módulo 4

C1_SOROCABA_EXER_MAT_2014_Rose 03/12/13 14:15 Página 1
FRENTE 1 – ÁLGEBRA
MÓDULO 1
EQUAÇÕES DO 1o. GRAU
Nas questões 1 e 2, resolver, em , as equações.
1. 9x – 35 = 4x – 15
RESOLUÇÃO:
9x – 35 = 4x – 15 ⇔ 9x – 4x = – 15 + 35 ⇔ 5 . x = 20 ⇔ x = 4 ⇔ V = {4}
2. 5(x – 3) – 2(x + 2) = 3 – 5x
RESOLUÇÃO:
5(x – 3) – 2(x + 2) = 3 – 5x ⇔ 5x – 15 – 2x – 4 = 3 – 5x ⇔
11
⇔ 5x – 2x + 5x = 3 + 15 + 4 ⇔ 8x = 22 ⇔ x = ––– ⇔ V =
4
–––4 11
4. (FATEC-2012) – Em determinada semana do mês de maio, o
departamento financeiro de uma empresa fez, na ordem apresentada,
as seguintes retiradas:
1
• ––– do saldo disponível para pagar uma fatura a vencer naquela
6
semana;
• 20% do restante para a compra de materiais de escritório e
• o valor de R$ 3 200.00 para pagamento da manutenção de um
equipamento eletrônico.
Sabendo-se que, naquela semana, não ocorreram outras movimentações financeiras e que as retiradas realizadas resultaram em um
saldo positivo de R$ 12 000,00, então o saldo disponível, antes das
retiradas, era
a) R$ 20 500,00.
b) R$ 22 800,00.
c) R$ 28 500,00.
d) R$ 31 600,00.
e) R$ 35 400,00.
RESOLUÇÃO:
Se x, em reais, era o saldo disponível, antes das retiradas, então:
1
5
x – ––– x – 20% . ––– x – 3 200 = 12 000 ⇔
6
6
1
1
2
⇔ x – ––– x – ––– x = 15 200 ⇔ ––– x = 15 200 ⇔ x = 22 800
6
6
3
Resposta: B
x
x–3
2x + 1
3. Resolva, em , a equação ––––––– – –––––– = –– .
2
4
3
RESOLUÇÃO:
2x + 1
x–3
x
4(2x + 1) – 3(x – 3)
6x
–––––– – ––––– = ––– ⇔ –––––––––––––––––– = –––– ⇔
3
4
2
12
12
⇔ 8x + 4 – 3x + 9 = 6x ⇔ 8x – 3x – 6x = – 4 – 9 ⇔
⇔ – x = – 13 ⇔ x = 13 ⇔ V = {13}
Resposta: V = {13}
5. Num determinado instante, o que falta para completar um certo dia
é um oitavo do que já passou desse mesmo dia. Em que momento este
fato aconteceu?
a) 21h
b) 21h 10min
c) 21h 20min
d) 21h 30min
e) 21h 40min
RESOLUÇÃO:
Se já se passaram x horas desse dia, faltam 24 – x horas para completá-lo.
1
Então, de acordo com o enunciado, devemos ter 24 – x = ––– x
8
192
192 – 8x = x ⇒ 9x = 192 ⇒ x = ––––– em horas.
9
192
Portanto, o fato aconteceu às ––––– h = 21h 20 min.
9
Resposta: C
–1
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MÓDULO 2
MÓDULO 3
EQUAÇÕES DO 2o. GRAU
EQUAÇÕES DO 2o. GRAU (PROPRIEDADES)
1. Resolver, em , as equações:
a) 2x2 – 5x – 3 = 0
b) x2 – 10x + 25 = 0
c) 3x2 + 2x + 1 = 0
1. Obter uma equação polinomial do 2.o grau cujas raízes são
1
3
e
.
6
4
RESOLUÇÃO:
RESOLUÇÃO:
a) Δ = b2 – 4ac = (– 5)2 – 4 . 2 (– 3) = 25 + 24 = 49
Calculando a soma S e o produto P das raízes, obtêm-se
Δ
– b ± 5±7
1
1
x = –––––––– = ––––– ⇔ x = 3 ou x = – –– ⇔ V = – –– ; 3
4
2
2
2a
{
}
2+9
3
1
1
1
3
11
S = ––– + ––– = ––––––– = ––– e P = ––– . ––– = –––
12
4
4
8
12
6
6
1
3
Uma equação do 2o. grau de raízes ––– e ––– é:
6
4
b) Δ = (– 10) 2 – 4 . 1 . 25 = 100 – 100 = 0
10 ± 0
x = ––––––– ⇔ x = 5 ⇔ V = {5}
2
11
1
x2 – ––– x + ––– = 0 ⇔
8
12
⇔ 24x2 – 22x + 3 = 0
c) Δ = 22 – 4 . 3 . 1 = 4 – 12 = – 8 ⇔ V = Ø
2. A soma das raízes da equação (x2 – 5x) . (x2 – 16) = 0 é:
a) 0
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
4
4
x–3
2. A solução da equação –––––– – –– = –––––––– é
x(x – 4)
x
x–4
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
RESOLUÇÃO:
⇔ x(x – 5) = 0 ou x2 = 16 ⇔ (x = 0 ou x = 5) ou (x = 4 ou x = – 4) ⇔
RESOLUÇÃO:
4
x–3
4
Para x 0 e x 4, temos: ––––– – –– = ––––––– ⇔ x(x – 3) – 4(x – 4) = 4 ⇔
x
x–4
x(x – 4)
⇔ V = {0; 5; 4; – 4}
⇔ x2 – 3x – 4x + 16 = 4 ⇔ x2 – 7x + 12 = 0 ⇔ x = 3, pois x 4
A soma das raízes é S = 0 + 5 + 4 – 4 = 5
Resposta: D
(x2 – 5x)(x2 – 16) = 0 ⇔ x2 – 5x = 0 ou x2 – 16 = 0 ⇔
Resposta: E
3. Sendo x1 e x2 as raízes da equação 4x2 – 11x – 12 = 0, o valor da
expressão 2(x1 + x2) – x1 x2 é
a) 6,5
b) 7
c) 7,5
d) 8
e) 8,5
Resposta: E
RESOLUÇÃO:
x4 – 5x2 – 14 = 0 ⇔ (x2)2 – 5(x2) – 14 = 0
RESOLUÇÃO:
11
2(x1 + x2) – x1 . x2 = 2 . –– –
4
3. Resolva, em , a equação x4 – 5x2 – 14 = 0
– 12
––––
4
Substituindo x2 por y, resulta a equação
11
11 + 6
17
= –– + 3 = –––––– = –– = 8,5
2
2
2
y2 – 5y – 14 = 0 ⇔ y = 7 ou y = – 2
Para y = 7, resulta x2 = 7 ⇔ x = ± 7
Para y = – 2, resulta x2 = – 2 (x ∉ )
Resposta: V = {– 7; 7}
2–
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4. (PUC-MG) – Os 120 alunos de uma academia militar estão
dispostos de forma retangular, em filas, de tal modo que o número de
alunos em cada fila supera em 7 o número de filas. Com base nessas
informações, pode-se estimar que o número de alunos em cada fila é
igual a:
a) 12
b) 13
c) 14
d) 15
RESOLUÇÃO:
Se cada fila tem x alunos, são x – 7 filas.
Então: x(x – 7) = 120 ⇔ x2 – 7x = 120 ⇔ x2 – 7x – 120 = 0 ⇔
7 ± 23
⇔ x = ––––– ⇔ x = 15 ou x = – 8 (não serve)
2
2. Fabiana ganhou uma caixa de bombons e resolveu dar alguns a
Camila e a Paula. Se Camila der a Paula um de seus bombons, ambas
ficarão com a mesma quantidade. Se, entretanto, Fabiana der mais um
bombom a Camila, esta ficará com o dobro do que tem Paula. Quantos bombons tem Camila e quantos tem Paula?
RESOLUÇÃO:
Camila recebeu x bombons e Paula, y bombons.
Se Camila der a Paula um dos seus, ficará com x – 1 e Paula, com y + 1
bombons. Assim, x – 1 = y + 1.
Se, entretanto, Fabiana der mais um bombom para Camila, esta ficará
com x + 1 e Paula continuará com y.
Então, x + 1 = 2y.
Resolvendo o sistema
Resposta: D
x–1=y+1
x + 1 = 2y
, concluímos que x = 5 e y = 3.
Resposta: Camila tem 5 bombons e Paula, 3.
MÓDULO 4
SISTEMAS DE EQUAÇÕES
1. (UEL) – As variáveis reais x e y verificam as seguintes condições:
(x + y)3 = 64 e (x – y)6 = 64.
Então, esse sistema tem
a) zero solução.
b) uma solução.
c) duas soluções.
d) três soluções.
e) quatro soluções.
RESOLUÇÃO:
(x + y)3 = 64
(x – y)6 = 64 ⇔
x+y=4
x – y = –2 ⇔
x+y=4
ou
x–y=2
x=3
y = 1 ou
3. (UEPB) – Uma bacia cheia de água pesa 4 kg. Se jogarmos um
terço da água fora, seu peso cai para 2 750 g. Assim, o peso da bacia
vazia é igual a:
a) 1 750 g
b) 1 250 g
c) 2 500 g
d) 250 g
e) 3 750 g
RESOLUÇÃO:
Seja b o peso da bacia vazia e a o peso da água contida na bacia.
Então
b + a = 4 000 g
⇔
1
–– a = (4 000 – 2 750)g
3
b + a = 4 000 g
⇔
1
–– a = 1 250g
3
b = 250 g
a = 3 750 g
Resposta: D
x=1
y=3
Resposta: C
–3
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4. (UNIFAP) – Pedro dá a Mateus tantos reais quanto Mateus possui.
Em seguida, Mateus dá a Pedro tantos reais quanto Pedro possui. Por
fim, cada um termina com R$ 12,00. Quantos reais cada um possuía
no início?
a) Mateus possuía 5 e Pedro, 13.
b) Mateus possuía 6 e Pedro, 14.
c) Mateus possuía 7 e Pedro, 18.
d) Mateus possuía 8 e Pedro, 16.
e) Mateus possuía 9 e Pedro, 15.
RESOLUÇÃO:
Se, no início, Mateus possuía x reais e Pedro, y reais, então, após a
1a. operação, Mateus fica com 2x e Pedro, com y – x. Em seguida, após a
2a. operação, Mateus fica com 2x – (y – x) e Pedro, com 2 (y – x).
Portanto, 2x – (y – x) = 12 e 2(y – x) = 12 ⇔
– y = 12
3x
–x+y=6
⇔
xy == 915
2. Considere as soluções inteiras da inequação
2x – 1
5x – 8
–––––– – –––––– ≤ 1. A afirmativa verdadeira é:
4
3
a) A maior delas é 6.
b) A menor delas é – 6.
c) A maior delas é 5.
d) A menor delas é 2.
e) A inequação não admite soluções inteiras.
RESOLUÇÃO:
12
4(2x – 1) – 3(5x – 8)
2x –1
5x – 8
≤ ––––
––––––– – ––––––– ≤ 1 ⇔ ––––––––––––––––––
12 ⇔
12
3
4
⇔ 8x – 4 – 15x + 24 ≤ 12 ⇔ 8x – 15x ≤ 12 + 4 – 24 ⇔
8
⇔ – 7x ≤ – 8 ⇔ x –––
7
As soluções inteiras são 2, 3, 4, …
Resposta: D
Resposta: E
(m – 3)
3. A função, definida em por f(x) = 5 – ––––––– x, é estritamente
2
decrescente se, e somente se:
MÓDULO 5
FUNÇÃO POLINOMIAL DO
1o. GRAU
a) m < 3
b) m > 5
d) m < 5
e) m < 2
1. Sendo x um número real, considere as afirmações:
I. 2x 10 ⇔ x 5
II. – 2x 10 ⇔ x – 5
RESOLUÇÃO:
x
III. –– 10 ⇔ x 20
2
⇔ – (m – 3) < 0 ⇔ m – 3 > 0 ⇔ m > 3
c) m > 3
m–3
f é estritamente decrescente ⇔ – –––––– < 0 ⇔
2
Resposta: C
x
IV. ––– 10 ⇔ x – 20
–2
São verdadeiras:
a) Todas.
d) II e IV, apenas.
b) I e II, apenas.
e) II e III, apenas.
c) I e III, apenas.
