Exercícios

MERCADOS E INVESTIMENTOS FINANCEIROS
COLECTÂNEA DE EXERCÍCIOS
(ACÇÕES, OBRIGAÇÕES, GESTÃO DE CARTEIRAS,
OPÇÕES, FORWARDS e FUTUROS, SWAPS,
PRODUTOS ESTRUTURADOS, VaR e TCE,
AVALIAÇÃO DA PERFORMANCE, ÉTICA E
DEONTOLOGIA)
João Duque
Junho de 2004 – versão 1.1
Índice
PARTE I - Exercícios e Problemas..................................................................................... 3
I - ACÇÕES ........................................................................................................................ 4
II – OBRIGAÇÕES ............................................................................................................ 5
III – GESTÃO DE CARTEIRAS ....................................................................................... 7
IV – OPÇÕES ................................................................................................................... 24
V – FORWARDS E FUTUROS FINANCEIROS ........................................................... 38
VI – SWAPS ..................................................................................................................... 42
VII – PRODUTOS ESTRUTURADOS ........................................................................... 44
VIII – VaR e TCE ............................................................................................................. 46
IX – AVALIAÇÃO DA PERFORMANCE ..................................................................... 49
X – ÉTICA E DEONTOLOGIA....................................................................................... 50
PARTE II - Perguntas de Resposta Múltipla .................................................................... 52
2
PARTE I
Exercícios e Problemas
3
I - ACÇÕES
Exercício 1.1
Durante 6 meses observaram-se as rendibilidades instantâneas mensais das acções da PT
e da EDP que se deixam no quadro abaixo:
Mês
1
2
3
4
5
6
RPT,t
-0,0125
0,0250
0,0500
-0,0250
0,0250
0,0125
REDP,t
0,0125
-0,0250
0,0250
0,0500
0,0250
-0,0125
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Qual a taxa instantânea de rendibilidade média mensal de cada um dos activos?
Qual a volatilidade de cada uma das acções?
Qual a covariância entre ambas?
Qual o coeficiente de correlação entre ambas?
Qual o coeficiente de assimetria e achatamento de cada uma?
Se as observações forem representativas de duas distribuições normais de média e
variância igual à calculada em a) e b), qual das acções apresenta maior risco total?
g) Qual a probabilidade das acções da PT apresentarem uma rendibilidade negativa?
h) Se o preço das acções da PT e da EDP forem respectivamente 10.00€ e 3.5€
respectivamente, no início do período de observação, qual a cotação no final dos 6
meses?
Exercício 1.2
Suponha que comprou uma acção por 100.00 € e que a manteve 3 anos na sua
carteira de investimentos financeiros. Ao fim do 1º ano a cotação estava em 110.00
€, ao fim de 2 anos estava em 102,50 € e ao fim de 3 anos voltou para os 100.00 €.
4
a) Qual a taxa de rendibilidade de cada ano se o activo pagou 2.00 € de
dividendos em cada um dos anos?
b) E qual a taxa de rendibilidade instantânea equivalente para cada ano?
c) Qual a taxa média de rendibilidade no período de 3 anos usando as
metodologias aritméticas e geométricas? (considere ambas as taxas
instantâneas e não instantâneas)
d) Qual a taxa de remuneração por via de distribuição de dividendos (dividend
yield) de cada ano?
e) Quais as taxas que obteríamos como respostas às alíneas a), b) e c) se não
considerássemos os dividendos?
f) Qual das metodologias, aritmética ou geométrica, lhe parece mais correcta?
Porquê (Justifique num máximo de 5 linhas).
II – OBRIGAÇÕES
Exercício 2.1
Um gestor de carteiras de obrigações tem na sua carteira obrigações representativas de
dois empréstimos obrigacionistas:
i) o empréstimo obrigacionista emitido por uma empresa nacional à taxa de
cupão fixa de 6% ao ano e vencimento dentro de 5 anos;
ii) o empréstimo obrigacionista emitido por uma empresa espanhola à taxa de
cupão fixa de 5% ao ano e vencimento dentro de 3 anos;
Ambos os empréstimos são de emissões em euros e ambas as obrigações pagam juros
semestrais e o valor nominal é 1.000€. Ambas acabaram agora mesmo de pagar um
cupão. A taxa de juro apropriada para o desconto dos cash-flows de ambas as emissões é
igual (7,5% ao ano) e a estrutura temporal de taxas de juro está “flat”.
a) Qual a duração de cada emissão?
b) Qual a convexidade de cada emissão?
c) Se a taxa de juro descer dos 7,5% para os 7,25% ao ano:
i. Qual espera que venha a ser a emissão mais beneficiada?
ii. Qual espera que venha a ser o preço da primeira emissão em
resposta desta descida de taxa de juro?
5
Exercício 2.2
Um fundo de pensões prevê responsabilidades a 5 anos com o seguinte padrão:
Anos
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Responsabilidades Estrutura de
(€)
Taxas de juro
250.000
4.25%
250.000
4.50%
250.000
4.75%
250.000
5.00%
500.000
5.25%
5.25%
5.25%
5.25%
5.25%
5.25%
No mercado estão disponíveis obrigações a taxa fixa com vencimentos a 3, 5 e 10 anos.
As características de cada emissão são as seguintes:
Vencimento
Taxa de cupão
Periodicidade do cupão
Data de pagamento do último cupão
Valor Nominal
3 anos
8,00%
Anual
hoje
10.000€
5 anos
7,00%
Anual
hoje
2.000€
10 anos
6,00%
Anual
hoje
100€
a) Qual o preço de mercado de cada emissão?
b) Se o fundo quiser construir uma carteira de obrigações que faça face às
responsabilidades futuras criando um programa de imunização qual a
composição da carteira que acha que deve ser constituída (qual a quantidade
de obrigações de cada emissão a incluir na carteira)?
Exercício 2.3
Um fundo de pensões prevê responsabilidades a 5 anos com o seguinte padrão:
6
Anos
Menos de 1 ano
1
2
3
Responsabilidades Estrutura de
(€)
Taxas de juro
5,00%
250.000
5,00%
350.000
5,00%
450.000
5,00%
No mercado estão disponíveis obrigações a taxa fixa com vencimentos a 2, e 3 anos. As
características de cada emissão são as seguintes:
Vencimento
Taxa de cupão
Periodicidade do cupão
Data de pagamento do último cupão
Valor Nominal
2 anos
8,00%
Anual
hoje
10.000€
3 anos
7,00%
Anual
hoje
2.000€
a) Qual o preço de mercado de cada emissão?
b) Se o fundo quiser construir uma carteira de obrigações que faça face às
responsabilidades futuras criando um programa de encontro de cash-flows
(cash-flow matching) qual a composição da carteira que acha que deve ser
constituída (qual a quantidade de obrigações de cada emissão a incluir na
carteira)? Assuma que não há capitalização de saldos.
c) Assuma agora que há capitalização de saldos. Se o fundo quiser construir uma
carteira de obrigações que faça face às responsabilidades futuras criando um
programa de encontro de cash-flows (cash-flow matching) qual a composição
da carteira que acha que deve ser constituída (qual a quantidade de obrigações
de cada emissão a incluir na carteira)?
III – GESTÃO DE CARTEIRAS
Exercício 3.1
Dada a informação abaixo especificada
Activo
A
B
C
Sem Risco
Rendibilidade
10%
12%
18%
5%
Desvio Padrão
4%
10%
14%
A
Covariância
B
20
C
-40
70
7
a) Qual o risco de uma carteira composta por 20% do Activo A e 80% do activo sem
risco ?
b) Se um investidor quiser uma rendibilidade esperada de 15% à custa do Activo A e
do Activo sem risco, qual a combinação que propõe ?
c) Se um investidor quiser aplicar 1/3 da sua fortuna numa carteira de activos com
risco (A e B) em iguais proporções, e 2/3 no Activo sem risco, qual a
rendibilidade esperada e o risco dessa carteira ?
Exercício 3.2
Dada a informação abaixo especificada
A
B
C
Rendibilidade
10
12
18
Desvio Padrão
4
10
14
A
Covariância
B
20
C
-40
70
a) Qual a composição da carteira de variância mínima composta por activos A e C
sendo permitidas vendas a descoberto?
b) Qual o risco dessa carteira? E a rendibilidade?
c) Qual a correlação entre A e C?
d) Se a correlação entre A e C fosse -1 qual o impacto que isso teria em termos de
composição de carteira de variância Mínima?
e) Se a covariância passar de -40 para 0 qual é o impacto que espera que isso venha
a ter nos preços dos 2 activos se todos os investidores na economia tiverem como
objectivo a redução do risco ao mínimo?
f) Desenhe a fronteira eficiente para os investidores que apenas podem aplicar nos 2
activos A e C.
g) Qual a rendibilidade e a volatilidade de uma carteira composta por A, B e C em
iguais percentagens?
Exercício 3.3
Se as acções do BCP e do BPI apresentarem volatilidades esperadas no valor de 20%
e 30%, respectivamente, e se a carteira de variância mínima composta por acções dos
dois bancos tiver de rendibilidade esperada 21,25%,
8
a) Qual a proporção de cada activo na carteira de variância mínima se as
rendibilidades esperadas para cada uma das acções for BCP 20% e BPI 25%?
b) Qual o coeficiente de correlação entre ambas?
c) Qual o risco da carteira de variância mínima?
d) Qual a rendibilidade esperada de uma carteira que além dos activos de risco já
enunciados, tiver uma posição em Bilhetes do Tesouro a 30 dias com 10% de
rendibilidade, e com uma composição de 2/3 de activos com risco?
e) Qual o risco da carteira definida em d)?
Exercício 3.4
Dada a informação abaixo especificada
A
B
C
Rendibilidade
10
12
18
Desvio Padrão
4
10
14
A
Covariância
B
20
C
-40
70
a) Qual a composição da carteira eficiente composta exclusivamente pelos activos A
e B, se a taxa de juro mercado for 5%?
b) Que alterações sugere à questão anterior se não forem permitidas vendas a
descoberto?
c) Qual o risco da carteira eficiente calculada em a)?
d) Qual a rendibilidade da carteira eficiente calculada em a)?
e) Se um investidor desejar obter uma rendibilidade de 10%, qual a proporção que
deve deter em activos com e sem risco, tendo em conta a carteira eficiente
calculada em a)?
Exercício 3.5
Assuma a existência de um mercado de capitais perfeito no qual os investidores podem
emprestar e pedir emprestado à taxa de juro dos activos sem risco, e que a covariância
entre os activos i e j é 109,8. Adicionalmente você sabe que a composição da carteira
eficiente é de 1/4 de i e 3/4 de j. Além disso sabe que para i e j ainda são conhecidos os
seguintes dados:
9
Rendimento Esperado (%)
Volatilidade (%)
Acção i
26
15
Acção j
18
9
a) Qual é a taxa de juro dos activos sem risco deste mercado?
b) Se um investidor pretendesse possuir uma carteira com uma volatilidade de
apenas 6%, qual deveria ser a estratégia de investimento a seguir?
c) Qual a volatilidade mínima que se consegue obter nesta economia?
d) E se desejar obter a menor volatilidade apenas à custa de activos com risco?
e) Se quiser investir apenas em activos de risco, que aplicações sugere a um
investidor que deseja investir 500.000 euros e está disposto a suportar um risco de
10%?
Exercício 3.6
Um empresário de sucesso decidiu investir no mercado dos passes dos jogadores de
futebol, aplicando os conhecimentos da gestão de carteiras a esses investimentos.
Mediante alguns contactos e fazendo algumas observações internacionais, seleccionou 3
jogadores possíveis de adquirir: Figo, Simão e Hugo Leal. Os passes de cada um desses
jogadores podem valorizar-se nos próximos anos possibilitando rendibilidades esperadas
diversas. Para cada um desses jogadores estabeleceram-se 3 cenários possíveis de
rendibilidade. Os cenários que afectam Figo e Simão são elaborados com base em
condições semelhantes (na época em que ambos jogavam no Barcelona), mas os cenários
que estão na base da elaboração das condições do Hugo Leal são diferentes dos anteriores
(porque jogava num clube diferente).
Probabilidade
Cenário I
Cenário II
Cenário II
30%
50%
20%
- 60%
+ 15%
+ 70%
Probabilidade
Cenário I
Cenário II
Cenário II
40%
40%
20%
RSimão
R Figo
- 20%
+ 30%
+ 80%
R HugoLeal
- 20%
+ 30%
+ 80%
Imagine que a compra dos passes respectivos exigira um investimento de 5.4 milhões de
contos repartidos do seguinte modo: Figo 2.4, Simão 1.8 e Hugo Leal 1.2.
a) Qual o risco do investimento global na compra dos 3 jogadores?
b) Qual a rendibilidade esperada desse investimento (compra dos 3 jogadores)?
