Exercícios

EXERCÍCIOS 3
1. Seja X uma v.a. que representa a pressão sanguínea sistólica. Para a
população de homens de 18 a 74 anos, nos Estados Unidos, a pressão
sanguínea sistólica tem distribuição aproximadamente normal com média de
129 mm Hg e desvio-padrão de 19,8 mm Hg. Dessa forma, pede-se:
a) a porcentagem de indivíduos, dessa população, que possui pressão
sanguínea sistólica superior a 156 mm Hg;
b) a probabilidade de encontrarmos um indivíduo cuja pressão sanguínea
sistólica esteja entre 120 e 138 mm Hg;
c) o valor de pressão sanguínea sistólica que limite os 2,5% maiores valores
para pressão sanguínea sistólica, ou seja P(X>x)=0,025;
d) caso fosse encontrado um indivíduo cuja pressão fosse de 218 mm Hg,
quais seriam as possíveis conclusões a respeito desse indivíduo?
e) Se colhêssemos uma amostra aleatória de tamanho 100 de certa
população e encontrássemos uma média para a pressão sanguínea
sistólica de 139 mm Hg, você, de fato, acreditaria que esses indivíduos
pertençam à população estudada?
2. No Estudo de Framingham, os níveis séricos de colesterol foram medidos para
um grande número de homens sadios. A população foi acompanhada durante
16 anos. No final desse período, os homens foram divididos em dois grupos: os
que tinham desenvolvido doença cardíaca coronariana (A) e os que não (B). As
distribuições dos níveis séricos para os dois grupos foram consideradas
aproximadamente normais. Entre os indivíduos do Grupo A, o nível sérico
médio foi de 244 mg/100ml e o desvio-padrão de 51 mg/100ml. Já para o
Grupo B, µB = 219 mg/100ml e σB = 41 mg/100ml. Dadas as informações, pedese:
a) suponha que um nível de colesterol inicial de 260 mg/100ml ou maior seja
utilizado para predizer a doença cardíaca coronariana. Qual seria, então, a
probabilidade de se prever corretamente essa doença para um homem que
virá a desenvolvê-la?
Dado X : o nível sérico de colesterol
P(X ≥ 260) =?
Transformando para a Normal padrão:
P(Z ≥ (260 – 244)/51) = P(Z ≥ 0,314) = 0,5 – P(0 < Z < 0,314) = 0,5 – 0,12362
= 0,37638 = 37,638%
b) Qual a probabilidade de se predizer a doença para um homem que não a
desenvolverá?
P(X ≥ 260)=?
P(Z ≥ (260 – 219)/41) = P(Z ≥ 1 ) = 0,5 – P(0 < Z < 1) = 0,5 – 0,34134
= 0,15866 = 15,866%
c) Qual a probabilidade de falha em se predizer a doença para um homem
que virá a desenvolvê-la?
= 1 – 0,37638 = 0,62362 = 62,362%
d) O que aconteceria às probabilidades de erros falso positivo e falso negativo
se o ponto de corte para se prever a doença for diminuído para 250
mg/100ml?
Falso positivo : P( X ≥ 260 | Não Doença ) = 15,87%
Falso Negativo : P (X ≤ 260 | Ter Doença ) = 62,17%
Para ponto de Corte = 250 mg/100 ml =>
P( X ≥ 250 | Não Doença ) = P(Z ≥ (250 – 219)/41) = P(Z ≥ 0,7561)
= 0,5 – P( 0 < Z < 0,7561) = 0,5 – 0,27488 = 0,22512 = 22,512%
=> PROBABILIDADE AUMENTOU.
P( X ≤ 250 | Ter Doença ) = P(Z ≤ (250 – 244)/51) = P(Z ≤ 0,1176)
= 0,5 + P( 0 < Z < 0,1176) = 0,5 + 0,04578 = 0,54578 = 54,578%
=> PROBABILIDADE DIMINUIU.
e) Nessa população, os níveis iniciais séricos de colesterol parecem úteis para
a previsão da doença cardíaca coronariana?
Provavelmente não. Pois, as probabilidades associadas aos erros falsos
positivos e falsos negativos são elevadas.
3. A distribuição dos “pesos” para a população feminina das alunas da UFPR
pode ser considerada normal com média 52 kg e desvio-padrão 8 kg. Assim,
pede-se:
a) qual a probabilidade de que uma aluna, selecionada aleatoriamente, pese
menos de 44 kg? E mais do que 74 kg?
b) Qual seria a porcentagem aproximada de alunas com “peso” entre 50 e 60
kg? E entre 55 e 65? E exatamente 60 kg?
c) Qual a probabilidade de que entre cinco alunas, escolhidas ao acaso, pelo
menos uma tenha “peso” fora do intervalo de 50 e 60 kg?
d) Obtida uma amostra de 36 alunas, qual seria a probabilidade de que a
média observada fosse superior a 59 kg? Nesse contexto, quais seriam as
possíveis conclusões caso essa amostra fornecesse resultados dentro
desse intervalo?