RESOLUÇÃO:
2x
10
I. Verdadeira, pois 2x < 10 ⇔ ––– < ––– (2 > 0) ⇔ x < 5.
2
2
4. Sendo m > 2, a solução da inequação m(x – 1) < 2(x – 1), em , é
a) x < 1
b) x > 1
c) x ≠ 1
d) x > 0
e) x > – 1
–2x
10
II. Falsa, pois – 2x < 10 ⇔ ––– > ––– (–2 < 0) ⇔ x > –5.
–2
–2
RESOLUÇÃO:
x
x
III. Verdadeira, pois ––– < 10 ⇔ 2 . ––– < 2 . 10 (2 > 0) ⇔ x < 20.
2
2
⇔ mx – 2x < m – 2 ⇔ (m – 2)x < m – 2
x
x
IV. Falsa, pois ––– < 10 ⇔ –2 . ––– > –2 . 10 (–2 < 0) ⇔ x > –20.
–2
–2
Resposta: C
4–
m(x – 1) < 2(x – 1) ⇔ mx – m < 2x – 2 ⇔
m–2
Para m > 2, resulta x < ––––––– ⇔ x < 1
m–2
Resposta: A
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MÓDULO 6
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2o. GRAU
1. Abaixo é dado o gráfico da função real definida por
y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, sendo a 0.
3.
a)
c)
e)
O conjunto verdade, em , da inequação x2 + x – 12 ≤ 0 é
{x ∈ x ≤ 3}
b) {x ∈ x – 4}
{x ∈ – 4 ≤ x ≤ 3}
d) {x ∈ x ≤ – 4 ou x 3}
{x ∈ x 3}
RESOLUÇÃO:
x2 + x – 12 ≤ 0 ⇔ – 4 ≤ x ≤ 3, pois o gráfico de f(x) = x2 + x – 12 é do tipo
Resposta: C
Para que valores de x ∈ , tem-se:
a) f(x) = 0
b) f(x) > 0
c) f(x) < 0
RESOLUÇÃO:
Do gráfico, tem-se:
a) {– 1; 2; 4}
b) {x ∈ – 1 < x < 2 ou x > 4}
c) {x ∈ x < – 1 ou 2 < x < 4}
2. (FGV) – Uma loja vende semanalmente x relógios quando seu
preço por unidade p, em reais, é expresso por p = 600 – 10x . A receita
semanal de vendas desse produto é R$ 5 000,00 para dois valores de
p. A soma desses valores é:
a) R$ 400,00
b) R$ 450,00
c) R$ 500,00
d) R$ 550,00
e) R$ 600,00
RESOLUÇÃO:
4. (UNESP) – O gráfico de uma função quadrática definida por
y = x2 – mx + (m – 1), onde m , tem um único ponto em comum
com o eixo das abscissas. Então, o valor de y que essa função associa
ax=2é
a) – 2
b) – 1
c) 0
d) 1
e) 2
RESOLUÇÃO:
Se o gráfico da função dada por y = x2 – mx + (m – 1) tem um único ponto
em comum com o eixo das abscissas, então Δ = (– m)2 – 4 . 1 . (m – 1) = 0
⇔ m2 – 4m + 4 = 0 ⇔ m = 2
Assim, y = x2 – 2x + 1 e para x = 2 resulta y = 22 – 2 . 2 + 1 = 1
Resposta: D
Se R(x) for a receita semanal, então:
I)
R(x) = x . (600 – 10x) = – 10x2 + 600x
II) – 10x2 + 600x = 5 000 ⇒ x2 – 60x + 500 = 0 ⇒ x = 10 ou x = 50
III) Se x = 10, então p = 600 – 10 . 10 = 500
IV) Se x = 50, então p = 600 – 10 . 50 = 100
V) Os dois valores de p, para os quais a receita semanal de vendas é
R$ 5000,00, será, em reais, 500 e 100. A soma deles é 600.
Resposta: E
–5
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3. A soma das soluções inteiras do sistema
– x2 – x + 2 < 0
é:
x2 – 9 ⭐ 0
a) – 3
b) – 2
c) 0
d) 1
MÓDULO 7
SISTEMA DE INEQUAÇÕES
1. O produto das soluções inteiras do sistema
x2 – 3x – 4 ⭐ 0
–1<x–2⭐3
a) 6
é:
b) 8
c) 10
d) 12
e) 24
e) 2
RESOLUÇÃO:
I) – x2 – x + 2 < 0 ⇔ x < – 2 ou x > 1,
pois o gráfico de f(x) = – x2 – x + 2
é do tipo:
RESOLUÇÃO:
I) x2 – 3x – 4 ⭓ 0 ⇔ – 1 ⭐ x ⭐ 4,
pois o gráfico de
II) x2 – 9 ⭐ 0 ⇔ –3 ⭐ x ⭐ 3,
f(x) = x2 – 3x – 4 é do tipo:
pois o gráfico de
g(x) = x2 – 9 é do tipo:
II) – 1 < x – 2 ⭐ 3 ⇔ 1 < x ⭐ 5
De (I) e (II), resulta: 1 < x ⭐ 4.
As soluções inteiras são 2, 3 e 4.
O produto das soluções inteiras é 24.
Resposta: E
De I e II, resulta:
2. A solução de
a) x = – 4
d) x ⭐ – 4
3xx –+ 165 ⭓⭐2x0 + 3
2
b) x ⭐ 4
e) – 4 ⭐ x ⭐ – 2
RESOLUÇÃO:
I) 3x + 5 ⭓ 2x + 3 ⇔ x ⭓ – 2
II) x2 – 16 ⭐ 0 ⇔ – 4 ⭐ x ⭐ 4,
pois o gráfico de
f(x) = x2 – 16 é do tipo:
De (I) e (II), resulta: – 2 ⭐ x ⭐ 4.
Resposta: C
6–
é:
As soluções inteiras do sistema são – 3, 2 e 3 e a soma delas é 2.
c) – 2 ⭐ x ⭐ 4
Resposta: E
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MÓDULO 8
INEQUAÇÕES: PRODUTO E QUOCIENTE
1. (FATEC) – A solução real da inequação-produto
(x2 – 4) . (x2 – 4x) ⭓ 0 é:
2. (UFTO) – Resolva a inequação:
(n – 9) (n2 – 4n + 5) (n + 7) < 0 no conjunto dos números reais. A soma
dos números inteiros que satisfazem a inequação acima é:
a) 3
b) 15
c) 12
d) – 4
e) – 9
RESOLUÇÃO:
O gráfico de f(x) = n2 + 4n + 5 é do tipo:
a) S = {x ∈ – 2 ⭐ x ⭐ 0 ou 2 ⭐ x ⭐ 4}
b) S = {x ∈ 0 ⭐ x ⭐ 4}
c) S = {x ∈ x ⭐ – 2 ou x ⭓ 4}
d) S = {x ∈ x ⭐ – 2 ou 0 ⭐ x ⭐ 2 ou x ⭓ 4}
e) S = Ø
RESOLUÇÃO:
1) Os gráficos de f(x) = x2 – 4 e g(x) = x2 – 4x são dos tipos:
Então, n2 + 4n + 5 > 0 ∀n ∈ .
Logo, (n – 9) (n2 + 4n + 5) (n + 7) < 0 ⇔ (n – 9) (n + 7) < 0 ⇔ –7 < n < 9,
pois o gráfico de g(n) = (n – 9) (n + 7) é do tipo:
2) O “quadro” de sinais é:
A soma dos números inteiros entre –7 e 9 é igual a 7 + 8 = 15.
Resposta: B
Assim, a solução S = {x ∈ x ⭐ – 2 ou 0 ⭐ x ⭐ 2 ou x ⭓ 4}.
Resposta: D
–7
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3. (UFJF) – Os valores de x que satisfazem a inequação
x2 – 2x – 3
––––––––––– ⭓ 0 pertencem a:
x–2
a) [– 1; 2) [3; ∞)
c) [1; 3]
e) [– 3; – 2] (2; ∞)
b) (– 1; 2] (3; ∞)
d) [– 3; 2)
RESOLUÇÃO:
I) O gráfico de f(x) = x2 – 2x – 3 é do tipo:
2x
4. (ESPM) – O conjunto verdade da inequação –––––– ⭐ 1 é:
x– 1
a) {x ∈ x < 1}
c) {x ∈ – 1 ⭐ x < 2}
e) {x ∈ – 2 ⭐ x < 1}
b) {x ∈ x > – 1}
d) {x ∈ – 1 ⭐ x < 1}
RESOLUÇÃO:
2x
2x
2x – x + 1
–––––– ⭐ 1 ⇔ –––––– – 1 ⭐ 0 ⇔ –––––––––– ⭐ 0 ⇔
x– 1
x– 1
x– 1
x+1
⇔ –––––– ⭐ 0 ⇔ (x + 1)(x – 1) ⭐ 0 e x ≠ 1 ⇔ – 1 ⭐ x < 1, pois
x– 1
o gráfico de f(x) = (x + 1)(x – 1) é do tipo:
II)
O gráfico de g(x) = x – 2 é do tipo:
Resposta: D
III)
O correspondente “quadro” de sinais é:
O conjunto-solução da inequação é [– 1; 2) [3; + ∞).
Resposta: A
MÓDULO 9
VÉRTICE DA PARÁBOLA
1. (UNESP) – Seja a função: y = x2 – 2x – 3. O vértice V e o
conjunto-imagem da função são dados, respectivamente, por:
a) V = (1; 4), Im = {y ∈ y ⭓ 4}
b) V = (1; – 4), Im = {y ∈ y ⭓ – 4}
c) V = (1; 4), Im = {y ∈ y ⭐ 4}
d) V = (1; – 4), Im = {y ∈ y ⭐ – 4}
e) V = (1; 1), Im = {y ∈ y ⭓ 1}
RESOLUÇÃO:
Se V(xv ; yv ) for o vértice da parábola definida por y = x 2 – 2x – 3, então:
1)
8–
–2
xv = – –––– = 1
2
yv = 12 – 2 . 1 – 3 = – 4
⇒ V(1; – 4)
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2) O conjunto imagem da função é Im(f) = {y ∈ y ⭓ – 4},
pois o gráfico de y = x2 – 2x – 3 é:
Resposta: B
2. (ACAFE) – Após o lançamento de um projétil, sua altura h, em
metros, t segundos após o seu lançamento, é dada por h(t) = –t2 + 20t.
Em relação a este lançamento, analise as afirmações a seguir.
I. A altura máxima atingida pelo projétil foi de 10m.
II. O projétil atingiu a altura máxima quando t = 10s.
III.A altura do projétil é representada por uma função polinomial
quadrática cujo domínio é [0; 20].
IV. Quando t = 11, o projétil ainda não atingiu sua altura máxima.
Todas as afirmações corretas estão em:
a) I e II.
b) I, II e IV.
c) II e III.
3. (FGV) – O preço do ingresso numa peça de teatro (p) relaciona-se
com a quantidade de frequentadores (x) por sessão através da relação
p = – 0,2x + 100.
a) Qual a receita arrecadada por sessão, se o preço do ingresso for
R$ 60,00?
b) Qual o preço que deve ser cobrado para dar a máxima receita por
sessão?
Observação: receita = (Preço) . (quantidade)
RESOLUÇÃO:
a)
p = 60
p = – 0,2x + 100
⇒ 60 = – 0,2x + 100 ⇒ 0,2x = 40 ⇒ x = 200
A receita, nessas condições, será igual a 60 . 200 reais = 12000 reais.
b) A receita é dada por R(x) = p . x = (– 0,2x + 100) . x = – 0,2x2 + 100x.
d) III e IV.
RESOLUÇÃO:
Sendo t ≥ 0 e h(t) ≥ 0, o gráfico de h(t) = –t2 + 20t é do tipo
– 100
Essa receita será máxima para x = –––––– = 250.
