Resolução dos exercícios de progressão geométrica Cap. 8

Resolução dos exercícios de progressão geométrica
Cap. 8 - Pág. 66
1) Se x é o preço de um produto qualquer e aumenta de 10% de seu valor, então passa a
valer 110% de x
Se após este acréscimo de 10% ele sofre um acréscimo de 20%, pela mesma razão, basta
multiplicar o preço por 1,2 = 120%
O preço inicial sofrerá um aumento de 32%
2) Analogamente à questão anterior, um desconto de 10% sobre um preço x faz com que ele
valha 0,9x = 90% de x.
Para o segundo desconto, devemos multiplicar o preço obtido por 0,8 = 80% (desconto de
20%)
Desconto de 28%
3) Aumento de 10% = 1,1x
Desconto de 20% = 0,8.1,1x = 0,88x = 88% de x
Desconto de 12%
4) Sabemos da física que velocidade é o espaço sobre o tempo, isto é
Aumentando V em 60% ficamos com 160% de V = 1,6V. Então o novo
será
Logo, o novo
será de 0,625. = 62,5% de
Teremos uma redução de 37,5% do tempo
5) Por definição, duas grandezas são inversamente proporcionais quando dado um número
real k temos
P = pressão
V = volume
Redução de 20% de V => 0,8V
Logo, temos um aumento de 0,25.P = 25% de P
6) A = b.h
A1 = 1,1b.0,9h = 0,99.b.h = 0,99.A
Diminui 1%
7) Fazendo
, em quatro anos teremos
Do termo
para o termo devemos “dar 4 passos” e cada “passo” corresponde a
multiplicar uma vez a razão q. Logo
Como 4 e 9 não têm raízes quartas, vamos deixar assim mesmo e depois tentar fazer a conta
de outra maneira.
Depois de 2 anos teremos o termo , que pode ser calculado assim
Repare que
nos dá
, pois podemos multiplicar os expoentes. Logo,
8) Temos uma progressão geométrica de três termos.
A exemplo do que fizemos com as PAs, vamos chamar o termo central de x e, ao avançar
um “passo” vamos multiplicar (não somar!) a razão e ao retroceder um passo vamos dividir
(não subtrair!) pela razão.
Nossa PG ficará assim
Como a PG é crescente, o termo xq é o maior lado do triângulo retângulo (hipotenusa)
T.Pirágoras
xq
X
A equação acima é uma equação biquadrada em q. Para resolvê-la, vamos fazer uma
mudança de varável.
Faça
e temos também y = q².
Substituindo as duas relações na referida equação, temos
y² - y - 1 = 0
Como y = q² temos
Observe que
Portanto,
. Como a progressão é crescente, vamos pegar a raíz positiva.
dará um valor negativo pois
9)
Como a razão
·, o próximo termo será
e não pode estar dentro de um radical.
10) Novamente utilizaremos o truque de representar uma PG de três termos por
Isso nos dá
Como
então 2x + 1 + x = 19 => 3x + 1 =19 => 3x = 18 => x = 6
Então, substituindo x=6 na equação
, temos
Como a PG é crescente, a razão q deve ser maior que 1, logo q = 3/2 e a progressão será
11) Os três primeiros são uma PA de 3 termos e razão 6, e o último é igual ao primeiro,
então temos.
(x-6, x, x+6,x-6)
Como os três últimos termos são uma PG, então
Logo, os quatro números são (-2-6,-2,-2+6,-2-6) = ( -8, -2 ,4 ,-8 )
12) Procedendo da maneira indicada no problema montamos a seguinte progressão
(1 , 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 ,...,
)
Esta progressão, a partir do 2° termo é uma PG de razão q = 2.
A soma 1 + 2 + 4 + 8 +...+
=
Acrescentando o primeiro termo à soma ficamos com
Como cada uma tem 0,1mm de espessura, a pilha formada pelas
folhas de estanho.
folhas terá
folhas de estanho
A espessura será maior 4000000000.0,1 = 400000000mm = 400000m = 400km
400km é maior que a altura de um poste, maior que um prédio de 40 andares, maior que o
comprimento da praia de Copacabana e menor que o Equador terrestre.
