Cap.08: Dinâmica II: Movimento no Plano 8.1

Cap.08: Dinâmica II: Movimento no Plano
Do professor para o aluno ajudando na avaliação de compreensão do capítulo.
Fundamental que o aluno tenha lido o capítulo.
8.1 Dinâmica em duas dimensões
► A equação da segunda lei de Newton é geral, determina a aceleração em qualquer sistema de
coordenadas e de qualquer tipo de movimento, linear ou no plano.
► Os componentes X e Y do vetor aceleração:
► As equações de posição e de velocidade são:
► Aplicação: Exemplo 8.1
Movimento dos projéteis
► O movimento dos projéteis, sem a resistência do ar, foi estudado no Cap. 4 e concluiu-se que o
a trajetória é parabólica. O efeito resistivo do ar, força de arraste, sobre um corpo em movimento
foi estudado no Cap. 6 e esta força é diretamente proporcional ao quadrado da velocidade e está
dirigida no sentido contrário ao movimento, FD = A v2/4.
► Deduzir a Eq.8.4: Dedução feita em sala de aula.
► A figura abaixo representa a trajetória y(x) do movimento da bola lançada no ar. A resolução
numérica da eq. 8.4, acima, foi realizada com os valores vo = 25,0m/s, A= 2,00 x 10 -3 m2, m =
5,00x10-3g . Os ângulos de lançamentos escolhidos são 300 , 60o (as linhas tracejadas) e 45o, linha
contínua. O alcance máximo da bola não corresponde a um ângulo de lançamento de 45 o . O
alcance máximo de 14,5m atingido corresponde quando a bola é lançada com ângulo de 30o e as
trajetórias não são parabólicas. No vácuo, o alcance máximo será aproximadamente 64,0m e as
trajetórias são parabólicas.
ym
8
6
4
2
0
0
5
Na figura ao lado estão representadas as
variações das velocidades vy(t), linha
tracejada, e vx(t), linha contínua, em ângulo de
lançamento de 60o. O tempo de voo sem a
resistência do ar é 4,40s. O tempo de
movimento da bola com a resistência do ar
lançado neste ângulo é t=2,60s.
Diferentemente de movimento da bola num
meio desprovido de ar, o componente
horizontal da velocidade, vx, não é constante,
diminui com o tempo e lentamente após o
tempo de 1,0s. Aproximadamente neste
instante o componente vertical da velocidade é
nula, vy=0, quando a bola alcança a altura
máxima, 8,0m.
10
15
xm
v ms
30
20
10
0
10
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
ts
► Responda a questão Pare E Pense 8.1.
8.2 Velocidade e aceleração no movimento circular uniforme
► Num movimento circular uniforme existe somente a aceleração centrípeta dada pela Eq. 8.5.
►Obs. O autor, na página 213, escreve:
O sistema de coordenadas XY no centro do círculo e a partícula em movimento circular são
representadas na Fig.(HS01)
Os vetores unitários radial, r̂ , e tangencial, t̂ , foram apresentados nas aulas. As relações destes
vetores unitários com os do sistema cartesiano são, conforme a figura ao lado,
xrcos; yrsen
r rrˆ xiˆyˆj
x y
rˆ  iˆ ˆj
r
r
ˆ
ˆ
r
ˆ cosi senj
eˆ
t é+/2
t̂ seniˆcosˆ
j


Os dois vetores unitários r̂ e t̂ definem a orientação dos eixos do sistema de coordenadas polares
cilíndricas, (r, , z). Um corpo em movimento circular é descrito por este sistema de coordenadas.
Vale lembrar que o raio r tem como origem o centro do círculo, o ângulo  começa do eixo x
positivo crescente no sentido anti-horário e z, eixo longitudinal do cilindro, é o eixo perpendicular
ao plano XY.
Dessa forma expressamos sempre o vetor aceleração radial ou centrípeta na forma
v2
ac  rˆ
r
► Obs. Na página 213, o autor afirma que o eixo r aponta da partícula para o centro do círculo.
Isto não é correto! O sistema de coordenadas cilíndricas, apresentado em aula, tem como origem
no centro do círculo, dessa forma o eixo r aponta do centro do círculo para a partícula. O centro do
círculo pode ser a origem do sistema inercial, lugar em que não há nenhuma força e está em
repouso ou a velocidade constante. A partícula num movimento circular não constitui um sistema
inercial, pois contraria a primeira lei de Newton, ela está sob a ação de uma força, a força,
comumente, denominada centrípeta.
