriedades c o n h e cidas das séries outras para produtos infinitos. Assim c o m o a c o n d i ç ã o necessária e
suficiente de c o n v e r g ê n c i a da série ( 1 . 2 )
é que seja
> 0 . Seja
pm =
de
divergente,
1—
< 1 + 3
para m > m l (3) .
I I . Desta c o n d i ç ã o segue-se imediatamente, fazendo p --»-4- oo , que em p r o d u t o
infinito c o n v e r g e n t e e não nulo o resto de
o r d e m m , Qm =
• o > „ + p • • • tende para a
unidade, quando m tende para o infinito.
I I I . P r o d u t o infinito em que seja w „ < l
é sempre convergente.
D e facto neste c a s o teremos
logwn<0
e portanto a série (1. 2 ) ó convergente ou
divergente para — oo , isto é, (1. 1) é c o n vergente, significativo ou nulo. Se f o r significativo dá-se o c a s o da série (1. 2) c o n v e r g i r .
Portanto log i<)„ tende para zero ou seja » „
tende para a unidade. Quer dizer, na hipó-
28
GAZETA
teso posta o produto só pode ser significativo se w„ tender para 1.
IV.
E m qualquer
produto infinito
vergente e não nnlo
tende para a uni-
É
o
que
imediatamente
se concluiu
igualdade ( 2 . 1), fazendo p =
da
0.
§ 3 — Seguem-se agora alguns critérios de
convergência para produtos infinitos de factor
geral superior à unidade.
I.
Se existe um número
1 tal quo
^ w„ t a partir de certa o r d e m , então
log^Wl
log w„
.
x -j- &n + 1
e o teorema de KUMMKR s o b r e séries permite afirmar a c o n v e r g ê n c i a de
2
Converge
um
pois
o
produto
para
valor
diferente de z e r o .
E m particular, fazendo k n •= n tem-se que
o p r o d u t o c o n v e r g e se se verificar
n+ I
n
o que aliás também se conclni, aplicando o
critério I .
§ 4 — Neste parágrafo e seguintes não
suporemos j á , salvo indicação em contrário,
que
> 1.
c o n v e r g e e é diferente de z e r o .
De facto de
MATEM ATIÇA
D e facto daquela condição vem
con-
dade.
DE
tira-se
V a m o s provar que se a sucessão
k
log (iijt
e pelo critério d'AnsMUEKT c o n v e r g i r á
série ( 1 . 2 j e portanto o produto (1. 1).
II.
k <
Se
existem
os
1 tais que
o r d e m , então
números
a > 1
a
e
c o n v e r g e e é diferente
de z e r o .
é convergente e significativo.
D e facto nesta hipótese
^ alter-
nada decrescente de termo geral evaneccente
pelo que c o n v e r g e . C o n v e r g i r á pois
JXMn
que será diferente de z e r o .
Teremos
§ 5 — Do
log &>„< &" l o g a
e o segundo membro é termo geral
série c o n v e r g e n t e pelo
que
2
duma
log»*
v e r g e , ficando pois estabelecida a p r o p o s i ç ã o .
III.
1
1
i — i &1a i ~ ~ > • *'
">1
"'3
tende monotònicamente para a unidade J^J
a partir de certa
n « «
('>o
Se existirem números positivos
a ,k0
+
M*
B+1
de
CATALAN (})
pode
de
c o n v e r g ê n c i a para o produto
Se I J " » é convergente, diferente de zero,
se
6i„ > 1
e se
w„
decresce,
quando
n
verificará
a
cresce então
lim u n' =
, • • • k„
que façam, a partir de certa o r d e m ,
teorema
tirar-se a seguinte c o n d i ç ã o necessária
De
facto
a série
l,
^J^SW»
hipótese do teorema de C A T A L A N e portanto
1 X< ÍO*»
H
então J J u„ c o n v e r g e e é diferente de z e r o .
í 1 ) Cuja
GOHÇALVBB,
demonstração se p o d e ver em V I C K N T H
Liçtfct de Cálculo e Geometria, p á g . 1 0 .
/
GAZETA
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MATEM ATIÇA
lim nleg
= 0
ou
donde
,
P
log — < I l o g wH I
(8. 1)
lima* — 1 .
§ 6 — Suponhamos que
J J t^n verifica a
ou ainda
ordem m
designando
hipótese de c o n v e r g ê n c i a do § 3. L Seja
supondo
>• 1 teremos
l o g — < l o g Qm < l o g «„,
h logt,<„ -(- A2 i o g w . + •• • =
l o g <om = l o g
1
1-*
donde
1 < Qm < 0<m
donde
< Qm< W»
se tivéssemos suposto
_1_
§ 7 — Se agora
l—k
chegar-se-ia a
<•>„ satisfaz a hipótese
Quer
+ • • •) log a =
dizer
1-*
<Q„<a1~\
§ 8 — Consideremos um produto que cumpra a hipótese de § 4. Designemos o seu
valor p o r P .
