Prova 1 - Research Write

PROGRAMA DE VERÃO 2017
Introdução ao Cálculo de Probabilidades - Diurno
Prof. Jorge
Prova I
Instruções:
• A prova pode ser feita a lápis.
• É proibido utilizar e consultar qualquer material durante a prova.
• Justifique adecuadamente a suas respostas.
1. Quantas soluções inteiras não negativas tem a seguinte inequação? Justifique a sua resposta.
x1 + x2 + · · · + x13 ≤ 30
2. Uma urna contém a bolas azuis e b bolas brancas, todas distintas. As bolas são retiradas ao acaso e sem
reposição, uma a uma, até que a urna fique vazia.
(a) Encontre a probabilidade que a última bola retirada seja azul.
(b) Calcule a probabilidade que a primeira bola tenha sido azul dado que a última bola foi azul.
3. Um grupo de 20 piratas descobre um cofre com 500 moedas de ouro (todas iguais). O chefe do grupo distribui
aleatoriamente todas as moedas entre os 20 piratas de tal forma que cada pirata deve receber ao menos uma
moeda e que as possı́veis distribuições das moedas entre os piratas sejam igualmente prováveis.
(a) Construa um espaço amostral e calcule o número de formas de distribuir as 500 moedas entre os 20
piratas.
(b) Seja Xj o número de moedas de ouro recebidas pelo j-ésimo pirata. Determine P({X2 = 30}).
4. Supanha que a v.a. X ∼ Poisson(λ).
(a) Calcule E(aX ), onde a > 0.
(b) Para que valores de λ a esperança E(X!) existe? Calcule E(X!) para esses λ.
5. O tempo (em horas) necessário para a manutenção de uma máquina é uma variável aleatória exponencialmente distribuı́da com λ = 1/2. Qual é
(a) a probabilidade de que um reparo dure mais que 2 horas?
(b) a probabilidade condicional de que o tempo de reparo dure pelo menos 10 horas, dado que a sua duração
seja superior a 9 horas?