10
c) Se a correlação entre os jogadores Figo e Simão baixar para 0,75, qual o impacto
que prevê em termos de risco total dessa carteira?
d) Imagine que a rendibilidade esperada do mercado de capitais é 20%, o risco desse
mercado é de 15% e a taxa de juro livre de risco é de 5% ao ano. Se um
investidor quiser compor uma carteira de investimento à custa de um investimento
numa carteira de jogadores de futebol (a representada pela compra dos 3
jogadores em causa) e uma carteira de acções com um beta de 1,5, qual a
proporção de investimento óptima que aconselha em cada uma dessas duas
carteiras? Suponha que uma carteira de jogadores de futebol tem um beta de 2,5.
Exercício 3.7
Suponha que as rendibilidades dos activos Alpha e Theta estão dependentes de uma série
de cenários alternativos relativos à exportação (subida, manutenção e descida). O índice
representativo dos activos de risco também está dependente destes cenários. Assim
temos, para cada cenário, e apresentando-se entre parênteses a probabilidade de
ocorrência de cada cenário:
Alpha
Theta
Mercado
Subida
(20%)
50%
10%
40%
Manutenção
(50%)
30%
20%
30%
Descida
(30%)
10%
10%
20%
a) Qual a composição da carteira eficiente construída a partir dos activos Alpha e
Theta, supondo que a taxa de juro sem risco é 5% ao ano?
b) Qual a risco dessa carteira?
c) Suponha que para além dos activos Alpha e Theta dispunha ainda da seguinte lista
de activos:
Activo
Volatilidade
Gamma
20%
Epsilon
30%
Tau
17%
Omega
30%
Pi
50%
Sigma
28%
Rho
12%
Vega
24%
A média das covariâncias entre todos os pares de activos é de 300. Qual a
variância de uma carteira composta por todos estes activos em iguais proporções?
d) Qual o beta do activo Alpha?
11
Exercício 3.8
Determinada instituição financeira desenvolveu um modelo de um índice para estudar o
comportamento dos activos financeiros. Sabendo que a volatilidade de A é 20% e a de B
é 15%, que a correlação entre A e B é de 0,5 e que a volatilidade do mercado é 15%,
questiona-se:
a) Qual o risco sistemático (beta) de cada um dos activos se a variância do erro do
activo A for 76?
b) Qual a variância do erro do activo B?
c) Qual o risco total de uma carteira composta por 25% de A e 75% de B?
d) Qual o risco sistemático da carteira definida em c)?
e) Se a rendibilidade esperada para A e B for de 25% e de 15% respectivamente,
qual a rendibilidade esperada para a carteira definida em c)?
Exercício 3.9
Considere que dispõe da possibilidade de investir em dois activos financeiros A e B com
as seguintes características:
Activo A: rendibilidade normalmente distribuída com média 15% e desvio padrão
de 20%
Activo B: rendibilidades dependentes de 3 cenários equiprováveis alternativos em
função do mercado, a saber:
Cenário I
Cenário II
Cenário III
a)
b)
c)
d)
Rendibilidade
do Activo B
- 10%
+ 10%
+ 30%
Rendibilidade
do Mercado
- 5%
+ 10%
+20%
Qual o risco de uma carteira constituída por 50% de A e 50% de B?
Qual a rendibilidade esperada dessa carteira?
Qual o risco sistemático do Activo B?
Qual dos 2 activos seleccionaria um investidor que quisesse apenas minimizar o
risco das suas aplicações?
12
e) Acha que a escolha realizada em d) seria a mais eficiente se dispuser de um activo
sem risco que remunera à taxa de 5%? Para esse nível de risco proporia outra
alternativa? Qual?
Exercício 3.10
Assuma os seguintes valores para os activos de rendimento variável e para o mercado em
geral:
Título
Cáspio
Pacifico
Indico
Ri
12%
8%
6%
σ²i
144
16
25
σim
120
80
110
Assuma que σ²m=100 e que RF=5%.
a) Qual o Beta de cada activo?
b) Se a carteira de mercado for composta pelos 3 activos em partes iguais, quais os alfa
de cada um deles?
c) Formalize o problema para encontrar a composição óptima da carteira admitindo
que não é permitido "short selling".
d) Formalize o problema para encontrar a composição óptima da carteira admitindo
que não é permitido "short selling" nem financiar-se à taxa sem risco e deseja uma
rendibilidade de 25%.
e) Qual a variância esperada para uma carteira em que os 3 activos estão em iguais
proporções?
f) Usando o modelo de Blume em que:
i. βi2 = 0.343 + 0.677 βi1
g) qual o valor previsível em relação ao próximo período para o risco não diversificável
de cada um dos activos apresentados?
Exercício 3.11
Suponha que ao estimar o modelo de índice único para as acções A e B se obtêm os
seguintes resultados:
13
i.
ii.
iii.
iv.
v.
RA = 1,0% + 0,9 RM + eA
RB = -2,0% + 1,1 RM + eB
σM = 20,0%
σ(eA )= 30,0%
σ(eB )= 10,0%
a) Determine o desvio-padrão de cada activo e a respectiva covariância.
b) Se eu desejar construir uma carteira com uma rendibilidade esperada igual a 20%,
qual o peso de A e B a incluir nessa carteira supondo que a rendibilidade esperada
para o mercado, no período subsequente, é de 25%.
c) Em que medida a solução apontada na alínea anterior pode ser alterada se dispuser de
um activo sem risco que remunera à taxa de 5% e o investidor (avesso ao risco)
deseja maximizar a sua função de utilidade.
d) Suponha que apenas dispomos dos activos A e B e que é nossa intenção construir
uma carteira em que as acções A são vendidas a descoberto, representando 20% do
valor da carteira inicial de investimento. Qual será o desvio padrão correspondente à
componente não sistemática do risco?
e) Suponha agora que no mercado existem muitos outros activos para além de A e de B.
A média dos betas (ponderada ou não ponderada pela capitalização bolsista) em
determinado período é igual à unidade. Qual seria o beta estimado do activo A para o
período subsequente recorrendo-se ao modelo de Blume?
f) Em que condições o beta estimado de acordo com o modelo de Blume sugerido na
alínea anterior, é equivalente à solução sugerida pela aplicação do modelo de
Vasicek? Demonstre as condições de necessidade para que essa igualdade se
verifique.
Exercício 3.12
Os Activos A e B têm a sua rendibilidade dependente de acontecimentos diversos. O
activo A depende das condições do mercado e o activo B depende da procura externa.
Activo A
Rendibilidade
Mercado em Alta
40%
Mercado em Baixa
-10%
Rendibilidade Esperada
15%
Activo B
Procura Externa em Alta
Procura Externa em Baixa
Rendibilidade Esperada
Rendibilidade
40%
-20%
4%
a) Qual a probabilidade de ocorrência de cada cenário de procura externa?
14
b) Qual a volatilidade de cada activo?
c) Qual a correlação entre os activos?
d) Qual o risco sistemático do activo A se a rendibilidade do mercado for de 20%
verificando-se uma alta ou de 0% verificando-se uma baixa?
e) Qual a composição da carteira eficiente à custa de A e de B, se a taxa sem risco
for de 5%?
Exercício 3.13
Assuma que é válido o seguinte modelo de índice múltiplo (dois índices):
Ri = ai + bi1 I 1 + bi 2 I 2 + ei
Assuma também que se observam os seguintes portfolios:
Nome
MELGA & Cº
MIKE & Cº
M&W & Cº
Rendibilidade
Esperada
15,0%
22,1%
22,5%
αi
bi1
bi 2
σ ei
3,0
-1,0
1,5
0,7
1,5
1,5
0,5
0,2
-0,5
2%
1%
4%
O valor esperado para o índice 1 é de 15% para o próximo ano. As volatilidades
esperadas para cada índice são 15% e 25% respectivamente.
a)
b)
c)
d)
Qual o valor esperado para o índice 2?
Qual a covariância que espera obter entre cada um dos activos ?
Qual a volatilidade de cada activo?
Construa a matriz de covariâncias a usar na determinação da carteira óptima de
acordo com o modelo “Overall Mean Model”
Exercício 3.14
Assuma que se encontra face a um mercado cujos rendimentos são descritos pelo
seguinte modelo a três factores (R1 rendibilidade do índice de mercado, R2 rendibilidade
do índice do sector I e R3 rendibilidade do índice do sector II):
Ri = ai + bi1 R1 + bi2 R2 + bi3 R3 + ei
15
Assuma ainda que três activos de risco, com as características descritas no quadro
seguinte, existem no mercado:
Activo
Rendimento
Esperado (%)
X
Y
Z
ai
12
13
17
- 28
- 26
0
bi1
1,0
1,5
0,5
bi2
1,5
1,2
0,0
bi3
0,0
0,0
0,8
σei
5%
12 %
4%
Estes activos não pertencem todos ao mesmo sector de actividade. O activo X e o activo
Y fazem parte do mesmo sector, mas o activo Z pertence a um sector de actividade
diverso.
a) Qual a volatilidade que é admissível para o activo X se a volatilidade do mercado
for 10% e as dos sectores 20% para cada ?
b) Qual a o coeficiente de correlação admissível entre os activos X e Y?
c) Qual a taxa de rendibilidade esperada para o mercado?
d) Qual a taxa de rendibilidade esperada para cada sector?
e) Se a rendibilidade do Sector I estiver associada à rendibilidade do mercado, não
sendo os índices de rendibilidade ortogonais, e podendo a sua evolução ser
representada por:
R2 = −2 + 0,8 R1
Qual a equação representativa da rendibilidade do activo X?
Exercício 3.15
Considere que a função de utilidade do investidor X é conhecida e dada pela seguinte
expressão:
U(w) = 40w - 2,5 w2
a) Como caracteriza o perfil de risco do investidor X?
b) Em que medida o perfil de risco traçado na alínea anterior está de acordo com a
teoria financeira e com os resultados empíricos sobre o tema?
c) Qual das carteiras abaixo indicadas deveriam ser seleccionadas pelo investidor
que tem 10 unidades monetárias para aplicar?
Quadro de Probabilidades de ocorrência de cenários de rendibilidades para cada carteira:
16
Carteiras
A
B
C
D
28%
0,5
Cenários de Rendibilidades
20%
18%
14%
10%
0,4
0,6
0,2
0,3
0,3
0,1
0,3
0,6
6%
0,5
0,2
Exercício 3.16
Admita as seguintes características para as acções de duas empresas:
Pesca Azul
Carnes Frescas
Ri
10%
35%
σi
15%
45%
Dividend Yield
5%
2%
O coeficiente de correlação entre ambas é de -3/4 e a taxa de juro sem risco é de 5%
a) Qual a composição da carteira de variância mínima composta exclusivamente por
Pesca Viva e Carnes Frescas?
b) E se impuser um dividend yield mínimo de 3%? (Despreze esta restrição nas
alíneas seguintes)
c) Se puder aplicar no instrumento de taxa de juro sem risco qual a composição da
carteira de variância mínima e qual o seu respectivo valor?
d) Qual investimento que sugere a um investidor que deseja obter uma rendibilidade
de 25%, se a taxa de financiamento para compras financiadas for de 5%?
e) Qual o risco correspondente à aplicação por si sugerida?
f) Um investidor avesso ao risco apresenta uma curva de utilidade do tipo:
Ri = −σ i + σ i2 + b
Qual a composição da carteira individual de um investidor (proporção de activo com
e sem risco) por forma a maximizar a sua utilidade?
Exercício 3.17
Considere a figura seguinte e tome em consideração que o beta do activo A é igual ao
beta do activo sem risco, que o beta do activo B é igual ao beta da carteira de
mercado e que o beta do activo C é igual a 1,6. Responda às questões:
17
a) Qual o valor das variâncias residuais de cada um dos activos?
b) Considere a carteira formada por 20% de A e os restantes 80% investidos em C.
Qual o beta desta carteira?
c) Comente a seguinte afirmação: “Os activos B e C têm o mesmo risco, uma vez
que têm o mesmo desvio padrão”.
d) Se o perfil de risco de um investidor for definido pela família de curvas expressa
pela equação:
R = e 0.093σ + k
i) Qual a carteira de activos com e sem risco que aconselha a este investidor?
ii) Se nesta economia não existir activo sem risco para empréstimos ou
aplicações, qual a composição da carteira para este investidor, se ele insistir
em manter o nível de risco da alínea anterior? Formalize apenas o problema.
Exercício 3.18
Um dos argumentos usados pelo então Ministro das Finanças Professor Sousa Franco
para inviabilizar o negócio entre Champalimaud e o Banco Santander Central
Hispano foi o de que a associação das instituições aumentaria o risco do conjunto de
activos.