Teremos
§ 9 — Seja
|log P — log P „ | < | Iog o>m I
de
ordem
m
está
w„ =
1 4- w„ .
Suporemos
p o d e n d o no entanto ttB ser posi-
tivo ou não. C o m o se sabe diz-se que
é absolutamente c o n v e r g e n t e se n C l + j^nj)
convergir.
Seja
w„
Wn
l o g P = l o g » o +•>/?' + l o g w » -j- •••
C o m o era série alternada decrescente de
termo geral evanescente o e r r o que se
comete, quando tomamos
(soma dos primeiros m termos) pela soma da série é em
valor absoluto inferior a o m ó d u l o do primeiro termo desprezado temos
resto
sempre entre os números oi« e —— .
l o g a = log a 1-fc
donde
o
1
| «n | < 1 )
1
tom<l
•
d o § 3. I I . teremos
log Qm < (ka +
o resto de
| l o g G . | < | log o « |
0 < l o g Q™ = logw™ + logw J B + 1 + l o g o m + 3 +
h
Qm
— | l o g D . | < l o g Qm < | l o g wm |
pondo — = h teremos
k
l
por
donde
Qm = «». •
+ ••• < l o g +
m
1
I.
=
Se J J Wn
se w„ > 1
1
se w n < l *
c o n v e r g e o produto infinito
é absolutamente convergente.
Designemos
por
P'
o valor de
J J Wn
e seja
P'm =
W0-
Wx
...
e
P : - ( 1 + | « o I ) - ( I + ! « 1 !)•••(! +
|«-j().
30
GAZETA
Sendo
un > 0
será
1 + w„ — « „ > 1
e
i +
w
00
2 Ê„ log &>„ =-- 2 l ° g »i*
0
0
|«nj=irn.
Suponhamos agora un < 0 . De
(1 -
u„) (1 + « . ) = 1 -
converge e sendo S a sua soma tem-se
«» < 1
( 1 0 - 1)
vem
como
1 — M„ =
| S | < E 0 l o g ^ = log^E"
segue-se
l—ua<
pois
que
converge
o
Representando por P
1 + Un.
1 + | ua \ e
MATEM ATIÇA
P o r um teorema de ABEL(') a série
portaDto
(9.1)
DE
1
wn
1 + M„
atendendo a que
produto
o seu valor,
é S = log P
e a (10. 1)
temos
vem
|Iog P | < log At0
(9- 2)
1 + | a „ l < Wn
donde
log A~h <; log P
por (9, 1) e (9. 2) podemos escrever
log
ou
P'i<PL
e c o m o P'm nunca decresce, quando m cresce
§ 11 — C o m o
P„<P'
c o m o PH, também nunca decresce, quando
m cresce existirá o limite de P'm e o produto considerado será absolutamente convergente.
m
§ 10 — Se X I W n ^ A então elevando os
o
sucessivos factores de H «>„ a números
positivos e decrescentes para zero SQ.EJ,-..
• f^-j.Sd r • • • obtém-se um novo produto infinito
convergente
e
não
seja divergente.
m
De XI
o
como
Tr »<- d vem
n
2
o
nulo
ainda
que
1(>g
e
log
">n < 2 l 1 ° s " « ! = 2 1 ° g
o
o
podemos escrever
2
o
l o S w«
< log^l.
demonstra-se
que
I. Produto infinito absolutamente convergente é convergente.
II. O valor dum produto absolutamente
convergente é independente da ordem dos
termos.
III. Produto infinito absolutamente convergente em que seja J « „ J < 1 é sempre diferente de zero.
§ 12 — Se
H(l+w
n
)
é
absolutamente
convergente também será convergente o produto n
W
- •
Efectivamente pelas proposiçOes I e III do
§ 11 o produto
2
o
se sabe
W
»
XX")«
será convergente e
diferente de zero logo a série
(12. I)
('} Cuja demonstração
Fourierreihen, pág\ 89.
AE
podo ver
EM
G.
TOLSTOW,
GAZETA
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MATEM ATIÇA
será também convergente. Em virtude da
convergência absoluta do produto J J ^ n podemos alterar a ordem dos seus termos sem
que o seu valor se modifique. Segue se daí
que a soma da série (12. 1) não depende da
ordem dos termos, pois a sua soma em qualquer caso tem de ser o logaritmo do valor
do produto JJ(t>„, L o g o esta série deverá
convergir absolutamente, visto que no caso
contrário (teorema de RIEMASN) a sua soma
dependeria da ordem dos termos.
Converge pois
Sendo ]
&J„ absolutamente
será convergente a série
6
tanto será absolutamente convergente a série
2
lo6
«» •
Seja l i wí, um produto extraído do dado.
