1 Macroeconomia II Aula 1

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Macroeconomia II - Aula 1
Introdução ao Crescimento Económico: Revisão de alguns
conceitos matemáticos.
Breve introdução a alguns conceitos utilizados em modelo de crescimento (ambientes dinâmicos).
1.1
Derivadas e Taxas de Crescimento
Começamos por relembrar a notação de funções (f.r.v.r.) e de derivadas:
y = f (x)
dy
ou f 0 (x)
dx
resposta a :
como varia y quando x varia uma unidade?
o conceito de derivada é um conceito in…nitesimal!
Em economia de crescimento temos sempre presente a dimensão tempo:
t
Acompanhamos o crescimento de variáveis ao longo do tempo:
dK
dt
dK
dt
dK
dt
=
lim
t !0
Kt
Kt
t
t
> 0, crescimento positivo
< 0, crescimento negativo
dK
dt
dá-nos a variação absoluta de K por cada unidade de tempo que
passa.
dt por norma é igual a 1.
Os modelos formalizados em tempo contínuo são, regra geral, mais
elegantes do ponto de vista do tratamento analítico.
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Variações em tempo contínuo vs. variações em tempo discreto:
dK
tempo contínuo
dt
K = Kt Kt 1 tempo discreto
Simpli…cação da notação (convenção):
dK
dt
:
K
Taxa de crescimento em tempo discreto:
K
K
Kt
Kt
Kt
1
1
Taxa de crescimento em tempo contínuo:
:
K
K
Nota:
1.2
dK
não é uma taxa de crescimento!
dt
Taxas de crescimento e logarítmos
Propriedades dos logarítmos:
z = xy =) log z = log x + log y
z = x=y =) log z = log x log y
z = x =) log z = log x
dy
1
y = f (x) = log(x) =)
=
dx
x
log 1 = 0
log e = 1
:
dy
dy dx
1:
x
y(t) = log x(t) =)
=
= x=
dt
dx dt
x
x
2
A última propriedade é muito importante:
A derivada em relação ao tempo do logarítmo
de uma variável é a taxa de crescimento da variável.
De notar que (base irrelevante; ponto médio irrelevante):
d log x
dt
2
m{nimo(
Xt
Xt
Xt
1
;
Xt
1
Xt
Xt
1
) ; maximo(
Xt
Xt
Xt
1
1
Linearização de funções através da aplicação de logarítmos (ex.: função
Cobb-Douglas):
Y = K L1
aplique logarítmos a ambos os lados da equação:
log Y = log K L1
o logarítmo do produto é a soma dos logarítmos (z = xy =) log z =
log x + log y):
log Y = log K + log L1
o logarítmo de uma função exponencial é o produto do expoente vezes
o logarítmo da base (z = x =) log z = log x):
log Y =
log K + (1
) log L
derive ambos os lados da equação em ordem a t:
d log Y
=
dt
d log K
+ (1
dt
)
d log L
dt
a derivada do logarítmo de uma variável em ordem ao tempo é a taxa
de crescimento da variável:
:
Y
=
Y
:
K
+ (1
K
3
:
L
)
L
;
Xt
Xt
Xt
1
)
assim, se a função de produção for do tipo Cobb-Douglas a taxa de
crescimento do produto será uma média ponderada das taxas de crescimento dos factores, em que os ponderadores são dados pelas elasticidades do produto em ordem aos factores:
%Y
=
%K
dY K
=
dK Y
"Y :K =
"Y :K
"Y :K =
"Y :K =
"Y :K =
dY
Y
dK
K
=
dY K
dK Y
K
Y
K ( 1+1) L1
K L1
K
1
L1
do mesmo modo:
"Y :L = 1
Este último exercício traduz uma outra propriedade dos logarítmos:
@ log y
= "y:x
@ log x
as derivadas dos logarítmos dão-nos variações percentuais e não absolutas uma vez que:
1
dx
d log x
= =) d log x =
dx
x
x
o lado esquerdo da expressão acima é simplesmente uma regra das
derivadas; o lado direita resulta de uma simples manipulação aritmética
desta expressão, pelo que é verdade, e espelha que a variação absoluta
do logarítmo de uma variável (d log x) é a variação percentual da variável (por vezes, apelidada de taxa de crescimento, quando a unidade
de variação do tempo é uma
unidade de tempo, ou seja, quando dt = 1
:
dx=dt
dx
x
temos que x = x = x ).