Suponha que tinha realizado um estudo sobre ambos e tinha concluído que o risco do
grupo Champalimaud era de 25% e o do Banco Santander Central Hispano era de
30%. Assuma que a relação de grandeza entre ambos é de 1 para 4 favorável ao
Banco espanhol.
18
a) Exclusivamente à luz da teoria financeira, comente a posição do então
Ministro das Finanças calculando as condições limite a partir das quais as
palavras do Ministro têm razão de ser.
b) Se a função de utilidade do Professor Sousa Franco for do tipo:
σ
Ri = − i + σ i2 + b
2
e se a rendibilidade esperada de cada grupo for de 25% para o grupo
Champalimaud e 30% para o Banco Santander Central Hispano, supondo-os
independentes, considera que a posição do Ministro está de acordo com a sua
própria função de utilidade, ou terá agido de modo a dar voz a outros interesses
que não os seus? (Estude em que medida as curvas de indiferença da função de
utilidade do Ministro são optimizadas pela alternativa da consolidação de activos,
face ao mesmo estudo tomando os activos separadamente).
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-0,1
-0,2
c) Como classifica o Ministro à luz da Teoria da Utilidade? Justifique.
Exercício 3.19
Suponha que se encontra neste momento com funções de gestão num fundo de
investimento. O seu departamento de investigação acaba de lhe fornecer os seguintes
dados:
E[Rm] = 0.10
Rf = 0.06
σm = 0.20
σSOBE&DESCE,m = 0.06
a) Face a esta situação consideraria adequado recomendar a aquisição de
acções de SOBE&DESCE, SA, cuja taxa de rendimento esperado é de
15%? (Assuma que qualquer eventual desequilíbrio no preço das acções
da empresa, não afecta de forma significativa o linha do mercado de
19
títulos. Assuma ainda que a empresa não prevê distribuir dividendos nos
próximos anos)
b) Até onde poderia variar o preço das acções da SOBE&DESCE, SA sem
que o sentido da sua indicação de investimento / desinvestimento se
alterasse?
c) Admita agora que no período seguinte as acções da SOBE&DESCE, SA
registaram uma rendibilidade de apenas 3%. No seu entender, quais são as
explicações possíveis para este fenómeno?
Exercício 3.20
Assuma que conhece os seguintes dados referentes a dois activos financeiros:
Activo
σI,m
White Nights, Plc 0,3
Black Days, Plc
0,2
E [Rm] = 0,11
σi
0,4
0,3
E[R i]
0,12
??
σm = 0,5
a) Calcule os Betas dos activos White Nights, Plc e Black Days, Plc
b) Calcule o Beta de uma carteira composta em 40% por títulos White Nights,
Plc e o restante por títulos Black Days, Plc.
c) Qual a rendibilidade esperada para a carteira apresentada em 2)?
d) Desenhe a Linha do Mercado de Títulos e marque as posições dos activos
White Nights, Plc e Black Days, Plc.
e) Imagine que dispõe de um novo activo com as seguintes características:
E(R)=0,09; β= 0,8. Que estratégia sugere que se desenvolva por forma a
poder tirar vantagens de eventuais oportunidades de arbitragem?
Exercício 3.21
a) Complete o quadro seguinte, assumindo como válido o modelo CAPM:
20
Activo
E[Ri]
σ e2
σ2
βi
Rf
6,0%
A
B
29,46
1,29
C
0,00
73,54
0,86
Mercado
15,0%
0,00
89,36
0,68
b) Qual a rendibilidade e a variância de uma carteira composta por 30% de A, 85%
de B e o restante por C%?
c) Qual a covariância observada entre os seguintes activos financeiros:
- Rf e A
- Rf e Mercado
-AeB
- A e Mercado
- B e C?
Exercício 3.22
Assuma que é válido o seguinte modelo de dois índices:
Ri = ai + bi1 I 1 + bi 2 I 2 + ei
Assuma também que se observam os seguintes portfolios:
Nome
Portfolio A
Portfolio B
Portfolio C
Rendibilidade
Esperada
12,0%
13,4%
12,0%
bi1
bi 2
2
1
3
0,5
0,2
-0,5
a) Formalize o problema de modo a que a resolução dessa formalização permita
encontrar a equação que define o modelo de equilíbrio do mercado supondo
que se validam os pressupostos do Arbitrage Pricing Model.
b) Identifique as oportunidades de arbitragem que se observem se existir um
activo financeiro que proporcione uma rendibilidade esperada de 10% e
apresente betas de: bi1 = 2 e bi 2 = 0, e assumindo que o modelo de equilíbrio
encontrado na alínea anterior seria:
Ri = 5,4 + 6,5bi1 − 2,2bi 2
Indique que estratégia seguir no caso de identificar qualquer estratégia de
arbitragem.
c) Qual a taxa sem risco deste mercado?
21
Exercício 3.23
Assuma que é válido o seguinte modelo de índice múltiplo (dois índices):
Ri = ai + bi1 I 1 + bi 2 I 2 + ei
Assuma que se observam os seguintes portfolios:
Nome
Portfolio A
Portfolio B
Portfolio C
Rendibilidade Esperada
12,0%
13,0%
17,0%
bi1
1,0
1,5
0,5
bi 2
0,5
2,0
-3,0
a) Encontre a equação que define o modelo de equilíbrio do mercado supondo
que se validam os pressupostos do Arbitrage Pricing Model.
b) Identifique as oportunidades de arbitragem que se observem se existir um
activo financeiro que proporcione uma rendibilidade esperada de 10% e
apresente betas de: bi1 = 2 e bi 2 = 0. Indique que estratégia seguir no caso de
identificar qualquer estratégia de arbitragem.
c) Qual a taxa sem risco deste mercado?
d) Assuma que a volatilidade dos 2 índices usados no modelo é de 8% e 15%
respectivamente. Qual a covariância entre cada um dos pares de portfolios?
Exercício 3.24
Assuma que se encontra face a um mercado cujos rendimentos são descritos pelo
seguinte modelo a dois factores (índices de mercado e sectorial):
RI = aI + bI1 II + bI2 I2 + eI
Assuma ainda que as três carteiras cujas características são descritas no quadro seguinte
existem no mercado:
Carteira
X
Y
Z
Rendimento Esperado (%)
12
13
17
bI1
1.0
1.5
0.5
bI2
1
1
-3
a) Qual é o plano capaz de descrever os rendimentos de equilíbrio ?
22
b) Admita agora que uma carteira W com as características descritas abaixo se
encontra disponível:
RW = 15%
bW1 = 1
bW2 = 0
Qual seria a atitude de um investidor racional face a esta situação? Justifique.
c) A qual dos factores a rendibilidade dos activos é mais sensível?
d) Se o activo sem risco for independente (e indiferente) aos dois factores do
modelo, qual é a taxa de remuneração do activo sem risco?
Exercício 3.25
a) Um gestor de um fundo de acções sediado no nosso país fez a seguinte
afirmação: “Não vale a pena investir na bolsa espanhola pois o rendimento
esperado é inferior ao rendimento esperado para o mercado português,
especialmente depois da introdução do euro”. Comente a bondade desta
afirmação à luz dos seguintes dados
Portugal
Espanha
Ri
0,30
0,25
σi
0,30
0,20
σ e2
0,03
0,00625
R f ,i
0,04
0,04
i
Onde Ri simboliza a rendibilidade esperada para o mercado i, σ i a
volatilidade do mercado i, σ e2 a variância dos erros na determinação do
i
modelo de índice único e R f , i a taxa de juro sem risco do mercado i.
Adicionalmente sabe-se que o beta de cada um dos mercados, quando
calculado com base num índice do mercado europeu é 2 para Portugal e 1,5
para a Espanha.
b) Dos testes empíricos que se têm realizado nos EUA, quais as conclusões que
se têm retirado sobre o benefício da diversificação internacional nas carteiras
dos investidores americanos para os diferentes tipos de activos financeiros?
23
Exercício 3.26
Assuma que as taxas de rendibilidade esperadas e os riscos esperados para os três
mercados abaixo indicados são:
Rendibilidade
Portugal
25%
Reino Unido
17%
EUA
12%
Risco Doméstico
20%
15%
12%
Risco de Câmbio
----7,5%
15%
As correlações históricas, relativamente estáveis, observadas entre estes 3 mercados são
Portugal - Reino Unido
Reino Unido - EUA
Portugal - EUA
0,35
0,60
-0,20
a) Se a taxa livre de risco para Portugal for de 12% ao ano, será interessante para um
investidor português diversificar internacionalmente?
b) Qual a composição mais eficiente para uma carteira internacionalmente
diversificada, entrando apenas em consideração com investimentos em Portugal e
nos EUA?
IV – OPÇÕES
Exercício 4.1
Usando a informação que lhe é fornecida pelo quadro abaixo sobre as opções cotadas
sobre a empresa Worldfoods responda às seguintes alíneas:
OPÇÕES DE COMPRA E DE VENDA SOBRE A WORLDFOODS
Preço da acção a 2.54€ no dia 1 de Novembro
PREÇOS OPÇÕES DE COMPRA OPÇÕES DE VENDA
DE
DATAS DE EXPIRAÇÃO DATAS DE EXPIRAÇÃO
EXERCÍCIO JAN
APR
JUL
JAN
APR
JUL
2.40€
25
35
42
6
10
12
2.60€
14
23
31
14
18
20
2.80€
7
15
23
27
29
30
3.00€
3
9
16
47
49
50
24
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
Quais as opções que estão in-the-money?
Quais as opções de venda out-of-the-money
Qual o Valor Intrínseco das opções que expiram em Abril?
Qual o Valor Temporal das opções com preço de exercício 3.00€?
Qual o rácio de moneyness das opções de compra com vencimento em Julho?
Se a dimensão do contrato for de 100 acções, quanto deverá pagar se quiser comprar
um contrato de opções de venda com vencimento em Julho e preço de exercício de
2.80€?
Se em Julho as acções da Worldfoods estiverem cotadas a 3.00€ qual o valor da
opção de compra com vencimento nessa data e preço de exercício de 2.60€?
Se em Julho as acções da Worldfoods estiverem cotadas a 3.00€ qual o valor da
opção de venda com vencimento nessa data e preço de exercício de 2.60€?
Se em Julho as acções da Worldfoods estiverem cotadas a 3.15€ qual o resultado
(lucro / prejuízo) obtido através da compra, hoje, de uma opção de compra com
vencimento para essa data e preço de exercício de 2.60€? E se as acções estiverem a
cotadas a 2.45€?
Se em Julho as acções da Worldfoods estiverem cotadas a 3.15€ qual o resultado
(lucro / prejuízo) obtido através da compra, hoje, de uma opção de venda com
vencimento para essa data e preço de exercício de 2.60€? E se as acções estiverem a
cotadas a 2.45€?
Exercício 4.2
Se as acções da PT estiverem hoje a cotar a 8,25€ e se você tem uma posição curta de 6
contratos sobre opções PT com vencimento dentro de 3 meses com preço de exercício
8,00€, quando as opções estiverem a cotar a 1,20€, qual deve ser o novo preço de
mercado para essas opções e quantos contratos deve você comprar para fechar a posição
curta se:
a) a empresa proceder a um aumento de capital por incorporação de reservas em
que dá a cada accionista uma nova acção por cada 3 acções que detiver em
carteira?
b) A empresa proceder a uma distribuição de dividendos através da atribuição de
uma acção a cada accionista que detiver 6 acções em carteira?
Exercício 4.3
25
Usando a informação do exercício 1, e admitindo que a taxa livre de risco continuamente
composta é de 4% mostre se há a possibilidade de criação de carteiras de arbitragem
usando os seguintes activos:
a) Uma opção de venda com preço de exercício a 2.60€ e maturidade em Abril,
admitindo que as opções são de estilo europeu;
b) Uma opção de venda com preço de exercício a 3.00€ e maturidade em Abril,
admitindo que as opções são de estilo americano;
c) Uma opção de compra com preço de exercício a 2.40€ e maturidade em Julho,
admitindo que as opções são de estilo europeu;
d) Uma opção de compra e outra de venda com maturidade em Janeiro e preços de
exercício a 2.80€, admitindo que as opções são de estilo europeu;
e) Uma opção de compra com preço de exercício a 2.40€ e maturidade em Julho
admitindo que as opções são de estilo europeu e admitindo ainda que vai pagar
dividendos de 0.20€ em fins de Março.
f) Uma opção de compra e outra de venda com maturidade em Abril e preços de
exercício a 2.60€, admitindo que as opções são de estilo americano;
Exercício 4.4
Usando a informação do exercício 1, componha a estratégia que passa pela compra de
uma opção de venda e uma opção de compra ambas com preço de exercício de 2.60€ e
vencimento em Abril e desenhe os gráficos de resultados:
1) Qual o valor dessa carteira no vencimento se:
1.1) Se as acções estiverem cotadas a 3.20€?
