Resolução - Matemática? Absolutamente!

Teste Intermédio de Matemática A
Versão 1
Teste Intermédio
Matemática A
Versão 1
Duração do Teste: 90 minutos | 13.03.2012
12.º Ano de Escolaridade
Decreto-Lei n.º 74/2004, de 26 de março
RESOLUÇÃO
GRUPO I
1.  Resposta (C)
Sendo
A e B dois acontecimentos incompatíveis, tem-se P^ A + Bh = 0
2.  Resposta (B)
Tem-se
P^ A ; Bh =
P^ A + Bh
P^ Bh
0,4
P^ Bh = P^ x > 6h = 0,5
P^ A + Bh = P^6 < X < 7h = 0,5 − 0,1 = 0,4
Portanto, =
P^ A ; Bh
0,1
6
7
P^ A + Bh 0,4 4
=
=
0,5 5
P^ Bh
3.  Resposta (A)
lim
f ^unh f=
=
^lim unh f ^ e h = 0
Só se tem
f ^ e h = 0 na opção (A).
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4.  Resposta (B)
g é contínua no ponto 0 se e só se =
lim- g^ xh
A função
x" 0
lim g^ xh g^0h
=
x " 0+
2x
2x
lim- g^ xh = lim- e − 1 = 2 × lim- e − 1
2x
x
x" 0
x" 0
x" 0
Seja
y = 2 x . Como x " 0 −, tem-se y " 0 −
Assim,
2 × lim- e
x"0
− 1 = 2 × lim e y − 1 = 2 × 1 = 2
2x
y
y " 0-
2x
g^0h tem de ser igual a 2, pelo que a = 2
Portanto,
lim+ g^ xh = lim+c b −
x"0
x"0
b − 1 tem de ser igual a 2, pelo que b = 3
Portanto
Assim,
ln ^1 + xh
ln ^1 + xh
= b −1
m = lim+ b − lim+
x
x
x"0
x"0
a =2 e b =3
5.  Resposta (D)
Quando x = 0 , o ponto P coincide com o ponto O , pelo que f ^0h = OA . Quando x tende para + 3 ,
a reta AP tende a coincidir com a reta AB, pelo que a intersecção da reta AP com o quadrado tende a
coincidir com o segmento de reta [AB]
Assim,
Como
lim f ^ xh = AB = OA = f ^0h
x " +3
f ^0h ! 0 (pois OA ! 0 ) e como lim f ^ xh = f ^0h , a opção correta é a opção (D).
x " +3
GRUPO II
1.1.  Existem
10! maneiras diferentes de sentar os 10 rapazes na fila da frente.
A delegada e a subdelegada podem ocupar as extremidades da fila de trás de 2 maneiras diferentes.
Para cada uma destas maneiras, as restantes 12 raparigas podem dispor-se de 12! maneiras
diferentes. Portanto, o número de maneiras diferentes de dispor as raparigas, de modo que a delegada
fique numa das extremidades e a subdelegada na outra extremidade, é 2 × 12!
Então, os 24 jovens podem dispor-se de
10! × 12! × 2 maneiras diferentes.
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1.2.  A variável aleatória X pode tomar o valor 0 (se a comissão for constituída só por rapazes), o valor 1
se a comissão for constituída por uma rapariga e um rapaz) e o valor 2 (se a comissão for constituída
só por raparigas).
Tem-se então que:
10 C
×10 35
P^ X
P^=
X 1h 14
h 24 2 15
=
= 0=
=
=
24 C
C2 92
69
2
P^ X
h
= 2=
14 C
2
24 C
2
= 91
276
Tem-se, portanto, a seguinte tabela de distribuição de probabilidades da variável
xi
0
1
2
P^ X = xih
15
92
35
69
91
276
2.1. Em
X
R , apenas os números positivos têm logaritmo.