► Responda a questão Pare E Pense 8.2.
8.3 Dinâmica do movimento circular uniforme
► Uma partícula ( carro, espaçonave e outros corpos) em movimento circular uniforme possui
uma aceleração dirigida para o centro do círculo. Pela segunda lei de Newton, uma força,
direcionada para o centro do círculo, mantém a partícula em sua trajetória circular. Esta força por
estar direcionada para o centro do círculo é, comumente, denominada força centrípeta.
► Esta força não é novo tipo de força. Veremos que ela pode ser uma força de atrito, uma força
gravitacional, a força exercida pela lateral do carro ou por uma corda ou qualquer outra força.
Dizemos:
► Uma força centrípeta acelera (taxa de variação da velocidade) um corpo modificando a
direção de sua velocidade, sem alterar o módulo da velocidade do corpo.
► Expressão:
► Estudar o Exemplo 8.3: Girando o carrinho em um
círculo horizontal.
► Nesta figura, qual a direção do percurso quando a corda é
cortada? Qual lei de Newton você utiliza em sua resposta?
► Estudar o Exemplo 8.4, o veículo faz uma curva numa rodovia não inclinada. Responder:
(a) A velocidade máxima depende da massa do veículo?
(b) Suponha que a pista esteja úmida. O que pode acontecer com o carro na curva ao atingir a
velocidade calculada no Exemplo 8.4?
► Estudar o Exemplo 8.5, o veículo faz uma curva numa rodovia inclinada.
► A equação final deste exemplo depende da massa do carro?
► (a) Se a rapidez do carro é de 13,4 m/s e o raio da curva é de
35,0m, a que ângulo a curva deveria ser inclinada para que o carro
não dependa do atrito para fazer a curva sem derrapar?
►(b) O que acontece com o carro, se o motorista tenta fazer a curva
com velocidade maior que 13,4m/s? Faça o diagrama de corpo
livre.
► (c) O que acontece com o carro, se o motorista tenta fazer a curva
com velocidade menor que 13,4m/s? Faça o diagrama de corpo
livre.
► Pergunta : Imagine que, numa futura colonização em Marte, esta
mesma estrada fosse construída neste planeta. Ela poderia ser percorrida com a mesma
velocidade? Explicar.
► Carro em uma curva: Imagine um passageiro sentado no assento traseiro de um carro que se
move com grande velocidade escalar constante ao longo de uma estrada plana. O carro vira à
esquerda fazendo uma curva na forma de um arco de círculo de raio r, o passageiro desliza para
a direita sobre o assento e então fica comprimido contra aparte lateral do carro durante o
movimento curvilíneo do veículo. Como se explica isso?
Enquanto o carro está fazendo uma curva, ele está, digamos, em movimento circular
uniforme; ou seja, ele possui uma aceleração dirigida para o centro do círculo. Pela segunda Lei
de Newton, uma força deve ser a causa desta aceleração. Além disso, a força deve também estar
dirigida para o centro do círculo. Denomina-se essa força de força centrípeta. No caso do
movimento deste carro, a força centrípeta é uma força de atrito exercida pela estrada sobre os
pneus; ela faz com que a trajetória curvilínea seja possível.
Para que o passageiro no carro possa deslocar em movimento circular uniforme
juntamente com o veículo, também deve existir um força centrípeta sobre ele. Essa força
centrípeta é exercida pelo assento sobre o passageiro. Entretanto, essa força não sendo suficiente
para acompanhar o movimento circular, o passageiro desliza lateralmente sobre o assento até
pressionar a porta. Desta forma, a compressão exercida pela parte lateral do carro fornece a
força centrípeta necessária para o passageiro acompanhar o carro em movimento circular
uniforme (uma razão pelo uso do cinto de segurança).
► Estudar o Exemplo 8.6: Uma pedra em uma funda.
► A expressão obtida da velocidade da pedra depende da massa.
► À medida que aumenta o valor da velocidade o que acontece com o ângulo do cipó? Concluir a
resposta analiticamente.
► Converta a expressão final do Exemplo 8.6 em independente da massa da pedra.
► Este Exemplo é o mesmo modelo do pêndulo cônico apresentado em aula.
► Responda a questão Pare E Pense 8.3.
8.4 Órbitas circulares
►O modelo explicativo de órbita ao redor de um planeta é de um corpo em constante queda.