– 0,4
Assim, o preço a ser cobrado por sessão deve ser:
p = – 0,2 . 250 + 100 = – 50 + 100 = 50 em reais
Respostas: a) R$ 12000,00
b) R$ 50,00
–20
Observe que a abscissa do vértice da parábola é tv = –––– = 10 e a or–2
denada é yv = h (10) = –102 + 20 . 10 = 100, t em segundos e h em
metros.
II e III são verdadeiras.
I e IV são falsas.
Resposta: C
–9
C1_SOROCABA_EXER_MAT_2014_Rose 03/12/13 14:15 Página 10
3. Os valores do número real x que satisfazem a inequação
MÓDULO 10
x
2
––
5
FUNÇÃO EXPONENCIAL
1. (MACKENZIE) – O gráfico mostra, em função do tempo, a evolução do número de bactérias em certa cultura. Entre as alternativas
abaixo, decorridos 30 minutos do início das observações, o valor mais
próximo desse número é:
a) 18.000
b) 20.000
c) 32.000
d) 14.000
e) 40.000
1
⭓ ––––– são dados por:
0,16
a) x ⭓ – 2
1
d) x < –––
2
b) x ⭐ 2
c) x ⭐ – 2
e) x ⭓ 2
RESOLUÇÃO:
2
–––
5
x
1
⭓ ––––– ⇔ (0,4)x ⭓ (0,4) – 2 ⇔ x ⭐ – 2
0,16
Resposta: C
RESOLUÇÃO:
1) A função f : + → , definida por f(t) = a . bt, contém os pontos (0; 104)
e (3; 8 .
2)
104).
f(3) = a . b = 8 . 10 ⇒ a . b = 8 . 10 ⇒ b = 2
f(0) = a . b0 = 104
3
a = 104
4
1
3) Para t = ––– , temos: f
2
a = 104
3
4
1
––
2
––2 = 10 . 2
1
4
⇒ f(t) = 104 . 2t
= 104 . 2 14000.
Resposta: D
4. (UEPB)
– Seja V o conjunto de todas as soluções reais de
5
––––––––––– 15. Então:
2
32 + 2x – x
a) V = {x ∈ tal que x ⭓ – 1}
b) V = {x ∈ tal que x ⭐ – 1 ou x 3}
c) V = {x ∈ tal que x ⭐ 3}
d) V = {x ∈ tal que – 1 ⭐ x ⭐ 3}
e) V = {x ∈ tal que x ⭓ 0}
RESOLUÇÃO:
5
–––––––––––– ⭐ 15 ⇔ 5 15 . (32 + 2x – x2 ) ⇔
2
+
3 2x – x2
2. A soma das soluções da equação 32x – 12 . 3x + 27 = 0 é:
a) 2
b) 3
c) 6
d) 12
e) 15
RESOLUÇÃO:
32x – 12 . 3x + 27 = 0
Fazendo-se 3x = y, tem-se: y2 – 12y + 27 = 0 ⇔
⇔ y = 3 ou y = 9 ⇔ 3x = 3 ou 3x = 9 ⇔ x = 1 ou x = 2.
A soma das soluções é 1 + 2 = 3.
Resposta: B
⇔ 3– x
2 + 2x + 2
⇔ – x2 + 2x + 2 – 1 ⇔ – x2 + 2x + 3 0 ⇔
⇔ – 1 x 3, pois o gráfico de f(x) = – x2 + 2x + 3 é do tipo:
Resposta: D
10 –
1
2
––– ⇔ 3 – x + 2x + 2 3 – 1 ⇔
3
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FRENTE 2 – ÁLGEBRA
4. Dados os conjuntos A = {2; 3; 4}, B = {3; 4; 5; 6} e
S = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}, determine:
MÓDULO 1
a) A B
CONJUNTOS
1. Seja A = {2; 5; {3; 4}; 6}. Complete as frases com os símbolos ∈,
∉, ou e assinale a alternativa que contêm esses símbolos em uma
correspondência na correta e respectiva ordem:
I) 2 ........ A
II) {2} ........ A
III) {3; 4} ......... A
IV) Ø ........ A
V) 4 ........... A
VI) {5; 6} ......... A
b) A B
c) A – B
d) B – A
e) ⲩSA
f) o Diagrama de Venn-Euler representando a situação destes conjuntos.
RESOLUÇÃO:
a) A B = {2; 3; 4; 5; 6}
b) A B = {3; 4}
c) A – B = {2}
d) B – A = {5; 6}
a) ∉, , ∉, , ∉ e b) , , ∈, , ∈ e e)
c) ∈, , ∈, , ∉ e d) ∈, , , , ∉ e f)
ⲩSA = S – A = {1; 5; 6; 7}
e) ∈, , ∈, , ∈ e RESOLUÇÃO:
Completadas de forma correta, as frases ficam:
I) 2 ∈ A
II) {2} A
III) {3; 4} ∈ A
IV)Ø A
V) 4 ∉ A
VI) {5; 6} A
Na ordem, usamos os símbolos ∈, , ∈, , ∉ e Resposta: C
MÓDULO 2
2. Considere o conjunto A = {3; 5; {3; 7}, 8, Ø} e assinale a
alternativa falsa.
a) 3 ∈ A
b) 7 ∉ A e {3; 7} ∈ A
c) {3; 5; 7} A
d) {8; Ø} A
e) Ø ∈ A e Ø A
RESOLUÇÃO:
Observe que 7 ∉ A e, portanto, {3; 5; 7} A.
Observe também que 8 ∈ A, Ø ∈ A, Ø A e, portanto, {8; Ø} A.
Resposta: C
CONJUNTOS
1. (UFRN) – Num grupo de amigos quatorze pessoas estudam
Espanhol e oito estudam Inglês, sendo que três dessas pessoas estudam ambas as línguas.
Sabendo que todos do grupo estudam pelo menos uma dessas línguas,
o total de pessoas do grupo é
a) 17.
b) 19.
c) 22.
d) 25.
RESOLUÇÃO:
Sendo E o conjunto dos alunos que estudam Espanhol e I o conjunto dos
que estudam Inglês, temos o seguinte diagrama:
3. Sabe-se que {a; b; c; d} X, {c; d; e; f} X e que o conjunto X
possui 64 subconjuntos. O número de subconjuntos de X que não
possuem os elementos c e d é:
a) 4
b) 8
c) 16
d) 20
e) 32
RESOLUÇÃO:
Se X possui 64 = 26 subconjuntos, então n(X) = 6. Como {a; b; c; d} X
e {c; d; e; f} X, temos que X = {a; b; c; d; e; f}. Os subconjuntos de X
que não possuem os elementos c e d são os subconjuntos de {a; b; e; f},
num total de 24 = 16 subconjuntos.
Resposta: C
O total de pessoas do grupo é 19, podendo ser obtido da seguinte forma:
n(E I) = n(E) + n(I) – n(E I) = 14 + 8 – 3 = 19.
Resposta: B
– 11
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2. (UDESC) – O que os brasileiros andam lendo?
II) Verdadeira, conforme diagrama.
III) Falsa, leem revistas ou livros um total de
100 + 40 + 40 + 10 + 20 + 300 = 510
Respostas: D
3. (GAVE) – Uma escola secundária tem alunos de ambos os sexos
em todos os anos de escolaridade.
Escolhe-se, ao acaso, um aluno dessa escola.
Sejam A e B os acontecimentos:
A: «O aluno é do sexo feminino»
B: «O aluno está no 12.º ano»
Qual das expressões seguintes designa o acontecimento «o aluno é do
sexo masculino e não está no 12.º ano»?
O brasileiro lê, em média, 4,7 livros por ano. Este é um dos principais
resultados da pesquisa Retratos da Leitura no Brasil, encomendada
pelo Instituto Pró-Livro ao Ibope Inteligência, que também pesquisou
o comportamento do leitor brasileiro, as preferências e as motivações
dos leitores, bem como os canais e a forma de acesso aos livros.
a) A B
b) A B
c) A B
d) A B
RESOLUÇÃO:
Observe os seguintes diagramas
(Fonte: Associação Brasileira de Encadernação e Restaure, adapt.)
Supõe-se que em uma pesquisa envolvendo 660 pessoas, cujo
objetivo era verificar o que elas estão lendo, obtiveram-se os
seguintes resultados: 100 pessoas leem somente revistas, 300 pessoas
leem somente livros e 150 pessoas leem somente jornais.
Supõe-se ainda que, dessas 660 pessoas, 80 leem livros e revistas, 50
leem jornais e revistas, 60 leem livros e jornais e 40 leem revistas,
jornais e livros.
Em relação ao resultado dessa pesquisa, são feitas as seguintes
afirmações:
I. Apenas 40 pessoas leem pelo menos um dos três meios de
comunicação citados.
II. Quarenta pessoas leem somente revistas e livros, e não leem
jornais.
III.Apenas 440 pessoas leem revistas ou livros.
Assinale a alternativa correta.
a) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas I, II e III são verdadeiras.
d) Somente a afirmativa II é verdadeira.
e) Somente a afirmativa I é verdadeira.
RESOLUÇÃO:
Com os dados do enunciado, é possível montar o seguinte Diagrama de
Venn:
A união dos dois conjuntos (A B) inclui todos os alunos que são do sexo
feminino ou estão no 12°. ano.
Os alunos do complementar da união (A B) inclui os alunos que não são
do sexo feminino (portanto são do sexo masculino) e não estudam no 12°.
ano.
Professor, mostre para o aluno que a resposta também poderia ser
—
—
A B.
Resposta: D
4. Dos 91 alunos da escola “Grandes torcidas”, 51 são corintianos e,
destes, 20 são meninas. A escola tem 32 alunos palmeirenses e, destes,
19 são meninos. Três meninos não são corintianos nem palmeirenses.
Quantas meninas odeiam o Corinthians?
a) 10
b) 13
c) 18
d) 20
e) 25
RESOLUÇÃO:
O enunciado sugere a tabela:
Corinthians
Palmeiras
Outros
Total
Meninos
31
19
3
53
Meninas
20
13
5
38
Total
51
32
8
91
Odeiam o Corinthians: 13 + 5 = 18 meninas.
Resposta: C
I) Falsa, pois todos leem pelo menos um dos três meios de comunicação.
12 –
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3. (UFG) – Considere dois conjuntos não vazios A e B. Com base no
conceito de função, tem-se que a seguinte correspondência não é uma
função:
MÓDULO 3
PRODUTO CARTESIANO,
RELAÇÕES BINÁRIAS E FUNÇÕES
1. Os pares ordenados (2a; b + 3) e (b + 5; a + 2) são iguais. O valor
de ab é:
a) 8
b) 16
c) 32
d) 64
e) 128
RESOLUÇÃO:
(2a; b + 3) = (b + 5; a + 2) ⇔
⇔a=4 e b=3
Assim, ab = 43 = 64
Resposta: D
=b+5
2a
b+3=a+2
⇔
–b=5
2a
a–b=1
⇔
RESOLUÇÃO:
Não é função aquela em que o elemento do primeiro conjunto está
associado mais do que uma vez.
Resposta: A
2. Dados os conjuntos A = {1; 2; 3} e B = {3; 5; 7; 9}, determine
A×B. Represente-os por um diagrama de flechas e um gráfico cartesiano. Estabeleça uma função de A em B, escreva seu domínio, contradomínio e imagem.
4. Para cada caso a seguir responda se o gráfico representa ou não
uma função de [2; 5] em e, em caso afirmativo, escreva o conjunto
imagem.
RESOLUÇÃO:
A x B = {(1; 3), (1; 5), (1; 7), (1; 9), (2; 3), (2; 5), (2; 7), (2; 9), (3; 3), (3; 5),
(3; 7), (3; 9)}
Uma função possível é: f = {(1; 3), (2; 5), (3; 7)}
D(f) = A = {1; 2; 3}
CD(f) = B = {3; 5; 7; 9}
Im(f) = {3; 5; 7}
RESOLUÇÃO:
O gráfico da figura (I) não representa função de [2; 5] em , pois entre
2 e 3 não há pontos correspondentes do gráfico
– 13
C1_SOROCABA_EXER_MAT_2014_Rose 03/12/13 14:15 Página 14
O gráfico da figura (II) não representa uma função pois no intervalo
[2; 5] existem pontos que se associam mais do que uma vez.
a) f(2) = 2, f(– 2) = – 1 e f(6) = 3; portanto,
f(2) + f(– 2) + f(6) = 2 + (– 1) + 3 = 4.
b) f(x) = – 1 se, e somente se, x = – 4, x = – 2 ou x = 0.
c) Im(f) = [– 2; 3] obtido no eixo y.
d) f(x) 2 ⇔ 2 x 6, como destacado no gráfico.