Portanto, para que a expressão
que x > 0 e que x − 8 > 0
2 + log3 x $ 4 + log3 ^ x − 8h tenha significado, em R , é necessário
x > 0 / x − 8 > 0 + x > 8 + x ! @8, + 36
No intervalo @8, + 3 6 , tem-se:
2 + log3 x $ 4 + log3 ^ x − 8h + log3 x $ 2 + log3 ^ x − 8h +
+ log3 x $ log3 9 + log3 ^ x − 8h + log3 x $ log3 ^9 x − 72h +
+ x $ 9 x − 72 + −8 x $ − 72 + x # 9
Portanto, o conjunto dos números reais que verificam a condição dada é @− 3, 9 @ ( @8, + 3 6 = @8, 9 @
2.2. Tem-se:
f ^361000h − f ^41000h = 2 + log3 ^361000h − 2 − log3 ^41000h =
= log3 ^361000h − log3 ^41000h = 1000 log3 ^36h − 1000 log3 ^4h = 1000`log3 ^36h − log3 ^4hj =
= 1000 log3 ` 36 j = 1000 log3 ^9h = 1000 × 2 = 2000
4
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2.3. g (x) = x + f (x) = x + 2 + log3 x
A função
Tem-se:
g é contínua em R + , pelo que é contínua em 61, 3 @
•  g^1 h = 1 + 2 + log3 ^1 h = 1 + 2 + 0 = 3
•  g^3 h = 3 + 2 + log3 ^3 h = 3 + 2 + 1 = 6
Portanto,
g^1 h < 5 < g^3 h
Logo, o teorema de Bolzano permite garantir que
7c ! @1, 36 : g^ c h = 5
3.1. Comecemos por determinar o número de frangos infetados no instante em que o vírus foi detetado.
200
= 200 = 8
25
1 + 3 # 23
f (0) =
Determinemos, agora, ao fim de quantos dias o número de frangos infetados foi dez vezes maior do que
8, ou seja, 80
200
= 80 + 200 = 1 + 3 × 2 3−0,1 x +
80
1 + 3 # 2 3−0,1 x
1, 5
+ 2 3−0,1 x = 0,5 +
+ 1 + 3 × 2 3−0,1 x = 2,5 + 2 3−0,1 x =
3
+ 2 3−0,1 x = 2 −1 + 3 − 0,1 x = −1 + −0,1 x = − 4 + x = 40
f (x) = 80 +
Portanto, tinham passado 40 dias desde o instante em que o vírus foi detetado.
3.2. Comecemos por determinar o número de frangos infetados trinta dias após o vírus ter sido detetado.
f ^30h =
200
= 50
1 + 3× 2 3−0,1×30
Assim, trinta dias após o vírus ter sido detetado, existiam no aviário 50 frangos infetados e 450 frangos
não infetados, ou seja, havia um total de 500 frangos.
Sejam
A e B os acontecimentos:
A: «o frango escolhido estar infetado»
Pretendemos calcular
B: «o teste dar negativo»
P^ A ; Bh
Sabemos
que P^ B ; Ah
=
0,96
e P^ B ; A h 0,9
=
Por outro lado, como ao fim de 30 dias após o vírus ter sido detetado existem 50 frangos infetados,
tem-se
P^ Ah = 50 = 0,1 e P^ A h = 1 − 0,1 = 0,9
500
Tem-se:
P^ A + B h P=
^ Ah × P^ B ; Ah 0,1 × 0,96 = 0,096
=
^ A h × P^ B ; A h 0,9 × 0,9 = 0, 81
P^ A + Bh P=
=
A
B
B
A
0,81
0,096
0,1
0,9
1
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Continuando a preencher as células da tabela necessárias à resolução do problema, vem
B
B
A
A
0,004
0,096
0,81
0,814
0,1
0,9
1
Portanto,
P^ A ; Bh
=
P^ A + Bh
0,81
. 0,995
=
0,814
P^ Bh
Em vez de considerarmos probabilidades, poderíamos elaborar uma tabela com base no número de
frangos, tendo-se, então,
A
B
B
A
450 × 0,9
50 × 0,96
50
450
500
Continuando a preencher as células necessárias à resolução do problema, vem
B
B
A
A
2
48
405
407
50
450
500
P^ A + Bh
E, portanto, =
P^ A ; Bh =
P^ Bh
405
500 = 405 . 0, 995
407
407
500
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4. Tem-se:
lim f (x) = lim ^k + xe xh = lim k + lim ^ xe xh =
x " −3
x " −3
x " −3
x " −3
= k + lim ^ xe xh = k + lim ` x−x j
x " −3
x " −3 e
Seja
y = − x . Como x " − 3, tem-se y " + 3
Então,
y
y
k + lim c x−x m = k + lim e− y o = k − lim e y o =
x "−3 e
y "+3
y "+3 e
e
1
= k−
lim
y "+3
ey
y
=k− 1 = k−0= k
+3
Portanto, a reta de equação
y = k é assíntota horizontal do gráfico de f , quando x " − 3
Tem-se:
lim f (x) = lim 2 x + ln x = lim ` 2 x + ln x j = lim 2 x + lim ln x = 2 + 0 = 2
x "+3
x "+3 x
x "+3 x
x "+3 x
x
x
x "+3
A reta de equação
y = 2 é assíntota horizontal do gráfico de f , quando x " + 3
Portanto, para que as duas assíntotas sejam coincidentes,
k tem de ser igual a 2
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