Aula 8 - DE/UFPB

Probabilidade I
Departamento de Estatística
Universidade Federal da Paraíba
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Função de Distribuição
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Função de Distribuição
Definição 8.1:(Função de Distribuição) Seja X uma variável aleatória em (Ω, P ),
sua função de distribuição é definida por
F (x ) = P (X ∈ (−∞, x ]) = P (X ≤ x ),
com x percorrendo todos os reais.
O conhecimento da função de distribuição permite obter qualquer
informação sobre a variável.
Mesmo que a variável só assuma valores em um subconjunto dos reais, a
função de distribuição é definida em toda reta.
F é também conhecida como função de distribuição acumulada, por
acumular as probabilidades dos valores inferiores a x.
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Função de Distribuição
PROPRIEDADES: As condições necessárias e suficientes para que uma função
seja uma função de distribuição são:
(F1)
lim F (x ) = 0 e lim F (x ) = 1;
x →−∞
x →∞
(F2) F
€ é contínua à direita, isto é, para
Š xn ↓ x tem-se que F (xn ) ↓ F (x )
lim F (xn ) = F (x + ) = F (x ) ;
xn →x
(F3) F é não decrescente, isto é, F (x ) ≤ F (y ) sempre que x ≤ y ,
∀x , y ∈ R.
Demonstração:
(F1) Se xn ↓ −∞, então [X ≤ xn ] = {ω ∈ Ω : X (ω) ≤ xn } ↓ ∅ e
F (xn ) = P (X ≤ xn ) ↓ 0. Se xn ↑ +∞, então [X ≤ xn ] ↑ Ω e
F (xn ) = P (X ≤ xn ) ↑ 1.
(F2) Se xn ↓ x, então [X ≤ xn ] ↓ [X ≤ x ] e, pela continuidade de
probabilidade, F (xn ) = P (X ≤ xn ) ↓ P (X ≤ xn ) = F (x ).
(F3) x ≤ y ⇒ [X ≤ x ] ⊂ [X ≤ y ]. Logo,
F (x ) = P (X ≤ x ) ≤ P (X ≤ y ) = F (y ).
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Exemplos
Exemplo 8.1:
Seja,

F (x ) =
0,
1/2,

1,

se
se
se
x < 0;
0 ≤ x < 1;
x ≥ 1.
Pergunta: F é uma função de distribuição?
lim F (x ) = 0 pois F (x ) = 0 para x < 0. lim F (x ) = 1 pois F (x ) = 1 para
x →∞
x →−∞
x ≥ 1.
Exceto nos pontos 0 e 1, F é contínua nos reais. Para os pontos 0 e 1 temos
continuidade à direita, isto é,
F (0) = lim F (x ) = 1/2 e F (1) = lim F (x ) = 1
x → 0+
x → 1+
F é não decrescente, isto é, para x < y , temos que F (x ) < F (y ). Por
exemplo, para x = 0 < 1 = y , temos que F (0) < F (1).
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Exercícios
Exercício 8.1: Seja X uma variável aleatória e F uma função. Verifique que F é
uma funções de distribuição:

a) F (x ) =


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0, se x < 6;
(x − 6)/2, se 6 ≤ x < 8;
1,
se
x ≥ 8.
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Exercícios
Exercício 8.2: Seja X uma variável aleatória e F uma função. Verifique que F é
uma funções de distribuição:

