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Exercícios de Matemática
Logarítmos
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
(Ufpe) Na(s) questão(ões) a seguir escreva nos
parênteses a letra (V) se a afirmativa for verdadeira
ou (F) se for falsa.
1. Sejam as funções f:IRëIR e g:(0,+¶)ë|R dadas
respectivamente por f(x)=5Ñ e g(x)=log…x. Analise as
afirmativas a seguir:
( ) f(x) > 0
¯x Æ |R.
( ) g é sobrejetora.
( ) g(f(x)) = x ¯x Æ |R.
( ) g(x) = 1 Ì x = 5
( ) Se a e b são reais e a < b, então f(a) < f(b).
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
(Cesgranrio)
A pressão atmosférica p varia com a altitude h
segundo a lei h = a + b log p, onde a e b são
constantes.
2. Medindo a altura h em metros, a partir do nível do
mar, e medindo a pressão p em atmosferas, os
valores das constantes a e b satisfarão:
a) a < 0 e b > 0
b) a < 0 e b < 0
c) a = 0 e b < 0
d) a > 0 e b < 0
e) a > 0 e b > 0
3. (Ufpr) Considere o conjunto S={1,2,-1,-2}. É correto
afirmar que:
01) O total de subconjuntos de S é igual ao número
de permutações de quatro elementos.
02) O conjunto solução da equação (x£-1)(x£-4)=0 é
igual a S.
04) O conjunto-solução da equação
2log•³x=log•³3+log•³[x-(2/3)] está contido em S.
08) Todos os coeficientes de x no desenvolvimento
de (x-1)¥ pertencem a S.
4. (Fatec) Seja a progressão aritmética (..., x,
logŠ(1/n), logŠ1, logŠn, logŠn£, y,...)
com o n inteiro, n µ 2.
Os valores de x e y são, respectivamente,
a) 0 e logŠn¤
b) logŠ(1/n£) e 2
c) -1 e logŠn¥
d) 0 e 3
e) -2 e 3
5. (Pucsp) Em 1996, uma indústria iniciou a
fabricação de 6000 unidades de certo produto e,
desde então, sua produção tem crescido à taxa de
20% ao ano. Nessas condições, em que ano a
produção foi igual ao triplo da de 1996?
(Dados: log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48)
a) 1998
b) 1999
c) 2000
d) 2001
e) 2002
6. (Unicamp) A função L(x) = aeöÑ fornece o nível de
iluminação, em luxes, de um objeto situado a x
metros de uma lâmpada.
a) Calcule os valores numéricos das constantes a e b,
sabendo que um objeto a 1 metro de distância da
lâmpada recebe 60 luxes e que um objeto a 2 metros
de distância recebe 30 luxes.
b) Considerando que um objeto recebe 15 luxes,
calcule a distância entre a lâmpada e esse objeto.
7. (Cesgranrio) Explosão de Bits
A velocidade dos computadores cresce de forma
exponencial e, por isso, dentro de alguns anos
teremos uma evolução aceleradíssima. Para o
inventor Ray Kurzweil, um computador de mil dólares
tem hoje a mesma inteligência de um inseto. No
futuro, ele se igualará à capacidade de um rato, de
um homem e, finalmente, de toda a humanidade.
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sido colocada na sala, a temperatura do café se
reduziu à metade.
9. (Unifesp) A área da região hachurada na figura A
vale log•³ t, para t>1.
Revista Superinteressante, ago. 2003 (adaptado).
Considerando as informações apresentadas no
gráfico acima, que estima a capacidade de
processamento (por segundo) de um computador (C)
em função do ano (a), de acordo com os dados do
texto, pode-se afirmar que:
a) C = log•³ (10a + 8)
b) C = log•³ [(a - 1984)/2]
c) a = 1992 + log•³C
d) a = [(log•³C)/10] - 8
e) a = 1984 + log•³(C)£
8. (Uerj) Segundo a lei do resfriamento de Newton, a
temperatura T de um corpo colocado num ambiente
cuja temperatura é T³ obedece à seguinte relação:
a) Encontre o valor de t para que a área seja 2.
b) Demonstre que a soma das áreas das regiões
hachuradas na figura B (onde t = a) e na figura C
(onde t = b) é igual à área da região hachurada na
figura D (onde t = ab).
10. (Mackenzie) Na seqüência geométrica (x£, x,
logx), de razão q, x é um número real e positivo.
Então, log q vale:
a) 1
b) -1
c) -2
d) 2
e) 1 / 2
11. (Ufpr) Sendo a, b e x números reais tais que
3ò=2ö, 9ö=4Ñ e a · 0, é correto afirmar:
Nesta relação, T é medida na escala Celsius, t é o
tempo medido em horas, a partir do instante em que o
corpo foi colocado no ambiente, e k e c são
constantes a serem determinadas. Considere uma
xícara contendo café, inicialmente a 100°C, colocada
numa sala de temperatura 20°C. Vinte minutos
depois, a temperatura do café passa a ser de 40°C.
a) Calcule a temperatura do café 50 minutos após a
xícara ter sido colocada na sala.
b) Considerando Øn 2 = 0,7 e Øn 3 = 1,1, estabeleça o
tempo aproximado em que, depois de a xícara ter
(01) b = x log‚ 3
(02) Se a = 2, então b < 3.
(04) a, b e x, nesta ordem, estão em progressão
geométrica.
(08) a + b = a log‚ 6
(16) 3 ò ® £ö = 2 ö ® £Ñ
Soma (
)
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12. (Uerj) Em uma cidade, a população que vive nos
subúrbios é dez vezes a que vive nas favelas. A
primeira, porém, cresce 2% ao ano, enquanto a
segunda cresce 15% ao ano.