1.2) Se as acções estiverem cotadas a 2.60€?
1.3) Se as acções estiverem cotadas a 2.00€?
2) Qual o resultado dessa estratégia no vencimento se:
2.1) Se as acções estiverem cotadas a 3.20€?
2.2) Se as acções estiverem cotadas a 2.60€?
2.3) Se as acções estiverem cotadas a 2.00€?
3) Quais as vantagens e desvantagens que vê nesta estratégia?
Exercício 4.5
Usando a informação do exercício 1, componha a estratégia que passa pela compra de
uma opção de compra com vencimento em Abril e preço de exercício de 2.40€ e venda
de uma opção de compra com vencimento em Abril e preço de exercício de 2.80€, e
desenhe os gráficos de resultados:
26
1) Qual o valor dessa carteira no vencimento se:
1.1) Se as acções estiverem cotadas a 3.20€?
1.2) Se as acções estiverem cotadas a 2.60€?
1.3) Se as acções estiverem cotadas a 2.00€?
2) Qual o resultado dessa estratégia no vencimento se:
2.1) Se as acções estiverem cotadas a 3.20€?
2.2) Se as acções estiverem cotadas a 2.60€?
2.3) Se as acções estiverem cotadas a 2.00€?
3) Quais as vantagens e desvantagens que vê nesta estratégia?
Exercício 4.6
Usando a informação do exercício 1, componha a estratégia que passa pela compra de
uma opção de venda com preço de exercício de 2.60€ e vencimento em Abril e a compra
de uma acção, e desenhe os gráficos de resultados:
1) Qual o valor dessa carteira no vencimento se:
1.1) Se as acções estiverem cotadas a 3.20€?
1.2) Se as acções estiverem cotadas a 2.60€?
1.3) Se as acções estiverem cotadas a 2.00€?
2) Qual o resultado dessa estratégia no vencimento se:
2.1) Se as acções estiverem cotadas a 3.20€?
2.2) Se as acções estiverem cotadas a 2.60€?
2.3) Se as acções estiverem cotadas a 2.00€?
3) Quais as vantagens e desvantagens que vê nesta estratégia?
Exercício 4.7
Usando a informação do exercício 1, componha a estratégia que passa pela compra de
duas opções de compra com vencimento em Abril e preço de exercício de 2.40€ e a
venda a descoberto de uma acção, e desenhe os gráficos de resultados:
1) Qual o valor dessa carteira no vencimento se:
1.1) Se as acções estiverem cotadas a 3.20€?
1.2) Se as acções estiverem cotadas a 2.60€?
1.3) Se as acções estiverem cotadas a 2.00€?
2) Qual o resultado dessa estratégia no vencimento se:
2.1) Se as acções estiverem cotadas a 3.20€?
2.2) Se as acções estiverem cotadas a 2.60€?
2.3) Se as acções estiverem cotadas a 2.00€?
27
3) Quais as vantagens e desvantagens que vê nesta estratégia?
Exercício 4.8
No mercado de opções estão cotadas calls e puts de estilo europeu sobre a PT com
vencimento a 9 meses e preço de exercício a 9.00€. As taxas de juro instantâneas sem
risco a 9 meses estão a 3,125% - 3,250% (taxas bid e offer, respectivamente). As acções
da PT estão neste momento a cotar a 10,15€ - 10,25€ (preços de compra e de venda,
respectivamente). A cotação das opções de compra e de venda estão apresentadas no
quadro abaixo.
Cotação das Opções
Opções de Compra
Opções de Venda
Compra
(bid)
1,60€
0,10€
Venda
(ask)
1,70€
0,15€
Assuma que os custos de transacção além dos spreads de preço apresentados são
irrelevantes.
a) Se não houver qualquer pagamento de dividendos até ao vencimento das opções,
acha que a relação de paridade Put-Call está quebrada?
b) Continuando a admitir que não vai haver pagamento de qualquer dividendo até ao
vencimento das opções, qual será o limite para os preços de compra e de venda no
mercado do activo subjacente para que se possam observar condições vantajosas
de arbitragem?
c) Admitindo um pagamento de um dividendo de 0,50€ dentro de 6 meses, mas
todos os restantes dados inalterados, acha que a relação de paridade Put-Call está
quebrada?
Exercício 4.9
Em 22 de Março de 2004 a Brisa estava cotada a 5.49€ e a sua empresa quer avaliar
opções de compra e de venda sobre a Brisa usando para isso o modelo binomial.
Assumindo que a taxa de juro instantânea sem risco está a 2,00% e que a Brisa não
distribuirá dividendos até ao vencimento dentro de 6 meses (22 de Setembro de 2004),
qual o preço teórico que propõe para as opções com preço de exercício de 5,00€ e usando
3 intervalos de tempo de 2 meses cada para a análise:
a) Se as opções a cotar forem opções de compra europeias?
b) Se as opções a cotar forem opções de venda europeias?
28
c) Se as opções a cotar forem opções de compra americanas?
d) Se as opções a cotar forem opções de venda americanas?
Exercício 4.10
No departamento de avaliação de activos financeiros de uma instituição financeira
desenvolveu-se a árvore binomial que se apresenta de seguida para estudar o valor de
uma opção sobre a PT Multimédia e vencimento a 3 meses (por baixo dos valores em
euros para o preço do activo subjacente em cada nódulo encontram-se os valores em
euros para o preço do activo derivado em cada nódulo entre parênteses rectos). Como é
facilmente observável, assume-se que não há pagamento de dividendos até ao vencimento
da opção.
20,0000
[1,6917]
21,1887
[2,5262]
18,8780
[0,6702]
22,4480
[3,6057]
20,0000
[1,2112]
17,8189
[0,0000]
23,7822
[4,7822]
21,1887
[2,1887]
18,8780
[0,0000]
16,8193
[0,0000]
Com base nessa árvore responda às seguintes questões:
a) Que opção se está a valorizar? Defina o tipo de opção (de compra ou de
venda) e o estilo (europeu ou americano)
b) Qual o preço de exercício desta opção?
c) Qual a volatilidade que se usou nesta árvore?
d) Qual a taxa de juro que se usou nesta árvore?
e) Qual a probabilidade neutra face ao risco de subida e de descida do activo
subjacente?
Exercício 4.11
As acções do BPI estão hoje cotadas a 3,00 € e você pretende calcular o preço de uma
opção de compra americana at-the-money com vencimento a 6 meses. Assuma que a taxa
de juro a 6 meses é 5% ao ano e que a empresa não vai pagar dividendos dentro do
vencimento da opção. A volatilidade que o mercado espera que se venha a verificar nos
próximos 6 meses é 25%, mas a volatilidade histórica dos passados 6 meses foi de 30% e
a volatilidade histórica dos últimos 5 anos foi de 20%.
29
a) Calcule o preço da opção construindo uma árvore binomial com 2 intervalos
de tempo.
b) Qual a probabilidade neutra face ao risco da opção se vencer in-the-money?
c) Qual o delta da opção?
d) Sem construir uma nova árvore de preços, qual o valor que espera para o
preço da opção se a acção se valorizar instantaneamente 0,20€ e sem que se
alterem quaisquer outros parâmetros?
e) Assumindo que vende uma dessas opções de compra e constrói uma carteira
neutra face ao risco, qual seria hoje o valor dessa carteira?
Exercício 4.12
Assuma que as acções do BES estão a cotar a 14,00€ e que as alterações de valor mensais
para estes preços são bem representadas por um processo de Wiener do tipo
δS = ε δt
com ε ~ φ (0,1) e δ t representando 1 mês (1/12 do ano).
Adicionalmente assuma que a variável aleatória ε assume, sucessivamente os valores
apresentados em cada um dos 5 meses que se seguem no calendário bolsista:
Dia
1
2
3
4
5
ε
-0.525
+1.255
-2.435
+0.875
+0.355
a) Qual é o preço das acções BES no final do 1º período?
b) Qual é o preço das acções BES no final do 5º período?
c) Se em alternativa ao modelo anterior se tivéssemos assumido um processo de
Wiener generalizado com uma inclinação de 12% ao ano e um b=1
(volatilidade do processo), qual teria sido o valor para o preço das acções BES
ao fim do 1º período, assumindo as condições da alínea a)?
d) E qual teriam sido o valor para o preço das acções BES ao fim do 5º período,
assumindo o processo de Wiener generalizado da alínea anterior e as
condições da alínea b)?
Exercício 4.13
30
Assuma que as acções do BCP estão a cotar a 2,00€ e que as alterações de valor mensais
para estes preços são bem representadas por um processo de Ito do tipo
δ S = µ Sδ t + σ S ε δ t
com ε ~ φ (0,1) e δ t representando 1 dia (1/250 do ano).
Adicionalmente assuma que a variável aleatória ε assume, sucessivamente os valores
apresentados em cada um dos 5 dias que se seguem no calendário bolsista:
Dia
1
2
3
4
5
ε
+0.125
+1.355
-2.005
-1.000
+0.555
a) Qual é o preço das acções BCP no final do 1º dia?
b) Qual é o preço das acções BCP no final do 5º dia?
c) Qual a probabilidade do preço das acções vir a estar acima dos 3 euros dentro
de 1 ano?
d) Qual o valor esperado para o preço das acções BCP dentro de um ano?
Exercício 4.14
Assuma que se desenvolve um produto derivado cujo valor é igual ao quadrado do preço
do activo subjacente:
G = S2
Admite-se que o preço do activo subjacente segue um processo de Ito do tipo:
d S = µ S d t + d Sε d t
e que está hoje cotado a 20,00€ (S=20). Assuma que os parâmetros do activo subjacente
são:
- µ = 0,1
- σ = 0,3
a) Qual o valor esperado e o desvio padrão para as alterações de preço do activo
derivado G? ( E [dG ] ; VAR[dG ] e STD[dG ] )
b) Qual o valor esperado e o desvio padrão para a rendibilidade do activo
 dG 
 dG 
 dG 
derivado G? ( E   ; VAR   e STD   )
G 
G 
G 
c) Admitindo que o processo é aplicável a observações diárias, qual seria o preço
amanhã se a realização da variável aleatória ε fosse igual a +0,750?
31
Exercício 4.15
Suponha que se encontram cotadas opções europeias de compra e de venda sobre a
Portugal Telecom com preço de exercício de 10.00 € e maturidade dentro de 6 meses.
Suponha que a taxa de juro sem risco é de 8% ao ano e que a volatilidade é de 20%. As
acções da PT estão hoje cotadas a 9.00 €.
a) Usando a equação de Black - Scholes determine o preço teórico de uma opção de
compra europeia e de uma opção de venda europeia sobre a PT com as
características acima descritas.
b) Se prevê que as acções PT vão pagar um dividendo de 0,5 € dentro de 3 meses, qual
o valor teórico de uma opção de compra europeia sobre a PT?
c) Usando a aproximação de Black, qual seria o preço para a opção de compra
americana assumindo que a acção vai pagar um dividendo de 0,5 € dentro de 3
meses?
d) Se possuir uma carteira de acções da PT e se estiver ligeiramente pessimista,
prevendo apenas uma queda de 1 € nos próximos 9 meses, qual a estratégia estática
que propõe para combinar com as acções para maximizar a rendibilidade da sua
carteira?
e) Qual o delta da opção de compra europeia avaliada na alínea a)?
f) Se as opções de compra avaliadas na alínea a) estiverem cotadas no mercado a 0,5
€ o que sugere que se faça esquecendo agora que tem uma carteira de acções e que
pretende apenas retirar vantagens do mercado de opções?
Exercício 4.16
Se as acções da Brisa estiverem cotadas a 5,70€, se a volatilidade histórica da Brisa for de
15%, se a estrutura temporal de taxas de juro for a que se observa no quadro abaixo e se
quisermos cotar opções europeias at-the-money, com vencimento a 6 meses
Prazos
Taxas
1 mês
2,25%
3 meses
2,75%
6 meses
3,25%
1 ano
3,50%
2 anos
3,50%
a) Qual a cotação que sugere usando o modelo de Black-Scholes assumindo que
não vai haver pagamento de dividendos até ao vencimento da opção?
32
b) Qual seria o resultado da alínea a) se em alternativa estivesse a cotar opções
americanas usando os mesmos pressupostos?
c) Se no mercado se estiverem a transaccionar essas opções a 0,35€, acha que a
volatilidade implícita no preço das opções é superior ou inferior à volatilidade
histórica?
d) Se acredita que a volatilidade implícita se vai aproximar rapidamente dos
níveis da volatilidade histórica, o que considera adequado fazer se quiser
especular em opções?
