Probabilidade Introdução: A resolução de problemas vinculados a

Probabilidade
Introdução:
A resolução de problemas vinculados a jogos de azar esteve na origem da teoria das
probabilidades, que deu seus primeiros passos no século XVI.Os jogadores da época
recorriam a matemáticos como Tartaglia e Cardano, solicitando-lhes informações que os
favorecessem nos jogos de dados de baralho.
Foi no século XVII, porém, que a teoria das probabilidades veio a adquirir sua forma
atual.Os responsáveis por isso foram três franceses: o Cavalheiro de Meré – nobre e
inveterado jogador – Blaise Pascal e Pierre de Fermat, dois matemáticos que, embora
amadores, deram muitas contribuições importantes para a Matemática.
Em 1952, o Cavalheiro de Meré propôs o seguinte problema a Pascal: num jogo equilibrado
de azar, duas pessoas apostaram 32 moedas de ouro cada.Combinou-se que ganharia
primeiro quem vencesse três partidas; no entanto, o jogo teve que ser interrompido quando
uma pessoa havia vencido 2 partidas e a outra, 1 partida.De que forma devem ser repartidas
as 64 moedas de ouro?
Pascal refletiu este problema durante 2 anos e, em 1654, passou-o para o jurista Pierre de
Fermat.Seguiu-se então uma correspondência entre eles, que veio a ser o ponto de partida
da atual teoria das probabilidades.
Vamos agora a algumas noções de Probabilidade para que possamos ao final da aula
elucidar o problema acima.
Definições:
A) PROBABILIDADE: é um número p, 0  p  1 , que indica a chance de um
determinado resultado ocorrer.
B) FENÔMENOS ALEATÓRIOS: são fenômenos que mesmo conhecendo todos os
resultados possíveis não podemos, a cada ocorrência, precisar o resultado final.
C) ESPAÇO AMOSTRAL: (E) é o conjunto que reúne todos os resultados possíveis de
um fenômeno aleatório.
D) EVENTO: (A) é o conjunto que reúne todos os resultados de interesse.
PROBABILID ADE 
p( A) 
nº de..resultados..de.. int eresse
nº de..resultados.. possíveis
n( A)
n( B )
Exercícios:
1. No lançamento de um dado “honesto”, qual a probabilidade de se obter:
a) Um número par?
b) Um divisor de 10?
2. Uma urna contém 10 bolas brancas, 8 vermelhas e 6 pretas, todas iguais e
indistinguíveis ao tato.Retirando-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade dela
não ser preta?
3. Jogamos dois dados.Qual a probabilidade de obtermos nas faces voltadas para cima
a soma 6?
4. Qual a probabilidade do número escolhido ao acaso, entre 0 e 99, possuir o
algarismo 4?
5. Jogamos três dados.Calcule a probabilidade de não ocorrer três números iguais.
6. Uma urna conte 50 bolinhas.Sorteando-se uma bolinha, qual a probabilidade de que
o número observado seja múltiplo de 8?
7. Uma urna contém bolas numeradas de 1 a 5.Sorteia-se uma bola, verifica-se o seu
número e ela é reposta na urna.Num segundo sorteio, procede-de da mesma forma
que no primeiro sorteio.Qual a probabilidade de que o número da segunda bola seja
estritamente maior do que o da primeira?
Então, agora você já consegue resolver o problema proposto no início, de que forma devem
ser repartidas as 64 moedas de ouro?
Vejamos as soluções dadas pelos matemáticos Fermat e Pascal, no século XVII.
Pascal e Fermat começaram por concordar que as moedas deveriam ser repartidas de
acordo com as perspectivas de vitória de cada jogador.
Pascal resolveu o problema analisando o que poderia ocorrer na quarta partida, para a qual
havia 2 possibilidades:
 Vence a 1º pessoa, que assim ganha o jogo e as 64 moedas.
 Vence a segunda pessoa, que fica, então, em igualdade de condições com a 1º.Neste
caso, a decisão fica adiada para a quinta partida.
Observemos que, se não houver a 5º partida, ou a 1º pessoa é vencedora (e ganha as 64
moedas), ou ambas ficam empatadas (aí, é justo que cada uma fique com 32
moedas).Portanto, ao fim da 4º partida a 1º pessoa tem garantida 32 moedas, e as outras 32
têm a mesma possibilidade de ir para uma ou para outra (que essas 32 moedas sejam
repartidas em partes iguais pelos dois jogadores).
Com base nesse raciocínio, Pascal conclui que a 1º pessoa tinha direito a 48 moedas (32 +
16) moedas e à segunda cabiam 16 moedas.
Fermat resolveu o mesmo problema usando um raciocínio mais ligado a Combinatória.