0,



1
/
 8,
1/2,
b) F (x ) =



 7/8,
1,
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se
se
se
se
se
x < 0;
0 ≤ x < 1;
1 ≤ x < 2;
2 ≤ x < 3;
x ≥ 3.
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Variáveis Aleatórias Discretas
A classificação das variáveis aleatórias é feita de acordo com os valores que
assumem.
Essa classificação tem estreita relação com o comportamento da função de
distribuição da variável.
Construa os gráficos das funções de distribuição do exemplo 8.1 e do exercício
8.1. O que você pode concluir?
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Variáveis Aleatórias Discretas
Definição 8.2: (Variável aleatória discreta) Uma variável aleatória X é discreta se
assume um número enumerável (finito ou infinito) de valores.
Isto é, os valores possíveis de X podem ser postos em lista como x1 , x2 , . . . , xn .
EXEMPLOS:
Número de filhos;
Número de peças defeituosas;
Número de tumores detectados por um exame.
Definição 8.3: (Função de probabilidade) A função de probabilidade de uma
variável aleatória discreta X é uma função que atribui probabilidade a cada um
dos possíveis valores xi assumidos pela variável aleatória X , isto é,
p(xi ) = P (X = xi ) = P ({ω ∈ Ω : X (ω) = xi })
para todo i = 1, 2, . . . , n e deve satisfazer as seguintes condições:
(i) 0 ≤ p(xi ) ≤ 1, ∀i;
(i)
Pn
i =1
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p(xi ) = 1
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Variáveis Aleatórias Discretas
Definição 8.4: Para uma variável aleatória discreta a função de distribuição é
dada por,
X
F (x ) =
p(xi ),
xi ≤x
para todo x ∈ R.
Dada a função de distribuição de uma variável discreta é possível obter a função
de probabilidade correspondente.
p(xi ) = F (xi ) − F (xi− ),
em que F (xi− ) representa o limite de F tendendo a xi pela esquerda (isto é por
valores inferiores a xi ).
Para as variáveis discretas, a função de distribuição é descontínua e tem a forma
de escada. Seus pontos de descontinuidade são os valores assumidos pela
variável.
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Variáveis Aleatórias Discretas
A magnitude de cada salto é p(xi ) = F (xi ) − F (xi− ).
Observação 8.1:Da definição 8.4 segue que
P (a < X ≤ b) = F (b) − F (a);
P (a ≤ X ≤ b) = F (b) − [F (a) − P (X = a)] = F (b) − F (a− );
P (a ≤ X < b) = [F (b) − P (X = b)] − [F (a) − P (X = a)] = F (b− ) − F (a− );
P (a < X < b) = [F (b) − P (X = b)] − F (a) = F (b− ) − F (a).
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Exemplos
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Exemplos
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Exemplos
Considere um lote com 4 peças, das quais 2 são
defeituosas, e retire ao acaso duas peças, com
reposição.
Seja D = a peça é defeituosa e P = a peça é perfeita.
Então, Ω ={DD, DP, PD, PP}
Definindo X como sendo o número de peças perfeitas,
temos:
ω
X(ω
ω)
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{DD} {DP,PD}
0
1
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{PP}
2
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Variáveis Aleatórias
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Exemplos
Representação Gráfica
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Exemplos
EXEMPLO 8.2: Suponha que uma válvula eletrônica seja colocada em um
soquete e ensaiada. A probabilidade de que o teste seja positivo é 3/4.
Considere uma grande quantidade de válvulas. Os ensaios continuam até que a
primeira válvula positiva apareça. Seja a variável aleatória X o número de testes
necessários para concluir o experimento.
‚ Œn −1 ‚ Œ
p(n) = P (X = n) =
∞
X
p(n) =
n =1
=
3
4
3
1
3
4
4
‚
1+
1
4 1− 1
1
4
+
1
16
,
n = 1, 2, . . .
Œ
+ ...
=1
4
Assim, como p(n) ≥ 0,
probabilidade.
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∀n e
P∞
n =1
p(n) = 1, temos que p(n) é uma função de
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Exemplos
Exemplo 2.7
• Considere uma variável aleatória X com a seguinte função de
probabilidade:
c
P( X = k ) = 
2c
, para k = 1, 3, 5
, para k = 2, 4
a) Determine o valor da constante “c" que torna legítima a função
de probabilidade acima.
b) Determine a função de distribuição acumulada F e construa o
gráfico.
c) Calcule a P(X>1), P(X≥3), P(X≤4), P(5/2<X≤5).
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Exemplos
EXEMPLO 8.3:
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Exemplos
EXEMPLO 8.4: Seja X uma variável aleatória discreta com função de distribuição
dada por: F (−2) = 0.3, F (0) = 0.5, F (1) = 0.6, F (2) = 0.8 e F (5) = 1.
a) Obtenha a distribuição de probabilidade de X .
b) Calcule P (−1 ≤ X ≤ 4).
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Exercícios
Exercícios
Uma livraria mantém extensos registros das vendas diárias dos
livros. Com os dados coletados construiu a seguinte distribuição
de probabilidade da variável aleatória X = número de livros
vendidos por semana:
xi
0
1
2
3
4
5
p(xi) 0,05 0,15 0,42 0,20 0,08 0,10
a) Obtenha a função de distribuição de X.
b) Calcule a probabilidade de se vender mais que 2 livros vendidos
por semana.
c) Calcule a probabilidade de se vender no máximo um livro.
d) O lucro da livraria é obtido através da relação Y=3X2+X-2. Qual a
distribuição de probabilidade do lucro.
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