Admita que essas taxas de crescimento permaneçam
constantes nos próximos anos.
a) Se a população que vive nas favelas e nos
subúrbios hoje é igual a 12,1 milhões de habitantes,
calcule o número de habitantes das favelas daqui a
um ano.
b) Essas duas populações serão iguais após um
determinado tempo t, medido em anos.
Se t = 1/logx, determine o valor de x.
15. (Unitau) Sendo A=C5,2(combinação de 5 dois a
dois), B=log0,01 e C=(2£)-¢, o valor da expressão
A.B.C é:
a) 1.
b) 2.
c) 10.
d) - 5.
e) 5.
16. (Cesgranrio)
13. (Ufpe) Em 2002, um banco teve lucro de um
bilhão de reais e, em 2003, teve lucro de um bilhão e
duzentos milhões de reais. Admitindo o mesmo
crescimento anual para os anos futuros, em quantos
anos, contados a partir de 2002, o lucro do banco
ultrapassará, pela primeira vez, um trilhão de reais?
(Obs.: use as aproximações Øn (1000) ¸ 6,907, Øn
(1,2) ¸ 0,182.)
14. (Ita) Sendo x um número real positivo, considere
as matrizes mostradas na figura a seguir
A soma de todos os valores de x para os quais
(AB)=(AB) é igual a
a) 25/3.
b) 28/3.
c) 32/3.
d) 27/2.
e) 25/2.
Observe os cinco cartões anteriores. Escolhendo-se
ao acaso um desses cartões, a probabilidade de que
nele esteja escrito um logaritmo cujo valor é um
número natural é de:
a) 0
b) 1/5
c) 2/5
d) 3/5
e) 4/5
17. (Unesp) Os biólogos dizem que há uma alometria
entre duas variáveis, x e y, quando é possível
determinar duas constantes, c e n, de maneira que
y=c.x¾. Nos casos de alometria, pode ser conveniente
determinar c e n por meio de dados experimentais.
Consideremos uma experiência hipotética na qual se
obtiveram os dados da tabela a seguir.
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Supondo que haja uma relação de alometria entre x e
y e considerando log 2=0,301, determine o valor de n.
18. (Ufv) Considere as seguintes funções reais e os
seguintes gráficos:
21. (Unesp) Considere a função f, definida por
f(x)=logŠx. Se f(n)=m e f(n+2)=m+1, os valores
respectivos de n e m são:
a) 2 e 1.
b) 2 e 2.
c) 3 e 1.
d) 3 e 2.
e) 4 e 1.
22. (Fuvest) A figura a seguir mostra o gráfico da
função logaritmo na base b.
O valor de b é:
Fazendo a correspondência entre as funções e os
gráficos, assinale, dentre as alternativas a seguir, a
seqüência CORRETA:
a) I-A, II-B, III-C, IV-D
b) I-A, II-D, III-C, IV-B
c) I-B, II-D, III-A, IV-C
d) I-C, II-B, III-A, IV-D
e) I-B, II-C, III-D, IV-A
19. (Mackenzie) Se 2Ñ . 3Ò-¢ = 18Ò/2, então x . y é:
a) 0
b) -1
c) 2
d) -3
e) 1
a) 1/4.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 10.
23. (Fuvest) O número x >1 tal que logÖ2= log„x é:
20. (Fuvest) O número real x que satisfaz a equação
log‚ (12 - 2Ñ) = 2x é:
a) log‚ 5
b) log‚ Ë3
c) 2
d) log‚ Ë5
e) log‚ 3
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24. (Ita) Se x é um número real positivo, com x·1 e
x·1/3, satisfazendo:
(2+logƒx)/(logÖø‚x)-(logÖ(x+2))/(1+logƒx)=logÖ(x+2)
então x pertence ao intervalo I, onde:
a) I = (0, 1/9)
b) I = (0, 1/3)
c) I = (1/2, 1)
d) I = (1, 3/2)
e) I = (3/2, 2)
25. (Unesp) Se a equação x£-b.x+100=0 tem duas
raízes reais n e t, n>0 e t>0, prove que:
log•³(n.t)¾+log•³(n.t) =2b.
26. (Unitau) Se
28. (Fuvest) Pressionando a tecla 'Log' de uma
calculadora, aparece no visor o logaritmo decimal do
número que estava antes no visor. Digita-se
inicialmente o número 88888888 (oito oitos). Quantas
vezes a tecla 'Log' precisa ser pressionada para que
apareça mensagem de erro?
a) 2.
b) 4.
c) 6.
d) 8.
e) 10.
29. (Fuvest) A intensidade I de um terremoto, medida
na escala Richter, é um número que varia de I=0 até
I=8,9 para o maior terremoto conhecido. I é dado pela
fórmula:
I = (2/3)log•³(E/E³)
onde E é a energia liberada no terremoto em
quilowatt-hora e E³=7×10-¤kWh.
a) Qual a energia liberada num terremoto de
intensidade 8 na escala Richter?
b) Aumentando de uma unidade a intensidade do
terremoto, por quanto fica multiplicada a energia
liberada?
30. (Unesp) Seja n>0, n·1, um número real. Dada a
relação
Então o(s) valor(es) real(is) de N que satisfaz(em) ×£×=0 é(são):
a) 0 e 1.
b) 1.
c) 0.
d) 0 e -1.
e) -1 e 1.
27. (Unitau) O domínio da função y = logÖ (2x-1) é:
a) x > 1/2.
b) x > 0.
c) x < 1/2 e x · 1.
d) x > 1/2 e x · 1.
e) x · 1/2.