Exercício 4.17
Uma instituição financeira tem na sua carteira de activos várias acções que replicam
exactamente a composição do índice europeu EuroStoxx 50. O índice está neste
momento nos 1500 pontos a instituição teme uma descida violenta no índice. A carteira
de acções vale hoje 3 milhões de euros.
a) Se estiverem cotadas opções de compra e de venda sobre este índice, com
vencimento para Dezembro e preço de exercício a 1500, estando as opções de
compra cotadas a 120 pontos, e as opções de venda a 100 pontos, qual o valor
destas opções no vencimento se o índice estiver nos 1600 pontos à data do
vencimento?
b) Quanto teria ganho ou perdido um investidor que hoje tivesse comprado dois
contratos de cada uma dessas opções assumindo que cada ponto de índice é
valorizado a 10€?
c) Usando as opções referidas na alínea anterior, que posição sugere que a
empresa tome por forma a cobrir o risco da carteira de acções de uma descida
do índice?
d) Se o índice estiver nos 1600 pontos em Dezembro (na data de vencimento) e
tendo seguindo a estratégia proposta na alínea anterior, quais os resultados
financeiros que a empresa obteve nas operações do mercado de capitais (à
vista e em derivados)?
Exercício 4.18
Suponha que um gestor de uma carteira de acções composta por activos europeus, deseja
cobrir o risco dessa carteira com recurso a opções sobre o índice FTSE €Stars. O
contrato está desenhado por forma a cada ponto do índice ser valorizado a 10€, sendo o
preço das opções estabelecido em pontos de índice e valorizado do mesmo modo. O
preço mínimo de variação é de 1/2 ponto (5€). O índice está neste momento nos 5500
33
pontos e existem opções de venda cotadas com vencimento a 3 meses e diversos preços
de exercício.
Preços de exercício
K = 5000
K = 5250
K = 5500
K = 5750
K = 6000
Cotações
37 pontos
95 pontos
185 pontos
325 pontos
510 pontos
a) Estando na disposição de arriscar um máximo de 10% do valor da carteira que vale
hoje 10.000.000€, qual a posição a tomar, assumindo um beta de 1,8 para a carteira
(calculado tendo por base o índice €Stars). Especifique qual a posição (compra ou
venda), o número de contratos e o preço de exercício a seleccionar.
b) Se no vencimento o índice estiver a 5200 pontos, qual teria sido a melhor solução?
(especifique se teria sido tomar posição a futuro ou em que série de opções)
c) Se desejar modificar o risco sistemático da sua carteira passando-o para 1 e se,
simultaneamente, quiser garantir uma desvalorização máxima de 10% do valor da
carteira qual deve ser a posição a tomar em opções? Especifique qual a posição
(compra ou venda), o número de contratos e o preço de exercício a seleccionar.
Exercício 4.19
Um fundo de investimento mobiliário detém em carteira 10 milhões de euros de valores
mobiliários. Este montante está repartido do seguinte modo: 30% em acções da Portugal
Telecom, 25% em acções do BCP e 45% em acções da EDP. Os respectivos betas
esperados para o próximo ano sâo 1,5, 1,2 e 0,8. O gestor da carteira está apreensivo
sobre a evolução do índice durante o Outono que se aproxima. O índice PSI-20 está
neste momento cotado a 7800 pontos e estão cotadas opções europeias sobre o índice
com vencimento dentro de 5 meses (para finais de Dezembro). As séries de opções
disponíveis são:
Opções de Compra
X = 7600
X = 7800
X = 8000
Prémio
635
518
416
Opções de Venda
X = 7600
X = 7800
X = 8000
Prémio
217
294
386
Assuma que a taxa de remuneração por via de dividendos (dividend yield) é de 0% até
Dezembro
34
a) Suponha que a taxa livre de risco se situa nos 7% ao ano e que a volatilidade
esperada para o índice PSI20 para o período decorrente até Dezembro é de 20%.
Que posição deve o gestor da carteira tomar no mercado de opções (sinal e
quantidade de contratos), se desejar cobrir 100% do valor da carteira de títulos
nacionais de modo estático?
b) Se no dia seguinte o índice se mover para os 7810 pontos qual o valor global da
carteira?
c) Se o índice de acções PSI20 estiver nos 8100 pontos em Dezembro de 1996, que
ganhos/perdas terão sido obtidos no mercado de opções e na carteira de acções se
tivesse comprado opções de venda com preço de exercício X=7800?
d) Se o índice distribuísse um dividend yield de 3% qual seria o impacto na cotação
das opções de compra?
Exercício 4.20
Uma determinada empresa tem sob sua gestão uma carteira de acções diversificada. O
risco sistemático dessa carteira de acções é 1,5 e o gestor dessa carteira está expectante
sobre uma possibilidade de descida de cotações (após as eleições legislativas). O índice
PSI20 está hoje cotado a 10.200 pontos e a taxa de juro sem risco está nos 4% ao ano. O
valor da carteira de acções, avaliada às cotações de hoje é de 10 milhões de euros. Não
se espera que de hoje até Dezembro as empresas constituintes do índice venham a
distribuir dividendos. Se estiverem cotadas opções sobre futuros com vencimento para
Outubro e se a empresa quer minimizar o risco de preço para uma data próxima do final
do mês de Outubro (após as eleições legislativas)
a) Qual o preço teórico para uma opção de compra sobre futuros sobre o índice com
vencimento dentro de 6 meses e preço de exercício de 11.000 pontos? Assuma que o
dividend yield é nulo para o prazo até ao vencimento que ocorrerá dentro de 3 meses e
que o preço a futuro com vencimento para Outubro é de 10.545 pontos.
b) Se desejar cobrir o risco de preço com o recurso a opções, o que sugere que se faça
perante a hipótese de tomar posições em opções com vencimento em Outubro
(indique contrato, número de contratos e posição a tomar seleccionando a partir das
seguintes opções)
Preço de Exercício
Opções de Compra
Opções de Venda
X=9.000
1320
39
X=10.000
565
265
X=11.000
162
858
c) Se no vencimento o PSI20 estiver nos 9.500, qual o resultado da estratégia enunciada
na alínea anterior quer no mercado de derivados, quer na carteira em que tem
posição?
d) Comente a seguinte afirmação em não mais que 10 linhas:
35
“O recurso a opções para cobrir o risco de preço não tem qualquer utilidade, uma
vez que o risco medido através do desvio padrão das rendibilidades não é
eliminado integralmente.”
Exercício 4.21
Uma empresa importadora de materiais de construção foi recentemente facturada em
libras esterlinas no valor de 1.000.000£. A empresa tem um prazo de pagamento a 90 dias
e teme uma valorização da libra. A taxa de juro sem risco das aplicações a 90 dias em
libras é de 7% e em euros de 3%. A cotação hoje da libra é de 1,545€/£.
a) Qual o valor teórico para uma opção de compra sobre libras ao preço de
exercício de 1,500€/£?
b) Qual o valor teórico para uma opção de venda sobre libras ao preço de
exercício de 1,500€/£?
c) Se estiverem cotadas as opções sobre libras referidas nas alíneas anteriores
aos preços teóricos por si calculados, e em que cada contrato representa a
compra de 10.000£, em quantos contratos deve a empresa tomar posição, qual
o estilo de opções em que deve abrir posição (de compra ou de venda)?
d) Se a empresa executar o que sugeriu, calcule qual o valor total da factura
admitindo que na data do vencimento da factura a libra estava a cotar a
1,450£/€.
Exercício 4.22
Suponha que se encontram cotadas opções europeias de compra e de venda sobre a
Portugal Telecom com preço de exercício de 10.00 € e maturidade dentro de 6 meses.
Suponha que a taxa de juro sem risco é de 8% ao ano e que a volatilidade é de 20%. As
acções da PT estão hoje cotadas a 9.00 €.
a) Qual o delta das opções de compra e de venda?
b) Qual o gama das opções de compra e de venda?
c) Qual o vega das opções de compra e de venda?
d) Qual o theta das opções de compra e de venda?
e) Qual o rho das opções de compra e de venda?
36
Exercício 4.23
Suponha que se encontram cotadas opções europeias de compra e de venda sobre a
Portugal Telecom com preço de exercício de 10.00 € e maturidade dentro de 6 meses.
Suponha que a taxa de juro sem risco é de 8% ao ano e que a volatilidade é de 20%. As
acções da PT estão hoje cotadas a 9.00 €.
a) Se as acções subirem bruscamente 1€, quanto deverá passar a custar uma opção de
venda com as características referidas?
b) Qual a posição (comprar / vender ) e qual a quantidade a tomar em acções e a se tiver
vendido 1000 opções de venda resolver cobrir o risco com acções subjacentes às
opções (delta hedging)?
c) E se quiser cobrir a posição curta em 1000 opções de venda fazendo delta e gama
hedging?
Exercício 4.24
Um gestor de um Fundo composto por uma carteira diversificada que replica
sensivelmente o índice PSI20, tem sob a sua administração um património no valor de
1.800.000€. O Índice está neste momento nos 13.500 pontos, tem uma volatilidade
esperada para o próximo semestre de 12%, distribui em média 3% de dividendos e a taxa
livre de risco a 6 meses está nos 11%. Cada contrato de opções é estabelecido com base
no valor do índice multiplicado por 1€. No regulamento do Fundo define-se que as
aplicações em derivados não podem exceder, avaliadas ao valor nominal dos contratos
em que há posições abertas, 30% do valor do mesmo, quer para efeitos de cobertura de
riscos quer para efeitos especulativos. O gestor do Fundo espera uma descida de
cotações generalizada prevendo que em Dezembro o PSI20 venha a quedar-se pelos
11.500 pontos. Não é política do Fundo o desinvestimento nos títulos que detém em
carteira. Assim parece mais razoável um investimento em opções.
As cotações das séries disponíveis em opções com vencimentos para Dezembro são as
seguintes:
Preço de
Exercício
11 000
13 000
15 000
Opções de
Compra
2880
1090
140
Opções de
Venda
2
150
1055
a) Que estratégia sugere para o Fundo em causa tendo em vista uma cobertura
estática até Dezembro e supondo que se vêm a confirmar as expectativas do
37
gestor do Fundo? Defina a posição (compradora/vendedora) a tomar, a série e
o número de contratos.
b) Se pretender efectuar uma cobertura dinâmica (delta hedging), que estratégia
aconselha? Defina a posição (compradora/vendedora) a tomar, a série e o
número de contratos.
c) Como explica a existência de diferentes volatilidades implícitas em opções
sobre o mesmo activo subjacente e com a mesma data de vencimento?
V – FORWARDS E FUTUROS FINANCEIROS
Exercício 5.1
Uma instituição financeira tem na sua carteira de activos várias acções que replicam
exactamente a composição do índice europeu Stoxx 50. O índice está neste momento nos
1500 pontos a instituição teme uma descida violenta no índice. A carteira de acções vale
hoje 3 milhões de euros. Existe um contrato a futuros sobre este índice com vencimento
para Setembro cotado a 1550 e com vencimento para Dezembro cotado a 1600.
a) Se na data de vencimento dos contratos a futuro o índice estiver nos 1570
pontos qual o preço a futuro que se deve estar a praticar no mercado de
futuros?
b) Supondo que cada ponto é avaliado em 10 euros qual a posição a tomar em
contratos a futuro (vencimento do contrato, posição - compradora ou
vendedora - e quantidade de contratos) por forma a que a empresa esteja
segura que os resultados do exercício de 2000 não serão afectados por
quaisquer variações nos preços a futuro?
c) Mostre, usando 2 cenários alternativos (por exemplo que o índice está nos
1400 pontos ou que está nos 1600 pontos) que tomando a sua indicação dada
em b), os resultados da variação do índice não teriam quaisquer efeitos sobre
os resultados financeiros da empresa.
Exercício 5.2
38
Um fundo de investimento mobiliário detém em carteira 10 milhões de euros de valores
mobiliários. Este montante está repartido do seguinte modo: 30% em acções e 65% em
Obrigações e 5% em numerário e Depósitos à Ordem. Do montante investido em acções
40% são de origem externa. Os restantes 60% constituem uma carteira diversificada com
um Beta igual a 1,4. O gestor da carteira está apreensivo sobre a evolução do índice
durante o “maldito Verão” que se aproxima. O índice PSI-20 está neste momento cotado
a 4120 pontos e o preço dos futuros sobre o índice com vencimento para Dezembro de
1996, está cotado a 4400 pontos.
1) Que posição deve o gestor da carteira tomar no mercado de futuros (sinal e quantidade
de contratos), se desejar cobrir 50% do valor da carteira de títulos nacionais?
2) Qual a taxa de juro que o mercado está a assumir como taxa livre de risco, se
considerar que a taxa de remuneração por via de dividendos (dividend yield) é de 0%
até Dezembro?
3) Se o índice de acções PSI20 estiver nos 4000 pontos em Dezembro de 1996, que
ganhos/perdas terão sido obtidos no mercado de futuros? De que modo terá sido
compensado pelas variações de valor da carteira?
