Análise Combinatória

Parte IV: Princípio do Desprezo Ordem
Exercícios par aula
1) De um grupo de 7 pessoas de quantos modos eu posso
convidar:
a) 2 pessoas b) 3 pessoas c) 5 pessoas d) 7 pessoas
2)(Unifesp-02) Em um edifício residencial de São Paulo, os
moradores foram convocados para uma reunião, com a
finalidade de escolher um síndico e quatro membros do
conselho fiscal, sendo proibida a acumulação de cargos. A
escolha deverá ser feita entre dez moradores. De quantas
maneiras diferentes será possível fazer estas escolhas?
a) 64
b) 126 c) 252 d) 640 e) 1260
3)(Ufscar-00) A câmara municipal de um determinado
município tem exatamente 20 vereadores, sendo que 12 deles
apóiam o prefeito e os outros são contra. O número de maneiras
diferentes de se formar uma comissão contendo exatamente 4
vereadores situacionistas e 3 oposicionistas é:
a) 27720 b) 13860 c) 551 d) 495 e) 56
4) Um grupo é formado por 7 enfermeiros e 5 médicos.
Considerando as pessoas desse grupo:
a) Quantas comissões de 5 pessoas podemos formar?
b) Quantas comissões de 5 pessoas são constituídas por 3
enfermeiros e 2 médicos?
c) Quantas comissões de 5 integrantes possuem exatamente 1
médico?
d) Quantas comissões de 5 integrantes possuem pelo menos um
médico?
5) Divida um grupo de 12 pessoas em três grupos, sendo um de
cinco pessoas, outro de quatro e um grupo de três pessoas.
Quantas são as possibilidades?
6)(FGV) Em uma reunião social havia n pessoas; cada uma
saudou as outras com um aperto de mão. Sabendo que houve ao
todo 66 apertos de mão, podemos afirmar que:
a) n é um número primo. b) n é um número ímpar
c) n é um divisor de 100
d) n é um divisor de 125
e) n é um múltiplo de 6.
7) Quantos são os anagramas de:
a) CARRO
b) ABACATE
c) BANANA
8) Considere os anagramas da palavra MISSISSIPI
a) Quantos começam com vogal?
b) Quantos começam com consoante?
c) Quantos apresentam as consoantes juntas em ordem
alfabética?
d) Quantos apresentam as consoantes juntas em qualquer
ordem?
Um indivíduo deseja sair do ponto A e chegar no ponto B,
sempre fazendo um caminho possível e percorrendo a menor
distância.
a) De quantos modos isso é possível?
b) E se ele, obrigatoriamente, tivesse que passar por C?
10)(FGV) Num grupo de dez estudantes, uma equipe de quatro
estudantes será selecionada para uma excursão. De quantas
maneiras diferentes a equipe poderá ser formada se dois dos
dez são marido e mulher e só irão juntos?
11) Em uma reta r são marcados 6 pontos distintos ao passo
que em outra reta s // r marcam-se 5 pontos também distintos.
Quantos triângulos podem ser formados com vértices nesses
pontos?
Exercícios para casa
Série Básica
1)(PUC) Alfredo, Armando, Ricardo, Renato e Erasmo querem
formar uma sigla com cinco símbolos, com as iniciais dos seus
nomes. Cada símbolo dessa sigla será a primeira letra de cada
um dos de seus nomes. O número total de siglas é:
a) 10
b) 24
c) 30
d) 60
e) 120
2)(Unicamp) As avenidas de uma cidade estão dispostas na
direção norte-sul e as ruas na direção leste-oeste. Um
trabalhador que reside numa das esquinas dessa cidade
trabalha numa firma localizada noutra esquina, duas quadras
ao sul e três quadras a leste. Quantos caminhos o trabalhador
pode seguir para ir de casa à fabrica, percorrendo sempre a
menor distância?
3) Uma urna contém 10 bolas: seis pretas iguais e quatro
brancas iguais. Quantas são as maneiras de extrair, uma a uma,
as dez bolas da urna?
4) O número de maneiras que se pode escolher uma comissão
de três elementos num conjunto de dez pessoas é:
a) 120 b) 210 c) 102 d) 220 e) 110
5)(FGV) Um administrador de um fundo de ações dispõe de
ações de 10 empresas para a compra, entre elas as da empresa
R e as da empresa S.
a) De quantas maneiras ele poderá escolher 7 empresas, entre
as 10?
b) Se entre as 7 empresas escolhidas devem figurar
obrigatoriamente as empresas R e S, de quantas formas ele
poderá escolher as empresas?