(n-Ò)/(1+n-Ò) = x
determinar y em função de x e o domínio da função
assim definida.
31. (Fuvest) Seja x=2¢¡¡¡. Sabendo que log•³2 é
aproximadamente igual a 0,30103 pode-se afirmar
que o número de algarismos de x é:
a) 300
b) 301
c) 302
d) 1000
e) 2000
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32. (Unesp) Seja x um número real, 16<x<81. Então:
a) logƒx < log‚x
b) log‚x < logƒx
c) logÖ2 = logÖ3
d) log‚x¤ = 1
e) logƒx£ = 10
33. (Fuvest) Sabendo-se que 5¾ = 2, podemos
concluir que log‚100 é igual a:
a) 2/n
b) 2n
c) 2 + n£
d) 2 + 2n
e) (2 + 2n)/n
36. (Unesp) Seja n>0, n·1, um número real. Se
logŠx=3 log³x para todo número real x>0, x·1, então:
a) n = 3
b) n = 10/3
c) n = 30
d) n = ¤Ë10
e) n = 10¤
37. (Cesgranrio) Se log•³ 123 = 2,09, o valor de log•³
1,23 é:
a) 0,0209
b) 0,09
c) 0,209
d) 1,09
e) 1,209
34. (Fuvest) Considere as equações:
I. log(x + y) = log x + log y
II. x + y = xy
a) As equações I e II têm as mesmas soluções?
Justifique.
b) Esboce o gráfico da curva formada pelas soluções
de I.
35. (Unicamp) Calcule o valor da expressão a seguir,
onde n é um número inteiro, nµ2. Ao fazer o cálculo,
você verá que esse valor é um número que não
depende de n.
38. (Fuvest) Seja f(x) o logaritmo de 2x na base
x£+(1/2).
a) Resolva a equação f(x) = 1/2.
b) Resolva a inequação f(x) > 1.
39. (Cesgranrio) Se log Ë(a) = 1,236, então o valor de
log ¤Ë(a) é:
a) 0,236
b) 0,824
c) 1,354
d) 1,854
e) 2,236
40. (Fatec) Se logƒ2=u e log…3=v, então log…¦Ë(10000)
é igual a
a) u(u+1)/v
b) (4/5) (uv+1)
c) 4(u+v)/5
d) 4uv/5
e) u+v
41. (Fatec) Se 2-¢.2-¤.2-¦.2-¨.... 2¢-£¾=(1/16)Ñ, com n Æ
lN-{0}, então n é igual a
a) 2 log‚x
b) 2 logÖ2
c) 2Ëx
d) xË2
e) 2 + log‚x
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42. (Fei) Se log 2 = a e log 3 = b, escrevendo log
32/27 em função de a e b obtemos:
a) 2a + b
b) 2a - b
c) 2ab
d) 2a/b
e) 5a - 3b
43. (Fei) O valor numérico da expressão 1(log0,001)£/(4+log10000), onde log representa o
logarítimo na base 10, é:
a) 2
b) 1
c) 0
d) -1
e) -2
44. (Ime) Considerando log2=a e log3=b, encontre em
função de a e b, o logarítmo do número ¦Ë(11,25) no
sistema de base 15.
45. (Ita) Seja a Æ R, a > 1. Para que
46. (Ita) Se (x³,y³) é uma solução real do sistema
ýlog‚ (x + 2y) - logƒ (x - 2y) = 2
þ
ÿx£ - 4y£ = 4
então x³ + y³ é igual a:
a) 7/4
b) 9/4
c) 11/4
d) 13/4
e) 17/4
47. (Unicamp) Resolva o sistema:
ýlog‚x + log„y = 4
þ
ÿxy = 8
48. (Uel) Supondo que exista, o logaritmo de a na
base b é
a) o número ao qual se eleva a para se obter b.
b) o número ao qual se eleva b para se obter a.
c) a potência de base b e expoente a.
d) a potência de base a e expoente b.
e) a potência de base 10 e expoente a.
49. (Uel) A solução real da equação -1 = log…[
2x/(x+1) ] é
a) 1/9
b) - 1/5
c) - 1
d) - 5
e) - 9
o valor de a é:
a) 2
b) 3
c) 5
d) 9
e) 10
50. (Uel) Admitindo-se que log…2=0,43 e log…3=0,68,
obtém-se para log…12 o valor
a) 1,6843
b) 1,68
c) 1,54
d) 1,11
e) 0,2924
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51. (Ufmg) Observe a figura.
54. (Unirio) Na solução do sistema a seguir, o valor
de x é:
ýlog (x+1) - log y = 3 log 2
þ
ÿx - 4y = 7
a) 15
b) 13
c) 8
d) 5
e) 2
Nessa figura está representado o gráfico da função
f(x) = log‚ 1 / (ax + b).
Então, f (1) é igual a
a) -3
b) -2
c) -1
d) -1/2
e) -1/3
55. (Unesp) Em que base o logarítimo de um número
natural n, n>1, coincide com o próprio número n?
a) n¾.
b) 1/n.
c) n£.
d) n.
e) ¾Ën.
56. (Unesp) A figura representa o gráfico de y=log•³x.
Sabe-se que OA=BC. Então pode-se afirmar que:
52. (Ufmg) Os valores de x que satisfazem a equação
logÖ (ax + b) = 2 são 2 e 3.