O gráfico da figura (III) representa uma função e nesta função o conjunto
imagem é o intervalo [3; 5]
2. (CEFET-MG-Adaptada) – Considerando-se f a função real definida por
f(x) =
(
2 – x)(
2 + x), se x 1
2 – x,
se 1 x 3
3,
se x 3
é:
1
7
3
f – –– – f –– . f ––
2
2
2
o valor de A =
Respostas: I) não representa função
II) não representa função
III) representa função de imagem [3; 5]
MÓDULO 4
DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM
1. (GAVE-Adaptada) – No gráfico a seguir, está representada, em
referencial xOy, uma função f de domínio [– 5, 6].
1
a) ––
2
1
b) ––
3
1
c) ––
4
RESOLUÇÃO:
1
1
Como – –– 1, temos f – –– = 2–
2
2
1
= 2 + ––
2
1
2 – ––2 = (2 )
2
1
d) ––
5
1
e) ––
6
1
1
– ––2 2 + – ––2 =
2
2
1
1
7
– –– + –– – –– = 2 – –– = –– .
2
2
4
4
4
7
7
Sendo –– 3, temos f –– = 3 e,
2
2
3
3
3
1
sendo 1 –– 3, temos f –– = 2 – –– = –– .
2
2
2
2
Assim:
A=
1
7
3
f – –– – f –– . f –– =
2
2
2
7
1
–– – 3 . –– =
4
2
Resposta: A
a) Calcule f(2) + f(– 2) + f(6).
b) Indique todos os números reais cujas imagens, por meio de f, são
iguais a – 1.
c) Qual é o conjunto imagem de f?
d) Resolva a inequação f(x) 2.
3. Sejam A e B, subconjunto dos números reais, e os respectivos
RESOLUÇÃO:
domínios das funções definidas por f(x) = 2x – 10
e
17 – 2x . A soma dos números inteiros pertencentes ao
g(x) = conjunto A B é:
a) 13
b) 18
c) 20
RESOLUÇÃO:
2x – 10 0 ⇔ 2x 10 ⇔ x 5
17
17 – 2x 0 ⇔ – 2x – 17 ⇔ x –––
2
Desta forma,
A = D(f) = {x ∈ x 5}
14 –
d) 26
e) 30
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B = D(g) =
x ∈ x –––2 17
x ∈ 5 x –––
2
AB=
RESOLUÇÃO:
17
f(0) = a . 0 + b = 30
f(20) = a . 20 + b = 34
São inteiros pertencentes ao conjunto A B os números 5, 6, 7 e 8, cuja
soma é 26.
Resposta: D
⇒ b = 30
a = 0,2
Assim, f(x) = 0,2x + 30 e f(120) = 0,2 . 120 + 30 = 54
Resposta: A
MÓDULO 5
CARACTERÍSTICAS E PROPRIEDADES DA FUNÇÃO
4. O conjunto imagem da função f:[0; 6] → – x + 4, se 0 x 3
f(x) =
é:
2x – 5, se 3 x 6
definida por
a) [4; 7]
d) [–5; –2]
b) [1; 7]
e) [1; + ∞[
c) [0; 6]
RESOLUÇÃO:
O gráfico de f é:
1. Considere as funções
f: {1; 2; 3} → {4; 5; 6; 7} f(x) = x + 3
g: {– 1; 0; 1} → {0; 1} g(x) = x2
h: {1; 2; 3} → {5; 6; 7} h(x) = x + 4
i: {0; 1; 2} → {0; 2; 4} i(x) = x2 – x
Classifique-as em sobrejetora, injetora ou bijetora.
RESOLUÇÃO:
f é injetora, mas não é sobrejetora
g é sobrejetora, mas não é injetora
h é injetora e sobrejetora,
portanto, bijetora
i não é injetora, nem sobrejetora
O conjunto imagem é Im(f) = [1; 7], conforme assinalado no gráfico.
Resposta: B
5. (UFSC) – O gráfico mostra os valores, em reais, a serem pagos
numa conta de telefone em função do número de minutos utilizados.
2. Considere a função f: [0;5] → , definida pelo gráfico:
Apresente dois motivos para f não ser bijetora.
Sabendo-se que esse gráfico é uma função do tipo f(x) = ax + b, então,
se forem utilizados 120 minutos, o valor a ser pago será de
a) R$ 54,00.
b) R$ 50,00.
c) R$ 47,00.
d) R$ 43,00.
e) R$ 38,00.
RESOLUÇÃO:
Do gráfico, conclui-se que
f(0) = f(2) = f(4) = 2, portanto f não é injetora.
Im(f) = [1;5] = CD(f), portanto f não é sobrejetora.
– 15
C1_SOROCABA_EXER_MAT_2014_Rose 03/12/13 14:15 Página 16
3. (GAVE) – Relativamente a duas funções f e g, sabe-se que:
• têm domínio [2; 3]
• são funções contínuas
• f(2) – g(2) > 0 e f(3) – g(3) < 0
Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira?
a) Os gráficos de f e g interceptam-se em pelo menos um ponto.
b) A função f – g é crescente.
c) Os gráficos de f e g não se intersectam.
e) A função f – g é decrescente.
RESOLUÇÃO:
Sr. Professor, utilize esta questão para mostrar ao aluno a importância em
saber trabalhar com gráficos.
Considere, como exemplo, as funções f e g do gráfico abaixo:
RESOLUÇÃO:
Se f é estritamente decrescente, então:
> f ––3 > f ––2 ⇔
5
4
3
5
–– < –– < –– ⇔ f ––
4
3
2
4
5
⇔ 1 + ––
4
⇔
9
––
4
1
– ––
4
5
1 – ––
4
4
4
> 1 + ––
3
7
> ––
3
1
– ––
3
5
> ––
2
⇔
3
4
–– >
9
3
–– >
7
2
––
5
⇔
3
2
–– <
5
4
3
–– <
7
4
––
9
4
4
1 – ––
3
3
3
> 1 + ––
2
1
– ––
2
3
1 – ––
2
⇔
⇔
⇔
Resposta: C
5. O gráfico a seguir mostra a variação da pressão arterial alta de um
indivíduo, em função do tempo, em um determinado dia em que
esteve sob observação.
f(2) – g(2) > 0 ⇔ f(2) > g(2)
f(3) – g(3) < 0 ⇔ f(3) < g(3)
Observe que para estas funções a diferença f – g aumenta e diminui. A
única certeza que se tem é que os dois gráficos se interceptam entre 2 e 3.
Resposta: A
4. (IBEMEC) – Dizer que uma função f(x) é estritamente
decrescente é equivalente a dizer que, quaisquer que sejam a e b
elementos do domínio da função, tem-se
a < b ⇔ f(a) > f(b).
Sabendo que a função f(x) = (1 + x)1 – x é estritamente decrescente no
domínio dos reais maiores do que 1, segue das desigualdades.
3
4
5
–– < –– < –– que
2
3
4
3
a)
3
–– <
7
3
c)
2
–– <
5
4
–– <
9
3
4
e)
16 –
2
–– <
5
4
3
–– <
7
4
3
–– <
7
4
––
9
4
––
9
2
––
5
b)
3
d)
2
–– <
5
4
4
–– <
9
3
–– <
7
4
4
–– <
9
3
3
––
7
2
––
5
Após notar que a pressão permanecia alta por 20 minutos, o médico
aplicou um medicamento que fez baixar a pressão durante um
intervalo de tempo pequeno. Pode-se afirmar:
a) A pressão foi estritamente crescente durante todo o tempo observado.
b) O medicamento foi aplicado tardiamente.
c) Não há um intervalo de tempo em que a pressão arterial foi decrescente.
d) A pressão arterial alta nunca ficou abaixo da ideal.
e) Podemos considerar que a medicação aplicada não foi totalmente
eficaz.
RESOLUÇÃO:
a) A pressão foi estritamente crescente somente durante os 20 min iniciais da observação.
b) Não se pode garantir que o medicamento foi aplicado tardiamente,
pois não se conhece o padrão de espera em pressão alta e tampouco se
ela foi extremamente elevada.
c) A pressão foi decrescente no intervalo entre 20 min e aproximadamente 50 min da observação.
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d) A pressão arterial alta esteve abaixo da ideal em um instante entre
40 min e 60 min.
e) Considerando que a pressão arterial voltou a subir e ultrapassou a
ideal, podemos considerar que a medicação aplicada não foi totalmente eficaz.
Resposta: E
RESOLUÇÃO:
MÓDULO 6
FUNÇÃO COMPOSTA
1. Sejam f e g funções de em definidas por f(x) = x2 + 2x e
3
x + 3. O valor numérico de gof(4) + fog(5) é um número
g(x) a) par
b) quadrado perfeito
c) primo
d) múltiplo de 3
e) cubo perfeito
3. (UFCE) – O coeficiente b da função quadrática
f: → R, f(x) = x2 + bx + 1, que satisfaz a condição f(f(–1)) = 3, é
igual a:
a) –3.
b) –1.
c) 0.
d) 1.
e) 3.
RESOLUÇÃO:
f(4) = 42 + 2 . 4 = 16 + 8 = 24
3
3
gof(4) = g[f(4)] = g(24) = 24 + 3 = 27 = 3
3
No intervalo [– 4; 5] existem um único valor de k tal que f(k) = 2. Este
valor é zero.
Desta forma, fof(x) = 2 ⇔ f[f(x)] = 2 ⇔ f(x) = 0 ⇔ x = a, x = b ou x = c
Resposta: D
3
g(5) = 5 + 3 = 8=2
fog(5) = f[g(5)] = f[2] = 22 + 2 . 2 = 8
RESOLUÇÃO:
gof(4) + fog(5) = 3 + 8 = 11
Resposta: C
f(–1) = (–1)2 + b . (–1) + 1 = 2 – b e
Sendo f(x) = x2 + bx + 1 temos:
f(f(–1)) = f [2 – b] = (2 – b)2 + b (2 –b) + 1 = –2b + 5 = 3 (dado) ⇔ b = 1
Resposta: D
2. A figura abaixo representa o gráfico da função f de [– 4; 5] em .
O número de soluções da equação fof(x) = 2 é
4. (FUVEST) – Sejam f(x) = 2x – 9 e g(x) = x2 + 5x + 3. A soma
dos valores absolutos das raízes da equação f(g(x)) = g(x) é igual a:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
RESOLUÇÃO:
Sendo f(x) = 2x – 9 e g(x) = x2 + 5x + 3, temos:
f[g(x)] = f[x2 + 5x + 3] = 2(x2 + 5x + 3) – 9 = 2x2 + 10x – 3
Como f[g(x)] = g(x) ⇔ 2x2 + 10x – 3 = x2 + 5x + 3 ⇔
⇔ x2 + 5x – 6 = 0 ⇔ x = – 6 ou x = 1
As raízes de f[g(x)] = g(x) são – 6 e 1 e a soma dos valores absolutos dessas
raízes é – 6 + 1 = 7.
Resposta: D
a) zero
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
– 17
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MÓDULO 7
FUNÇÃO INVERSA
1. A função inversa de f pode ser entendida como aquela que executa
as operações inversas de f. Assim, se a função f soma, a inversa subtrai; se a função f multiplica, a inversa divide; se a função f associa os
elementos do conjunto A com os elementos do conjunto B a inversa
associa os elementos de B com os elementos de A.