6) O número de jogos de um campeonato de futebol disputado
por n clubes (n ≥ 2), no qual todos se enfrentam uma única vez,
é
b) n2/2 c) n2-n d) n2
e) n!
a) (n2-n)/2
9) A figura apresenta as ruas de uma cidade
7) Uma liga esportiva elaborou um campeonato de futebol que
será disputado em dois turnos. Em cada turno, cada clube
jogará exatamente uma partida contra cada um dos outros
participantes. Sabendo que o total de partidas será de 306, o
número de clubes que participarão do campeonato é igual a:
a) 34
b) 18
c) 17
d) 12
e) 9
8)(UEL-01) Uma aposta na MEGA SENA (modalidade de apostas
da Caixa Econômica Federal) consiste na escolha de 6 dentre os
60 números de 01 a 60. O número máximo possível de apostas
diferentes, cada uma delas incluindo os números 12, 22 e 23, é
igual a:
a) 60.59.58
1.2.3
c) 60.59.58 − 57.56.55
1 .2 .3
1.2.3
b)
60!
54!.6!
d)
57.56.55
1.2.3
17)(FGV) Dadas duas retas paralelas e distintas, tomam-se dez
pontos na primeira e seis na segunda. Qual o número de
triângulos com vértices nos pontos considerados?
18)(UFMG) Observe a figura.
e)
57!
51!.6!
9) Uma empresa é formada por dez sócios sendo seis homens e
quatro mulheres. Quantas comissões de cinco elementos
poderão ser formadas com três homens e duas mulheres?
10)(FGV) Quer se criar uma comissão constituída de um
presidente e mais três membros. Sabendo-se que as escolhas
devem ser feitas dentre um grupo de oito pessoas, quantas
comissões diferentes podem ser formadas com essa
característica?
11)(Unesp-00) O setor de emergência de um hospital conta,
para os plantões noturnos, com 3 pediatras, 4 clínicos gerais e 5
enfermeiros. As equipes de plantão deverão ser constituídas
por 1 pediatra, e 1 clínico geral e 2 enfermeiros. Determine:
a) quantos pares distintos de enfermeiros podem ser formados;
b) quantas equipes de plantão distintas podem ser formadas.
Nessa figura, o número de triângulos que se obtém com vértices
nos pontos D, E, F, G, H, I, J é
a) 20
b) 21
c) 25
*d) 31 e) 35
19)(Mack) De um grupo de cinco pessoas, de quantos modos eu
posso convidar uma ou mais para jantar?
a) 120 b) 30
c) 31
d) 32
e) 5
20) Utilizando as fórmulas de análise combinatória, demonstre
que o número de diagonais de um polígono convexo de n lados
é dado por: d = n(n-3)/2
Série Desafio
12)(Ufscar-01) Num acampamento estão 14 jovens, sendo 6
paulistas, 4 cariocas e 4 mineiros. Para fazer a limpeza do
acampamento, será formada uma equipe com 2 paulistas, 1
carioca e 1 mineiro, escolhidos ao acaso. O número de maneiras
possíveis para se formar essa equipe de limpeza é:
a) 96
b) 182 c) 212 d) 240 e) 256
13)(Vunesp) Um professor vai montar uma prova com quatro
questões, sendo duas de álgebra e duas de geometria. Ele já
selecionou seis de álgebra e quatro de geometria para fazer a
escolha. Quantas provas diferentes ele poderá montar?
a) 24
b) 60
c) 90
d) 180 e) 720
14)(UFMG) O jogo de dominó possui 28 peças distintas. Quatro
jogadores repartem entre si essas 28 peças, ficando cada um
com 7 peças. De quantas maneiras distintas se pode fazer tal
distribuição?
a) 28!/[(7!](4!)]
b) 28!/[(4!)(24!)]
c) 28!/[(7!)4]
d) 28!/[(7!)(21!)]