Resposta: (d)
13) Para resolver esta questão precisamos atentar para um conceito muito importante, que é
o fato de a nova substância formada ser homogênea, isto é, a concentração de vinho em
qualquer quantidade da substância é proporcionalmente a mesma.
Inicialmente temos
Vinho: p
Água: 0
Em seguida retiramos 1 litro de vinho e acrescentamos 1 litro de água e ficamos com
Vinho: p
Água: 0
p–1
1
Depois que a substância se torna homogênea, retiramos 1 litro dela, o que corresponde a
litros de vinho e litros de água, pois a concentração de vinho na substância é de
(p -1
litros de vinho para p litros no total).
Retirando a quantidade
do que tínhamos de vinho e ignorando a quantidade de água
(pois não nos interessa!), ficaremos com
Vinho: p
p–1
Isto é
Vinho: p
p–1
Repetindo-se o processo mais uma vez para identificarmos o padrão das extrações obtemos
como parte a ser retirada
, que corresponde a
litros de vinho para cada p
litros da substância. Então ficamos com a seguinte seqüência
Vinho: p
p–1
Logo,
Vinho: p
p–1
Na terceira operação, o expoente do numerador é 3 e o do denominador é 2. Seguindo este
padrão, na n-ésima operação, o expoente do numerador será n e do denominador n - 1.
Resposta:
multiplicar por p no numerador e no denominador
Obs: A resposta do livro está errada, pois o expoente é n e não n-1.
14) a)
Observe que a soma acima é a soma de uma PG infinita em que a razão
cuja soma pode ser calculada pela fórmula
, pois -1 < q < 1.
e
,
Observe que poderíamos ter utilizado o método já apresentado no capítulo 3 – Números
Decimais, para descobrir o mesmo resultado.
b)
c)
d)
15) a)
b)
A soma acima não representa a soma dos termos de uma PG, por isso, vamos transformá-la
em duas somas que serão somas dos termos de PGs.
Como
, então
c)
Novamente a soma S não representa a soma dos termos de uma PG. Vamos transformá-la
em somas parciais de outras PGs que somadas dão o resultado desejado.
Um bom truque é perceber que o numerador cresce segundo uma PA de razão R = 2 e
primeiro termo a1 = 1.
O n-ésimo termo desta PA será an = a1 + (n - 1)R (pois é preciso dar n – 1 “passos” para
sair do 1° e ir para o n-ésimo termo).
an = 1 + (n - 1).2 = 1+2n-2 = 2n-1
O denominador cresce de acordo com uma PG de razão q = 2 e b1 = 2.
O n- ésimo termo desta PG será
(pois é preciso dar n-1 passos do 1° pro nésimo termo).
O termo geral
da progressão desejada será a divisão de
por
.
Logo, a soma S pode ser reescrita como
Separando a parte positiva da parte negativa, temos
A segunda soma (
é a soma dos termos de uma PG infinita com a1 = ½ e q = ½.
A primeira parte da soma ainda não pode ser calculada por meio da soma uma PG.
Vamos chamar de a primeira parte da soma S.
É claro que
Observe que
Portanto,
.
d)
Este é o caso típico de uma progressão não muito estudada no Ensino Médio, chamada de
progressão aritmético-geométrica(PAG).
Vamos separá-la em várias somas
S1 = 1 + x + x² + x³+...
S2 =
S3 =
x + x² + x³ + ...
x² + x³ +...
Os resultados são válidos porque q = x e, por hipótese -1 < x < 1.
S = S1 + S2 + S3 +...
e)
Consideremos três somas
Observe que S = A – B – C. Logo,
16) A bola cai 5m e depois sobe
para cima e em seguida cai, novamente, os
até o chão. Depois a bola sobe
e desce
. Isso se repete
indefinidamente...
O problema quer que calculemos a soma dos termos da PG abaixo
17)
C
α
θ
A
C’
C” α
α
θ b
a
θ θc
θ
α
α
B”
B’
Observando o desenho e chamando os
ângulos CAB = θ e ACB = α, notamos que
α + θ = 90°. Assim, deduzimos os outros
ângulos.
