gabarito - Walter Tadeu

COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III
1ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROF. WALTER TADEU
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Relações Métricas e Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo – 2014 - GABARITO
1. Os catetos de um triângulo retângulo medem 24cm e 18cm. Nessas condições determine:
a) a medida "a" da hipotenusa
b) a medida "h" da altura relativa à hipotenusa.
c) as medidas "m" e "n" das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
Solução. Utilizando as relações do triângulo retângulo, temos:
a) a  24   18   a 
2
2
2
b) (30).h  24 
. 18   h 
576  324  900  30 cm .
(24).(18) ( 4).(18) 72


 14,4 cm .
30
5
5
(18)2 324
2
i
)
(
18
)

(
30
).
m

m


 10,8 cm .
c)
30
30
ii) 30  10,8  n  n  30  10,8  19,2 cm
2. As projeções dos catetos de um triângulo retângulo sobre a hipotenusa medem 9dm e 16dm. Neste caso
os catetos medem:
a) 15dm e 20dm
b) 10dm e 12dm
c) 3dm e 4dm
d) 8dm e 63dm.
Solução. Se as projeções medem 9dm e 16dm, então a hipotenusa mede (9 + 16) = 25dm. Utilizando
as relações métricas, temos:
i) (cateto 1) 2  (25).( 9)  (cateto 1)  (25).( 9)  (5).( 3)  15 dm
.
ii) (cateto 2) 2  (25).(16)  (cateto 2)  (25).(16)  (5).( 4)  20 dm
3. No triângulo da figura a seguir, calcule o valor de x é:
Solução. Escrevendo a relação de Pitágoras para dois triângulos retângulos determinados pela
altura, temos:
i) 5 2  h 2  (3,8) 2  h 2  25  14,44  10,56
ii) x 2  h 2  (6,2) 2  x 2  10,56  38,44  x  49  7
.
ABC , AB = 13 , BC = 14 , CA = 15 , M é ponto médio de AB , e H é o pé da altura do
triângulo ABC do vértice A até a base BC . Nessas condições dadas, determine o perímetro do triângulo
BMH .
4. No triângulo
Solução. Calculando o valor da medida x através das relações métricas nos
triângulos ABH e AHC, temos:
15 2  h 2  (14  x ) 2  h 2  225  196  28x  x 2

 2
2
2
2
2
13  h  x  h  169  x
 225  196  28 x  x 2  169  x 2  28 x  169  29  x 
.
140
5
28
Propriedade: A mediana relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo vale a
metade do valor da hipotenusa.
Demonstração. Considere o triângulo ABC, retângulo em B, sendo M o ponto
médio da hipotenusa AC. Logo, BM é mediana relativa à hipotenusa.
Prolongando BM tal que BM = MD, temos os triângulos semelhantes AMB e
CMD. Logo, AB = CD e BD = AC. Concluímos que AM = BM.
Voltando ao problema, m = 13/2 no triângulo BMH.
Logo o perímetro pedido é: 13/2 + 13/2 + 5 = 18cm.
5. Dois pontos A e B estão situados na margem de um rio e distantes 40 metros um do outro. Um ponto C,
na outra margem do rio, está situado de tal modo que o ângulo CAB mede 75º e o ângulo ACB mede 75º.
Determine a largura do rio.
Solução. Observe a figura e o ângulo ABC vale 180º - (75º + 75º) = 30º. A largura do rio será a altura
do triângulo retângulo formado. Como os ângulos CÂB e ACB são iguais, o triângulo ABC é
isósceles. Logo AB = BC = 40m.
Aplicando a razão trigonométrica envolvendo o seno, temos:
H
H

sen30º  BC  40
H 1
40

 H
 20m .

40
2
2
1
sen30º 

2
6. Patrik Onom Étrico, um jovem curioso, observa da janela do seu quarto (A) uma banca de revistas (R),
bem em frente ao seu prédio, segundo um ângulo de 60º com a vertical. Desejando avaliar a distância do
prédio à banca, Patrik sobe seis andares (aproximadamente 16 metros)
até o apartamento de um amigo seu, e passa a avistar a banca (do ponto
B) segundo um ângulo de 30º com a vertical.
Calcule a distância “d”.
Solução. O triângulo ABR é isósceles, com ângulos de 120º, 30º e
30º. Logo, AR = 16m. Aplicando a razão do seno, temos:
d

sen60º  16
d
3
16 3


d
 8 3 m.

16
2
2
3
sen60º 
2

7. (FGV) Para levar sua mulher até o alto do pedestal, ou trazê-la até o chão, o viking usa uma escada
medindo 2,4 m. A escada faz um ângulo θ com o chão e sabe-se que: senθ = 4/5; cosθ = 3/5 e tgθ = 4/3
Calcule a altura h do pedestal.
Solução. A altura é o cateto oposto ao ângulo de
inclinação da escada e esta representa a
hipotenusa do triângulo retângulo.
Utilizando a razão do seno, temos.

sen 

sen 

h
( 4).( 2,4) 9,6
h
4
2,4

 h

 1,92 m .
2,4 5
5
5
4
5
8. (UFSM) Um estudante de engenharia vê um prédio do campus da UFSM construído em um terreno
plano, sob um ângulo de 30º. Aproximando-se do prédio mais 40m, passa a vê-lo sob um ângulo de 60º.
Considerando que a base do prédio está no mesmo nível dos olhos do estudante, então a altura h, em
metros, do prédio é igual a:
a)
30 3
b)
20 3
c) 10
Solução. Observe a figura representando a situação. No
caso o triângulo obtusângulo é isósceles de ângulos 120º,
30º e 30º.
Aplicando a razão trigonométrica do seno no triângulo
retângulo de cateto h e hipotenusa 40, temos:
 3
h
  h  20 3 m .
 sen60º  h  40.