21)(ITA) Quantos anagramas da palavra CADERNO apresentam
as vogais em ordem alfabética?
a) 2520 b) 5040 c) 1625 d) 840 e) 680
Gabarito da parte IV
Exercícios para aula
1) a) 28
b) 35
c) 28
d) 1
2) B
3) A
4) a) 792 b) 350 c) 175 d) 771
5) 27720 6) E
7) a) 60
b) 840
8) a) 2520
b) 3780 c) 5
d) 150
9) a) 126
b) 45
10) 98
11) 135
Exercícios para casa
1) C
2) 10
3) 210 4) A
5) a) 120 b) 56
7) B
8) D
9) 120 10) 280 11) a) 10 b) 120
13) C
14) C
15) E
16) a) 12
b) 968
420
18) D
19) C
20) Demonstração 21) D
c) 60
6) A
12) D
17)
Parte V: Exercícios
Série Complementar
Exercícios para aula
15)(Fuvest-03) Uma ONG decidiu preparar sacolas, contendo 4
itens distintos cada, para distribuir entre a população carente.
Esses 4 itens devem ser escolhidos entre 8 tipos de produtos de
limpeza e 5 tipos de alimentos não perecíveis. Em cada sacola,
deve haver pelo menos um item que seja alimento não perecível
e pelo menos um item que seja produto de limpeza. Quantos
tipos de sacolas distintas podem ser feitos?
a) 360 b) 420 c) 540 d) 600 e) 640
16) Colocando 10 pontos distintos sobre uma circunferência:
a) quantos triângulos poderão ser obtidos com vértices
naqueles pontos?
b) quantos polígonos convexos poderão ser obtidos, com
vértices naqueles pontos?
1)(Unesp) Dez rapazes, em férias no litoral, estão organizando
um torneio de voleibol de praia. Cinco deles são selecionados
para escolher os parceiros e capitanear as cinco equipes a
serem formadas, cada uma com dois jogadores.
a) Nessas condições, quantas possibilidades de formação de
equipes eles têm?
b) Uma vez formadas as cinco equipes, quantas partidas se
realizarão, se cada uma das equipes deverá enfrentar todas as
outras uma única vez?
2)(Fuvest) A escrita Braile para cegos é um sistema de símbolos
no qual cada caractere é formado por uma matriz de 6 pontos,
dos quais pelo menos um deles se destaca (mais forte) em
relação aos demais. Por exemplo:
2
4
6
8
Quantas configurações podem ser obtidas com o barco
totalmente guarnecido?
Qual o número máximo de caracteres distintos que pode ser
representado nesse sistema de escrita?
a) 63
b) 89
c) 26
d) 720 e) 36
3)(Fuvest-04) Três empresas devem ser contratadas para
realizar quatro trabalhos distintos em um condomínio. Cada
trabalho será atribuído a uma única empresa e todas elas
devem ser contratadas. De quantas maneiras distintas podem
ser distribuídos os trabalhos?
a) 12
b) 18
c) 36
d) 72
e) 108
4)(ITA) O número de soluções inteiras não negativas da
equação x + y + z + w = 5 é:
a) 36
b) 48
c) 52
d) 54
e) 56
5)(Unicamp-01) O sistema de numeração na base 10 utiliza,
normalmente, os dígitos de 0 a 9 para representar os números
naturais, sendo que o zero não é aceito como o primeiro algarismo
da esquerda. Pergunta-se:
a) Quantos são os números naturais de cinco algarismos formados
por cinco dígitos diferentes?
b) Quantos números do item (a) possuem seus cinco algarismos em
ordem crescente?
6)(Mack-99) Pode-se formar uma comissão de 3 pessoas,
escolhidas dentre os p diretores de uma firma, de k maneiras
distintas. Entretanto, havendo designações diferentes para as 3
pessoas da comissão, a escolha pode ser feita k+100 maneiras
distintas. O valor de k é:
a) 16
b) 18
c) 20
d) 22
e) 24
7) Ao adicionarmos todos os números inteiros positivos
formados a partir das permutações simples dos algarismos 1, 2,
3, 4 e 5, obteremos um número M. Determine o algarismo da
dezena de M.
8)(AFA) Qual é a quantidade de números naturais de quatro
algarismos distintos, formados por 1, 2, 3, 4, 5 e 6 que contém o
algarismo 3 ou o algarismo 4?