Dada a função f: → tal que f(x) = 3x + 2, sua função inversa é:
x–2
a) f–1(x) = –––––
3
x
b) f–1(x) = –– – 2
3
x
d) f–1(x) = 2 – ––
3
x–3
e) f–1(x) = –––––
2
2
c) f–1(x) = x – ––
3
RESOLUÇÃO:
Sr. Professor utilize esta questão para mostrar o que é a função inversa e
como obtê-la.
x–2
y–2
f(x) = 3x + 2 = y ⇔ 3x = y – 2 ⇔ x = ––––– ⇔ f –1(x) = –––––
3
3
3. (UESC) – Uma mensagem pode ser codificada de inúmeras
maneiras. Se, por exemplo, a cada letra do alfabeto for associado um
número inteiro positivo n, considerando-se uma função f(n), de
conhecimento apenas do remetente e do destinatário da mensagem, é
possível estabelecer uma forma de codificação. Nesse caso, a função
f é usada para codificar e sua inversa f – 1, para decodificar a mensagem. Considerando A = 1, B = 2, ..., W = 23, X = 24, Y = 25,
Z = 26 e f(n) = n + 3 para codificar a letra U, ao invés de transmitir o
número associado a ela, que é 21, transmite-se a letra associada a
f(21) = 24, que é X. Para decodificar a letra X recebida, observa-se
que ela corresponde a 24. Logo, f –1(24) = 21, que é U.
Admitindo-se, hipoteticamente, que a função f(x) = log2(2x + 1),
x 0 possa ser considerada função-chave para codificação de certo
padrão de mensagens, a expressão de sua inversa a ser utilizada na
decodificação dessas mensagens é
1
1
a) 2(x – 1) – ––
b) 2(x + 1) – ––
2
2
c) 2 – 2(2x + 1)
d) log 1 (2x – 1)
––
2
2
e) –––––––––––
log(2x + 1)
Resposta: A
RESOLUÇÃO:
Chamando de y a função f(x) dada temos:
f(x) = log2(2x + 1) = y ⇔ 2x + 1 = 2y ⇔
2y – 1
1
⇔ 2x = 2y – 1 ⇔ x = –––––– ⇔ x = 2y – 1 – ––
2
2
2. Obtenha as sentenças que definem as funções inversas de:
a) f: [– 3; 5] → [1; 17] tal que f(x) = 2x + 7
b) g: [2; 5] → [0; 9] tal que g(x) = x2 – 4x + 4
1
e, portanto, f–1(x) = 2x – 1 – ––
2
Observe que x 0 ⇔ 2x + 1 1 ⇔ log2(2x + 1) log21 = 0 ⇔ y 0.
Desta forma, na função inversa x 0.
Resposta: A
RESOLUÇÃO:
y–7
a) f(x) = 2x + 7 = y ⇔ x = ––––––
2
x–7
f –1: [1; 17] → [– 3; 5] tal que f –1(x) = ––––––
2
y ⇔
b) g(x) = x2 – 4x + 4 ⇔ (x – 2)2 = y ⇔ x – 2 = ± ⇔ x = 2 ± y ⇔ g–1(x) = 2 ± x
Para que g –1(x) ∈ [2; 5], devemos ter g –1:[0; 9] → [2; 5] tal que
g –1(x) = 2 + x.
18 –
C1_SOROCABA_EXER_MAT_2014_Rose 03/12/13 14:15 Página 19
7
4. Considere a função f: ––; + ∞ → definida por
2
f(x) = x2 – 7x + 12. O ponto de intersecção dos gráficos de f e f– 1 é:
a) (1; 2)
b) (2; 3)
c) (3; 3)
d) (6; 6)
e) (7; 4)
RESOLUÇÃO:
Os gráficos de f e f –1 estão esboçados abaixo.
No ponto de intersecção de f e f –1, temos f(x) = x.
7
Assim x2 – 7x + 12 = x ⇒ x2 – 8x + 12 = 0 ⇒ x = 6, pois x > –– .
2
O ponto é (6; 6).
Resposta: D
MÓDULO 8
2. A sequência (ap) é definida pela lei de recorrência ap + 1 = ap + r,
com p ∈ *.
Escreva uma fórmula do termo an da sequência, em função de
a1, n e r.
RESOLUÇÃO:
Atenção, Sr Professor! A intenção dessa questão é introduzir os conceitos
de PA.
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = a1 + 3r
an = an – 1 + r = a1 + (n – 1) . r ⇒ an = a1 + (n – 1) . r
3. (ENEM) – O número mensal de passagens de uma determinada
empresa aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em
janeiro foram vendidas 33 000 de passagens; em fevereiro, 34 500;
em março, 36 000. Esse padrão de crescimento se mantém para os
meses subsequentes.
Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano
passado?
a) 38 000
b) 40 500
c) 41 000
d) 42 000
e) 48 000
RESOLUÇÃO:
O número de passageiros nos meses de janeiro, fevereiro, março etc. do
ano passado são os termos da progressão aritmética (33 000, 34 500,
36 000, …).
O número de passagens vendidas no mês de julho é o sétimo termo dessa
progressão e vale 33 000 + (7 – 1) . 1 500 = 42 000.
Resposta: D
SEQUÊNCIAS E PROGRESSÃO ARITMÉTICA
1. (IFSP) – A sequência de Fibonacci (1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; ...)
começa por dois números 1, e cada termo, a partir do terceiro, é a
soma dos dois termos anteriores.
Nessa sequência, a soma dos algarismos do menor número quadrado
perfeito, diferente de 1, é:
a) 9
b) 10
c) 13
d) 16
e) 19
RESOLUÇÃO:
Os primeiros termos da sequência de Fibonacci são (1; 1; 2; 3; 5; 8; 13;
21; 34; 55; 89; 144; …). O primeiro número quadrado perfeito, diferente
de 1, dessa sequência é 144, cuja soma dos algarismos é 1 + 4 + 4 = 9.
Resposta: A
– 19
C1_SOROCABA_EXER_MAT_2014_Rose 03/12/13 14:15 Página 20
4. (GAVE) – Nas figuras abaixo, estão representados os três
primeiros termos de uma sequência de conjuntos de bolas que segue
a lei de formação sugerida na figura.
a) Quantas bolas são necessárias para construir o 7°. termo da sequência?
b) Quantas bolas brancas tem o termo da sequência que tem um total
de 493 bolas? Mostra como chegaste à tua resposta.
RESOLUÇÃO:
As quantidades de bolas em cada figura são termos da progressão aritmética (5; 9; 13; …) onde o número de bolas pretas (1; 2; 3; …) coincide
com o índice do termo.
a) Fórmula do termo geral da PA.
an = 5 + (n – 1) . 4 ⇒ an = 4n + 1
Assim, a7 = 4 . 7 + 1 = 29
b) an = 4n + 1 = 493 ⇔ 4n = 492 ⇔ n = 123
O termo que possui 493 bolas é o 123o. e ele possui 123 bolas pretas e
493 – 123 = 370 bolas brancas.
Respostas: a) 29 bolas
b) 370 bolas brancas
MÓDULO 9
PROPRIEDADES DA PROGRESSÃO ARITMÉTICA
1. (CEPERJ) – Os sócios do “Clube-Sete” consideram o 7 como o
número da sorte. Para eles, tudo o que se refere ao número 7 é bom e,
naturalmente, para os sócios desse clube, um ano é sortudo quando é
múltiplo de 7. A quantidade de anos sortudos desde a descoberta do
Brasil até hoje foi:
a) 72
b) 73
c) 74
d) 75
e) 76
Nota: Entenda “até hoje” como sendo 2011, ano em que a questão foi
proposta pela CEPERJ.
RESOLUÇÃO:
1500, ano da descoberta do Brasil, não é um ano sortudo, pois 1500 não é
múltiplo de 7. O primeiro ano sortudo após 1500 é 1505, pois este é
múltiplo de 7.
2011 não é sortudo, pois 2011 não é múltiplo de 7. O último ano sortudo
antes de 2011 é 2009.
Assim, entre 1500 e 2011, foram sortudos os anos de (1505; 1512; 1519; …;
2009), num total de 73 anos, pois:
an = a1 + (n – 1) . r ⇔ 2009 = 1505 + (n – 1) . 7 ⇔
⇔ 504 = (n – 1) . 7 ⇔ n = 73
Resposta: B
2. (UDESC) – Considere as progressões aritméticas:
A: a1, a2, a3, a4, a5.
B: b1, b2, b3, b4, b5.
5. (PM RESENDE) – O terceiro termo de uma progressão aritmética
é igual a 29,0 e o sexto, 42,5. O décimo-primeiro termo dessa
progressão é o:
a) 44,0
b) 62,5
c) 65,0
d) 78,5
RESOLUÇÃO:
a
a3 = 29,0
a + 2r = 29,0
a + 2r = 29,0
r = 4,5
⇒ 1
⇒ 1
⇒
=
42,5
a
+
5r
=
42,5
3r
=
13,5
a1 = 20
6
1
Assim: a11 = a1 + (11 – 1) . r = 20 + 10 . 4,5 = 65,0
C: a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3, a4 + b4, a5 + b5.
Sabendo-se que: a razão de A é 2, o 1o. termo de B é 2 e os termos
médios de B e C são, respectivamente, 10 e 17, encontre A, B e C.
RESOLUÇÃO:
1) Consideremos a sequência B: b1, b2, b3, b4, b5 cujo primeiro termo
b1 = 2 e o termo médio b3 = 10.
b1 + b3
2 + 10
O segundo termo b2 = ––––––– = ––––––– = 6.
2
2
A sequência B é (2; 6; 10; 14; 18).
Resposta: C
2) Na sequência C o termo médio é tal que
a3 + b3 = 17 ⇔ a3 + 10 = 17 ⇔ a3 = 7
3) A sequência A, de razão 2 é (3; 5; 7; 9; 11)
Respostas: A = 3; 5; 7; 9; 11
B = 2; 6; 10; 14; 18
C = 5; 11; 17; 23; 29
20 –
C1_SOROCABA_EXER_MAT_2014_Rose 03/12/13 14:15 Página 21
3. Os três primeiros termos de uma progressão aritmética são ex2x
2
pressos respectivamente por x – 1; x – –– e ––– + 1. O décimo
3
3
sexto termo dessa progressão é:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
RESOLUÇÃO:
SOMA DOS TERMOS DE
UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA
1.
a) Mostre que, na progressão aritmética (a1; a2; a3;…; a10;…),
a7 + a4 = a1 + a10.
2
2x
Na PA (x – 1; x – ––– ; ––– + 1; …) temos:
3
3
MÓDULO 10
2x
(x – 1) + ––– + 1
2
4
5x
3
x – ––– = –––––––––––––––––– ⇔ 2x – ––– = ––– ⇔
3
2
3
3
b) Calcule, em função de a1 e a10, a soma dos dez primeiros termos da
⇔ 6x – 4 = 5x ⇔ x = 4
RESOLUÇÃO:
Sr. Professor, utilize o item b deste exercício para comentar a fórmula da
soma dos termos da PA.
A progressão aritmética é
PA.
3; –––3 ; –––3 ; … de razão ––3 , e décimo
10
11
1
1
sexto termo a16 = a1 + (16 – 1) . r = 3 + 15 . –– = 8
3
Resposta: D
a) a7 + a4 = a10 – 3r + a1 + 3r = a1 + a10
b) Como a1 + a10 = a2 + a9 = a3 + a8 = … = a5 + a5, tem-se:
S10 = a1 + a2 + a3 + … + a8 + a9 + a10
S10 = a10 + a9 + a8 + … + a3 + a2 + a1
⇒
⇒ 2S10 = (a1 + a10) + (a1 + a10) + … + (a1 + a10) ⇒
10 vezes
⇒ 2S10 = (a1 + a10) . 10 ⇒ S10 = (a1 + a10) . 5
4. (UFPE) – Um professor resolveu presentear seus cinco melhores
alunos com livros de valores equivalentes a quantias diferentes. Os
valores dos livros recebidos pelos alunos devem estar em progressão
aritmética e a soma dos três valores maiores deve ser cinco vezes o
total recebido pelos outros dois. Se cada um deve receber um livro de
valor equivalente a uma quantidade inteira de reais, qual a menor
quantia (positiva) que o professor vai desembolsar na compra dos
livros?
a) R$ 90,00
b) R$ 100,00
c) R$ 110,00
d) R$ 120,00
e) R$ 130,00
RESOLUÇÃO:
Sejam a – 2r, a – r, a, a + r, a + 2r os valores dos livros a serem recebidos
pelos alunos. Temos 3a + 3r = 5(2a – 3r) e, então, 7a = 18r. Como a e r são
inteiros positivos e de menor valor possível, temos a = 18 e r = 7, e o menor
valor a ser gasto pelo professor é 5 a = 5 . 18 = 90 reais.