Nessas condições, os respectivos valores de a e b
são
a) 4 e - 4
b) 1 e - 3
c) - 3 e 1
d) 5 e - 6
e) - 5 e 6
53. (Ufmg) O valor de x que satisfaz à equação
2 log x + log b - log 3 = log (9b/x¥), onde log
representa o logaritmo decimal, pertence ao intervalo
a) [0, 1/2]
b) [1/2, 1]
c) [1, 2]
d) [2, 3]
e) [3, 4]
57. (Unesp) Sejam i e j números reais maiores que
zero e tais que i.j=1. Se i·1 e log‹ x=logŒ y, determine
o valor de xy.
58. (Unaerp) Se log‚b - log‚a = 5 o quociente b/a,
vale:
a) 10
b) 32
c) 25
d) 64
e) 128
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59. (Ufc) Considere a função real de variável real
definida pela expressão a seguir.
61. (Uece) Sejam Z o conjunto do números inteiros,
V• = {x Æ Z; 1 - 2log‡Ë(x+3) > 0} e
V‚ = { x Æ Z; (7Ñ/Ë7) - (Ë7)Ñ/7 µ 0}.
O número de elementos do conjunto V º V‚ é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
Determine:
a) o domínio de F;
b) os valores de x para os quais F(x) µ 1.
60. (Uece) Seja k um número real positivo e diferente
de 1. Se
62. (Mackenzie) Se f de IRø* em IR é uma função
definida por
f(x) = log‚x, então a igualdade f­¢(x + 1) - f-¢(x) = 2 se
verifica para x igual a :
a) 1/2.
b) 1/4.
c) Ë2.
d) 1.
e) 2.
63. (Ufsc) Se os números reais positivos a e b são
tais que
ýa - b = 48
þ
ÿlog‚ a - log‚ b = 2
calcule o valor de a + b.
então 15k+7 é igual a:
a) 17
b) 19
c) 27
d) 32
64. (Mackenzie) Se f (x + 2) = 12.2Ñ, ¯ x Æ IR, então
a solução real da equação f (x) - log‚ | x | = 0 pertence
ao:
a) [-3, -2].
b) [-2, -1].
c) [-1, 0].
d) [0, 1].
e) [1, 2].
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65. (Ufc) Sendo a e b números reais positivos tais
que:
69. (Fuvest) Se log•³8 = a então log•³5 vale
a) a¤
b) 5a - 1
c) 2a/3
d) 1 + a/3
e) 1 - a/3
70. (Uel) Os números reais que satisfazem à equação
log‚(x£ -7x) = 3 pertencem ao intervalo
a) ]0, + ¶ [
b) [0, 7]
c) ]7, 8]
d) [-1, 8]
e) [-1, 0]
Calcule o valor de a/b.
66. (Fgv) O mais amplo domínio real da função dada
por f(x)=Ë[logƒ(2x-1)] é
a) {x Æ IR | x · 1/2}
b) {x Æ IR | x > 1}
c) {x Æ IR | 1/2 < x ´ 1}
d) {x Æ IR | x µ 1/2}
e) {x Æ IR | x · 1}
67. (Fgv) Se o par ordenado (a; b) é a solução do
sistema
ýË(2Ñ®Ò) = 2Ò
þ
ÿlog•³ (3x + 4) = 1 + log•³ (y - 1)
então a.b é igual a
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 9
68. (Ufpe) A expressão log(6-x-x£) assume valores
reais apenas para x pertencente a um intervalo de
números reais, onde log é o logarítimo decimal.
Determine o comprimento deste intervalo.
71. (Uel) Se o número real K satisfaz à equação 3£Ñ4.3Ñ+3=0, então K£ é igual a
a) 0 ou 1/2
b) 0 ou 1
c) 1/2 ou 1
d) 1 ou 2
e) 1 ou 3
72. (Uel) A soma das características dos logarítmos
decimais dados por log 3,2; log 158 e log 0,8 é igual a
a) -1
b) 0
c) 1
d) 3
e) 5
73. (Fuvest) O conjunto das raízes da equação
log•³ (x£) = (log•³ x)£ é
a) {1}
b) {1, 100}
c) {10, 100}
d) {1, 10}
e) {x Æ R | x > 0}
74. (Mackenzie) A menor raiz da equação log‚2ò 2ö=0, sendo a=x£ e b=log‚2Ñ pertence ao intervalo:
a) [-2, -1]
b) [-1, 0]
c) [0, 1]
d) [1, 2]
e) [2, 3]
10 | P r o j e t o M e d i c i n a – w w w . p r o j e t o m e d i c i n a . c o m . b r
75. (Mackenzie) O valor de logÖ (logƒ2.log„3), sendo x
= Ë2 é:
a) 2
b) 1/2
c) -1/2
d) -2
e) 3/2
76. (Mackenzie) Se ‘ e ’ são os ângulos agudos de
um triângulo retângulo, então log‚(tg‘)+log‚(tg’)
vale:
a) 0
b) 1
c) tg ‘
d) sen ‘
e) cos ‘
77. (Mackenzie) Se x£ + 8x + 8 log‚k é um trinômio
quadrado perfeito, então k! vale:
a) 6
b) 24
c) 120
d) 720
e) 2
78. (Mackenzie) Se N = cos20°.cos40°.cos80°, então
log‚N vale:
a) - 3
b) - 2
c) - 1
d) 2
e) 3
79. (Mackenzie) Com relação à função real definida
por f(x)=log‚(1-x£) de ]-1,1[ em IR_ , considere as
afirmações:
I) f(x) é sobrejetora.
II) f(x) é uma função par.
III) f(7/8) < f(-1/2)
Então:
a) todas são verdadeiras.
b) todas são falsas.
c) somente a I é verdadeira.
d) somente I e II são verdadeiras.
e) somente II e III são verdadeiras.
