Módulo 11

10 Semestre de 2000
Módulo 11 EQ-502/A
Módulo 11
Equações Diferenciais Parciais
Em muitos processos físicos (que na verdade compõe a maioria dos problemas reais) existem duas
ou mais variáveis independentes associadas a uma variável de interesse, de forma que os modelos
envolvendo estas variáveis são governados por Equações Diferenciais Parciais e não ordinárias.
Os módulos anteriores mostraram claramente que já é difícil solucionar muitas das equações
diferenciais ordinárias. O que pode-se dizer então a respeito de sistemas que envolvam mais de uma
variável independente? Sem dúvida a solução, quando existe, é ainda mais complicada. Felizmente
é possível a solução de diversas EDP’s.
Este módulo introduzirá o método mais importante para a resolução de EDP, que é o método de
separação de variáveis. Em essência, o método de separação de variáveis substitui a equação
diferencial parcial por um sistema de equações diferencias ordinárias que representa a EDP. Nota-se
que a solução é geralmente expressa em termos de um somatório (usualmente uma série infinita),
obtida em função das EDO’s.
O método de séries de Fourier é necessário para a determinação das constantes multiplicando as
funções periódicas.
Para exemplificar o método, consideremos o problema da condução de calor em uma aleta isolada
termicamente em sua lateral, portanto permitindo a troca térmica somente através das suas
extremidades, ou seja, em x=0 e em x=L.
r =a
LATERAL ISOLADA
x=0
x=L
Figura 1. Esquema da Aleta isolada na lateral.
Considera-se também que as dimensões da secção transversal são tão pequenas que a temperatura
pode ser considerada uniforme em cada secção da aleta. Fisicamente podemos dizer que L>>>a, de
forma que nestas condições a temperatura em uma dada secção transversal é constante.
Nas condições formuladas acima,
A variação da temperatura na aleta é governada pela seguinte EDP:
 2 .TXX  T
1
Equação 1
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Na qual:
 2 corresponde a difusividade térmica;
 TXX corresponde a segunda derivada da temperatura com respeito a direção axial x;
 T corresponde a primeira derivada da temperatura com respeito ao tempo .
Sabe-se que a difusividade térmica 2 pode ser dada por:
k
Equação 2
  Cp
A dedução da equação acima encontra-se no livro Boyce-DiPrima. Alguns valores de difusividade
térmica estão tabelados na Tabela 10.1.1 do mesmo livro.
2 
Assume-se que a distribuição de temperatura inicial é um dado do problema. Desta maneira:
Tx,   0  f ( x )  100 OC
0xL
Equação 3
Neste caso assume-se que a aleta está a uma temperatura inicial uniforme
Finalmente assumiremos que ambas as extremidades da barra são expostas a uma temperatura de
20OC a partir do instante inicial. Desta maneira:
T0,   T,   20 OC
Equação 4
A resolução do problema consiste em se determinar o perfil de temperatura T(x,) que satisfaça a
equação (1) a condição inicial (3) e as condições de contorno (4).
Primeiramente aplicamos uma mudança de variáveis para a simplificação do problema. Chamamos:
Ux,   Tx,   20
Equação 5
Desta forma:
Ux,0  80 OC
U0,   U,   0 OC
Equação 6
O problema é linear , visto que as derivadas de U são todas elevadas a primeira. Trata-se ainda de
uma equação homogênea (sem solução particular). O mesmo não pode ser dito de T(x,). Portanto
U(x,) segue uma solução do tipo:
Ux,   Yx .
na qual:
2
Equação 7
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Y(x) é uma função que depende exclusivamente da posição x;
() é uma função que depende exclusivamente do tempo .
Desta forma:
U XX  Y' ' x .
Equação 8
U   Yx .' 
Equação 9
Substituindo 8 e 9 em 7 , obtém-se que:
 2 .Y' '.  Y.' 
Y' '
1 '

.
Y 2 
Equação 10
A equação 10 traz a variação de quatro diferentes funções que são Y’’, Y, ’ e . Estas funções que
tem variações diferentes ao longo da distância (x) e do tempo (), respeita a equação 10 ao longo de
todo o intervalo de aplicação ( 0  x  L e   0). Isto somente é possível se:
Y' '
1 '