B
Os triângulos BCC’ e C’BC” são semelhantes, de onde segue que
que os números (a, b, c) estão em PG de razão
. Daí, concluímos
.
a)
b)
18) obs: 30% = 0,3
a1 = 300
Como 30% dos alunos que entram ficam reprovados, estes ficarão na turma dos 200 que vão
entrar no próximo semestre. Logo,
b1 = 200 + 0,3.300
Destes b1 pessoas, 30% reprovará e entrará no 1° semestre do próximo ano juntamente com
os 300 novos alunos. Logo
a2= 300 + 0,3.(200+0,3.300) = 300 + 0,3.200 + 0,3².300
b2 = 200 + 0,3.a2 = 200 + 0,3(300+0,3.200+0,3².300) = 200+0,3.300+0,3².200+0,3³.300
a3 = 300+0,3b2 = 300+0,3.( 200+0,3.300+0,3².200+0,3³.300) =
300+ 0,3.200+0,3².300+0,3³.200+
300
b3 = 200 + 0,3.a3 = 200 + 0,3(0,3.200+0,3².300+0,3³.200+
200+0,3².200+0,3³.300+
.200+
.300
300) =
Seguindo este padrão, teremos
Colocando 300 e 200 em evidência, temos duas parcelas
são duas PGs
de razão 0,3² e que, quando n é muito grande (tende ao infinito) se transforma numa PG infinita
convergente, pois -1 < 0,3² < 1.
Analogamente,
19) A construção enunciada no texto forma a seguinte figura
Utilizando o teorema de Pitágoras, conseguimos determinar a
Hipotenusa a.
1
b
a
1
A hipotenusa b pode ser calculada da mesma maneira, notando que
Repetindo indefinidamente esta construção, teremos as áreas
Esta progressão das áreas forma uma PG de razão q = 1/2 que converge para o valor
Dizemos que a seqüência Sn tende a 2 quando n tende a infinito, portanto, não é possível
encontrar um valor de n tal que Sn = 2 e nem maior do que 2.
É possível encontrar n tal que Sn > 1,9 e é possível encontrar n tal que Sn = 1,75 (basta
fazer n = 3)
Resposta A e E
20) a)
Observe que
se
. Logo,
Pois a soma
Uma maneira mais esperta para resolver este tipo de questão é a seguinte:
Façamos
, então
A
A² = xA => A²-xA = 0 =>A(A-x) = 0 => A = 0 ou A = x
É claro que A não pode ser igual a zero, pois por definição x>0. Logo, A = x
b)
Portanto,
Exercícios de vestibular
1) Basta observar que todos os triângulos são semelhantes o que nos dá
Se
e
, a seqüência
é uma PG de razão
razão 0 < q < 1 o que torna a progressão acima convergente.
2) a)
Vamos chamar de
2005. Logo
e
. Como c < b então a
o número de amigos que Ana e Bia tinham no dia 1° de Abril de
Como do dia 1° para o dia 2° entraram 20 novos amigos na lista de Bia, ela deveria ter 4
amigos no dia 1° (5 novos amigos para cada amigo).
Portanto
e
b) Como Bia tinha 4 amigos e entraram mais 20, no dia 2° de Abril Bia ficou com 24
amigos. Novamente, no dia 3° de Abril, Bia tinha os mesmo 24 amigos mais 5.24 = 120
amigos. A progressão dos amigos de Bia é a seguinte
(4, 24, 120,...) PG de razão q = 6
Analogamente, Ana tinha 512 amigos no dia 1° de Abril e conseguiu mais 3 para cada um
deles no dia 2°, logo ficou com 512 + 3 . 512 = 512 + 1536 = 2048. No dia 3° de Abril, Ana
terá 2048 + 2048.3 = 8192 amigos. A progressão dos amigos de Ana é a seguinte
(512, 2048, 8192, ...) PG de razão q = 4
Então
Vamos calcular n para que o número de amigos de Ana seja igual ao número de amigos de
Bia, isto é,
Esta equação exponencial só pode ser resolvida por meio de logaritmos.