80. (Mackenzie) Dado o número real N>1, suponha
que log N‚=k, logƒN=m e log …N=p sejam as raízes da
equação x¤+Bx£+Cx+D=0. Então logƒ³N vale sempre:
a) - D/B
b) - D/C
c) - CB/D
d) - C/B
e) - CD/B
81. (Fei) Considere a > 1 e a epressão adiante
, então o valor de x é:
a) 2
b) 3/2
c) 5/2
d) 2/5
e) 1
82. (Fei) A função f(x) = log(50 - 5x - x£) é definida
para:
a) x > 10
b) -10 < x < 5
c) -5 < x < 10
d) x < -5
e) 5 < x < 10
83. (Fei) Quantas raízes reais possui a equação
log|x|=x£-x-20?
a) Nenhuma
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
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84. (Fatec) Se log 2 = 0,3, então o valor do quociente
log…32/log„5 é igual a:
a) 30/7
b) 7/30
c) 49/90
d) 90/49
e) 9/49
89. (Mackenzie)
85. (Unesp) Sejam y, i, j números reais positivos e
diferentes de 1. Se x=logÙ ij, w=log‹ yj, z=logŒ yi,
demonstre que:
(x + 1) (w + 1) (z + 1) = 0 se e somente se yij =1.
86. (Fei) Se A = log‚x e B = log‚x/2 então A - B é igual
a
a) 1
b) 2
c) -1
d) -2
e) 0
87. (Cesgranrio) O valor de log Ö (xËx) é:
a) 3/4.
b) 4/3.
c) 2/3.
d) 3/2.
e) 5/4.
Relativamente às desigualdades anteriores, podemos
afirmar que:
a) todas são verdadeiras.
b) somente ( I ) e ( II ) são verdadeiras.
c) somente ( II ) e ( III ) são verdadeiras.
d) somente ( I ) e ( III ) são verdadeiras.
e) todas são falsas.
90. (Mackenzie)
88. (Mackenzie)
Na igualdade anterior, supondo x o maior valor inteiro
possível, então, neste caso, xÒ vale:
a) 4x
b) 1
c) 8x
d) 2
e) 2x
Relativamente às afirmações anteriores, podemos
afirmar que:
a) todas são verdadeiras.
b) todas são falsas.
c) somente I e II são verdadeiras.
d) somente I e III são verdadeiras.
e) somente II e III são verdadeiras.
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91. (Cesgranrio) Se log•³(2x - 5) = 0, então x vale:
a) 5.
b) 4.
c) 3.
d) 7/3.
e) 5/2.
92. (Cesgranrio) Sendo a e b as raízes da equação
x£+100x-10=0, calcule o valor de log•³[(1/a) + (1/b)].
96. (Unesp) Sejam a e b números reais positivos tais
que a.b=1.
Se logÝaö = logÝbò, em que C é um número real (C>0
e C·1), calcule os valores de a e b.
97. (Pucsp) Dados log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, um
número real k é solução da inequação mostrada na
figura adiante,
93. (Uff) Pode-se afirmar que o valor de log 18 é igual
a:
a) log 20 - log 2
b) 3 log 6
c) log 3 + log 6
d) log 36 / 2
e) (log 3) (log 6)
94. (Puccamp) Se (2Ë2)Ñ = 64, o valor do logaritmo a
seguir é:
se, somente se,
a) k > -3 e k · 0,3.
b) k < -0,3 ou k > 0,3.
c) k < -3 ou k > 3.
d) -3 < k < 3.
e) -0,3 < k < 0,3.
98. (Fuvest) Qual das figuras a seguir é um esboço
do gráfico da função f(x)=log‚2x ?
a) -1
b) -5/6
c) -2/3
d) 5/6
e) 2/3
95. (Unesp) Sejam x e y números reais positivos.
Se log(xy) = 14 e log(x£/y) = 10, em que os logaritmos
são considerados numa mesma base, calcule, ainda
nessa base:
a) log x e log y
b) log (Ëx . y).
99. (Unicamp) Dada a função f(x) = log•³ (2x + 4)/3x,
encontre:
a) O valor de x para o qual f(x) = 1.
b) Os valores de x Æ |R para os quais f(x) é um
número real menor que 1.
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100. (Ita) O domínio D da função
f(x) = Øn {Ë[™x£ - (1 + ™£) x + ™]/(-2x£ + 3™x)}
é o conjunto
a) D = {x Æ |R : 0 < x < 3™/2}
b) D = {x Æ |R : x < 1/™ ou x >™}
c) D = {x Æ |R : 0 < x ´ 1/™ ou x µ ™}
d) D = {x Æ |R : x > 0}
e) D = {x Æ |R : 0 < x < 1/™ ou ™ < x <3™/2}
101. (Uece) Se logƒ n = 6, então 2Ën + 3(¤Ën) é igual
a:
a) 36
b) 45
c) 54
d) 81
102. (Uece) O domínio da função real f(x) = logƒ (4Ñ Ë2Ñ®¢) é:
a) {x Æ IR; x > 1/3}
b) {x Æ IR; x > 1/2}
c) {x Æ IR; x > 2/3}
d) {x Æ IR; x > 1}
104. (Pucmg) Dadas as funções f (x) = 3x + 1 e g (x)
= Ë(2x + 1) o valor de g (f ( 1)) é:
a) Ë3
b) 3Ë3 + 1
c) 3
d) 4
e) 5
105. (Pucmg) Na expressão
log E = 1/2 log a - 2/3 log b + 1/2 log (a + b) - 1/3 (a b), a=4 e b=2.