40
2


d)
10 3
e) 28
9. Determine o valor de x no triângulo dado:
Solução. Traçando a altura e utilizando as razões trigonométricas convenientes, temos:
i)
y
 1
 cos 60º  y  6.   y  3 cm
6
2
ii)
 3
h
  h  3 3 cm
 sen60º  h  6.

6
 2 
.
 
iii) x 2  3 3  (8  3) 2  27  25  x  52  2 13 cm
10. No triângulo ABC, os lados AC e BC medem 8cm e 6cm, respectivamente, e o ângulo A vale 30º.
Calcule o seno do ângulo B.
Solução. Traçando a altura e utilizando as razões trigonométricas
convenientes, temos:
h
 1
 sen30º  h  8.   h  4 cm
8
2
.
h
4 2
ii)  senB  senB  
6
6 3
i)
11. No triângulo retângulo determine as medidas x e y indicadas.
(Use: sen65º = 0,91; cos65º = 0,42 e tg65º = 2,14)
Solução. Utilizando as razões trigonométricas convenientes, temos:
x
 sen65º  x  9.0,91  x  8,19
9
.
y
ii)  cos 65º  y  9.0,42  y  3,78
9
i)
12. Considerando o triângulo retângulo ABC, determine as medidas a e b indicadas.
Solução. Utilizando as razões trigonométricas convenientes, temos:
i)
12 3
12 3
 tg60º  b 
 b  12
b
3
12 3
12 3
2
ii)
 sen60º  a 
 12 3.
 a  24
a
3
3
2
13. Sendo senx 
.
3
, calcule:
5
a) sen(90º  x )
b) cos(90 º  x )
c) cos x
d) 1 tgx
Solução. Utilizando o fato de que se dois ângulos somam 90º o cosseno de um é igual ao seno do
seu complementar, temos:
2
3

2
9
senx 
3
    cos 2 x  1  cos x  1 

5

a) 
25
5
2
2
sen
x

cos
x

1

Logo, sen90º  x   cos x 
b) cos90º  x   senx 
3
.
5
25  9
16 4


25
25 5 .
4
5
2
c) cos 2 x   4   16 .
25
5
3
d) 1  tgx  1  5  1   3 . 5   1  3  4  3  7 .
4
4
4
4
5 4
5
14. Nos casos a seguir considere x um ângulo agudo.
a) sendo senx  12 obtenha senx  tgx .
13
Solução. Utilizando a relação fundamental, temos:
12

2
144
169  144
25
5
senx 
 12 
i) 
    cos 2 x  1  cos x  1 



13
169
169
169 13
sen 2 x  cos 2 x  1  13 

12
senx 13 12 13 12
ii) tgx 


.

5 13 5
cos x
5
13
12 12 60  156 216
iii) senx  tgx 



13 5
65
65
b) sendo tgx 
.
11
, obtenha cos x .
11
Solução. Utilizando a relação fundamental, temos:
senx

tgx  cos x
senx
11
11. cos x
i) 


 senx 
cos x 11
11
tgx  11

11
2
2
2
 11. cos x 
.
  cos 2 x  1  cos 2 x  1  11. cos x  cos 2 x  11. cos x  1 
ii) sen 2 x  cos 2 x  1  

11
121
121



121. cos 2 x  11. cos 2 x
121
11
11
33 11 33
 1  132 cos 2 x  121  cos x 


.

121
132 2 33 2 33 33
66
15. Dê o valor da expressão: cos 45º.tg45º  cos 60º.sen30º
cos 2 30º  cos 2 60º  cos 2 45º
Solução. Utilizando as relações trigonométricas, temos:
2
2  1
sen45º
2 1 2 2 1
 
 (sen30º ).sen30º

2 2
sen45º sen 2 30º
2 2 1 4 2 2 1.
cos 45º
2
4 
4




. 
2
2
2
2
2
2
42
4
6
6
sen 60º  cos 60º  cos 45º
1  cos 45º
 2
1

1  
4
4

 2 
cos 45º.
16. O lado do quadrado ABCD, da figura, mede a cm e M é ponto médio do lado CD . Nessas condições, o
valor de tan  é:
a) 3
b) 2
c) 3
d) 1
e) 1
2
2
Solução. Observando a figura e os ângulos indicados, temos:
x  2  x  180º  2x  2  180º  x    90º
i) 
y
x  y  90º
.
a
a 1 1
ii) tgy  tg   2  . 
a 2 a 2