é dado no problema e
por propriedades de logaritmos. Logo,
Portanto, passarão 13 dias a partir do dia 1° de abril para que o número de amigos de Bia
seja maior que o de Ana.
Resposta: 13 de Abril
3) (1,3,5,7,...) PA de razão R = 2
a10 = a1 + 9R => a10 = 1 + 9.2 = 1 + 18 = 19 terremotos (C)
4)a)
Na 1ª linha ele escreveu 1 número natural.
Na 2ª linha ele escreveu 3 números naturais.
Na 3ª linha ele escreveu 5 números naturais.
Podemos montar a seqüência que expressa a quantidade de números em cada linha
(1, 3, 5, 7, ...) PA de razão R = 2
a50 = 1 + 49.2 = 99 números.
b) A soma da 1ª linha dá 1=1²
A soma da 2ª linha dá 9 = 3²
A soma da 3ª linha dá 25 = 5²
A soma de cada linha é exatamente o número de elementos da linha elevado ao quadrado.
Logo, a soma da linha 50 será 99²
c) Esta é uma demonstração difícil que requer atenção aos padrões e um bom traquejo
algébrico.
Observe primeiramente que há 2n-1 elementos na linha n. Por exemplo, se n=1, há 2.1-1 =
2-1 = 1 elemento na linha 1.
A n-ésima linha terá os seguintes valores
(n, n+1, n+2, n+3,...,n+n+n-2) (verifique!)
(n, n+1, n+2, n+3,...,n+2n-2)
Tudo o que temos que fazer e somar os termos.
PA de razão 1 e 2n-2 termos
S=n + n+1 + n+2 + n+3 +...+ n+2n-2 = n+n+n+...+n + (1+2+3+4+...+2n-2)
2n - 1 vezes (um n para cada termo da seqüência)
Como todo número da forma 2n-1, com n natural, é ímpar, o resultado está demonstrado!
5) De 23h às 4h há 5 horas, portanto, a banda fez 5 rodadas.
Na rodada 1 Júlio dançou 2+1+1 = 4 vezes
Na rodada 2 Júlio dançou 3+2+2 = 7 vezes
Na rodada 3 Júlio dançou 4+3+3 = 10 vezes
A seqüência do número de vezes que ele dançou é (4, 7, 10, ...). PA de razão R = 3
a5 = a1 + 4.R => a5 = 4 + 4.3 = 4 + 12 = 16
O número de vezes que ele dançou será a soma de todos os termos
6) Os anos bissextos acontecem de 4 em 4 anos. Como meu avô tem 77 anos de idade ele
fez exatamente 19 aniversários em anos bissextos, pois 77 dividido por 4 dá 19 e resta1.
7) Por definição AB = 2.
Chame BC = x e CD = y
É claro que se AB = 2 é o raio, então AD = 4 é o diâmetro. Mas AD = AB + BC + CD, logo
2 + x + y = 4 => x + y = 2
Como x é uma medida, então devemos ter
Do enunciado
razão decrescente de razão
implica que a seqüência (AB, BC, CD, ...) é uma PG de
cuja soma dos termos será
Basta racionalizar para encontrar uma das alternativas
Resposta: D
8) Devemos calcular a soma
Vamos separar S em duas somas
9)
(v, E,1) é uma PA o que implica E – v = 1 – E => 2E = 1 + v => v = 2E – 1
m = 1, então
Como v > 0 então
Resposta: B
10) Vamos chamar de a o número de partículas emitidas no primeiro dia para abreviar as
notações, assim
Como no próximo dia a concentração é 16% menor do que anterior, então ela é 84% = 0,84
da anterior. Temos a progressão
(a, 0,84.a, 0,84².a,...)
O número de partículas emitidas será
11)
Basta observar o seguinte padrão:
1ª linha -> soma 1³ = 1
2ª linha -> soma 2³ = 8
3ª linha -> soma 3³ = 27
10ª linha -> soma 10³ = 1000
Resposta: C