4) Caso o gestor da carteira pretenda alterar a composição da mesma, que estratégia
deverá seguir usando futuros sobre índices e Obrigações do Tesouro por forma a obter
uma composição de 20% de Obrigações e o remanescente de acções?
Exercício 5.3
Suponha que a prata é transacionada nos mercados mundiais e que, num determinado
momento o preço spot é de 5.90 USD/oz de prata e que o futuro sobre a prata com
vencimento a um ano está cotado a 6.55 - 6.75 USD/oz de prata (compra - venda).
a) Que tipo de agente poderá estar interessado em comprar contratos a futuro sobre
a prata?
b) Se a taxa de juro sem risco estiver a 5% ao ano, haverá oportunidades de
arbitragem (asuma que a convenience yield é nula)? Em caso afirmativo, explique
qual a estratégia a montar para e qual o benefício líquido por cada onça a negociar.
Exercício 5.4
Suponha que um contrato forward sobre um activo financeiro se vence a um ano e
estabelece um preço forward de 10.00 €. A taxa de juro sem risco é de 8%. Seis meses
depois, novos contratos forward sobre o mesmo activo e com vencimentos a 6 meses
39
estão a ser negociados ao preço de 12.00 €. Qual é o valor do contrato forward original,
no momento inicial e passado os 6 meses?
Exercício 5.5
Um gestor gere uma carteira de acções no valor de 20 milhões de euros, tendo por base
uma aproximação ao índice EuroStoxx 50. Este gestor acredita que o mercado vai descer
durante o próximo mês e decide eliminar o risco durante esse período. Existe a seguinte
informação disponível:
• Contrato Futuros de Stoxx 50 para entrega a 1 mês estão cotados a 1084.50.
• Dividendo yield da carteira em causa é de 2.1% ao ano.
• O beta da carteira é de 1,75.
• O índice Stoxx 50 hoje está hoje a 1081.40.
• Cada ponto do índice vale 10,00 €.
a) Qual a estratégia de cobertura a realizar pelo gestor?
b) Calcule a rendibilidade esperada a receber no próximo mês. Se necessário,
assuma alguns pressupostos.
Exercício 5.6
A administração de uma empresa refinadora de petróleo enviou uma nota interna ao
director financeiro, no sentido de estabelecer os procedimentos e rotinas apropriados à
cobertura do risco. O director financeiro ficou inicialmente indeciso sobre que atitude
tomar pois não estava especificado qual a natureza dos riscos a cobrir.
a) Tratando-se do risco operacional, quais as medidas que em seu entender devem ser
tomadas para cumprir os desejos da administração?
b) E tratando-se do risco de preço, sabendo-se que a empresa refina anualmente 1000
milhões de barris, cuja aquisição é feita trimestralmente em encomendas semelhantes,
se a empresa estiver disposta a cobrir apenas 60% dessa quantidade, qual a política a
seguir através de contratos a futuro? (explicite a quantidade de contratos, posição a
tomar no mercado e respectivos vencimentos de acordo com os pressupostos que deve
assumir no sentido de completar o problema)
c) Se o preço a futuro na data de hoje, para um contrato com vencimento em Dezembro,
estiver a $US 18.20 o barril, e se o preço spot for de $US17.80, qual o movimento na
conta margem da empresa que adoptou a política proposta na alínea anterior ao longo
de um período de 5 dias, se as liquidações de ganhos e perdas forem feitas
diariamente?
40
Data
T
T+1
T+2
T+3
T+4
T+5
Preço de liquidação diário
18.20
18.00
17.70
17.90
18.30
18.50
Posições abertas
12.500
15.800
15.000
17.000
18.000
22.000
d) Pode considerar-se que a empresa apurou um ganho ou uma perda?
e) Se a taxa de juro sem risco for de 5% ao ano, determine se existem oportunidades de
arbitragem no mercado do petróleo para os preços de hoje (condições da alínea c), e
explique que procedimentos tomar para daí tirar as devidas vantagens.
Exercício 5.7
Uma determinada empresa tem sob sua gestão uma carteira de acções diversificada. O
risco sistemático dessa carteira de acções é 1,5 e o gestor dessa carteira está expectante
sobre uma possibilidade de descida de cotações. O índice PSI20 está hoje cotado a
10.200 pontos e a taxa de juro sem risco está nos 4% ao ano. O valor da carteira de
acções, avaliada às cotações de hoje é de 10 milhões de euros. Não se espera que de hoje
até Dezembro as empresas constituintes do índice venham a distribuir dividendos. Se
estiverem cotados contratos a futuro com vencimento para Setembro e Dezembro e se a
empresa quer minimizar o risco de preço para uma data próxima do final do mês de
Outubro (após as eleições legislativas)
a) Que sugere à empresa como actuação mais adequada? (Explicite posição a tomar,
número de contratos e contrato a seleccionar em concreto, assumindo que a
correlação entre a rendibilidade do índice e a do preço a futuro é de 0.85 e que a
volatilidade de ambos estes preços é de 20%)
b) Se lhe sugerissem que cotasse o contrato com vencimento para Setembro, estando
neste momento muito pessimista sobre a evolução das cotações nos próximos meses,
qual o preço a futuro que proporia?
c) Se no vencimento o índice estiver a 11.000 pontos quanto é esperado que se tenha
valorizado/desvalorizado a sua carteira e quanto ganhou/perdeu no mercado a futuro?
d) Em que medida o preço à vista e a futuro observados hoje, lhe sugerem a existência
de uma convenience yield?
41
VI – SWAPS
Exercício 6.1
Uma empresa de construção civil emitiu obrigações a taxa variável há 2 anos atrás. Desde
essa data que as taxas de juro se têm mantido baixas e por isso a empresa pensa que foi
uma boa opção. No entanto, a empresa teme que nos próximos 5 anos em que a emissão
ainda vai manter essa emissão no mercado, as taxas sofram uma subida brusca e que isso
afecte a rendibilidade dos capitais próprios de modo acentuado. Pensa por isso converter
a dívida de taxa variável em taxa fixa. Trata-se de uma emissão de 1.000.000 de euros e
que foi emitida em 20 de Março de 2002. As condições de emissão estipulam uma
emissão a 7 anos a uma taxa de cupão igual à euribor acrescida de um spread de 1% e
com pagamentos anuais. Hoje em 20 de Março de 2004 a empresa consultou uma
instituição financeira que lhe cotou um swap de taxa de juro a 5 anos nos seguintes
termos: 4,0% - 4,5%.
a) Se a empresa optar por estabelecer este swap, qual a taxa de juro que irá
efectivamente suportar no empréstimo?
b) Estando a taxa euribor a 3,5% em 20 de Março de 2004 qual o valor da posição de
swap se a 31 de Dezembro de 2004 se a euribor estiver a 4,00%? (assuma uma
estrutura temporal de taxas de juro “flat”)
c) A posição de swap é uma posição activa ou passiva?
d) Se em 20 de Março de 2005 a taxa euribor estiver a 5% e se nessa data a empresa
previr que em breve as taxas de juro vão descer, o que sugere que a empresa faça?
Exercício 6.2
Uma pequena instituição financeira portuguesa está interessada em contrair uma
empréstimo a taxa fixa a 5 anos para uma dívida de 100 milhões de euros. No mercado
internacional ela verificou que as melhores cotações que consegui obter para
empréstimos com pagamentos de cupão semestrais eram as seguintes:
Empréstimo a Taxa fixa
Empréstimo a Taxa variável
Taxa
Euribor a 6 meses + 1,25% ao ano
5,125% ao ano
Uma outra empresa pretende igualmente realizar um empréstimo com pagamentos de
cupão semestrais mas a taxa variável e no montante de 150 milhões de euros. Junto do
mercado ela conseguiu as seguintes condições:
42
Empréstimo a Taxa fixa
Empréstimo a Taxa variável
Taxa
Euribor a 6 meses + 0,75% ao ano
4,125% ao ano
A taxa euribor a 6 meses está hoje a 2,5%.
a) O que sugere às duas empresas por forma a obterem o menor custo de
financiamento cada uma?
b) A que taxas vai cada uma vai efectivamente suportar os respectivos
empréstimos?
c) Se passados 40 meses a taxa euribor a 6 meses estiver a 3% ao ano e se a
taxa do próximo cupão foi fixada quando a euribor estava a 3,5% ao ano,
qual o valor da posição swap para a pequena instituição financeira
nacional? (assuma uma estrutura temporal de taxas de juro “flat”)
Exercício 6.3
Um fundo de pensões tem nas suas carteiras de activos uma carteira de obrigações a taxa
fixa de valor significativo. As obrigações são pouco líquidas e se tentar vendê-las
perderá significativamente com isso. O gestor do fundo receia uma subida brusca das
taxas de juro e por isso pensa que o ideal seria converter a aplicação hoje a taxa fixa em
taxa variável. A carteira ao valor nominal vale 20 milhões de euros e a taxa de cupão é de
6% ao ano. O empréstimo paga juros anualmente e a emissão vence-se dentro de 5 anos
(faltam ainda receber 5 cupões anuais, dos quais o 1º dentro de 1 ano). A estrutura de
taxas euribor e as cotações de mercado para os swaps de pagamentos anuais são os
seguintes:
Prazo
1 ano
2 anos
3 anos
4 anos
5 anos
10 anos
Taxa Bid
5,250%
5,500%
5,750%
5,750%
5,875%
5,875%
Taxa Offer
6,000%
6,250%
6,250%
6,250%
6,125%
6,250%
Euribor
3,500%
3,625%
3,625%
4,000%
4,125%
4,000%
a) O que sugere que a empresa faça para se precaver contra eventuais subidas
da taxa de juro?
b) Qual a taxa de juro que o empréstimo vai produzir após a efectivação do
swap?
c) Se dentro de 6 meses a taxa euribor a 6 meses estiver a 4,5%, qual o valor
da posição do swap previsto na alínea a)?
43
VII – PRODUTOS ESTRUTURADOS
Exercício 7.1
John Bull é um jovem director do departamento de produtos estruturados e quer
emitir um novo produto. Já fez a primeira reunião com a CMVM e já sabe quais as
condições que lhe são impostas para a emissão, nomeadamente o preenchimento de uma
ficha técnica de emissão que acompanhará o prospecto de emissão. A emissão será
pública e o produto colocado na rede de balcões dos CTT – Correios de Portugal.
Após ter estudado o mercado de opções disponíveis e avaliado a carteira de
clientes que possa estar eventualmente interessado no produto, pensa que os derivados
sobre o índice DJ EURO STOXX 50 são os mais adequados. Por isso está a pensar
desenvolver um produto que contenha as seguintes características:
1) Compreenda uma Obrigação de Cupão Zero com vencimento a 2 anos e cujo
valor nominal corresponda a 95% do Valor Nominal de subscrição;
2) Compreenda uma posição longa numa Call Europeia binária (cash-ornothing) com vencimento a 2 anos e com preço de exercício igual a 115%
acima do valor actual do DJ EURO STOXX 50;
3) Compreenda uma posição longa numa Put Europeia binária com vencimento
a 2 anos e com preço de exercício igual a 85% abaixo do valor actual do DJ
EURO STOXX 50.
Ajude o John Bull a seleccionar os elementos que considere indispensáveis para o
lançamento do produto. O índice está hoje nos 2750 pontos e a empresa emitente quer
fazer equivaler um ponto a um euro. No entanto falta ainda determinar:
a.
Os valores dos payoff das opções binárias, isto é, quanto é
que a empresa pode pagar em caso de exercício das opções binárias.
b.
Formulação de valor no vencimento;
c.
Condições de exercício;
d.
Maturidade;
e.
Calcule os gregos deste produto, calculados à data de
emissão, nomeadamente o delta, o gamma, o rho, o theta e o vega (ou
lambda).
44
Exercício 7.2
Suponha que vai lançar um produto estruturado que está desenvolvido sobre o índice
PSI20. O produto só permite o resgate no vencimento (dentro de 6 meses), o detentor
deste produto (opção) recebe a diferença (contada em pontos de índice e convertida no
mesmo número de euros), acima do preço de exercício (7.500 pontos) até ao limite de
8500 pontos. Isto é, se o índice estiver cotado a 9.000 pontos o titular desta opção só
recebe 1.000 euros. A taxa de juro sem risco é de 6% ao ano e não se espera que as
empresas constituintes do índice distribuam dividendos até ao vencimento. A
volatilidade histórica dos últimos 6 meses foi de 25% ao ano, e o índice está neste
momento nos 7.000 pontos. Assuma um ambiente semelhante e compatível com a
equação de Black - Scholes.
a) Usando uma árvore binomial em que as variações temporais para avaliação
correspondem a 2 meses (árvore com 3 desdobramentos e 4 nódulos finais) qual o
valor da opção?
b) Qual o delta da opção?
c) Qual o Theta da opção?
d) Se a opção fosse americana o valor seria diferente? (Se acha que sim, basta
exemplificar com um nódulo)
e) Se uma instituição financeira emitir um produto semelhante, mas com as bandas
mais afastadas (por exemplo preço de exercício inferior de 7.200 pontos e preço de
exercício superior de 8.800 pontos) qual das duas opções deverá ser mais cara?
