O Tangram – História e algumas relações numéricas. Muitas

O Tangram – História e algumas relações numéricas.
Muitas histórias e lendas proliferam sobre o tangran, mas as investigações de Jerry Slocum
(2) parecem apenas confirmar que este puzzle surge na China entre 1796 e 1801, sendo as
publicações mais antigas que o referem de 1813. Por volta de 1815 o puzzle estaria muito
divulgado e em 1817 surgem as primeiras publicações na Europa e na América.
Apesar da longevidade do puzzle o mesmo manteve-se foco da atenção de
matemáticos durante o século XX.
H. Dudeney (1857-1930), matemático inglês, observou que duas combinações de peças
do tangram produzem duas figuras diferentes que podem parecer semelhantes.
Contudo, esta observação subsiste apenas numa primeira observação, de facto, a área
é a mesma em ambos os casos, mas o pé compensa um corpo maior.
Ainda em 1942, Fu Tsiang Wang e Chuan-chih Hsung, matemáticos chineses,
demonstraram que com o tangram chinês apenas se podem construir 13 polígonos convexos.
Ao estudar o puzzle os estudantes devem notar que consta de sete peças: um quadrado,
um paralelogramo, dois triângulos grandes iguais, um triângulo médio e dois triângulos
pequenos iguais. Entre as peças do puzzle existe um grande número de relações geométricas.
Relações entre as áreas: o triângulo grande tem o dobro da área do triângulo médio; O
triângulo médio, o quadrado e o paralelogramo têm a mesma área; e o triângulo médio tem
o dobro da área do triângulo pequeno.
Em relação às medidas dos ângulos dos polígonos que formam o puzzle encontram-se
meios ângulos rectos, ângulos rectos e três meios do ângulo recto, o que só acontece no
paralelogramo. Os estudantes devem ainda observar que os cinco triângulos são isósceles e
rectângulos.
2
Slocum, Jerry, 2003, (and His Team), The Tangram Book, 192pp, hb, New York, NY: Sterling Publishing Co. Inc.
Nas Relações entre os lados é que as coisas se complicam pois surge um número
irracional. Um facto a ser explorado é que qualquer que seja o ponto de partida aparecerá
um número que multiplicado por ele próprio é igual a 2.
1
2 2
2
4
2
2
2
4
2
4
1
2
4
2
4
1
2
2
4
1
2
1
2
2 Å 1,41421
2
Å 0,70711
2
2
Å 0,35355
4
2
4
1
2
1
2
1
(2⋅ 2)⋅(2⋅ 2) = 8,00000
2 2
2 2
⋅ = 0,12500
4 4
2
2 Å 1,41421
2⋅ 2 = 2,00000
2⋅ 2 Å 2,82843
1
1
2
2
2 2
= 0,50000
⋅
2 2
2
4
2
1
1
2
2
2
Ora estes números foram chamados pelos matemáticos gregos de irracional3 pois não
existe um número fraccionário que multiplicado por ele próprio seja igual a dois.
A escrita decimal de um número racional é uma dizima finita ou infinita periódica, por
exemplo:
1
1
= 0.2 e = 0.33333.... = 0.(3)
5
3
Neste momento de aprendizagem é útil a máquina de calcular, o estudante deve ser
incentivado a encontrar um número que multiplicado por ele próprio seja 2. Facilmente o
estudante constata que o número tem de ser superior a 1 e inferior a 2 e investigando com
ajuda da calculadora pode chegar a uma boa aproximação de
2.
Porém antes desta manipulação numérica é essencial que o estudante manipule bem as
peças e se aperceba que:
a) o cateto do triângulo grande tem mesmo comprimento que a hipotenusa do triângulo
médio;
b) o cateto do triângulo médio tem o mesmo comprimento que a hipotenusa do
triângulo pequeno e que a diagonal do quadrado e que um dos lados do paralelogramo;
c) o cateto do triângulo pequeno tem o mesmo comprimento que o lado do quadrado,
e que o outro lado do paralelogramo.
Todas estas propriedades são responsáveis pelo sucesso deste puzzle, que lhe permitem
assumir as mais variadas formas e os encaixes mais diversos. Note-se também o grande valor
instrumental para a didáctica da matemática. As tarefas que se apresentam são exemplo de
algumas entre muitas que se podem organizar com o Tangram. A quinta tarefa só deve ser
trabalhada com alunos que se revelem muito perspicazes, mas pode integrar um momento
formativo interessante do professor.
3
Observe-se que racional, quer dizer, pode ser expresso pela razão de dois comprimentos, de modo equivalente, como
razão entre dois números.