► Neste item deve-se considerar o satélite de massa m numa órbita circular ao redor de um
planeta de massa M:
ˆ
ˆ
m
aF

;m
a
r


F
r
c
g
c
g
G
M
m G
M
m
a
2 
a
2 (
=
g
;
E
q
.
(
8
.
1
3
)
)
c
c
r
r
► Note-se que g não é constante, diminui com a distância r. A medida de r é a partir do centro do
planeta.
►A Eq.(8.14), na sua forma correta, deve ser escrita como
vorb 
GM
r
► Verifica-se a velocidade orbital independe da massa do corpo em órbita.
►Problema: Calcular a velocidade orbital de um satélite a uma distância h =320 km da
superfície da Terra.
►Orbitando a Terra: O astronauta no ônibus espacial flutua em sua cabine durante a órbita
ao redor da Terra. O que está acontecendo?
Tanto astronauta como ônibus espacial estão em movimento circular uniforme e possuem
acelerações dirigidas para o centro do círculo ( centro da Terra). Pela segunda lei de Newton,
forças centrípetas devem ser a causa destas acelerações. Desta vez, as forças centrípetas são as
forças gravitacionais ( a atração sobre o astronauta e sobre o ônibus espacial) exercidas pela
Terra e dirigidas radialmente em direção ao centro da Terra.
Tanto no carro como no ônibus espacial, o passageiro e o astronauta estão em movimento
circular uniforme; apesar de ambos experimentarem sensações diferentes em cada situação. No
carro, o passageiro é comprimido contra a parte lateral, ele sente a pressão lateral. No ônibus
espacial, o astronauta flutuando pela cabine não tem a sensação de qualquer força atuando
sobre ele. Por que esta diferença?
A diferença está na natureza das duas forças centrípetas. No passageiro, a força centrípeta é
a compressão do corpo em contato com a parte lateral do carro. No astronauta, a força
centrípeta é a atração gravitacional da Terra sobre cada átomo do corpo. É uma força sem
contato, não há compressão ou empurrão sobre o corpo do astronauta, isto é, nenhuma sensação
de força (conhecida como ausência de peso). Esta ideia é enganosa, existe a atração exercida
pela Terra sobre o astronauta, só que ela é um pouco menor do que se estivesse na superfície da
Terra, pois a força gravitacional diminui com o quadrado da distância ao centro da Terra.
8.5 Forças fictícias
► As forças reais satisfazem as três leis de Newton, ou seja, medido pelo observador no
referencial inercial. As medidas das forças realizadas pelo observador não inercial são chamadas
forças fictícias.
►Exemplos de forças fictícias:
1. O trem freia bruscamente e o passageiro acelera para frente, e ele pode concluir que uma
força atuou sobre ele e provocou sua aceleração. Explicar que essa força é fictícia.
2. O exemplo anterior é da mudança na sua velocidade. Outro exemplo de uma força fictícia
devido a uma mudança na direção do vetor velocidade pode-se citar um carro fazendo uma
curva. O passageiro é deslocado lateralmente em direção à porta do veículo e ele explica
que este deslocamento é devido a atuação de uma força sobre ele. Explicar que essa força
é fictícia.
3. Uma pequena esfera de massa m pendurada em uma corda do teto de um vagão, que está
acelerando para a direita, fig.(A). Os dois observadores, inercial, (A), e não inercial, (B),
concordam que a corda faz um ângulo  com relação à vertical. O observador não inercial
diz que uma força causa o desvio da corda observado da vertical. (a) Ambos os
observadores veem o vagão acelerando? (b) O modelo utilizado para a esfera pelos
observadores é o mesmo, ou seja, ela está em equilíbrio estático, dinâmico ou somente em
uma direção? (c) Aplicar a segunda lei de Newton na forma de componentes à esfera de
acordo com os observadores inercial e não inercial. (d) Como o módulo da força fictícia
está relacionado com a aceleração do vagão medido pelo observador inercial (A)?
►Força centrífuga? O veículo ao fazer uma curva, ele constitui um referencial inercial ou não
inercial?
