Função Característica

Probabilidade II
Departamento de Estatística
Universidade Federal da Paraíba
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Vimos que a função geradora de momentos é uma ferramenta muito útil
DESVANTAGEM: A integral que define a função geradora de momentos pode,
nem sempre ser finita.
Definiremos uma nova transformada que tem a vantagem de sempre existir.
As funções características são um pouco mais complicadas, dado que envolvem
números complexos.
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VANTAGENS da Função Característica
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A função característica é finita para todas as variáveis aleatórias X e todos os
números reais t.
A função de distribuição de X e em geral a função de densidade, quando existe,
podem ser obtidas da função característica.
Usando as propriedades das funções características é possível demonstrar
teoremas e resultados importantes da estatística.
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LEMBRANDO: Números Complexos
Variáveis Complexas: Se X e Y são variáveis aleatórias em (Ω, A , P ), então
Z = X + iY é chamada uma variável aleatória complexa
Z é uma função definida em Ω e que assume valores complexos com
Z (ω) = X (ω) + iY (ω) para ω ∈ Ω.
i=
p
−1
Seja z = x + iy um número complexo, com x e y números reais.
O valor absoluto de um número complexo é dado por |z | =
p
(x 2 + y 2 ).
A distância entre dois números complexos z1 e z2 é dada por |z1 − z2 |.
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Definição 9.1: Seja X uma variável aleatória. A função característica de X é a
função ϕ : R → C definido por,
ϕX (t ) = ϕ (t ) = E (eitX ),
para t real (−∞ < t < ∞) e i =
p
−1.
Lembrando que eX pode ser escrita com uma expansão em série de potências.
ex = 1 + x +
x2
2!
+
x3
3!
+ ... +
xn
n!
+ ...
Temos então que
eitx = 1 + itx +
eitx = 1 + itx −
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(itx )2 (itx )3
(itx )n
+
+ ... +
+ ...
2!
3!
n!
(tx )2 i (tx )3 (tx )4 i (tx )5
−
+
+
− ...
2!
3!
4!
5!
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‹ 
‹
(tx )2 (tx )4
(tx )3 (tx )5
e = 1−
+
− . . . + i tx −
+
− ...
2!
4!
3!
5!
itx

Como as duas séries nesta última expressão correspondem a cos(tX ) e sen(tX ),
segue que
eitx = cos(tX ) + isen(tX )
Assim, temos que
ϕX (t ) = E (eitX ) = E [cos(tX )] + iE [sen(tX )]
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Usando o fato de que cos(−t ) = cos(t ) e sen(−t ) = −sen(t ), temos que
e−itx = cos(tx ) − isen(tx )
Assim, podemos obter
cos(tx ) =
sen(tx ) =
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eitx + e−itx
2
eitx − e−itx
2i
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EXEMPLO 9.1: A V.A. X assume os valores 1 e −1 com a mesma probabilidade.
Determine a função característica de X .
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EXEMPLO 9.2: Determine a função característica da variável aleatória X cuja
função de densidade é f (x ) = ce−a|x | , −∞ < x < ∞, com a > 0 e c uma
constante conveniente.
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EXEMPLO 9.3:
Determine a função característica de uma variável aleatória X com distribuição
uniforme contínua no intervalo [a, b].
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PROPRIEDADES:
i) A função característica assume 1 no ponto 0: ϕX (0) = 1;
ii) A função característica é limitada por 1: |ϕX (t )| ≤ 1, ∀t ∈ R;
iii) Para a e b constantes, ϕaX +b (t ) = eitb ϕX (at );
iv) Se as variáveis aleatorias X e Y são independentes então,
ϕX +Y (t ) = ϕX (t )ϕY (t ) (vale para n variáveis);
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PROPRIEDADES:
v) ϕX também gera momentos:
∂n
= i n E (X n ),
ϕ
(
t
)
X
n
∂t
t =0
n = 1, 2, . . . ,
se
E ( | X |n ) < ∞
vi) ϕX (t ) = ϕX (−t ), onde c é o compexo conjugado de c. (Se
c = x + iy o seu complexo conjugado é c = x − iy ).
vii) A variável aleatória X tem distribuição simétrica em torno de zero
se, e somente se, ϕX (t ) é real para todo t.
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EXEMPLO 9.4:
Sendo X ∼ N (µ, σ2 ), use o resultado obtido para a função geradora de
momentos para determinar sua função característica. Determine a média e a
variância a partir do resultado.
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Resultados Importantes:
A função característica de uma variável aleatória X determina a função de
distribuição de X .
Já vimos a recíproca: a função
característica é determinada pela função de
R
distribuição, pois ϕX (t ) = eitx dFX (x ). Como consequencia, temos
FX = FY ⇔ ϕ x = ϕ Y .
Teorema 9.1: (Unicidade) Se as variáveis aleatórias X e Y têm a mesma funão
característica, então elas têm a mesma função de distribuição.
Esses resultados decorrem da fórmula da inversão:
f (x ) =
1
2π
Z
∞
e−ixt ϕX (t )dt
−∞
Essa fórmula Ré também conhecida como transformada inversa de Fourier, dado
que ϕX (t ) = eitx f (x )dx representa a transformada de Fourier da função de
densidade f (x ).
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EXEMPLO 9.5:
Sejam X1 , X2 , . . . , Xn variáveis aleatórias independentes e indenticamente
distribuídas, seguindo o modelo Poisson de parâmetro λ. Qual a distribuição de
X1 + X2 + . . . + Xn .
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EXEMPLO 9.6:
Obtenha a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória cuja função
característica é ϕ (t ) = cos(at ), com a > 0.
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