9) Em um plano, estão marcados oito pontos distintos, dos
quais quatro, e apenas quatro, estão sobre uma mesma reta. O
número de retas distintas que se pode traçar com esses pontos
do plano é igual a:
a) 22
b) 23
c) 25
d) 28
e) 32
10)(Unicamp) De quantas maneiras podem ser escolhidos três
números naturais distintos de 1 a 30, de modo que a soma deles
seja par? Justifique.
11) De quantos modos podemos colocar 2 reis diferentes em
casas não-adjacentes de um tabuleiro 8 x 8?
12)(IME) Seja um barco com 8 lugares, numerados como no
diagrama a seguir. Há 8 remadores disponíveis para guarnecêlo, com as seguintes restrições: os remadores A e B só podem
sentar-se no lado ímpar, e o remador C, no lado par. Os
remadores D, E, F, G, H podem ocupar quaisquer posições.
1
3
5
7
Exercícios para casa
Série Básica
1)(UEL-00) O treinador de uma determinada seleção de futebol
convocou, para os Jogos Olímpicos em Sydney, na Australia, 2
goleiros, 6 defensores, 8 meio-campistas e 5 atacantes.
Considerando que o treinador tenha que respeitar a posição
para a qual cada jogador foi convocado, quantas formações
diferentes ele poderá escalar em um sistema de jogo com 1
goleiro, 4 defensores, 4 meio-campistas e 2 atacantes?
a) 21000 b) 97 c) 480 d) 2062 e) 54192000
2)(Unicamp-99) Um tornei de futebol foi disputado por quatro
equipes em dois turnos, isto é, cada equipe jogou duas vezes com
cada uma das outras. Pelo regulamento do torneio, para cada vitória
são atribuídos 3 pontos para o vencedor e nenhum para o perdedor.
No caso de empate, um ponto para cada equipe. A classificação
final do torneio foi a seguinte:
Classificação
Equipe
Pontos
1o lugar
A
13
2o lugar
B
11
3o lugar
C
5
4o lugar
D
3
a) Quantas partidas foram disputadas em todo o torneio?
b) Quantos foram empates?
c) Construa uma tabela que mostre o numero de vitórias, de
empates e de derrotas de cada uma das quatro equipes.
3)(Unicamp-00) Em um certo jogo são usadas fichas de cores e
valores diferentes. Duas fichas brancas equivalem a três fichas
amarelas, uma ficha amarela equivale a cinco fichas vermelhas,
três fichas vermelhas equivalem a oito fichas pretas e uma ficha
preta vale quinze pontos.
a) Quantos pontos vale cada ficha?
b) Encontre todas as maneiras possíveis para totalizar 560,
usando, em cada soma, no máximo cinco fichas de cada cor.
4) Usando as letras da palavra FUVEST.
a) Quantos são os possíveis anagramas?
b) Quantos deles começam e terminam por vogal?
c) Quantos deles têm consoantes e as vogais juntas?
5) De quantas maneiras um casal pode ter 2 meninos e 4
meninas?
6)(UEL) São dados 12 pontos num plano, 3 a 3 não colineares. O
número de retas distintas determinadas por esses pontos é
a) 66
b) 78
c) 83
d) 95
e) 131
7) Em uma estante serão colocados 10 CDs distintos, um ao
lado do outro, sendo 5 deles de rock, 3 de blues e 2 clássicos.
Determine quantas maneiras essa fila pode ser formada, se os
discos de mesmo gênero musical devem ficar juntas?
8)(ITA-00) Quantos números de seis algarismos distintos
podemos formar usando os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, nos quais o 1
e o 2 nunca ocupam posições adjacentes, mas o 3 e o 4 sempre
ocupam posições adjacentes?
a) 144 b) 180 c) 240 d) 288 e) 360
9)(Mack) Doze professores, sendo quatro de matemática,
quatro de geografia e quatro de inglês, participam de uma
reunião, com o objetivo de formar uma comissão que tenha
nove professores, sendo três de cada disciplina. O número de
formas distintas de compor essa comissão é:
a) 36
b) 108 c) 12
d) 48
e) 64
10)(Unifesp-03) O corpo clínico da pediatria de um certo
hospital é composto por 12 profissionais, dos quais 3 são
capacitados para atuação junto a crianças que apresentam
necessidades educacionais especiais. Para fins de assessoria,
deverá ser criada uma comissão de 3 profissionais, de tal
maneira que 1 deles, pelo menos, tenha a capacitação referida.