► Força centrífuga? Ao resolver problema envolvendo um movimento circular uniforme, é
muito comum incluir uma força extra para fora m v2 /r para manter o corpo no lugar ou para
mantê-lo em equilíbrio; essa força para fora é usualmente chamada de força centrífuga. Resista a
essa tentação, por que esse procedimento é simplesmente errado! Apresentaremos aqui três
motivos para isso. Em primeiro lugar, o corpo não fica no lugar; ele está em movimento
constante descrevendo uma trajetória circular. A direção da velocidade varia constantemente,
portanto ele não está em equilíbrio. Em segundo lugar, caso existisse uma força orientada para
fora (centrífuga) para equilibrar a força orientada para dentro, não existiria nenhuma força
resultante para dentro para causar o movimento circular uniforme, e o corpo deveria mover em
linha reta (primeira lei de Newton). Em terceiro lugar, a quantidade m v2 /r não é uma força.
Ela corresponde ao membro m a de Fres = m a e não deve aparecer em Fres .
É verdade que o passageiro de um carro que se desloca seguindo a trajetória circular de uma
estrada plana tende a deslizar para fora da curva em resposta a uma força centrífuga. Porém
esse passageiro está em um sistema acelerado, um sistema de referência não inercial no qual
não vale nem a primeira nem a segunda lei de Newton. O que realmente ocorre é que o
passageiro tende a manter seu movimento retilíneo, enquanto o lado externo do carro se desloca
para dentro do passageiro à medida que o carro faz a curva. Em um sistema inercial não existe
nenhuma força centrífuga atuando sobre o corpo.
► Obs. No texto, pag. 222, em vez de pássaro, poderia ser um guarda rodoviário parado no
acostamento da pista.
A gravidade em uma Terra que gira.
► Obs. Terra, quando planeta, se escreve com maiúscula.
► Minha correção: O sistema de coordenadas utilizado é fixo no centro do planeta, considerando
somente a sua rotação.
► A figura ao lado apresenta duas posições, uma no
equador e outra na latitude, nas quais são calculadas os
efeitos da rotação da Terra na medida da aceleração da
gravidade, chamada aceleração da gravidade efetiva.
(Texto extraído das minhas notas sobre a gravitação.)
g = g0 – 0,03 = 9,80 m/s2.
8.6 Por que a água fica no balde?
►Qual é a condição para que o vagão de montanha russa não se desprenda dos trilhos no topo do
loop?
► O que acontece com o vagão de montanha russa se a força normal, N, for nula e negativa?
► Qual é a expressão da velocidade mínima com que o vagão pode completar o círculo? Explicar.
►Comente a semelhança desta velocidade com a da Eq, 8.14
►Caso da água no balde. Um fio suficientemente forte deve estar amarrado ao balde tal que a
tensão no fio faz o papel semelhante ao do trilho sobre o vagão. (a) Expressar a tensão no fio, T,
nos casos em que c, c e c , Fig. 8.19.
► Responda a questão Pare E Pense 8.4.
►8.7 Movimento circular não uniforme
► Quais são as acelerações envolvidas no movimento circular não uniforme?
►O vagão de uma montanha russa, ao percorrer um loop, acelera ao descer por uma lado e
desacelera ao subir pelo outro. Represente, na figura
ao lado, os vetores acelerações centrípeta, tangencial
e resultante nos pontos A e B indicados.
► Por causa da definição do sistema de coordenadas
polares apresentada nas aulas, a força radial sempre
está dirigida em direção ao centro do círculo. A
direção da força tangencial é um vetor tangente ao
círculo apontando no sentido anti-horário ou horário.
► Responda a questão Pare E Pense 8.5.
Problemas
Nos problemas abaixo, primeiro construir o diagrama de corpo livre e depois aplicar a segunda lei
de Newton
Respostas: (30.) 5,5 m/s. (31) coeficiente de atrito estático (concreto-borracha) = 1,0;
   tan(150 ) 
v  rg  e
 34m / s
0 
 1  e tan(15 ) 
Resp. Calcular a velocidade angular máxima possível da moeda sob a ação da força de atrito
estático em direção ao centro da plataforma. Esta velocidade calculada é maior do que 60 rpm,
portanto a moeda não escorregará para fora da plataforma.
Resp. Falta o coeficiente de atrito estático, 0,80. Descreverá um círculo horizontal.
Resp. (A) -9,8 m/s2; (B) -12,9 m/s2; (C) -6,7 m/s2.
Resp. Identifique a força de 1000N citado no texto. O coeficiente de atrito estático entre o
concreto e a borracha é 1,0. (a) acelerações tangencial, 0,667m/s2, centrípeta, 1,78 m/s2, e
resultante , 1,90 m/s2, e 21o. (b) t= 24s. Construir o diagrama vetorial da aceleração do item (a).