Resposta: A
100
2. (FGV) – O valor da expressão
(2k + 5) é:
k=1
a) 10 400
d) 10 700
b) 10 500
e) 10 800
c) 10 600
RESOLUÇÃO:
100
(2k + 5) = 7 + 9 + 11 + … + 205 =
k=1
(7 + 205) . 100
= –––––––––––––– = 10 600, pois (7, 9, 11, …, 205) é uma progressão
2
aritmética finita de 100 termos.
Resposta: C
– 21
C1_SOROCABA_EXER_MAT_2014_Rose 03/12/13 14:15 Página 22
3. (UNICAMP) – Uma curva em formato espiral, composta por
arcos de circunferência, pode ser construída a partir de dois pontos A
e B, que se alternam como centros dos arcos. Esses arcos, por sua vez,
são semicircunferências que concordam sequencialmente nos pontos
de transição, como ilustra a figura a seguir, na qual supomos que a
distância entre A e B mede 1 cm.
A soma dos 20 primeiros termos dessa PA é
2π . 1
2π . 20
–––––– + ––––––– . 20
2
2
–––––––––––––––––––––––– = 210 π
2
25π
Respostas: a) –––– cm2
2
b) 210π cm
4. O número 666, tido como místico para alguns, tem uma coincidência interessante: a quantidade de termos que devemos somar da
sequência (3; 7; 11; …) para obtê-lo é a soma de seus algarismos.
Mostre que isto, de fato, é verdade.
RESOLUÇÃO:
Na progressão aritmética (3; 7; 11; …) temos
an = 3 + (n – 1) . 4 = 4n – 1
a) Determine a área da região destacada na figura.
b) Determine o comprimento da curva composta pelos primeiros 20
arcos de circunferência.
RESOLUÇÃO:
Os raios R1, R2, R3, …, em centímetros, são respectivamente os termos da
sequência (1; 2; 3; …). Desta forma, R3 = 3 cm e R4 = 4 cm.
a) A região destacada é composta por dois semicírculos, um de raio R3 e
outro de raio R4, e tem área, em cm2, igual a
(a1 + an) . n
[3 + 4n – 1] . n
Sn = ––––––––––– = –––––––––––––– = 2n2 + n = 666 ⇔
2
2
– 1 ± 12 – 4 . 2 . (– 666)
⇔ 2n2 + n – 666 = 0 ⇔ n = –––––––––––––––––––––– ⇔
4
– 1 ± 5329
– 1 ± 73
⇔ n = –––––––––––– = –––––––– ⇔ n = 18, pois n ∈ *
4
4
Observe que 18 = 6 + 6 + 6, soma dos algarismos de 666.
π . 32
π . 42
25π
–––––– + –––––– = ––––
2
2
2
5. (IFSP) – Numa progressão aritmética, a soma de seus n primeiros
termos é 4n2 + n. O décimo termo dessa sequência é:
a) 58
b) 77
c) 95
d) 106
e) 122
RESOLUÇÃO:
a10 = (a1 + a2 + … + a9 + a10) – (a1 + a2 + … + a9) =
= S10 – S9 = (4 . 102 + 10) – (4 . 92 + 9) = 410 – 333 = 77
Resposta: B
b) Os arcos de circunferência que compõem a espiral têm comprimentos,
em cm, dados pelos termos da progressão aritmética
2π . 20
cujo vigésimo termo é ––––––– .
2
22 –
2π . 1
2π . 2
2π . 3
2π . 4
–––––– ; –––––– ; –––––– ; –––––– ; … ,
2
2
2
2
C1_SOROCABA_EXER_MAT_2014_Rose 03/12/13 14:15 Página 23
FRENTE 3 – ÁLGEBRA E TRIGONOMETRIA
4. Completar o expoente de cada potência de base 10.
MÓDULO 1
–3
a) 35 . 10
POTENCIAÇÃO
1. (FATEC) – Se A = (– 3)2 – 22, B = – 32 + (– 2)2 e C = (– 3 – 2)2,
então C + A . B é igual a:
a) – 150
b) – 100
c) 50
d) 10
e) 0
–1
c) 35 . 10
e) 0,35 . 10
2
= 0,035
b) 35 . 10
= 3,5
d) 3,5 . 10
= 35
–2
1
f) 0,035 . 10
= 0,35
= 35
3
= 35
RESOLUÇÃO:
A = (– 3)2 – 22 = 9 – 4 = 5
B = – 32 + (– 2)2 = – 9 + 4 = – 5
C = (– 3 – 2)2 = 25
5. (PUC-RJ-2012) – O valor da expressão 5100 . 10– 5 + 3 . 10– 4 é
igual a:
a) 0,0513
b) 5,13
c) 0,5103
d) 3,51
e) 540 000
Assim: C + A . B = 25 + 5(– 5) = 0
Resposta: E
RESOLUÇÃO:
5 100 . 10– 5 + 3 . 10– 4 = 0,051 + 0,0003 = 0,0513
Resposta: A
2. (UFPA) – O valor da expressão
y3
1
1
(x3 + y3) x–3 + ––– , para x = –– e y = – –– , é:
2
2
x3
1
a) ––
2
1
b) ––
4
1
c) ––
8
3
d) ––
8
e) –1
MÓDULO 2
RESOLUÇÃO:
1
1
1
1
Para x = –– e y = – –– , temos: x3 = –– e y3 = – –– e, portanto,
2
8
2
8
x3 + y3 = 0.
–1
–––
y3
8
Assim: (x3 + y3)x –3 + –––
= ––––– = – 1
1
x3
–––
8
Resposta: E
10 . 10 = 100
c) 10–1 =
1
––– = 0,1
10
e) 10–3 = 0,001
g) 35 . 10–3 = 35 . 0,001 = 0,035
2
1. Sabendo-se que [(54)2 . 53 ] : (53)2 = 5a, então:
a) a = – 5
b) a = 11
c) a = 5
d) a = 8
e) a = 23
RESOLUÇÃO:
2
[(54)2 . 53 ] : (53)2 = 5a ⇔ 58 . 59 : 56 = 5a ⇔ 58 + 9 – 6 = 5a ⇔ a = 11
Resposta: B
3. Completar:
a) 102 =
POTENCIAÇÃO
b) 103 = 10 . 10 . 10 = 1000
2. O quociente de 5050 por 2525 é igual a:
a) 2525
b) 1025
c) 10025
d) 225
e) 2 . 2525
d) 10–2 = –––– = 0,01
RESOLUÇÃO:
5050
5025 + 25
5025 . 5025
––––
= ––––––––
= –––––––––
=
25
25
25
25
2525
f) 4 . 10–3 = 4 . 0,001 = 0,004
=
1
100
25
50
–––
25
. 5025 = 225 . 5025 = (2 . 50)25 = 10025
Resposta: C
– 23
C1_SOROCABA_EXER_MAT_2014_Rose 03/12/13 14:15 Página 24
3. Um condomínio possui 6 blocos. Cada bloco possui 6 casas e em
cada casa moram 6 pessoas. Nesse mesmo condomínio, mora um
zelador responsável pela manutenção. Diante do exposto, a expressão
numérica que determina o número de pessoas que moram nesse
condomínio é
a) 63 + 1 = 217.
b) 63 + 1 = 19.
c) 3 . 6 + 1 = 19.
d) 6 + 6 + 6 + 1 = 19.
e) 6 . 6 . 6 . 1 = 216.
2. A expressão 2 . 32 +
32
b) a) 2
6
3
64 – 49 é igual a:
c) 8
d) 92
e) 10
RESOLUÇÃO:
2 . 32 +
6
3
64
–
49
6
= 64 + 64 – 43 = 8 + 2 – 8 = 2
Resposta: A
RESOLUÇÃO:
De acordo com o enunciado, o número de pessoas que moram nesse condomínio é 6 . 6 . 6 + 1 = 63 + 1 = 217.
Resposta: A
3. (UNIMES)
4. Sendo x = 240, y = 330 e z = 520, então
a) x < y < z
b) x < z < y
d) z < y < x
e) y < x < z
8 – 72 + 5 2 = x, logo x é igual a:
c) y < z < x
2
a) 4
b) 3
2
c) 2
2
d) 2
e) 2
3
RESOLUÇÃO:
8 – 72 + 5
2 = x ⇒ x = 22 . 2 – 22 . 2 . 32 + 5
2=
RESOLUÇÃO:
x = 240 = (24)10 = 1610
y = 330 = (33)10 = 2710
z = 520 = (52)10 = 2510
= 2
2 – 2 . 3 . 2 + 5
2 = 2
Resposta: D
Como 1610 < 2510 < 2710, concluímos que x < z < y.
Resposta: B
4. Dada a expressão A = 3 . 13,
podemos afirmar que o valor
aproximado de A está entre
a) 6 e 7.
b) 5 e 6.
c) 4 e 5.
d) 3 e 4.
e) 2 e 3.
MÓDULO 3
RADICIAÇÃO
RESOLUÇÃO:
A = 3 . 13 = 39
3
1. (UNIP) – O valor de
a) 5
b) 20
7+ 3–
c) 3
1 + 9 é:
d) 2
RESOLUÇÃO:
3
7+
3–
1 + 9 =
3
=
3
3
7+
3–2 =
Resposta: D
24 –
7+1=2
7+
3–
1+3 =
como 36 < 39 < 49
e) 4
36 < 39 < 49 ⇔ 6 < 39 < 7
conclui-se que portanto: 6 < A < 7
Resposta: A
C1_SOROCABA_EXER_MAT_2014_Rose 03/12/13 14:15 Página 25
MÓDULO 4
MÓDULO 5
RADICIAÇÃO
FATORAÇÃO
3
4
1. (UNICAMP) – Dados os dois números positivos, 3 e 4,
determine o maior.
RESOLUÇÃO:
3
12
12
4
12
12
34 =
3=
1. Fatore as seguintes expressões:
a) 6a3 + 4a2 + 2ab = 2a (3a2 + 2a + b)
b) (x – y)2 + a(x – y) = (x – y) (x – y + a)
81
4 = 43 = 64
12
3
12
4
2. Desenvolva as expressões:
> conclui-se que Como 81
64,
3 > 4.
a) (a + b) (a – b) = a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2
3
Resposta: O maior é 3.
b) (x + 2) (x – 2) = x2 – 4
c) (2m + 3) (2m – 3) = 4m2 – 9
6
4
2. Escrevendo a expressão 3 . 2 na forma de um único radical
obtém-se
24
12
a) 6
12
b) 72
24
6
c)
d) 36
12
e) 36
RESOLUÇÃO:
6
4
12
12
3 . 2 = 32 . 23 =
Resposta: B
12
32 . 23 =
3. (ESPN) – Fatorando a expressão x3 + x2 – 4x – 4, tem-se:
a) x(x2 + x + 4) + 4
b) (x2 + 4)
c) x3 + x2 + 4(x + 1)
d) (x + 1)(x + 2)(x – 2)
e) (x + 4)3
12
72
RESOLUÇÃO:
x3 + x2 – 4x – 4 = x2(x + 1) – 4(x + 1) = (x2 – 4)(x + 1) =
= (x + 1)(x + 2)(x – 2)
Resposta: D
3. Racionalizar o denominador de cada fração:
3
b) –––––
8
a) –––––
5
22
5
RESOLUÇÃO:
5
a)
5
5
8 8
8
23
–––––– . –––––– = –––––– = 4 8
5
5
2
2
3
2
2
4. A diferença 55552 – 44442 é igual a:
a) 11112
3
5
3 5
b) –––– . ––––– = –––––
5
5
5
d) 9 .