Quantas comissões distintas podem ser formadas nestas
condições?
a) 792 b) 494 c) 369 *d) 136 e) 108
11) Quantos números de 4 algarismos podemos formar nos
quais o algarismo 2 aparece ao menos uma vez?
12)(PUC) Nove pessoas serão acomodadas em três quartos,
com três lugares em cada um. Qual o número de formas que
podemos fazer essa distribuição?
13) Formados e colocados em ordem crescente, todos os
números de quatro algarismos distintos obtidos com os
algarismos 1, 3, 5 e 7 que lugar ocupa o número 5731?
a) 10º b) 13º c) 15º d) 17º e) 18º
14)(Unesp-01) Uma grande firma oferecerá aos seus
funcionários 10 mini-cursos diferentes, dos quais só 4 serão de
informática. Para obter um certificado de participação, o
funcionário deverá cursar 4 mini-cursos diferentes, sendo que
exatamente 2 deles deverão ser de informática. Determine de
quantas maneiras distintas um funcionário terá a liberdade de
escolher
a) os minicursos que não são de informática
b) os 4 minicursos de modo a obter um certificado.
15)(Mack-00) Numa empresa existem 10 diretores, dos quais 6
estão sob suspeita de corrupção. Para que analisem as suspeitas,
será formada uma comissão especial com 5 diretores, na qual os
suspeitos não sejam maioria. O número de possíveis comissões
é:
a) 66
b) 72
c) 90
d) 120 e) 124
Série Complementar
1) Ao escrevermos todos os números inteiros de 1 até 2222,
quantas vezes escrevemos o número zero?
2) Um tabuleiro possui n linhas, n colunas e n peças.
De quantas maneiras é possível colocar um peça em cada casa,
de tal forma que em cada linha e em cada coluna tenha apenas
uma peça?
3) Qual é o menor número de retas que se deve traçar em um
plano, de forma que tenhamos seis pontos de intersecção?
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 8
4) Em uma urna temos 10 bolas brancas, 8 pretas e 6
vermelhas. Qual é a quantidade mínima de bolas que devemos
retirar, ao acaso, de modo que tenhamos certeza de ter
retirado:
a) duas bolas de uma mesma cor?
b) duas bolas vermelhas?
5)(Unesp) A diretoria de uma empresa compõe-se de n
dirigentes, contando o presidente. Considere todas as
comissões de três membros que poderiam ser formadas com
esses n dirigentes. Se o número de comissões que incluem o
presidente é igual ao número daquelas que não o incluem,
calcule o valor de n.
6) Com uma letra R, uma letra A e um certo número de letras M,
podemos formar 20 permutações. Qual é o número de letras M?
7)(Fuvest-01) Uma classe de Educação Física de um colégio é
formada por dez estudantes, todos com alturas diferentes. As
alturas dos estudantes, por ordem crescente, serão designadas
por h1, h2, ..., h10 (h1 < h2 < ... < h10). O professor vai escolher
cinco desses estudantes para participar de uma demonstração
na qual eles se apresentarão alinhados, em ordem crescente de
suas alturas. Dos 10 = 252 grupos que podem ser escolhidos,
 
 5
em quantos, o estudante, cuja altura é h7, ocupará a posição
central durante a demonstração?
a) 7
b) 10
c) 21
d) 45
e) 60
8)(Fuvest-98) Com as 6 letras da palavra FUVEST podem ser
formadas 6! = 720 “palavras” (anagramas) de 6 letras distintas
cada uma. Se essas “palavras” forem colocadas em ordem
alfabética, como um dicionário, a 250ª “palavra” começa com
a) EV
b) FU
c) FV
d) SE
e) SF
9)(Unicamp-05) Com as letras x, y, z e w podemos formar
monômios de grau k, isto é, expressões do tipo xpyqzrws, onde
p, q, r e s são inteiros não-negativos, tais que p + q + r + s = k.
Quando um ou mais desses expoentes é igual a zero, dizemos
que o monômio é formado pelas demais letras. Por exemplo,
y3z4 é um monômio de grau 7 formado pelas letras y e z [nesse
caso, p = s = 0].
a) Quantos monômios de grau 4 podem ser formados com, no
máximo, 4 letras?
b) Quantos monômios podem ser formados por exatamente
duas das 4 letras?
