Modelos de Probabilidade e Inferência Estatística

Modelos de Probabilidade e Inferência Estatı́stica
Departamento de Estatı́stica
Universidade Federal da Paraı́ba
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Probabilidade
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Probabilidade
Algumas Definições de Probabilidade
Definição Clássica: A definição clássica de probabilidade refere-se a
resultados equiprováveis, ou seja, não existe nenhuma razão que
privilegie uns resultados contra outros e quando Ω é enumerável finito
(um número finito de resultados possı́veis).
P(A) =
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Numero de casos favoraveis a
Numero de casos possiveis
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A
,
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Probabilidade
Exemplo 1: Jogar uma moeda duas vezes. Anota-se a sequência
obtida. A =Obtenção de faces iguais e B =Obtenção de duas caras.
Exemplo 2: Jogar uma dado. Anota-se o valor obtido. A =Sair um
número par e B =Sair um número maior que 4.
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Probabilidade
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Probabilidade
Exemplo 3: Possı́veis erros na utilização da definição clássica de
probabilidade
Uma moeda é jogada duas vezes. o número de caras é anotado.
Obtenha a probabilidade de sair uma cara.
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Probabilidade
Uma outra dificuldade com a definição clássica aparece quando
tentamos responder questões como as seguintes:
Qual a probabilidade de um indivı́duo pertencer ao grupo
sanguı́neo O?
Qual a probabilidade de um indivı́duo morrer antes de completas
40 anos?
Qual a probabilidade de um indivı́duo ser portados de uma lesão
cardı́aca congênita?
Portanto, é necessário considerar outras definições de probabilidade.
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Probabilidade
Algumas Definições de Probabilidade
Definição Frequentista: Esta definição considera o limite de
frequências relativas como o valor da probabilidade.
Se um experimento aleatório é repetido um número grande de vezes,
n, e seja nA o número de ocorrências do evento A ⊂ Ω. A
probabilidade de A é dada por
P(A) =
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nA
,
n
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Probabilidade
Exemplo 4:
Foram constatados 8 casos de de sı́ndrome de Down em 4814
crianças nascidas em maternidades de João Pessoa. Com base
nessa amostra, estime o risco de uma criança apresentar a sı́ndrome
de Down.
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Probabilidade
Exemplo 5:
Foram levantados dados relativos ao sistema sanguı́neo Rh em uma
amostra de 820 indivı́duos residentes em João Pessoa. Obtenha a
probabilidade de um indivı́duo ter fator Rh+ ? E fator Rh− ?
Categoria
Rh+
Rh−
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Frequencia
737
83
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Introdução
Exemplo 6 - Fenômeno de Estabilização: Lançamento de uma
moeda.
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Probabilidade
Problemas da noção frequentista de probabilidade
Requer a realização de um experimento um número infinito de
vezes.
Por exemplo, lançar infinitas vezes um dado para ver que as
frequências relativas da aparição de cada face convergem para
1/6.
Isso pode suprir-se na prática, realizando o experimento um
número de vezes suficientemente elevado, até que tenhamos a
precisão que requeiram nossos cálculos.
Os experimentos aleatórios, às vezes, não podem ser realizados
um número de vezes indefinidamente alto.
Por exemplo, calcular a probabilidade de morrer jogando na roleta
russa com um revólver.
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Probabilidade
As definições de probabilidade apresentadas anteriormente podem
ser utilizadas para resolver inúmeros problemas. Contudo, elas não
são suficientes para uma formulação matemática mais rigorosa de
probabilidade.
Uma abordagem mais rigorosa (baseada em axiomas) foi apresentada
por Kolmogorov para definir probabilidade como uma função de
conjuntos em que os elementos do domı́nio são conjuntos e os
elementos da imagem são números reais entre zero e um.
Observação 1: Os axiomas matemáticos apresentados por
Kolmogorov para definir probabilidade permitem incluir as definições
anteriores como casos particulares.