11112
b) 9 . 1112
c) 9992
e) 9999
RESOLUÇÃO:
55552 – 44442 = (5555 + 4444) . (5555 – 4444) =
= 9999 . 1111 = 9 . 1111 . 1111 = 9 . 11112
Resposta: D
4. (CEFET-BA) – Se 53a = 64, o valor de 5–a é:
1
1
1
1
a) – –––
b) –––
c) –––
d) ––
4
40
20
8
1
e) ––
4
RESOLUÇÃO:
3
3
1
53a = 64 ⇒ 5a = 4 ⇒ (5a) – 1 = 4 – 1 ⇒ 5 – a = ––– .
53a = 64 ⇒ 4
Resposta: E
– 25
C1_SOROCABA_EXER_MAT_2014_Rose 03/12/13 14:15 Página 26
2 – 2
5. (FUVEST) – O valor da expressão ––––––– é:
2–1
2
a) 1
b) –––
2
1
d) ––
2
e) 2+1
2. (PUC) – Se 2 + 3=
5 + 2
n, o valor de n é:
a) 0
b) 2
c) 3
d) 5
e) 6
RESOLUÇÃO:
c) 2
2 + 3 = 5 + 2 n ⇒ 2 + 2
6 + 3 = 5 + 2
n ⇒ 6 = n⇒n=6
Resposta: E
RESOLUÇÃO:
(2 – 2 ) (2 + 1)
2 – 2
–––––––––– = ––––––––––– ––––––––– =
(2 – 1) (2 + 1)
2 – 1
2
2 + 2 – 2 – 2
= –––––––––––––––––– = 2
2–1
Resposta: A
3. Fatore as seguintes expressões:
a) x2 – 6x + 9
b) 16 + 8m + m2
c) 3x2y2 + 12xy + 12
RESOLUÇÃO:
a) x2 – 6x + 9 = x2 – 2 . 3x + 32 = (x – 3)2
b) 16 + 8m + m2 = 42 + 2 . 4m + m2 = (4 + m)2
c) 3x2y2 + 12xy + 12 = 3(x2y2 + 2 . 2 . xy + 22) = 3(xy + 2)2
MÓDULO 6
FATORAÇÃO
x2
1. (UNIFIL) – Se x + y = 5 e xy = 5, então +
a) 20
b) 18
c) 26
d) 15
y2
é:
e) 16
RESOLUÇÃO:
a2 – b2
4. (PUC-MG) – O valor da fração –––––––––––––– , quando
a2 + 2ab + b2
a = 51 e b = 49, é:
a) 0,02
b) 0,20
c) 2,00
x + y = 5 ⇒ x2 + 2xy + y2 = 25 ⇒ x2 + y2 = 25 – 10 ⇒ x2 + y2 = 15
Resposta: D
RESOLUÇÃO:
a2 – b2
(a + b)(a – b)
a–b
––––––––––––– = ––––––––––––– = ––––––
a2 + 2ab + b2
(a + b)2
a+b
Para a = 51 e b = 49, temos:
a–b
51 – 49
2
–––––– = –––––––– = ––––– = 0,02
a+b
51 + 49
100
Resposta: A
26 –
d) 20,0
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MÓDULO 7
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
DE UM ÂNGULO AGUDO
1.
3. (PUC-2012) – Abílio (A) e Gioconda (G) estão sobre uma
superfície plana de uma mesma praia e, num dado instante, veem sob
respectivos ângulos de 30° e 45°, um pássaro (P) voando, conforme é
representado na planificação abaixo.
Determine o valor de x nas figuras abaixo:
RESOLUÇÃO:
1
x
x
a) sen 30° = –––––– ⇒ ––– = –––––– ⇔ x = 5 cm
2
10 cm
10 cm
Considerando desprezíveis as medidas das alturas de Abílio e
Gioconda e sabendo que, naquele instante, a distância entre A e G era
de 240 m, então a quantos metros de altura o pássaro distava da
superfície da praia?
10 cm
10 cm
1
b) cos 60° = –––––– ⇒ ––– = –––––– ⇔ x = 20 cm
x
x
2
a) 60(
3 + 1)
b) 120(
3 – 1)
3 + 1)
c) 120(
d) 180(
3 – 1)
3 cm
3
3
3 cm
3 = –––––––– ⇔ x = 3 cm
c) tg 60° = –––––––– ⇒ x
x
3 + 1)
e) 180(
RESOLUÇÃO:
2. (MACKENZIE) – Em um triângulo retângulo, a medida da
hipotenusa é o dobro da medida de um dos catetos. O ângulo oposto
ao menor lado desse triângulo mede:
a) 36°
b) 60°
c) 45°
d) 30°
e) 72°
RESOLUÇÃO:
A partir do enunciado, considere o triângulo abaixo:
Sendo h a altura pedida, de acordo com os dados da figura temos:
3
h
tg 30° = –––– = ––––––––
3
240 – h
240 – h = 3h
(1 + 3)h = 240
240
3 – 1)
h = –––––––– = 120(
3
1 + Resposta: B
Como x2 + a2 = 4a2 ⇔ x = a
3, teremos como menor lado do triângulo o
de medida a, e θ, o ângulo oposto ao menor lado.
1
a
Portanto: sen θ = –––– = ––– ⇒ θ = 30°
2a
2
Resposta: D
– 27
C1_SOROCABA_EXER_MAT_2014_Rose 03/12/13 14:15 Página 28
MÓDULO 8
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
DE UM ÂNGULO AGUDO (CONTINUAÇÃO)
1. (U.F.VIÇOSA) – Satisfeitas as condições de existência, a expressão E =
1 – sen2x
–––––––––
cotg x
a) sen x
. cossec x é idêntica a:
b) cos x
c) 1
3. (UN.ESTÁCIO DE SÁ) – Simplificando a expressão
y = sen 17° . cotg 17° . cotg 73° . sec 73°, encontramos:
a) – 2
b) – 1
c) 2
d) 1
e) 5
RESOLUÇÃO:
cos 17°
1
cos 73°
y = sen 17° . –––––––– . –––––––– . –––––––– ⇒
sen 73°
sen 17°
cos 73°
cos 17°
⇒ y = –––––––– = 1 pois 17° e 73° são medidas de ângulos complemensen 73°
d) 0
e) sec x
tares.
Resposta: D
RESOLUÇÃO:
1 – sen x
–––––––––
cotg x 2
E=
1
cos2x
cos2x
. cossec x = ––––––––
. ––––– = ––––––– = cos x
sen x
cos x
cos x
––––––
sen x
Resposta: B
4. (FUVEST) – A uma distância de 40m, uma torre é vista sob um
ângulo α, como mostra a figura.
2
2. Sendo sen x + cos x = ––– , obter o valor da expressão
3
sen x . cos x.
Usando a tabela a seguir, determine a altura da torre, supondo
α = 20°. Efetue os cálculos.
x
sen x°
cos x°
RESOLUÇÃO:
10
0,174
0,985
Elevando ambos os membros da igualdade ao quadrado, temos:
11
0,191
0,982
4
sen2x + 2 . sen x . cos x + cos2x = ––– ⇒
9
4
5
⇒ 2 . sen x . cos x = ––– – 1 ⇒ sen x . cos x = – –––
9
18
12
0,208
0,978
13
0,255
0,974
14
0,242
0,970
15
0,259
0,966
16
0,276
0,961
17
0,292
0,956
18
0,309
0,951
19
0,326
0,946
20
0,342
0,940
21
0,358
0,934
22
0,375
0,927
23
0,391
0,921
24
0,407
0,914
25
0,423
0,906
26
0,438
0,899
27
0,454
0,891
28
0,470
0,883
29
0,485
0,875
30
0,500
0,866
5
Resposta: – –––
18
28 –
C1_SOROCABA_EXER_MAT_2014_Rose 03/12/13 14:15 Página 29
RESOLUÇÃO:
• De acordo com a tabela: sen 20° = 0,342 e cos 20° = 0,940
0,342
Assim, tg 20° = –––––– 0,3638
0,940
2. A medida, em radianos, de um arco de 210° é:
π
5π
7π
a) –––
b) –––
c) –––
6
6
6
11π
d) ––––
6
• De acordo com a figura:
π
e) –––
3
h
tg 20° = ––––– ⇒
40 m
RESOLUÇÃO:
⇒ h 40 . 0,3638 m ⇒
180° ⇔ π
210° ⇔ x
⇒ h 14,552 m
Resposta: C
⇔ 180°x = 210°π ⇔ x = ––––
6
7π
Resposta: A altura aproximada da torre é 14,552 m.
3. (MACKENZIE) – O ponteiro dos minutos de um relógio mede
4 cm. Supondo π = 3, a distância, em centímetros, que a extremidade
desse ponteiro percorre em 25 minutos é:
a) 15
b) 12
c) 20
d) 25
e) 10
RESOLUÇÃO:
MÓDULO 9
ARCOS DA CIRCUNFERÊNCIA
1. Completar a tabela a seguir.
MEDIDA DE UM ÂNGULO
em graus
em radianos
0°
0
30°
π/6
Em 25 minutos, a extremidade do ponteiro percorre um arco AB cuja
medida, em centímetros, é tal que
45°
π/4
5
25 min
comp (AB) = –––––––– . 2π R = –––– . 2 . 3 . 4 = 10
60 min
12
60°
π/3
90°
π/2
180°
π
270°
3π/2
360°
2π
Resposta: E
– 29
C1_SOROCABA_EXER_MAT_2014_Rose 03/12/13 14:15 Página 30
4. (UDESC-2012) – O relógio Tower Clock, localizado em Londres,
Inglaterra, é muito conhecido pela sua precisão e tamanho. O ângulo
interno formado entre os ponteiros das horas e dos minutos deste
relógio, desprezando suas larguras, às 15 horas e 20 minutos é:
π
π
π
π
π
a) –––
b) –––
c) –––
d) –––
e) –––
12
36
6
18
9
RESOLUÇÃO:
RESOLUÇÃO:
a) {30° + n . 360°, n ∈ }
c) {2π/3 + n . 2π , n ∈ }
b) {30° + n . 180°, n ∈ }
d) {2π/3 + n . π , n ∈ }
2. Determine no ciclo trigonométrico a seguir a primeira determinação positiva (em graus e radianos) dos arcos com extremidades
indicadas.
Sendo α a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros do relógio e
β a medida do ângulo descrito pelo ponteiro menor em 20 minutos, temos:
20
β = –––– . 30°
60
⇒
α + β = 30°
β = 10°
α = 20°
π
Obs.: 20° é equivalente a ––– .
9
Resposta: E
RESOLUÇÃO:
MÓDULO 10
ARCO OU ÂNGULO TRIGONOMÉTRICO
1. Escreva o conjunto das determinações dos arcos trigonométricos
assinalados em cada figura.
3. Obter a primeira determinação positiva do arco de medida 1110°.
RESOLUÇÃO:
Observando que 1110° = 30° + 3 . 360°, concluímos que a primeira
determinação positiva do arco de medida 1110° é 30°.
Resposta: 30°
30 –
C1_SOROCABA_EXER_MAT_2014_Rose 03/12/13 14:15 Página 31
FRENTE 4 – GEOMETRIA PLANA
MÓDULO 1
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA GEOMETRIA PLANA
1. (F. IBERO-AMERICANA-SP) – Dois ângulos opostos pelo
vértice medem 3x + 10° e x + 50°. Um deles mede:
a) 30°
b) 25°
c) 50°
d) 20°
e) 70°
RESOLUÇÃO:
3. (UNIRIO) – As retas r1 e r2 são paralelas. O valor do ângulo α,
apresentado na figura a seguir, é:
3x + 10° = x + 50° ⇔ 2x = 40° ⇔ x = 20°
A medida do ângulo é: x + 50° = 20° + 50° = 70°
Resposta: E
2. (UESB) – Sabendo-se que r//s e t é uma transversal a r e a s,
conforme a figura seguinte, é correto afirmar:
a) x mede 80°, y e z são correspondentes.
b) y mede 100°, x e z são suplementares.
c) z mede 80°, x e y são opostos pelo vértice.
d) y mede 80°, x e z são alternos externos.
e) z mede 100°, y e x são alternos internos.
a)
40°
b) 45°
c) 50°
d) 65°
e) 130°
RESOLUÇÃO:
Pelo vértice do ângulo reto, traça-se a reta r3, tal que r3 // r1 // r2.