O valor de E é:
a) Ë2
b) ¤Ë2
c) ¤Ë6
d) Ë6
e) ¤Ë9
106. (Pucmg) A soma das raízes da equação
103. (Pucmg) O gráfico representa a função y = b log
‹ x. É CORRETO afirmar:
é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
a) i > 0 e b < 0
b) 0 < i < 1 e b < 0
c) i > 1 e b > 0
d) 0 < i < 1 e b > 0
e) i < 0 e b > 1
107. (Ufmg) O conjunto de todos os valores reais de x
que satisfazem a equação 2 log•³ x = 1 + log•³
(x+11/10) é:
a) { -1, 11}
b) { 5,6 }
c) { 10 }
d) { 11 }
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108. (Ufmg) Observe a figura.
Nessa figura, está representado o gráfico de
f(x)=logŠx.
O valor de f(128) é:
a) 5/2
b) 3
c) 7/2
d) 7
109. (Unesp) Considere os seguintes números reais:
110. (Unirio) O conjunto-solução da equação
log„x+logÖ4=5/2 sendo U=IR*ø -{1} é tal que a soma
de seus elementos é igual a:
a) 0
b) 2
c) 14
d) 16
e) 18
111. (Ufrs) Dada a expressão S = log 0,001 + log 100,
o valor de S é:
a) -3
b) -2
c) -1
d) 0
e) 1
112. (Cesgranrio) A soma dos termos da sequência
finita (logÖx/10,logÖx,logÖ10x,...,logÖ10000x), onde x Æ
IRø*-{1} e logx=0,6, vale:
a) 21,0
b) 18,6
c) 12,6
d) 8,0
e) 6,0
113. (Ita) O valor de y Æ IR que satisfaz a igualdade
Então:
a) c < a < b.
b) a < b < c.
c) c < b < a.
d) a < c < b.
e) b < a < c.
a) 1/2
b) 1/3
c) 3
d) 1/8
e) 7
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114. (Ita) A inequação mostrada na figura adiante
117. (Mackenzie) Se logÙ 5 = 2x, 0 < y · 1, então
(y¤Ñ+y-¤Ñ)/(yÑ+y-Ñ) é igual a:
a) 121/25
b) 21/125
c) 1/25
d) 21/5
e) 121/5
118. (Mackenzie) Considere a função f(x) mostrada
na figura a seguir:
é satisfeita para todo x Æ S. Então:
a) S = ] - 3, - 2] » [ - 1, + ¶[
b) S = ] - ¶, - 3[ » [ - 1, + ¶[
c) S = ] - 3, -1]
d) S = ] -2, + ¶]
e) S = ] - ¶, - 3 [»] - 3, + ¶[
115. (Mackenzie) Em logÙ 1000 = 2 logÖ 10, 0 <y · 1,
x vale:
a) ¤Ëy
b) Ëy
c) ¤Ëy£
d) y£
e) y¤
116. (Mackenzie) Supondo log 3980 = 3,6, então,
dentre as alternativas a seguir, a melhor aproximação
inteira de
a) 3
b) 2
c) 100
d) Ë3
e) 10 Ë3
119. (Uel) O valor da expressão:
(logƒ 1 + log³ 0,01) / [log‚ (1/64) . log„Ë8] é
a) 4/15
b) 1/3
c) 4/9
d) 3/5
e) 2/3
é:
a) 100
b) 120
c) 140
d) 160
e) 180
120. (Uel) Se logƒ 7 = a e log… 3 = b, então log… 7 é
igual a
a) a + b
b) a - b
c) a/b
d) a . b
e) aö
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121. (Unesp) Sejam x e y números reais, com x > y.
Se logƒ(x - y) = m e (x + y) = 9, determine:
a) o valor de logƒ(x + y);
b) logƒ(x£ - y£), em função de m.
124. (Ufrj) Sejam x e y duas quantidades. O gráfico
abaixo expressa a variação de log y em função de log
x, onde log é o logaritmo na base decimal.
122. (Ufmg) Seja
Determine uma relação entre x e y que não envolva a
função logaritmo.
Nesse caso, o valor de y é
a) 35
b) 56
c) 49
d) 70
123. (Fuvest) Considere a função f(x) = 2 logŒ (x£ + 1)
- 4 logŒx, com j>1, definida para x > 0.
a) Determine g(x) tal que f(x) = logŒ g(x), onde g é um
quociente de dois polinômios.
b) Calcule o valor de f(x) para x = 1/Ë(j£ - 1).
125. (Fatec) Supondo-se que log•³2 = 0,30, a solução
da equação 10£Ñ-¤ = 25, universo U = IR, igual a
a) 2
b) 2,1
c) 2,2
d) 2,35
e) 2,47
126. (Ufmg) A intensidade de um terremoto na escala
Richter é definida por I=(2/3) log•³ (E/E³), em que E é
a energia liberada pelo terremoto, em quilowatt-hora
(kwh), e E³ = 10-¤ kwh.
A cada aumento de uma unidade no valor de I, o
valor de E fica multiplicado por
a) Ë10
b) 10
c) Ë(10¤)
d) 20/3
127. (Mackenzie) Se x£ + 4x + 2 log‡k£ é um trinômio
quadrado perfeito, então o logaritmo de k na base 7k
vale:
a) 1/2
b) 2
c) -2
d) -1/2
e) 1/7
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128. (Mackenzie) Se log‹ 6 = m e log‹ 3 = p, 0 < i · 1,
então o logaritmo de i/2 na base i é igual a:
a) 6m - 3p
b) m - p - 3
c) p - m + 1
d) m - p + 1
e) p - m + 6
129. (Mackenzie) A partir dos valores de A e B
mostrados na figura adiante, podemos concluir que:
a) A = B/3
b) A = B
c) B = A/3
d) A/3 = B/5
e) A/5 = B/3
131. (Unirio) Um professor propôs aos seus alunos o
seguinte exercício: "Dada a função f: IRø* ë IR
determine a imagem de x=1024"
f(x) = log‚ 64x¤
Qual não foi sua surpresa quando, em menos de um
minuto, um aluno respondeu corretamente que a
imagem era:
a) 30
b) 32
c) 33
d) 35
e) 36
132. (Unb) Julgue os seguintes itens.