Ele percebeu que o jogo só acabaria, com certeza, se houvesse mais duas partidas.As
possibilidades de vitória na 4º e na 5º partidas eram: 1 e 1, 1 e 2, 2 e 1, 2 e 2.Com base
nesse raciocínio, ele concluiu que a primeira pessoa tinha 3 possibilidades de ganhar, num
total de 4; e a 2º, tinha 1 possibilidade num total de 4.Portanto, a 1º pessoa tinha direito a
48 moedas e a 2º, a 16 moedas.
Chegava Fermat ao mesmo resultado obtido por Pascal
Texto extraído de “Matemática por assunto” Volume 4
Autor Fernando Trotta, editora Scipione.
Exercícios:
1. Duas pessoas A e B atiram num alvo com probabilidades de 40% e 30%
respectivamente, de acertar.Nestas condições, qual a probabilidade de apenas uma
delas acertar o alvo?
2. Três pessoas, A, B e C, vão participar de um concurso num programa de televisão.O
apresentador faz um sorteio entre A e B e, em seguida, faz um sorteio entre C e o
vencedor do 1º sorteio, para decidir quem iniciará o concurso.Se em cada sorteio as
duas pessoas têm a mesma chance de ganhar, qual a probabilidade de A iniciar o
concurso?
3. Retirando-se uma carta de um baralho comum e sabendo-se que saiu uma carta de
copas, qual a probabilidade de ser uma dama?
4. Dois jogadores, A e B, vão lançar um par de dados.Eles combinam que, se a soma
dos números dos dados for 5, A ganha, e, essa soma for 8, B é quem ganha.Os
dados são lançados.Sabendo-se que A não ganhou.Qual a probabilidade de B ter
ganhado?
5. Num baralho de 52 cartas, qual a probabilidade de :
a) retirarmos uma carta de ouros ou uma carta de paus.
b) Retirarmos uma carta de ouros ou um rei?
6. Uma pesquisa sobre os grupos sanguíneos ABO, na qual foram testadas 6000
pessoas de uma mesma raça, revelou que 2527 tem o antígeno A, 2234, o antígeno
B e 1846 não tem nenhum antígeno. Nessas condições, qual é a probabilidade de
que uma dessas pessoas, escolhida aleatoriamente, tenha os dois antígenos?
7. Um número é escolhido ao acaso entre os vinte inteiros, de 1 a 20. A probabilidade
de o número escolhido ser primo ou quadrado perfeito é?
8. Escolhendo-se ao acaso duas arestas de um cubo, a probabilidade de elas serem
reversas é?
9. Tomando-se, ao acaso, uma das retas determinadas pelos vértices de um pentágono
regular, a probabilidade de que a reta tomada ligue dois vértices consecutivos é?
10. O corpo de enfermeiros plantonistas de uma clínica compõe-se de 6 homens e 4
mulheres. Isso posto, calcule:
a) quantas equipes de 6 plantonistas é possível formar com os 10 enfermeiros,
levando-se em conta que em nenhuma delas deve haver mais homens que
mulheres;
b) a probabilidade de que, escolhendo-se aleatoriamente uma dessas equipes,
ela tenha o número igual de homens e mulheres.
11. Uma urna contém 50 bolas que se distinguem apenas pelas seguintes características:
- x delas são brancas e numeradas com os números naturais de 1 a x.
- x + 1 delas são azuis e numeradas com os números naturais de 1 a
x+1
- x + 2 delas são amarelas e numeradas com os números naturais de
1ax+2
- x + 3 delas são verdes e numeradas com os números naturais de 1 a
x+3
a) Qual o valor numérico de x?
b) Qual a probabilidade de ser retirada , ao acaso, uma bola azul ou u8ma bola com o
número 12?
12. Sabendo-se que os pênaltis a favor de certa equipe de futebol, são batidos pelos dois
melhores cobradores da equipe. A e B cujos índices de aproveitamento são de 85%
e 90% respectivamente. Sabe-se que ainda, B cobra 75% dos pênaltis a favor da
equipe. Acaba de ser marcado um pênalti a favor da equipe e nesse momento os
jogadores A e B estão em campo.
a) Qual a probabilidade de que o pênalti seja cobrado por B e não seja
convertido em gol?
b) Qual a probabilidade de o pênalti ser convertido em gol?
13. Uma moeda é viciada de tal forma que os resultados possíveis, cara e coroa são tais
que a probabilidade de sair cara num lançamento é o triplo da de sair coroa.
a) Lançando-se uma vez a moeda qual a probabilidade de sair cara?
b) Lançando-se três vezes a moeda qual a probabilidade de sair exatamente
uma cara?