Suponha que uma variável exibe crescimento exponencial:
y(t) = y0 egt
4
então temos que:
log y0 + log egt
log y0 + gt log e
log y0 + gt 1
log y0 + gt
1
(log y(t) log y0 )
g =
t
1
y(t)
g =
log
t
y0
log y(t)
log y(t)
log y(t)
log y(t)
=
=
=
=
Se quisermos calcular a taxa de crescimento entre dois perídos t e t 1
podemos simplesmente aplicar os logarítmos à variável de interesse e
calcular a primeira diferença entre os logarítmos:
g = log y(t)
log y(t
1)
log y(t)
Como se demonstra esta relação (entre taxa de crescimento e diferença
de logarítmos)?
y(t) y(t 1)
y(t)
=
y(t 1)
y(t 1)
y(t)
=
y(t 1)
y0 egt
=
y0 eg(t 1)
= egt g(t 1)
= eg 1
y(t
y(t
1)
1)
1
1
1
Como tratamos tipicamente de baixas taxas de crescimento (ex: do pib
per capita, ou seja, 2% ou 3%), podemos usar ensinamentos de cálculo
5
in…nitesimal, como a fórmula de Taylor, para aproximarmos eg :
f (x)
f (x)
x0
f (x0 )
f 0 (x)
f 0 (x0 )
x x0
=
=
=
=
=
=
=
f (x0 ) + f 0 (x0 )(x
ex
0
ex0 = e0 = 1
ex
ex0 = e0 = 1
x 0=0
x0 ) + RO(2), com
assim, temos que, ignorando elementos de ordem superior ou igual a
2 (trocando o sinal de igual pelo sinal de aproximação) (usar análise
grá…ca):
ex
ex
e0 + 1 (x
1+x
0)
pelo que:
y(t) y(t 1)
= eg 1
y(t 1)
y(t) y(t 1)
1+g 1
y(t 1)
y(t) y(t 1)
g
y(t 1)
1.3
Integração
Lembramos, agora, alguns conceitos de integração
Y =
10
X
= x1 + ::: + x10
i=1
Y =
Y =
Z
Z
10
xi di
0
10
100di = 100
0
Z
0
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10
di = 1000
Z
dx = x + C
R
com C uma constante de integração; derivada (@) e primitiva ( ) como
funções inversas.
Z
b
dx = b
a
a
Equações diferenciais:
:
x
=g
x
ou seja, sabemos que x cresce a uma taxa constante. Podemos estar
interessados em saber qual a forma funcional da equação de x.
d log x
= g
dt
d log x = gdt
Z
Z
d log x =
gdt
Z
Z
d log x =
gdt
Z
log x = g dt
log x = gt + C
Caso tenhamos:
log x = gt + C
elog x = egt+C
x = eC egt
x = Cegt
sabemos que x cresce à taxa constante de g.
Qual o papel de C? Por vezes assume o papel de condição inicial:
C = x(0)
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Juro composto: intervalo de tempo:
x(t) = 100(1 + :05)t
x(t) = 100e0:05t
O juro se capitalizado continuamente provoca crescimento mais acelerado.
r
lim (1 + )t = ert
n !1
n
Interpretação de integração: actualização e áreas!
1.4
Exercícios - TPC
Resolva os seguintes exercícios:
Exercise 1 Suponha que x(t) = e:05t e que z(t) = e:01t . Calcule a taxa de
crescimento de y(t) nos seguintes casos:
a) y = x
b) y = z
c) y = xy
d) y = x=y
e) y = x z 1 , com = 1=2
f) y = (x=z) , com = 1=3
Exercise 2 Escreva a taxa de crescimento de y em termos das taxas de
crescimento de k, l e m para os seguintes casos. Assuma como uma dada
constante.
a) y = k
b) y = k=m
c) y = (klm)
d) y = (kl) (1=m)1
Exercise 3 O Pedro aufere um salário mensal de y, que corresponde a 80%
do salário mensal do Manuel, de quem o Pedro é adjunto. Assim, temos que
y = 0:8x. Se o salário do Manuel for aumentado em 10%, qual a taxa de
crescimento do salário do Pedro?
Exercise 4 Desenhe o grá…co (”à mão livre”) de y = 100t + 200, com a
variável tempo (t) no eixo dos xx. Como classi…ca a taxa de crescimento de
y ao longo do tempo (constante, crescente ou decrescente)?
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