10)(ITA-02) Quantos anagramas com 4 letras distintas
podemos formar com as 10 primeiras letras do alfabeto e que
contenham 2 das letras a, b e c?
a) 1692 b) 1572 c) 1520 d) 1512 e) 1392
11)(Unesp-99) De uma certa doença são conhecidos n sintomas.
Se, num paciente, forem detectados k ou mais desses possíveis
sintomas, 0 < k ≤ n, a doença é diagnosticada. Seja S(n, k) o
número de combinações diferentes dos sintomas possíveis para
que o diagnóstico possa ser completado de maneira segura.
a) Determine S (6, 4).
b) Dê uma expressão geral para S(n, k), onde n e k são inteiros
positivos, com 0 < k ≤ n.
12)(ITA-06) Considere uma prova com 10 questões de múltipla
escolha, cada questão com 5 alternativas. Sabendo que cada
questão admite uma única alternativa correta, então o número
de formas possíveis para que um candidato acerte somente 7
das 10 questões é
a) 44.30 b) 43.60 c) 53.60 d)
7 3
 .4
3
e)
10 
 
7
13) O presidente p de um grêmio estudantil convida 7 membros
da diretoria: a,b,c,d,e,f,g para um almoço em uma mesa
redonda. O presidente sabe que o membro a suporta b e c
somente quando esses dois membros estão juntos; estando os
membros separados, a não deve permanecer junto de nenhum
deles. Determinar de quantas formas o presidente p pode tomar
assento à mesa com seus colaboradores.
Série Desafio
1)(UFSCar-02) Em uma competição de queda-de-braço, cada
competidor que perde duas vezes é eliminado. Isso significa que
um competidor pode perder uma disputa (uma “luta”) e ainda
assim ser campeão. Em um torneio com 200 jogadores, o
número máximo de “lutas” que serão disputadas, até se chegar
ao campeão é:
a) 99
b) 199 c) 299 d) 399 e) 499
2) Escrevem-se números de cinco dígitos (inclusive os
começados por zero) em cartões. Como, 0, 1 e 8 não se alteram
de cabeça para baixo para baixo, e como 6 de cabeça para baixo
se transforma em 9, um só cartão pode representar dois
números (por exemplo 06198 e 86190). Qual o número mínimo
de cartões para representar todos os números de cinco dígitos?
Gabarito
Exercícios para aula
1) a) 120 equipes b) 10 partidas
2) A
3) C
4) E
5) a) 27216
b) 126
6) C
7) M = 3999960
8) 336 9) B
10) 2030
11) 3612
12)
5760
Exercícios para casa
Série Básica
1) A
2) a) 12 b) 4
c)
Equipe
Vitórias
Empates
Derrotas
A
4
1
1
B
3
2
1
C
1
2
3
D
0
3
3
3) a) B = 300; A = 200; V = 40 e P = 15
b) 1B1A4P e 2A4V
4) a) 6! = 720
b) 48
c) 96
5) 15
6) A
7) 8640 8) A
9) E
10) D
11) 3168 12) 1680 13) E
14) a) 15 b) 90 15) A
Série Complementar
1) 642 2) (n!)2 3) B
4) a) 4 b) 20
5) n = 6 6) 3
7) D
8) D
9) a) 35 b) 18
10) D
11) a) S(6; 4) = 22 b) S (n; k ) =
 n  12) A 13) 2880
p=k  
n
∑  p 
Série Desafio
1) B
2) 105 – 55 + (55 -75)/2 + 75 = 98475
Chama-se permutação circular de n objetos distintos qualquer
disposição desses objetos em torno de um círculo.
Duas permutações são indistinguíveis se, e somente se, uma
pode ser obtida a partir da outra por uma rotação conveniente.
(Veja permutações de uma mesma linha).
Duas permutações são distinguíveis se, e somente se, uma não
pode ser obtida da outra por qualquer rotação. (Veja
permutações de uma mesma coluna).
O número de permutações circulares de n objetos, denotado
por (PCn) é:
PC n = (n − 1)!
Em outras palavras: fixa um elemento e permutam-se os outros
n-1 elementos.
1) De quantos modos 5 meninos e 5 meninas podem formar
uma roda de ciranda de modo que pessoas de mesmo sexo não
fiquem juntas?
2) De quantos modos n casais podem formar uma roda de
ciranda de modo que cada homem permaneça ao lado de sua
mulher?