A série 2
2log«„
mente
u«
ser^
uma série extraída de
e por consequência será absolutaconvergente.
2logTF£
Convergirá
convergirá
sição.
Pondo
e portanto
H^í,,
Combinando esta proposição com a proposição I do § 9 :
É condição necessária e suficiente de convergência absoluta dum produto infinito,
que convirja o produto que dele se obtém,
conservando os factores superiores à unidade
e invertendo os inferiores.
teremos c o m o se sabe das séries
§ 1 3 — Pode agora provar-se fàcilmente
que se XI'''n ^ absolutamente convergente
por P x
também T T
e
será absolutamente conver-
\S'\<S
em que
S ê
De facto se XI r , > n
Representando por P' o valor de XXw'n e
o valor de J J W n teremos
S' = log P'
S = log P i
^ absolutamente con-
vergente pelo teorema do § 12
absolutamente,
podemos pois escrever
convergirá
]| IV„ . E agora pelo teorema I do § 9 conJ} —
a soma da série cujos termos
são os módulos dos termos de
gente (supSe-se r<>„ > 0 ) .
TT —
pois
com o que fica provada a propo-
e
I log oi» | --- log W„
X
por-
S-Slog®»
e como
vergirá
convergente
pois
que
também é o produto que se obtém de
por inversão dos factores inferiores
| log P' j < log Pi
donde
l o g ™ < log P ' < l o g P ,
1 i
e portanto
á unidade e conservação dos restantes.
P,
§ 1 4 — Qualquer produto extraido do produto
absolutamente
convergente
XT (»„
também absolutamente convergente.
é
§ 15 — Suponhamos
convergente.
XIabsolutamente
GAZETA DE MATEM ATIÇA
32
Seja
Sabe-se
" . = 1 + «»)
p-TJ»*
teremos evidentemente
ou
| log P | < log P'
donde
pt
JJun
é simplesmente conver-
gente e diferente de z e r o , será simplesmente
convergente
a série
convergiria
2
l o g W~n
P°'8
e
o
produto
senão
seria
absolutamente c o n v e r g e n t e contra a hipótese.
P o d e pois (teorema de HIEMANN) p o r alteração conveniente da ordem dos termos fazer
2
logft>fl= l o g ^ J J
assumir qualquer va-
lor prèviamente d a d o . L o g o :
Se um produto ó simplesmente c o n v e r gente e diferente de zero p o d e dele obter-se,
alterando a ordem dos termos outro produto que tenha qualquer valor positivo.
§ 17 — Sabemos que o estudo da c o n v e r gência dum produto infinito se pode fazer
de vários m o d o s p o r intermédio duma série.
Assim a série
+ ( p
n
em que 6 Pm = X I
-
+
...
Pr..
m
com
D a d o pois o produto
XIpoderemos,
em certos c a s o s , determinar a sua natureza
pelo estudo das séries ( 1 7 . 1) e (17. 2). A o
contrário d o que acontece nestes casos na
aplicação prática dos critérios de convergência de produtos infinitos que d e m o s atrás não
há que considerar série alguma. C o m o dissemos o estudo da natureza dum produto infinito pode fazer-se p o r intermédio duma série.
Inversamente o estudo da natureza duma
Bérie pode fazer-se também p o r intermédio
dum produto infinito. Assim se provarmos
que XX
^ c o n v e r g e n t e fica provada a
convergência da série ( 1 7 . 1) e no caso de
ser k„ >• 0 fica assegurada a convergência
da série ( 1 7 . 2 ) p o r um teorema c o n h e c i d o .
Damos agora um e x e m p l o duma Bérie cuja
convergência se pode p r o v a r por meio de um
produto infinito.
Seja
(17.3)
+
-
+
(n + 1)2"
0
o termo geral pode escrever-se
_ ( g » +
lí n ™
3)*-
x .
+ 1 ) '
Consideremos o produto infinito
é c o n v e r g e n t e quando
e só quando o f o r XX w„, pois que a soma
a
,
U0 + Mj -)- . . . + « „ 4 - . . .
o
d o s primeiros
XX
é convergente sempre que o
(n
( 1 7 . 1)
que
for a série
(17. 2)
§ 10 — Se
também
termos da série é
igual
Vn
0
+
1
/
. , , ..
, 2 n+ 3 ^ ,
é fácil ver que ó - —
> - 1 para n _> — 1
» +
1
G \ZBTA
DE
33
MATEMATICA
e portanto o factor geral do produto (17. 4)
é superior à unidade. Por consequência o
termo geral da série (17. 3) é positivo.