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Probabilidade
Definição 1: (Probabilidade) Dado um espaço amostral Ω, uma
função P é uma probabilidade se satisfaz os seguintes axiomas de
Kolmogorov:
AXIOMA 1 0 ≤ P(A) ≤ 1.
AXIOMA 2 P(Ω) = 1.
AXIOMA 3 Para toda sequência enumerável (A1 , A2 , . . . ∈ A) de
elementos mutuamente exclusivos, temos
P(
∞
[
Ai ) =
i=1
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∞
X
P(Ai )
i=1
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Probabilidade
Algumas Propriedades de Probabilidade: As seguintes
propriedades são consequências dos axiomas:
PROPRIEDADES
P1 P(Ac ) = 1 − P(A)
(P(∅) = 0);
P2 Se A ⊂ B, então P(A) ≤ P(B);
P3 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) (generalizável para
qualquer n);
P4 P(B) = P(B ∩ A) + P(B ∩ Ac );
P5 P(A − B) = P(A) − P(A ∩ B);
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Ilustrando Algumas Propriedades
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Ilustrando Algumas Propriedades
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Exemplo 7 - Probabilidade
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Exemplo 7 - Probabilidade
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Exemplo 8 - Probabilidade
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Probabilidade
Observação 2 (Espaço Amostral Finito): Considerando a situação
em que Ω é formado por um número finito de elementos e
Ω = {ω1 , ω2 , . . . , ωk }, a cada evento simples {ωi } associaremos um
número pi (probabilidade), que satisfaça as seguintes condições:
(i) pi ≥ 0, i = 1, 2, . . . , k;
(ii) p1 + p2 + . . . + pk = 1.
Observação 3 (Resultados Igualmente Prováveis): No caso em que
todos os resultados são igualmente verossı́meis, para i = 1, . . . , k ,
temos que
1
p=
k
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Exemplo 9 - Probabilidade
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Probabilidade
EXEMPLO 10: No MDS, 75% dos alunos praticam algum esporte,
20% gostam de sushi e 40% gostam de música. Adicionalmente,
suponha que 15% corram e gostem de sushi, 30% corram e gostem
de música, 10% gostam de sushi e música e 5% gostem das três
atividades.
1
Qual a probabilidade de um aluno selecionado aleatoriamente,
gostar de música?
2
Qual a probabilidade de um aluno selecionado aleatoriamente,
não gostar de sushi?
3
Qual a probabilidade de um aluno selecionado aleatoriamente,
estar engajado em pelo menos uma das três atividades.
4
Qual a probabilidade de um aluno selecionado aleatoriamente
gostar de exatamente um tipo de atividade.
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Probabilidade
EXEMPLO 10:
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Exemplo 11 - Probabilidade
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Exercı́cio 1
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Probabilidade
EXERCÍCIO 2: Sejam A e B eventos mutuamente exclusivos. Seja
P(A) = 0.20 e P(B) = 0.30. Calcule as probabilidades:
1
2
3
4
5
P(Ac )
P(B c )
P(A ∪ B)
P(A ∩ B)
P(Ac ∩ B c )
EXERCÍCIO 3: Suponha agora que A e B não sejam mutuamente
exclusivos. Adicionalmente temos que P(A ∩ B) = 0.10. Calcule as
mesmas probabilidades anteriores:
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Probabilidade
EXERCÍCIOS 2 e 3:
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Probabilidade
EXERCÍCIO 4: Os dados abaixo referem-se a informações coletadas
de 15 indivı́duos (I) no MDS quanto às variáveis obesidade (A) e
sedentarismo (B). Obtenha:
I
A
B
1
2
1
N
S
2
N
N
3
S
S
4
N
S
5
S
N
6
S
S
7
N
N
8
N
S
9
N
S
10
S
S
11
N
N
12
N
N
13
S
S
14
N
N
15
N
S
A probabilidade de selecionar um indivı́duo obeso ou sedentário.
A probabilidade de selecionar um indivı́duo que não seja obeso e
nem sedentário. Compare com a probabilidade obtida no item
anterior.
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EXERCÍCIO 4:
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