3) De quantos modos n casais podem formar uma roda de
ciranda de modo que cada homem permaneça ao lado de sua
mulher e que pessoas do mesmo sexo não fiquem juntas?
4) De quantos modos 5 mulheres e 6 homens podem formar
uma roda de ciranda de modo que as mulheres permaneçam
juntas?
Apêndices
1) 4!.5! = 2880
Permutação Circular
O quadro abaixo apresenta as disposições dos objetivos A, B, C e
D em torno de um círculo.
2) (n-1)!.2n
3) 2(n-1)!
4) 86400
Permutação Caótica
Quantos anagramas podem-se ter, usando as letras da palavra
COLA, de modo que nenhuma letra ocupe o seu lugar de
primitivo?
Começaremos respondendo essa pergunta com o número total
de permutações, sem se preocupar com a condição (as letras
não podem ocupar o seu lugar de origem).
Total de permutações: 4!
5!− 5.4! +
Porém, a letra C, não pode ocupar a primeira posição, e com a
letra C na primeira posição temos que permutar as outras cinco
letras, portanto 3!.
Da mesma maneira, O não pode ocupar a segunda posição: 3!
L, não pode ocupar a terceira posição: 3!
E, finalmente, A não pode ocupar a última posição: 3!
Logo, do total, 4!, temos que descontar 4 vezes o 3!.
Daí, temos 4! – 4.3!
Porém, O está na segunda posição em algumas das 3!
possibilidades que descontamos quando C está na primeira
posição. E, o contrário também é válido, C está primeira posição
quando descontamos 3!, quando O está na segunda posição.
Logo precisamos descontar esse desconto (associe: Descontar o
desconto, seria o negativo do negativo, logo positivo).
Tendo C O _ _, temos que a permutação das outras é 2!.
Só que isso não acontece apenas com a dupla CO, acontece com
CL, com CA, e com todas as duplas.
Quantas duplas temos?
Resposta: 4.3/2!
Portanto, temos que descontar do desconto, somar, o 2! 4.3/2!
vezes
Assim, temos
4!− 4.3! +
4.3
.2!
2!
Seguindo o raciocínio, em algumas vezes que descontamos as
duplas, os trios estavam juntos e foram descontados mais de
uma vez.
Com as letras C O L juntas temos: C O L _ = 1!
E, quantos trios têm-se?
Resposta: 4.3.2/3!
Daí,
4!− 4.3! +
4. 3
4.3.2
.2! −
.1!
2!
3!
Por último, temos que descontar o quarteto estando junto COLA
Finalmente,
4!− 4.3! +
4.3
4.3.2
4.3.2.1
.2! −
.1!+
.0! .
2!
3!
4!
Respondendo a pergunta inicial: Quantos anagramas podem-se
ter, usando as letras da palavra COLA, de modo que nenhuma
letra ocupe o seu lugar de primitivo?
Resposta:
4!− 4.3! +
Se tivéssemos uma palavra com 5 letras o raciocínio só seria
ampliado e teríamos:
4.3
4.3.2
4.3.2.1
.2! −
.1!+
.0! = 9.
2!
3!
4!
Seria interessante, encararmos a resposta acima da seguinte
maneira
4! 4! 4! 4! 4!
− + − + =9
0! 1! 2! 3! 4!
5.4
5.4.3
5.4.3.2
5.4.3.2.1
.3! −
.2!+
.1! −
.0!
2!
3!
4!
5!
Ou melhor,
5! 5! 5! 5! 5! 5!
− + − + −
0! 1! 2! 3! 4! 5!
Assim, podemos responder qualquer exercício de permutação
caótica que consiste em permutação n elementos sem que eles
ocupem a posição primitiva, com a fórmula:
n! n! n! n!
n n!
− + − + ... + (− 1) .
0! 1! 2! 3!
n!
1)(Escola Naval) Determine o número de anagramas da palavra
ESCOLA de modo que nenhuma letra ocupe o lugar primitivo?
2)(Olimpíada da Bélgica) Um pequena escola possui 4 alunos.
Um professor coleou as provas resolvidas pelos alunos e
imediatamente repassou para eles mesmos corrigissem. De
quantas maneiras é possível fazer isto sem que um aluno receba
a mesma prova que fez?
a) 6
b) 9
c) 14
d) 23
e) 24
1) 145
2) B