2K + 3 < 3 ( > I + 1)
« + 1
< 3
e daqui
MOVIMENTO
«SESIONES
n+l)
N O T A — Todos os teoremas a que nos referi/nos sem. dar a demonstração
se podem
encontrar em V I C E N T E G O N Ç A L V E S , Curso de
Álgebra Superior (1944), excepto os teoremas
de C A T A L A N e A U K L mencionados
respectivamente nos §§ 5 e 10.
donde
2» + 3
V
X
< 3 2»
e pela proposição II do § 3 podemos afirmar
que o produto (17. 4) converge o mesmo
acontecendo pois à série (17. 3).
Podemos escrever sucessivamente:
2n<3n,
/ S B + 3 \ -h
MATEMÁTICO
DE M A T E M Á T I C A »
Integradas nas c o m e m o r a ç õ e s d o 150.° aniversário
da independência da A r g e n t i n a , tiveram l u g a r em
Buenos Aires e L>a Plata, de 122 a 27 de Setembro de
i 9 6 0 , p r o m o v i d a s peia Unión M a t e m á t i c a A r g e n t i n a ,
nSesionea de Matemática^ que c o n g r e g a r a m um numeroso g r u p o de cientistas.
D o Brasil foram e s p e c i a l m e n t e c o n v i d a d o s , e a p r e sentaram trabalhos: L B O P O L D O N A C R U I M e E L O M L A G E S
LIMA
DA
(do
SCKONBEKO
U- M - AIMPA),
e
CAHOIDO
CU*IM
HÜNING
DA
SILVA
DIAS,
MÁEIO
(da U n i v e r s i d a d e de
P a u l o ) , K . T . C H B H (do I T A ) ,
Josí: M O K O A D O (do I . F. M . ) ;
A.
PKHKLBA
GOMKH
S.
e
Entre os m a t e m á t i c o s estrangeiros assinalamos
ainda a presença de A M T Ó H I O M O N I E I F O , C H A B L B *
EHREHHANN,
S.
A.
ZYOHUND,
S,
LEFBCHETZ,
P.
ALEHITS
E
EILENHERQ.
FUNDAÇÃO DA UNIVERSIDADE DE BRASlllA
No momento em que transitava pelo C o n g r e s s o
Nacional o P r o j e c t o <!e Lei que cria a F u n d a ç ã o da
Universidade d e Brasília, a Sociedade Brasileira p a r a
P a r a tratar das questões relativas ao Instituto
Central de Matemática d a Universidade de Brasília,
f o r a m c o n v o c a d o s para esta aMesa R e d o n d a « os
o Progresso da C i ê n c i a p r o m o v e u no R i o de J a n e i r o ,
em O u t u b r o de 1960, uma « M e s a r e d o n d a s de c i e n tistas alim de d i s c u t i r e assentar as linlias g e r a i s da
o r g a n i z a ç ã o da futura U n i v e r s i d a d e , destinada a c o n s tituir, no Brasil, novo padrão de trabalho universitário.
LEOPOLDO NACUEI« (do I M P A ) e A. PEBEIBA
( d o IKM.J.
P r o x i m a m e n t e , a « G a z e t a do M a t e m á t i c a » , p u b l i c a r á um esquema d a estrutura da U n i v e r s i d a d e de
Brasília.
Profs.
GOMES
NOTICIÁRIO
E m Setembro de 1960 foi c r i a d o , na U n i v e r s i d a d e
de S P a u l o , o Instituto de Pesquisas Matemáticas, c o m
as seguintes finalidades: a) p r o m o v e r e estimular o
estudo e pesquisas nos d o m í n i o s d a Matemática Pura
e A p l i c a d a ; b) c o l a b o r a r para a f o r m a ç ã o de p e s q u i sadores e pessoal docente superior no sector da M a t e m ática.
— Realizar-se-á, em Julho de 1961, o 3.' Colóquio
Brasileiro
de Matemática,
c o m a p a r t i c i p a ç ã o de
t o d a s as instituições universitárias brasileiras fiedicadas às Ciências Matemáticas, e para o qual estão
sendo c o o v i d a d o s a l g u n s matemáticos estrangeiros
interessados no d e s e n v o l v i m e n t o cientifico deste país.
— O Conselho
Nacional
de
Pesquisas
designou,
para exercer as funções de m e m b r o d o Conselho
Orientador d o Instituto de Matemática Pura e ApJic a d a ( I M P A ) d o R i o de Janeiro, c o m mandato de
três anos, o Prof. A. P E H E I R A G O M E S do 1. F. M. da
U n i v e r s i d a d e do R e c i f e .
_ N „ j, p . u . d a U n i v e r s i d a d e d o R e c i f e , t e v e i n í c ; 0 e m O u t u b r o de 1960 um seminário de Estatística
M a t e m á t i c a sobre « A n á l i s e <ie V a r i â n c i a » , d i r i g i d o
p e [ „ p r o f . M. Z A L U A B N U M E S , CDID a c o l a b o r a ç ã o do
Prof. JOSÉ MOBGADO.
M. z. e p. o .