(0) Se x > 0 e (x + 1/x)£ = 7, então x¤+1/x¤ = 7Ë7.
(1) Sabendo-se que, para todo x · 1 e n Æ IN,
1 + x + x£ + ... x¾ - ¢= (x¾ - 1)/(x - 1), então
(1+3) (1+3£) (1+3¥) (1+3©) (1+3¢§) (1+3¤£) =
= (3¤¤-1)/2.
130. (Mackenzie) O número real k mostrado na figura
a seguir está no intervalo:
a) [ 0, 1 [
b) [ 1, 2 [
c) [ 2, 3 [
d) [ 3, 4 [
e) [ 4, 5 ]
(2) Sabendo-se que 0 < log•³¤ < 0,5, é correto afirmar
que o número de algarismos de 30¢¡¡¡ é menor que
1501.
133. (Unb) Estima-se que 1350 m£ de terra sejam
necessários para fornecer alimento para uma pessoa.
Admite-se, também, que há 30 x 1350 bilhões de m£
de terra arável no mundo e que, portanto, uma
população máxima de 30 bilhões de pessoas pode
ser sustentada, se não forem exploradas outras
fontes de alimento. A população mundial, no início de
1987, foi estimada em 5 bilhões de habitantes.
Considerando que a população continua a crescer, a
uma taxa de 2% ao ano, e usando as aproximações
Øn1,02=0,02; Øn2=0,70 e Øn3=1,10, determine em
quantos anos, a partir de 1987, a Terra teria a
máxima população que poderia ser sustentada.
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134. (Uel) Sabendo-se que log2=0,30, log3=0,48 e
12Ñ=15Ò, então a razão x/y é igual a
a) 59/54
b) 10/9
c) 61/54
d) 31/27
e) 7/6
135. (Uel) Se log‚x+log„x+logˆx+log†x=-6,25, então x
é igual a
a) 8
b) 6
c) 1/4
d) 1/6
e) 1/8
136. (Ufrs) A expressão gráfica da função
y=log(10x£), x>0, é dada por
a) I
b) II
c) III
d) IV
e) V
137. (Puccamp) Sabe-se que 16Ñ = 9 e logƒ 2 = y.
Nessas condições, é verdade que
a) x = 2y
b) y = 2x
c) x . y = 1/2
d) x - y = 2
e) x + y = 4
138. (Unb) Um método para se determinar o volume
de sangue no corpo de um animal é descrito a seguir.
I- Uma quantidade conhecida de tiossulfato é injetada
na corrente sangüínea do animal.
II- O tiossulfato passa a ser continuamente excretado
pelos rins a uma taxa proporcional à quantidade ainda
existente, de modo que a sua concentração no
sangue decresce exponencialmente.
III- São feitas marcações dos níveis de concentração
de tiossulfato, em mg/L, a cada 10min após a injeção,
e os dados são plotados em um sistema de
coordenadas semilogarítmicas - no eixo das
ordenadas, são marcados os logaritmos, na base 10,
das concentrações encontradas em cada instante t.
IV- Para se obter a concentração do plasma no
momento da injeção - indicado no gráfico como o
instante inicial t=0 - , prolonga-se o segmento de reta
obtido até que ele intercepte o eixo das ordenadas.
A figura a seguir ilustra um exemplo de uso desse
método, quando iguais quantidades de tiossulfato 0,5g - foram aplicadas em dois animais - A e B.
Com base nas informações acima e assumido que a
aplicação do tiossulfato não altere o volume de
sangue dos animais, julgue os itens seguintes.
(1) A capacidade de eliminação do tiossulfato do
animal A é superior à do animal B.
(2) A quantidade total de sangue no corpo do animal
A é de 625mL.
(3) Transcorridos 60min desde a aplicação do
tiossulfato, a concentração deste na corrente
sangüínea do animal A era superior a 80mg/L.
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139. (Unirio) Seja a função definida por
f(x)=log‚[(x+1)/2x]. O valor de x para o qual f(x)=1 é
tal que:
a) 0 < x < 1/100
b) 1/100 < x < 1/10
c) 1/10 < x < 1/5
d) 1/5 < x < 3/10
e) x > 3/10
140. (Puccamp) O mais amplo domínio real da função
dada por f(x)=logÖ÷‚(8-2Ñ) é o intervalo
a) ]2, 3[
b) ]3, +¶[
c) ]2, +¶[
d) ]-¶, 3[
e) ]-¶, 2[
143. (Ufrrj) Determine o conjunto das soluções reais
da equação a seguir:
log‚ 3 . logƒ 4 . log„ 5 . log… x = log„ (- 2x - 1).
144. (Ufv) Sabendo-se que logÖ5+logÙ4=1 e logÖy=2, o
valor de x+y é:
a) 120
b) 119
c) 100
d) 110
e) 115
145. (Ufv) Resolva a equação
141. (Puc-rio) Sabendo-se que log•³ 3 ¸ 0,47712,
podemos afirmar que o número de algarismos de 9£¦
é:
a) 21.
b) 22.
c) 23.
d) 24.
e) 25.