Justifique.
Exercício 7.3
Um intermediário financeiro vai lançar um produto estruturado que está desenvolvido
sobre o índice IBEX35 e a que chamou Bullish Power. O Bullish Power só permite o
resgate no vencimento (dentro de 2 anos). O titular deste produto (opção) recebe o dobro
da diferença (contada em pontos de índice e convertida no mesmo número de euros),
acima do preço de exercício (7.500 pontos) até ao limite de 8500 pontos. Isto é, se o
índice estiver cotado a 9.000 pontos o titular desta opção só recebe 2.000 euros, mas se
estiver cotado a 7.700 pontos o titular receberá 400 euros. A taxa de juro sem risco é de
5% ao ano. O índice está neste momento nos 7.000 pontos e realizaram-se 10.000
simulações para evolução do índice IBEX35 para os próximos dois anos. O quadro
seguinte resume os valores obtidos para o índice ao fim de 2 anos.
Resultados
Número de
simulações
45
6 000 pontos
450
6.500 pontos
1.500
7.000 pontos
2.000
7.500 pontos
2.000
8.000 pontos
2.500
8.500 pontos
1.000
9.000 pontos
500
9.500 pontos
50
TOTAL
10.000
a) Recorrendo à técnica de simulação de Monte Carlo calcule o valor do Bullish
Power (opção).
b) Qual a probabilidade neutra face ao risco do Bullish Power (opções) não ter
qualquer valor no final?
c) O seu avô quer oferecer-lhe um destes produtos, mas a instituição financeira que
os emite tem outro produto também desenvolvido sobre o IBEX35: o El Niño. O
El Niño paga, no vencimento (dentro de 2 anos), o valor da diferença (contada em
pontos de índice e convertida no mesmo número de euros), acima do preço de
exercício (6.500 pontos) até ao limite de 9.000 pontos. Isto é, se o índice estiver
cotado a 9.000 pontos o titular desta opção recebe 2.500 euros, mas se estiver
cotado a 6.700 pontos o titular receberá 200 euros. Qual e porquê pediria ao seu
avô?
VIII – VaR e TCE
Exercício 8.1
Um gestor de carteiras quer calcular o VaR da sua carteira por forma a informar a
administração para elaboração do seu relatório anual. A sua carteira é composta por
acções, obrigações e alguns futuros sobre energia. O gestor assumiu que a correlação
entre estes 3 tipos de produtos é nula e quer calcular o VaR a 1 semana, com um nível de
confiança de 95% e 99%. A carteira, a valorização das posições em cada um dos activos e
ainda as expectativas de volatilidade e rendibilidade de cada estão apresentadas no
quadro abaixo.
Produtos
Acções
Obrigações
Futuros
Valor da Posição
2.500.000€
5.000.000€
1.000.000€
Rendibilidade
Anual Esperada
15%
5%
35%
Volatilidade
25%
5%
50%
46
a) Qual a resposta a dar à administração sobre qual o valor do VaR a 1
semana com um nível de confiança de 95% e 99%?
b) Se a administração quiser reduzir o VaR a metade do é actualmente,
embora sem modificar os tipos de produtos que actualmente fazem parte
da carteira, quais as alterações de composição de carteira que recomenda?
Exercício 8.2
Uma empresa seguradora quer calcular o VaR e a TCE da sua carteira de aplicações. Por
isso desenvolveu um modelo de simulação de Monte Carlo para a avaliar o qual correu
1.000 vezes. Em cada corrida de um mês cada estimou o valor da carteira bem como as
perdas e os ganhos face ao nível da carteira actual. Depois de obter as 1.000 simulações a
empresa ordenou os resultados por ordem crescente o no quadro abaixo apresentam-se
apenas os 20 piores resultados das simulações (os mais baixos 2% da distribuição). A
carteira actualmente vale no seu conjunto 10.000.000€.
Simulação
#1
#2
#3
#4
#5
#6
#7
#8
#9
# 10
# 11
# 12
# 13
# 14
# 15
# 16
# 17
# 18
# 19
# 20
Perda ou Ganho
Simulado na
Carteira
-1.824.352
-1.500.635
-1.125.498
-1.102.258
-1.006.747
-1.000.025
-897.524
-752.582
-725.698
-725.563
-702.654
-658.241
-526.321
-321.002
-320.005
-300.002
-289.250
-274.258
-256.698
-201.221
47
a) Qual o VaR da carteira a um mês e a 99% de nível de confiança?
b) Qual o TCE para um VaR de 99%?
c) Se o regulador do mercado segurador impuser um rácio prudencial que obriga
o capital próprio ser pelo menos maior do que 2/3 das perdas expressas pelo
TCE para um VaR a um mês para um nível de confiança de 99% qual deve ser
o nível mínimo do capital próprio da seguradora?
Exercício 8.3
Suponha uma economia onde existem 3 activos de risco (acções) disponíveis para
investimento. Você tem a seu cargo a gestão dos fundos de investimento sob
administração da sociedade gestora TOPFUNDOS que actualmente tem sob gestão dois
fundos de investimento cuja composição das carteiras está apresentada no quadro abaixo
e cuja dimensão é de 10.000.000 € e 50.000.000 €:
Activos
Alpha
Beta
Gamma
Composição dos Fundos
Fundo 50-50 Fundo 70-30
50%
30%
70%
50%
As características dos 3 activos de risco estão apresentadas no quadro seguinte:
Rendibilidade Esperada
Alpha
Be1ta
Gamma
35%
40%
20%
Volatilidade
30%
40%
10%
Na TOPFUNDOS assume-se que a correlação entre qualquer dos activos é constante e
igual a 0,20 e que a taxa de juro sem risco é de 4% ao ano.
a) Qual o VaR de cada um dos Fundos para um intervalo de 1 dia e 5 dias para 95%,
99% e 99,9%?
b) Se usar o critério do Var para aplicar o seu dinheiro em qual dos Fundos
investiria? Justifique.
c) Verificou-se historicamente que do histograma da distribuição de rendibilidades
diárias, o limite superior do percentil 5 é -2% para ambos os fundos da
TOPFUNDOS. Em que medida esta observação vem pôr em causa a estimação
realizada em a)?
48
IX – AVALIAÇÃO DA PERFORMANCE
Exercício 9.1
Várias equipas de um jogo de simulação de carteiras obtiveram os seguintes resultados
após vários meses de simulação
Nome
Valor Global Rendibilidade Volatilidade
Carteira
Anual
Anual
Os Crashes
102.646.027
7,15%
9,65%
Oásis
108.257.934
21,72%
4,46%
Devagar se Vai ao Longe 112.129.149
31,33%
8,13%
Tubarões
112.179.221
31,45%
5,65%
PSI 4
114.262.763
36,49%
5,05%
Kamikazes
105.736.377
15,27%
4,99%
Os Expertos
114.266.552
36,50%
5,36%
BVL30
112.351.459
31,87%
6,30%
Beta
0,106
0,623
0,873
0,844
0,840
0,745
0,581
1,000
O jogo era ganho, de acordo com os regulamentos, pela equipa que conseguisse
maximizar o indicador de Sharpe. No entanto, porque você pertence a uma das equipas
não vencedoras, e porque sabe que outras medidas há para avaliar a bondade da
performance dos gestores de carteiras, tentará persuadir os colegas do seu bom
desempenho. Tendo em conta as medidas de avaliação de performance, calcule qual foi
o resultado do jogo, e qual teria sido o mesmo se outra medida fosse usada.
A taxa média livre de risco para o período foi de 7,3% / ano.
Exercício 9.2
Suponha uma economia onde existem apenas 3 activos de risco (acções) disponíveis para
investimento, e onde são permitidas vendas a descoberto. Você tem a seu cargo a gestão
dos fundos de investimento sob administração da sociedade gestora TOPFUNDOS que
actualmente tem sob gestão dois fundos de investimento cuja composição das carteiras
está apresentada no quadro abaixo:
49
Activos
Alpha
Beta
Gamma
Composição dos Fundos
Fundo
Fundo
50-50
70-30
50%
30%
70%
50%
As características dos 3 activos de risco estão apresentadas no quadro seguinte:
Rendibilidade Esperada
Volatilidade
Alpha
Be1ta
Gamma
35%
40%
20%
30%
40%
10%
Na TOPFUNDOS assume-se que a correlação entre qualquer dos activos é constante e
igual a 0,20 e que a taxa de juro sem risco é de 4% ao ano.
a) Qual a rendibilidade esperada de cada um dos fundos que actualmente tem sob
gestão?
b) À luz das várias teorias de avaliação da performance de fundos de
investimento que conhece como classifica o desempenho dos dois fundos em
causa (o Fundo 50-50 e o Fundo 70-30)?
c) Imagine que quer investir as suas poupanças num dos fundos de investimento
da TOPFUNDOS. Se desejar obter 20% de rendibilidade esperada no seu
investimento de 50.000 €, qual o fundo que escolhe e como reparte de modo
óptimo esse seu investimento?
X – ÉTICA E DEONTOLOGIA
Exercício 10.1
Durante a hora do almoço você encontrou um amigo seu de longa data na administração
de uma empresa cotada que lhe confidenciou que as vendas não tinham corrido muito
bem neste último trimestre e que isso iria ser objecto de uma conferência de imprensa
após o final da sessão de bolsa. Quando regressa ao escritório o debate da equipa de
trabalho centra-se na divulgação de uma recomendação de compra sobre aquela empresa
com base em expectativas de que o trimestre da empresa teria corrido bem. A
50
recomendação tinha sido mesmo agora concluída e iria ser já enviada aos clientes
preferenciais. O que fazer?
Exercício 10.2
É prática da empresa em que agora ingressou divulgar as recomendações e análises
realizadas em três momentos diferentes, consoante a "qualidade" dos clientes. Os
clientes VIP são informados num momento, só uma hora depois segue a informação para
os clientes de nível 2 e só no dia posterior segue para os restantes clientes. Que
recomenda à empresa?
Exercício 10.3
Da sua análise histórica que fez da "carteira" de 120 recomendações realizadas no último
ano 115 são de "strong buy" e apenas 2 são de hold. A escala de recomendações na
empresa tem 7 níveis. O que sugere?
51
PARTE II
Perguntas de Resposta Múltipla
52
Exercício 1
Num processo de reafectação de carteiras, face aos maus resultados atingidos
anteriormente, o processo de selecção deve iniciar-se por:
a) Confrontar os resultados obtidos com o risco do mercado
b) Confrontar a rendibilidade com o risco observado
c) Confrontar os resultados obtidos com o anteriormente planeado
d) Confrontar o risco esperado com o risco sistemático da carteira eficiente
e) Nenhuma das anteriores
Exercício 2
O modelo de índice simples (único índice) tem por base a ideia de que:
a) O mercado é ineficiente porque se pode prever a rendibilidade do activo
b) O mercado explica integralmente a rendibilidade do activo
c) A rendibilidade do activo explica parcialmente a rendibilidade do mercado
d) A rendibilidade do mercado explica parcialmente a rendibilidade do activo
e) Nenhuma das anteriores
Exercício 3
Uma carteira diversificada pode dizer-se que:
a) Não tem risco sistemático
b) O risco é maior que o do activo sem risco
c) Tem risco nulo
d) O risco é maior que o do mercado
e) Nenhuma das anteriores
Exercício 4
O modelo de Markowitz permite:
a) Escolher uma carteira de obrigações sem risco
b) Aplicar o capital de modo óptimo para um dado nível de risco
53
c) Investir diversificadamente em activos monetários
d) Conceptualizar o benefício da diversificação
e) Nenhuma das anteriores
Exercício 5
O risco sistemático de uma carteira permite:
a) Medir a variação da rendibilidade da carteira face a variações da rendibilidade do
mercado
b) Avaliar a exposição ao risco de taxa de juro dessa carteira
c) Diversificar carteiras internacionais
d) Expandir a fronteira eficiente através da constituição de carteiras neutras
e) Nenhuma das anteriores
Exercício 6
Num mercado onde apenas existem dois activos de risco (A e B, com σ(A) < σ(B)) e
onde se pode aplicar à taxa sem risco e obter financiamentos para investimentos em
activos de risco, mas em que a taxa de juro activa (RF2) e passiva (RF1) divergem:
a) É sempre óptimo vender um dos activos a descoberto
b) A carteira de variância mínima depende do perfil de risco do investidor
c) A rendibilidade esperada pela carteira de investimento é sempre função do risco
dos dois activo A e B
d) Nunca é óptimo vender um dos activos de risco a descoberto
e) Nenhuma das anteriores
Exercício 7
Provou-se cientificamente que o melhor modelo para ajustar Betas históricos:
a) É sempre o modelo de Beta máximo
b) É variável
c) É sempre o modelo de Vasicek
d) É sempre o modelo Blume
e) Nenhuma das anteriores
54
Exercício 8
A variância da carteira variância mínima composta a partir de dois activos cujo
coeficiente de correlação é negativo:
a) É função de cada uma das variâncias
b) É igual à média ponderada das variâncias dos activos que as compõem
c) É nula
d) É inferior a qualquer das variâncias dos activos que a compõem
e) Nenhuma das anteriores
Exercício 9
A possibilidade de realizar operações a descoberto:
a) Aumenta sempre a rendibilidade da carteira eficiente
b) Diminui o desvio padrão de uma carteira diversificada
c) Pode possibilitar a expansão da fronteira eficiente
d) Possibilita acréscimos de rendibilidade com subidas de preço dos activos sobre os
quais se realizam
e) Nenhuma das anteriores
Exercício 10
A ideia de que o beta de um activo depende da volatilidade do mercado deve-se a:
a) William Sharpe
b) Harry Markowitz
c) Marchall Blume
d) Oldrich Vasicek
e) Nenhuma das anteriores
Exercício 11
Uma operação a descoberto:
a) Aumenta sempre a rendibilidade da carteira eficiente
b) Diminui o desvio padrão de uma carteira diversificada
c) Pode possibilitar a maximização da utilidade do investidor
d) Possibilita acréscimos de rendibilidade com subidas de preço dos activos sobre os
quais se realizam
55
e) Nenhuma das anteriores
Exercício 12
Qual dos pressupostos não se aplica ao Single Index Model?
