Aula 3 – Probabilidade Condicional

Modelos de Probabilidade e Inferência Estatística
Departamento de Estatística
Universidade Federal da Paraíba
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
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Probabilidade Condicional
É provável que você ganhe
um aumento. Se atingir
todas as metas, claro!!!
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Probabilidade Condicional
Probabilidade Condicional
EXEMPLO: Um lote de material hospitalar é formado pelos seguintes artigos: 80
não defeituosos e 20 defeituosos. Dois artigos são retirados do lote. Sejam
A = {1o artigo defeituoso} e B = {2o artigo defeituoso}. Calcule P (A) e
P (B ): (a) com reposição e (b) sem reposição.
(a) Se extrairmos com reposição, cada vez que estivermos extraindo
do lote, existirão 20 peças defeituosas em um total de 100. Assim,
P (A) = P (B ) = 20/100 = 1/5.
(b) Se estivermos extraindo sem reposição, é ainda verdade que
P (A) = 1/5. Mas e sobre P (B )? É evidente que para calcularmos
P (B ) é necessário conhecer a composição do lote no momento de
se extrair a segunda peça. Isto é, devemos saber se A ocorreu ou
não.
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Probabilidade Condicional
Em muitas situações, informações preliminares podem alterar as probabilidades
de eventos.
EXEMPLO 1: A probabilidade de chover no final da tarde poderia ser diferente se
tivermos informações adicionais, tal como a situação climática no dia anterior.
EXEMPLO 2: Seja A = uma mulher está grávida. Seja B = exame de farmácia
negativo. Sabendo da ocorrência de B, a probabilidade de A (ela estar grávida)
será alterada.
EXEMPLO 3: A probabilidade de um indivíduo ter cirrose pode ser afetada pelo
fato dele ser ou não alcoólatra.
Iremos estudar agora como a informação de que um evento B ocorreu afeta a
probabilidade de ocorrência de um evento A.
Usaremos a notação P(A|B) para representar a probabilidade condicional de A
dado que ocorreu o evento B.
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Probabilidade Condicional
Sempre que calcularmos P (A|B ), estaremos essencialmente calculando P (A)
em relação ao espaço amostral reduzido B, em lugar de considerar o espaço
amostral original Ω.
EXEMPLO: Diagrama de Venn
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Exemplo 4
Exemplo
Perguntou-se a uma amostra de adultos em três cidades se eles
gostavam de um novo produto. Os resultados estão a seguir.
Sim
Não
Não sabe
Total
João Pessoa Recife
100
150
125
130
75
170
300
450
Campina Grande Total
150
400
95
350
5
250
250
1.000
Uma das respostas é selecionada ao acaso. Determine:
1. P(sim)
2. P(Recife)
3. P(Campina Grande)
4. P(Não | Campina Grande)
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Soluções
Sim
Não
Não sabe
Total
João Pessoa
100
125
75
300
1. P(sim)
2. P(Recife)
Recife Campina Grande Total
150
150
400
130
95
350
170
5
250
450
250
1.000
= 400/1.000 = 0,4
= 450/1.000 = 0,45
3. P(Campina Grande) = 250/1.000 = 0,25
4. P(Não|Campina Grande) = 95/250 = 0,38
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Probabilidade Condicional
Avaliando os exemplos anteriores podemos concluir que:
Quando calcularmos P (A) estaremos nos perguntando quão provável será
estarmos em A, sabendo que devemos estar em Ω.
Quando calcularmos P (A|B ) estaremos nos perguntando quão provável
será estarmos em A, sabendo que devemos estar em B.
Dado que B ocorreu, o espaço amostral relevante não é mais Ω, mas
consiste em resultados contidos em B.
A única forma de A ocorrer, dado que B ocorreu, é se um dos resultados da
interseção (A ∩ B ) ocorrer.
EXEMPLO 5: Dois dados são lançados. Considere os eventos: A =a soma dos
resultados é igual a 10 e B =o primeiro número é maior ou igual ao segundo.
Calcule P (A), P (B ), P (B |A) e P (A|B ).
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Probabilidade Condicional
EXEMPLO 5:
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Probabilidade Condicional
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Probabilidade Condicional
IMPORTANTE: Como valem os axiomas, as propriedades de probabilidade são
mantidas (Ex: P (Ac |B ) = 1 − P (A|B )).
IMPORTANTE: Temos então duas maneiras de calcular a probabilidade
condicional P (A|B ):
(I) Empregando a definição anterior, em que P (A ∩ B ) e P (B ) são
calculadas em relação ao espaço amostral original Ω.
(II) Diretamente, pela consideração da probabilidade de A em relação
ao espaço amostral reduzido B.
Voltando ao exemplo inicial. Qual a probabilidade da segunda peça ser defeituosa
(P (B ))?
P (B |A) = 19/99, porque se A tiver ocorrido, então na segunda extração restarão
somente 99 peças, das quais 19 delas serão defeituosas. De modo similar, temos
que P (B |Ac ) = 20/99.
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Exemplo 6
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Exemplo 6
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Exemplo 7
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Probabilidade Condicional
Exemplo 8: Estatísticas dos últimos anos do departamento estadual de estradas
são apresentadas na tabela a seguir, contendo o número de acidentes incluindo
vítimas fatais e as condições do principal motorista envolvido, sóbrio ou
alcoolizado. Você diria que o fato do motorista estar ou não alcoolizado interfere
na ocorrência de vítimas fatais?