. 
Y 2 
Equação 11
No momento sabemos que  é uma constante, mas não sabemos se deve ser negativo ou positivo ou
até mesmo nulo e isto é exatamente o que analisaremos agora. Antes desta análise, é conveniente
desmembrarmos as EDO´s provenientes da equação 11. São elas:
Y' '.Y  0
' 2 ..  0
Equação 12
Equação 13
Análise para =0:
Neste caso as equações 12 e 13 se tornam:
Y' '  '  0
Equação 14
Y  A.x  B
Equação 15
C
Equação 16
nas quais A, B e C são constantes.
Desta maneira:
U x,   C  A  x  C  B
Aplicando as condições de contorno (equação 6):
3
Equação 17
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U0,   0  C.A.0  C.B  0  C.B  0
U,   0  C.A.  C.B  0  C.A.  0  C.A  0
Portanto as constantes são iguais a zero e a solução torna-se:
Ux,   0
Equação 18
Este resultado leva à uma solução trivial, e não existe interesse em soluções triviais, portanto =0
não produz solução física de interesse.
A expectativa agora é que outros valores de  produzam soluções possíveis fisicamente.
Suponhamos que  = 2 seja positivo:
Neste caso:
Y' '2 .Y  0
Cuja solução é:
Yx   A. expx   B. exp x 
Equação 19
Da condição de contorno (equação 6) aplicada a esta equação:
U0,   0  A. exp0  B. exp 0  0  A  B  0
Equação 20
Alguém poderia comentar que a condição de contorno referida aplica-se a U(x,) =Y(x).() e não
somente a Y(x). Entretanto, estamos interessados em soluções não triviais, de forma que ()0.
Desta maneira, somente a função Y(x) poderá ser zero em x=0 e x=L.
Da outra condição de contorno e sabendo-se que B = -A (pela equação 20):
U,   0  A. exp   A. exp    0 
A.exp   exp    0
Equação 21
Como o termo das exponenciais será sempre diferente de zero, tem-se que A=0=-B, o que nos
conduz mais uma vez a uma solução trivial. Assim sendo, um valor positivo de  não produz uma
solução física possível.
Somente falta tentar atribuir um valor negativo, ou seja:
   2
Neste caso:
Y' ' 2 . Y  0
4
Equação 22
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,    2    0
Equação 23
A solução da equação 22 é:
Y  A.cos x  B.sen x
Equação 24
Da condição de contorno na posição x=0 sabe-se que U(0,)=0. Como se trata de um regime
transiente, (t)0, então:
0  A.cos .0  B.sen .0
A0
Equação 25
Portanto:
Y x  B.sen  . x
Equação 26
Da condição de contorno para a posição x=L:
B.sen . L  0
Equação 27
Como desejamos soluções não triviais, então B0, portanto sen(.L)=0. Isto é verdade somente se
. = n., ou seja:

n. 
L
Equação 28
Substituindo para  (os valores de  são chamado de autovalores):
  
2
 
n 2 . 2
L
Equação 29
2
Portanto existe solução para  = - 2 (negativo).
Solução para ():
2
 n.  
' 
 . .   0
 L 
Equação 30
  n.   2

  C.exp  
 . .  
  L 

Equação 31
Logo:
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A solução geral U(x, ) é dada pelo produto de cada uma das soluções (equações 26 e 31),
lembrando que dada uma solução da equação, uma combinação linear de soluções também será
solução, assim observa-se que a solução da EDP passa a ser:
  n.  2

 n..x 
U x,   Y x .   An . sen 
. exp  
 ..
L
L



 

n 1

Onde AN=BN.C:
Notem que B foi substituído por BN, visto que esta constante depende do valor de N.
A solução T(x, ) é dada por:
  n.  2

 n..x 



T  x,   20   A n . sen 
.
exp

.

.


 Equação 32






 L 
n 1
  L 


Quando  = 0 (condição inicial) sabe-se que T(x, ) é igual a 100, portanto U(x, ) = 100 e a
exponencial vale 1. Logo:

80 
 n. . x 

L 
 A n .sen
n 1
Equação 33
Sendo assim, pode-se determinar o valor de AN através de uma série de senos de Fourier, obtendose:
An 
160
.1  cos n.  
n. 
Equação 34

  n.   2

160
 n. . x 


T x,   20  
.1  cos n .sen
 .exp  
 . . t 
 L 
n. 
  L 

n 1
Caso as duas extremidades da barra estivessem a temperaturas diferentes, como por exemplo
T1=T(x=0, ) = 20 OC e T2=T(x=L, ) = 80 OC, notemos o que acontece para a solução Y(x) se =0.
Y' '  0  Y  C. x  D
Como ’()=0, logo () = E (uma constante). Então:
T x  0,   T1  A.0  B  B  T1
na qual: A=C.E e B=D.E.
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Como T(x=L,)=T2, então tem-se que:
T x  L,   T2  A. L  T1  A 
T2  T1
L
Portanto para =0, nas temperaturas referidas em ambas as extremidades, obtém-se:
60
 T  T1 
T   2
 . x  T1  . x  20
 L 
L
Pode-se então relacionar esta temperatura a variável U da seguinte maneira:
T  T1
U x,   T x,   T  T x,   2
. x  T1
L
Desta maneira, obtém-se que U(0,) = 0 e U(L,) = 0, ou seja, o problema torna-se igual ao tratado
anteriormente, logo a solução é novamente:

  n.   2

 n. . x 
U x,    A n .sen
 .exp  
 . . t 
 L 
  L 

n 1
Já para a temperatura, obtém-se

  n.   2

T2  T1
 n. . x 
T x,  
. x  T1   A n .sen
 .exp  
 . . t 
 L 
L
  L 

n 1
Observe que quando o tempo tende a infinito o termo da somatória será igual a zero. Nesta condição
tem-se o regime permanente, que será dado somente por T, que é justamente o perfil linear obtido
para =0. Assim incluiu-se a solução para =0, sem dificuldade adicional.
De todo este cálculo restou explicitar a determinação do valor de An. Esta etapa foi feita utilizandose Séries de Fourier, que é justamente o assunto do Módulo 12.
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