a) Não existem custos de transação em operações de bolsa
b) Os activos apenas estão relacionados entre si através do mercado
c) O índice não está correlacionado com os resíduos obtidos da regressão
d) Os resíduos obtidos da equação de regressão têm uma distribuição normal
e) Nenhuma das anteriores
Exercício 13
O critério de Telser permite seleccionar:
a) O investimento financeiro de maior rendibilidade
b) O investimento que ultrapassando um limite mínimo de rendibilidade com um
determinado nível de probabilidade, é o que tem uma maior rendibilidade
esperada
c) O investimento que ultrapassando um limite máximo de rendibilidade com um
determinado nível de rendibilidade esperada, é o que tem uma maior
probabilidade de suceder
d) O investimento que minimiza a probabilidade da sua rendibilidade esperada não
ultrapassar um limiar mínimo
e) Nenhuma das anteriores
Exercício 14
O modelo CAPM permite determinar uma equação de equilíbrio num plano de risco –
rendibilidade em que:
a) o risco dos activos induz a rendibilidade das carteiras
b) variância das carteiras é nula
c) a variância das carteiras é mínima
d) o risco dos activos é paralelo à rendibilidade
e) Nenhuma das anteriores
56
Exercício 15
Qual dos pressupostos não se aplica ao Capital Asset Pricing Model?
a) Não existem custos de transação em operações de bolsa
b) A volatilidade dos activos é constante no tempo
c) São permitidas vendas a descoberto
d) Todos os investidores têm expectativas semelhantes quanto aos dados necessários
para a selecção da carteira eficiente
e) Nenhuma das anteriores
Exercício 16
O pressuposto de que há investidores com informação adicional que os leva a liderar
opiniões de investimento e a serem seguidos por outros investidores, viola:
a) A forma forte de eficiência de mercados
b) A forma forte de eficiência operacional dos mercados
c) A forma semi-forte de eficiência de mercados
d) A forma fraca de eficiência de mercados
e) Nenhuma das anteriores
Exercício 17
Os testes à eficiência de mercados desenvolvidos por DeBondt e Thaler provaram que o
a) investimento certo é em “blue chips”
b) investimento mais vantajoso resulta de comprar as acções de rendimento elevado
e vender as de baixo rendimento
c) mercado não é eficiente na sua forma fraca
d) As rendibilidades aritméticas são melhores para medir a eficácia dos testes à
eficiência dos mercados
e) Nenhuma das anteriores
Exercício 18
Um mercado em que se observam ganhos anormais em virtude do efeito fim-de-semana
designa-se de:
a) Ineficiente
b) Eficiente na sua forma mais fraca
57
c) Eficiente na sua forma semi-forte
d) Eficiente
e) Nenhuma das anteriores
Exercício 19
Ao provar-se que em determinado mercado se pratica inside trading prova-se que:
a) A eficiência do mercado ao seu mais forte nível
b) A eficiência do mercado ao seu nível semi-forte
c) A eficiência do mercado ao seu nível mais fraco
d) Um conflito de interesse entre os reguladores e os investidores
e) Nenhuma das anteriores
Exercício 20
Através de uma correcta diversificação internacional tem-se conseguido, pelo menos nos
últimos anos:
a) Aumentar a rendibilidade da carteira
b) Diminuir o desvio padrão da carteira
c) Aumentar a maximização da utilidade óptima da carteira
d) Melhorar os indicadores de performance
e) Nenhuma das anteriores
Exercício 21
Provou-se que a diversificação internacional para os investidores americanos
a) Tem funcionado para a generalidade dos instrumentos financeiros
b) Foi unicamente eficaz para o investimento em acções
c) Foi unicamente eficaz para aplicações de curto prazo
d) Foi unicamente eficaz para aplicações em obrigações
e) Nenhuma das anteriores
Exercício 22
Para uma eficaz avaliação do desempenho de um fundo de investimentos basta observarse:
58
a)
b)
c)
d)
e)
A rendibilidade do mercado e a do fundo
A rendibilidade e o risco do fundo
O risco sistemático do fundo e o risco sistemático do mercado
O risco efectivo e o risco esperado do fundo
Nenhuma das anteriores
Exercício 23
Para análise do desempenho de uma carteira eficiente deve:
a) Ter-se em conta a rendibilidade e o desvio padrão da carteira
b) Ter-se em conta o desvio padrão da carteira e o beta da mesma
c) Ter-se em conta a rendibilidade e o beta da carteira
d) Ter-se em conta a rendibilidade medida pelo método geométrico e pelo método
aritmético
e) Nenhuma das anteriores
Exercício 24
O VaR mede:
a) O valor de uma carteira de investimentos em situação de perda máxima
b) A maior variação de uma carteira dentro de um intervalo de tempo e um
determinado nível de confiança
c) O valor de uma carteira face a situação a um determinado nível de confiança e
dentro de um intervalo de tempo
d) O maior ganho que se pode esperar dentro de uma unidade de tempo em situações
anómalas de mercado
e) Nenhuma das anteriores
Exercício 25
Numa opção de compra americana:
a) o titular obriga-se a vender o activo subjacente apenas na data de vencimento
da opção;
b) o titular obriga-se a vender o activo subjacente em qualquer data até ao
vencimento da opção se entretanto esta for exercida;
c) o titular pode comprar o activo subjacente em qualquer data até ao vencimento
da opção;
59
d) o titular pode comprar o activo subjacente em qualquer data até ao vencimento
da opção se a opção estiver in-the-money.
Exercício 26
Pagando em t0 um prémio de 2,00€ por uma opção de venda europeia com vencimento
em T e preço de exercício de 20,00€, então, para o comprador, o valor da opção no
vencimento, é:
a) 0,00€ se o preço do activo subjacente estiver a 18,00€;
b) 2,00€ se o preço do activo subjacente estiver a 18,00€;
c) -2,00€ se o preço do activo subjacente estiver a 18,00€;
d) -4,00€ se o preço do activo subjacente estiver a 16,00€.
Exercício 27
Recebendo em t0 um prémio de 1,00€ por uma opção de compra europeia com
vencimento em T e preço de exercício de 12,00€, então, para o vendedor, o lucro deste
investimento apurado no vencimento, sem ter em conta o custo de oportunidade do
capital, é:
a) 0,00€ se o preço do activo subjacente estiver a 12,00€;
b) -1,00€ se o preço do activo subjacente estiver a 13,00€;
c) 0,00€ se o preço do activo subjacente estiver a 13,00€;
d) 0,00€ se o preço do activo subjacente estiver a 11,00€.
Exercício 28
Uma empresa mineira que explora activamente uma mina de ouro, querendo participar no
mercado de opções com objectivo de cobertura de risco, deve:
a) comprar opções de compra sobre ouro para garantir o preço de venda da sua
produção;
b) comprar opções de venda sobre ouro para garantir o preço de venda da sua
produção;
c) vender opções de compra sobre ouro para garantir o preço de venda da sua
produção;
d) vender opções de venda sobre ouro para garantir o preço de venda da sua
produção.
60
Exercício 29
Um industrial de salsicharia ao comprar opções de compra sobre carcaça de vaca que usa
como matéria-prima está a:
a) cobrir o risco de preço inerente à sua posição longa no activo subjacente:
b) cobrir o risco de quantidade inerente à sua posição curta no activo subjacente;
c) cobrir o risco de preço inerente à sua posição curta no activo subjacente
d) especular no preço da carne de vaca.
Exercício 30
Se uma opção sobre acções BCP com preço de exercício a 2,00€ e vencimento para
Dezembro próximo está cotada a 0,25€, quando o activo subjacente está a cotar aos
1,80€, então:
a) a opção está in-the-money se for uma opção de compra;
b) a opção está in-the-money se for uma opção de venda;
c) a opção está out-of-the-money se for uma opção de compra;
d) a opção está out-of-the-money se for uma opção de venda.
Exercício 31
Quais dos seguintes exemplos são formas mitigadas de opções financeiras?
a) Warrants de compra, acções preferenciais e acções ordinárias;
b) Direitos de subscrição de acções, warrants de venda e títulos de participação;
c) Obrigações do Tesouro, warrants de compra e Executive Stock Options;
d) Warrants de compra, direitos de subscrição de acções, e obrigações
convertíveis.
Exercício 32
Uma carteira composta por uma posição longa numa opção de compra e uma posição
curta noutra outra opção de compra, ambas com o mesmo vencimento, mas com preços
de exercício diferentes, caracteriza-se por, no vencimento das opções:
a) Se valorizar com as subidas do activo subjacente, mas com um ganho potencial
limitado;
b) Se valorizar com as descidas do activo subjacente, mas com um ganho potencial
limitado;
61
c) Se valorizar com as subidas do activo subjacente, mas com um ganho potencial
limitado, desde que o preço de exercício da opção em que estamos longos seja
superior ao preço de exercício da opção em que estamos curtos;
d) Se valorizar com as descidas do activo subjacente, mas com um ganho potencial
limitado, desde que o preço de exercício da opção em que estamos longos seja
inferior ao preço de exercício da opção em que estamos curtos.
Exercício 33
A compra de uma opção de venda permite:
a) Ganhos infinitos em descidas de preço do activo subjacente se o preço de
exercício coincidir com o preço actual do activo subjacente;
b) Ganhos iguais às perdas que se obtenham numa posição longa do activo
subjacente se o preço de exercício coincidir com o preço actual do activo
subjacente;
c) Ganhos iguais às perdas que se obtenham numa posição curta do activo
subjacente se o preço de exercício coincidir com o preço actual do activo
subjacente;
d) Perdas infinitas em descidas de preço do activo subjacente.
Exercício 34
Uma posição longa numa “Butterfly” permite:
a) Ganhar exposição a valorização significativas do preço do activo subjacente;
b) Ganhar exposição a desvalorização significativas do preço do activo subjacente;
c) Ganhar quando o preço do activo subjacente não se altera;
d) Ganhar quando o preço do activo subjacente se aproxima do preço de exercício
central do conjunto de preços de exercício envolvidos.
Exercício 35
Um processo de Markov é consistente com a teoria financeira porque?
a) Os matemáticos russos sempre foram bons a desenvolver modelos robustos;
b) Os preços históricos são uma forma robusta de prever os preços futuros;
c) Os preços históricos não são a forma mais apropriada para prever os preços
futuros;
d) Os preços históricos não são a forma mais apropriada para prever os preços num
futuro afastado, mas são fidedignos para a previsão de preços de curto prazo.
62
Exercício 36
Se o preço das acções do BCP a um ano seguissem um processo de Markov com função
densidade de probabilidade normal de média 2,00€ e de desvio padrão de 0,60€ então a
função densidade de probabilidade para o preço das acções do BCP para daqui a 2 anos
seria:
a) Uma função de média 2,00€ e desvio padrão de 0,60€
b) Uma função de média 0,00€ e desvio padrão de 2 x0,60€
c) Uma função de média 2,00€ e desvio padrão de 2 x0,60€
d) Uma função de média 2,00€ e desvio padrão de 1,20€
63