Motorista/vítimas Fatais
Sóbrio
Alcoolizado
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Não
1228
2393
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Sim
275
762
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Exemplo 9: Uma turma de estatística teve a seguinte distribuição das notas
finais: 4 do sexo masculino e 6 do feminino foram reprovados, 8 do sexo
masculino e 14 do feminino foram aprovados. Para um aluno sorteado dessa
turma, denote por M se o aluno escolhido for do sexo masculino e por A se o
aluno foi aprovado. Calcule
(a) P (A ∪ M c )
(b) P (Ac ∩ M c )
(c) P (A|M )
(d) P (M c |A)
(e) P (M |A)
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Probabilidade Condicional
Exemplo 9:
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Exemplo 10
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Exemplo 10
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Probabilidade Condicional
Exercício 1: Considere os dados do Exercício 4 da aula anterior. Baseado
nesses dados calcule o risco relativo e interprete os resultados.
Algumas importantes consequências da definição de probabilidade condicional
são apresentadas a seguir.
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Probabilidade Condicional
Podemos aplicar esse teorema para calcular a probabilidade da ocorrência
conjunta dos eventos.
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Probabilidade Condicional
Exemplo 11: Voltando ao exemplo inicial das peças defeituosas. Qual a
probabilidade de que ambas as peças sejam defeituosas?
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Probabilidade Condicional
Exercício 2: Das pacientes de uma clínica de ginecologia com idade acima de 40
anos, 60% são ou foram casadas e 40% são solteiras. Sendo solteira, a
probabilidade de ter tido um distúrbio hormonal no último ano é de 10%,
enquanto que para as demais essa probabilidade aumenta para 30%.
(a) Qual a probabilidade de uma paciente escolhida ao acaso ter um
distúrbio hormonal e ser solteira?
(b) Se escolhermos duas pacientes ao acaso e com reposição, qual é
a probabilidade de pelo menos uma ter o distúrbio?
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Probabilidade Condicional
Exercício 2:
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Probabilidade Condicional
Já consideramos eventos A e B que não podem ocorrer conjuntamente
(A ∩ B = ∅). Tais eventos são denominados mutuamente excludentes.
Se A e B forem mutuamente excludentes, então P (A|B ) = 0, porque a
ocorrência de B impede a ocorrência de A.
Em muitas situações saber que B já ocorreu nos dá alguma informação
bastante definida referente à probabilidade de ocorrência de A.
Existem, porém, muitas situações nas quais saber que algum evento B
ocorreu não tem qualquer interesse quanto á ocorrência ou não ocorrência
de A.
EXEMPLO 12: Um dado equilibrado é jogado duas vezes. Seja A =o primeiro
dado mostra um número par e B =o segundo dado mostra 5 ou 6.
Os eventos A e B são inteiramente não relacionados. Saber que B ocorreu não
fornece qualquer informação sobre a ocorrência de A.
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Probabilidade Condicional
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Probabilidade Condicional
Proposição 1: Se A e B são independentes, então A e B c também são
independentes (e também Ac e B, e ainda Ac e B c ).
EXEMPLO 13: Se P (A ∪ B ) = 0.8; P (A) = 0.5 e P (B ) = x, determine o valor de
x no caso de:
(a) A e B serem mutuamente exclusivos.
(b) A e B serem independentes.
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Probabilidade Condicional
EXEMPLO 14: Em uma certa população, a probabilidade de gostar de teatro é de
1/3, enquanto que a de gostar de cinema é 1/2. Determine a probabilidade de
gostar de teatro e não de cinema, nos seguintes casos:
(a)
(b)
(c)
(d)
Gostar de teatro e gostar de cinema são eventos disjuntos.
Gostar de teatro e gostar de cinema são eventos independentes.
Todos que gostam de teatro gostam de cinema.
A probabilidade de gostar de teatro e de cinema é de 1/8.
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Probabilidade Condicional
EXEMPLO 15: Suponha que em um levantamento estatístico efetuado em
determinada população verificou que o número de casais hipertensos é de 7.2%.
Se nessa mesma população 23% de indivíduos do sexo masculino e 18% do
sexo feminino são hipertensos, então existe dependência (ou associação) entre o
fato de o homem e a mulher do casal apresentarem hipertensão?
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Probabilidade Condicional
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Teorema da Probabilidade Total
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Ilustração
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Ilustração
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Probabilidade Condicional
Importante: Esse resultado representa uma relação extremamente útil, porque
frequentemente, P (A) pode ser difícil de ser calculada diretamente. No entanto,
com a informação adicional de que ci tenha ocorrido, seremos capazes de
calcular P (A|ci ) e, em seguida empregar o teorema acima.
Voltando ao exemplo inicial. Qual a probabilidade da segunda peça ser defeituosa
(P (B )) se as retiradas são sem reposição?
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Introdução
EXEMPLO 16: No exemplo da Clínica, qal a probabilidade de uma paciente
escolhida ao acaso ter tido um distúrbio hormonal?
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Teorema de Bayes
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Teorema de Bayes
Na expressão do lado direito, o numerador é obtido pela regra do produto. O
denominador é obtido pelo teorema da probabilidade total.
Importante: Este resultado é útil quando conhecemos as probabilidades dos ci e
as probabilidades condicionais de A dado ci , mas não conhecemos diretamente a
probabilidade de A.
Observação: A fórmula de Bayes é, às vezes, chamada de fórmula de
probabilidades posteriores. As probabilidades P (Ci ) podem ser chamadas
probabilidades a priori e as P (Ci |A), probabilidades a posteriori.
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Teorema de Bayes
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Introdução
EXEMPLO: No exemplo da Clínica, se a paciente sorteada tiver distúrbio
hormonal, qual a probabilidade de ser solteira?
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Teorema de Bayes
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Teorema de Bayes
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Teorema de Bayes
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