142. (Ita) Seja S o conjunto de todas as soluções
reais da equação
146. (Ufv) Seja f a função real dada por f(x)=log(x£2x+1). Então f(-5)-f(5) é igual a:
a) 2 log(3/2)
b) 2 log11
c) 4 log(3/2)
d) 2 log (2/3)
e) log 20
Então:
a) S é um conjunto unitário e S Å ]2, + ¶[.
b) S é um conjunto unitário e S Å ]1, 2[.
c) S possui dois elementos distintos S Å ]-2, 2[.
d) S possui dois elementos distintos S Å ]1, +¶[.
e) S é o conjunto vazio.
20 | P r o j e t o M e d i c i n a – w w w . p r o j e t o m e d i c i n a . c o m . b r
GABARITO
21. [A]
1. V V V V V
22. [D]
2. [C]
23. [B]
3. 04
24. [B]
4. [E]
25. Se as raízes são n e t, então n + t = b e n.t = 100.
5. [E]
Assim:
6. a) a = 120 e b = -Øn 2
b) 3 m
log•³(n.t)¾ + log•³(n.t) =
= log•³(10£)¾ + log•³(10£) =
7. [E]
= log•³10£¾ + log•³10£ =
8. a) 22,5 °C
b) aproximadamente 15 min
= 2nlog•³ + 2tog•³10 =
9. a) t = 100
b) Se (SB), (SC) e (SD) forem, respectivamente, as
áreas hachuradas das figuras B, C e D, então:
(SB) + (SC) = log•³a + log•³b = log•³(a.b) = (SD),
portanto (SB)+(SC)=SD
= 2n + 2t = 2(n+t) = 2b
10. [B]
28. [B]
11. 04 + 08 + 16 = 28
29. a) E = 7 . 10ª kWh
b) 10 Ë10
26. [E]
27. [D]
12. a) 1.265.000 habitantes
b) x = 115/102 1 ¸ 1,127
30. y = logŠ (1-x)/x
Df = ]0,1[
13. 38 anos
31. [C]
14. [B]
32. [A]
15. [D]
33. [E]
16. [B]
34. a) As equações I e II não tem as mesmas
soluções.
17. n = 0,398
18. [C]
19. [C]
20. [E]
21 | P r o j e t o M e d i c i n a – w w w . p r o j e t o m e d i c i n a . c o m . b r
53. [C]
54. [A]
55. [E]
56. [D]
57. xy = 1
58. [B]
35. -2
36. [D]
37. [B]
59. a) D(F) = { x Æ IR / x < -2 ou x >2 }
b) V = { x Æ IR / -3 ´ x < -2 ou 2 < x ´ 3 }
60. [C]
61. [D]
38. a) V = {Ë6/6}
b) V = ]0; (2-Ë2)/2[ » ]Ë2/2; (2+Ë2)/2[
62. [D]
39. [B]
63. 80
40. [B]
64. [B]
41. [C]
65. a/b = 27
42. [E]
66. [D]
43. [D]
67. [B]
44. (2b - 3a + 1)/(5b - 5a + 5)
68. 05
45. [E]
69. [E]
46. [D]
70. [D]
47. V = {(32, 1/4)}
71. [B]
48. [B]
72. [C]
49. [A]
73. [B]
50. [C]
74. [B]
51. [B]
75. [D]
52. [D]
76. [A]
22 | P r o j e t o M e d i c i n a – w w w . p r o j e t o m e d i c i n a . c o m . b r
93. [C]
77. [B]
94. [C]
78. [A]
79. [A]
95. a) log x = 8 e log y = 6
b) log (Ëx . y) = 10
80. [B]
96. a = b = 1
81. [C]
97. [E]
82. [B]
98. [D]
83. [E]
99. a) x = 1/7
b) x < - 2 ou x > 1/7
84. [D]
100. [E]
85. Demonstração:
101. [D]
x = logÙ ij Ì x + 1 = logÙ ij + logÙ w Ì
Ì x + 1 = logÙ yij
y = log‹ yj Ì y + 1 = log‹ yj + log‹ i Ì
Ì y + 1 = log‹ yij
102. [A]
103. [D]
104. [C]
z = logŒ yi Ì z + 1 = logŒ yi + logŒJ Ì
Ì z + 1 = logŒ yij
105. [D]
Logo:
106. [C]
(x + 1)(y + 1)(z + 1) = 0 Ì
Ì logÙ (yij) . log‹ (yij) . logŒ (yij) = 0 Ì
Ì logÙ (yij) = 0 ou log‹ (yij) = 0 ou logŒ (yij) = 0 Ì
Ì yij = 1
107. [D]
108. [C]
109. [A]
86. [A]
110. [E]
87. [D]
111. [C]
88. [B]
112. [A]
89. [B]
113. [D]
90. [C]
114. [A]
91. [C]
115. [C]
92. 1
116. [A]
23 | P r o j e t o M e d i c i n a – w w w . p r o j e t o m e d i c i n a . c o m . b r
140. [A]
117. [D]
141. [D]
118. [B]
142. [B]
119. [C]
143. S = ¹
120. [D]
144. [D]
121. a) 2
b) 2 + m
145. V = { 2 }
122. [D]
146. [A]
123. a) (x¥ + 2x£ + 1)/x¥
b) 4
124. y = 100 x£
125. [C]
126. [C]
127. [A]
128. [C]
129. [B]
130. [B]
131. [E]
132. F F V
133. 90 anos
134. [A]
135. [E]
136. [A]
137. [C]
138. F V V
139. [E]
24 | P r o j e t o M e d i c i n a – w w w . p r o j e t o m e d i c i n a . c o m . b r