Assim: α + 50° = 90° ⇔ α = 40°
Resposta: A
RESOLUÇÃO:
1) x = 80° (opostos pelo vértice)
2) y = 80° (correspondentes)
3) z + y = 180° (suplementares)
Assim:
z + 80° = 180° ⇔ z = 100°
4) y = x (alternos internos)
Portanto: z = 100°, y e x são alternos internos.
Resposta: E
– 31
C1_SOROCABA_EXER_MAT_2014_Rose 03/12/13 14:15 Página 32
4. (OBM) – Três quadrados são colados pelos seus vértices entre si
e a dois bastões verticais, como mostra a figura.
MÓDULO 2
TRIÂNGULOS: DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES
1. (FUVEST-SP) – As retas t e s são paralelas. A medida do ângulo
x, em graus, é:
a) 30
b) 40
c) 50
d) 60
e) 70
A medida do ângulo x é:
a) 39°
b) 41°
c) 43°
d) 44°
e) 46°
RESOLUÇÃO:
RESOLUÇÃO:
Sendo y a medida em graus do outro ângulo agudo desse triângulo
retângulo, tem-se:
1) y + 120° = 140° (ângulos alternos internos) ⇒ y = 20°
2) x + y = 90° ⇒ x = 90° – y
x + 51° = 90° ⇔ x = 39°
Resposta: A
32 –
Assim: x = 70°
Resposta: E
C1_SOROCABA_EXER_MAT_2014_Rose 03/12/13 14:15 Página 33
2.
a)
b)
c)
d)
e)
—
^
^
^
Como AB é bissetriz do ângulo CAD, temos: C AB = B AD = x
(UFRN) – Na figura adiante, o ângulo θ mede:
96°
94°
93°
92°
91°
Assim:
43° + 2x = 86°
⇔
α + x = 86°
x = 21,5°
α + x = 86°
e, portanto, α + 21,5° = 86° ⇔ α = 64,5°
Resposta: D
RESOLUÇÃO:
^
4. Na figura seguinte, BD é bissetriz do ângulo ABC e CE é bissetriz
^
do ângulo ACB. O valor de x é:
a) 75°
b) 70°
c) 60°
d) 45°
e) 40°
No triângulo ABC, de acordo com o teorema do ângulo externo tem-se:
θ = 59° + 33° ⇔ θ = 92°
Resposta: D
RESOLUÇÃO:
—
3. (MACKENZIE) – Na figura, AB é bissetriz do ângulo de vértice
A. A medida de α é:
a) 63°
b) 63,5°
c) 64°
d) 64,5°
e) 65°
I)
α + 2β + 70° = 180°
2α + β + 80° = 180°
⇔ α = 30° e
RESOLUÇÃO:
⇔
α + 2β = 110°
2α + β = 100°
⇔
β = 40°
II) α + x = 70° ⇔ 30° + x = 70° ⇔ x = 40°
Resposta: E
– 33
C1_SOROCABA_EXER_MAT_2014_Rose 03/12/13 14:15 Página 34
RESOLUÇÃO:
MÓDULO 3
TRIÂNGULOS: CLASSIFICAÇÃO E CONGRUÊNCIA
No triângulo CEF, isósceles, tem-se
^
^
CEF = CFE = 40°.
1. (OBM) – Na figura, os dois triângulos são equiláteros. Qual é o
valor do ângulo x?
No triângulo ABC, também isósce^
^
les, tem-se ABC = ACB = 80°.
No triângulo BDE, o ângulo externo
β é tal que
^
^
β = DBE + DEB = 80° + 40° = 120°.
Resposta: B
a) 30°
b) 40°
c) 50°
d) 60°
e) 70°
RESOLUÇÃO:
No triângulo ABC, tem-se:
x + 60° + 80° = 180° ⇔ x = 40°
Resposta: B
3. (UFES) – Um dos ângulos internos de um triângulo isósceles
mede 100°. Qual é a medida do ângulo agudo formado pelas bissetrizes
dos outros ângulos internos?
a) 20°
b) 40°
c) 60°
d) 80°
e) 140°
RESOLUÇÃO:
1) 2x + 2x + 100° = 180° ⇔ x = 20°
2. (MACKENZIE) – Na figura, AB = AC e CE = CF. A medida de
β é:
a) 90°
b) 120°
c) 110°
d) 130°
e) 140°
34 –
2) α = x + x ⇔ α = 2x
Assim, α = 40°.
Resposta: B
C1_SOROCABA_EXER_MAT_2014_Rose 03/12/13 14:15 Página 35
4. No triângulo retângulo ABC da figura, temos:
^
^
^
MÓDULO 4
^
BAC = 90°, M AH = 20°, BM = MC e AH ⊥ BC. Os ângulos B e C
medem, respectivamente:
a) 20° e 70°
b) 25° e 65°
d) 35° e 55°
e) 40° e 50°
POLÍGONOS: DEFINIÇÃO,
CLASSIFICAÇÃO E PROPRIEDADES
c) 30° e 60°
1. (AMAN) – O polígono convexo em que o triplo do número de
vértices é igual ao total de diagonais é o
a) eneágono.
b) dodecágono.
c) hexágono.
d) heptágono.
e) icoságono.
RESOLUÇÃO:
n(n – 3)
3n = d ⇔ 3n = –––––––– ⇔ n – 3 = 6, pois n ≠ 0
2
Assim: n = 9
Resposta: A
RESOLUÇÃO:
I)
—
Como o triângulo ABC é retângulo em A e M é ponto médio de BC,
2. (UFSCar) – Um polígono regular com exatamente 35 diagonais
tem
a) 6 lados.
b) 9 lados.
c) 10 lados.
d) 12 lados.
e) 20 lados.
temos:
^
^
BM = MC = AM e, portanto, M BA = M AB = x.
II)
No ΔAHB, temos:
x + 90° + 20° + x = 180° ⇔ x = 35°
III) No ΔABC, temos:
x + 90° + y = 180° ⇔ 35° + 90° + y = 180° ⇔ y = 55°
Resposta: D
RESOLUÇÃO:
n . (n – 3)
––––––––– = 35 ⇔ n2 – 3n – 70 = 0
2
3 ± 17
Assim: n = ––––––– ⇔ n = 10, pois n ⭓ 3
2
Resposta: C
3. A soma dos ângulos internos de um eneágono convexo é igual a
a) 540°
b) 720°
c) 900°
d) 1080°
e) 1260°
RESOLUÇÃO:
Si = (9 – 2) . 180° = 1260°
Resposta: E
– 35
C1_SOROCABA_EXER_MAT_2014_Rose 03/12/13 14:15 Página 36
4. (USF) – O polígono regular cujo ângulo interno mede o triplo do
ângulo externo é o
a) pentágono
b) hexágono
c) octógono
d) decágono
e) dodecágono
Em um paralelogramo, os ângulos opostos são congruentes e a soma dos
quatro ângulos internos é igual a 360°.
Assim: x + 3x + x + 3x = 360° ⇔ 8x = 360° ⇔ x = 45°
Resposta: A
RESOLUÇÃO:
(n – 2)180°
360°
3 . 360°
^
ai = 3 . ^ae ⇔ –––––––––– = 3 . ––––– ⇔ n – 2 = ––––––– ⇔
n
n
180°
⇔n–2=6⇔n=8
Resposta: C
5. (FUVEST) – Dois ângulos internos de um polígono convexo
medem 130° cada um e os demais ângulos internos medem 128° cada
um. O número de lados do polígono é
a) 6
b) 7
c) 13
d) 16
e) 17
2. (UNIP) – O quadrilátero ABCD da figura seguinte é um quadrado
^
e o triângulo CDE é equilátero. A medida θ do ângulo DBE é igual a:
a) 15°
b) 20°
c) 25°
d) 30°
e) 35°
RESOLUÇÃO:
Sendo n(n ≥ 3) o número de lados desse polígono convexo, tem-se:
2 . 130° + (n – 2) . 128° = (n – 2) . 180° ⇔
⇔ 260° + (n – 2) . 128° = (n – 2) . 180° ⇔
⇔ 260 + 128n – 256 = 180n – 360 ⇔
⇔ 128n – 180n = – 360 – 260 + 256 ⇔ – 52n = – 364 ⇔ n = 7
Resposta: B
RESOLUÇÃO:
O triângulo CBE é isósceles de base BE, pois BC = CE.
Assim, sendo α a medida, em graus, de cada um dos ângulos internos da
MÓDULO 5
QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS
E LINHAS PROPORCIONAIS
1. (UNIFESP) – Em um paralelogramo, as medidas de dois ângulos
internos consecutivos estão na razão 1:3. O ângulo menor desse paralelogramo mede
a) 45°
b) 50°
c) 55°
d) 60°
e) 65°
RESOLUÇÃO:
36 –
base desse triângulo, temos:
I) α + α + 90° + 60° = 180° ⇔ α = 15°
II) θ + α = 45°
Assim: θ + 15° = 45° ⇔ θ = 30°
Resposta: D
C1_SOROCABA_EXER_MAT_2014_Rose 03/12/13 14:16 Página 37
3.
(UNIRIO)
No desenho ao lado apresentado, as
frentes para a rua A dos quarteirões I
e II medem, respectivamente, 250 m
e 200 m, e a frente do quarteirão I
para a rua B mede 40 m a mais do
que a frente do quarteirão II para a
mesma rua. Sendo assim, pode-se afirmar que a medida, em metros,
da frente do menor dos dois quarteirões para a rua B é:
a) 160
b) 180
c) 200
d) 220
e) 240
RESOLUÇÃO:
MÓDULO 6
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
1. (VUNESP) – Um observador situado num ponto O, localizado na
margem de um rio, precisa determinar sua distância até um ponto P,
localizado na outra margem, sem atravessar o rio. Para isso, marca,
com estacas, outros pontos do lado da margem em que se encontra, de
tal forma que P, O e B estão alinhados entre si e P, A e C também. Além
disso, OA é paralelo a BC, OA = 25 m, BC = 40 m e OB = 30 m,
conforme figura.
De acordo com o Teorema Linear de Tales, tem-se:
250
x + 40
––––– = ––––––– ⇔ x = 160
200
x
A distância, em metros, do observador em O até o ponto P é:
a) 30
b) 35
c) 40
d) 45
e) 50
Resposta: A
RESOLUÇÃO:
4. (UnB) – Determine o valor de x, com os dados da figura abaixo,
na qual r, s e t são retas paralelas.
↔
↔
Como OA é paralelo a BC, os triângulos POA e PBC são semelhantes e,
portanto,
PO
OA
25 m
PO
–––– = –––– ⇔ –––––––––– = ––––– ⇔ PO = 50 m
BC
40 m
PB
PO + 30 m
Resposta: E
RESOLUÇÃO:
Do Teorema de Tales, temos:
x + 20
x + 10
–––––––– = ––––––– ⇔ (x + 20). (x – 18) = (x + 10). (x – 16) ⇔ x = 25
x – 16
x – 18
Resposta: x = 25
– 37
C1_SOROCABA_EXER_MAT_2014_Rose 03/12/13 14:16 Página 38
2. (UNICAMP) – Uma rampa de inclinação constante, como a que
dá acesso ao Palácio do Planalto em Brasília, tem 4 metros de altura
na sua parte mais alta. Uma pessoa, tendo começado a subi-la, nota
que após caminhar 12,3 metros sobre a rampa está a 1,5 metro de
altura em relação ao solo.
a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita.
b) Calcule quantos metros a pessoa ainda deve caminhar para atingir
o ponto mais alto da rampa.
RESOLUÇÃO:
RESOLUÇÃO:
a)
Os triângulos ABC e ADG são semelhantes pelo critério (AA~). Assim,
suas bases e suas alturas são, respectivamente, proporcionais.
2x
h–x
Logo, ––– = ––––– ⇔ 2hx = bh – bx ⇔
b
h
bh
⇔ (2h + b) x = bh ⇔ x = ––––––
2h + b
Resposta: D
b) 20,5 metros
12,3 + x
4
123 + 10x
40
––––––––– = –––– ⇔ –––––––––– = –––– ⇔
12,3
1,5
123
15
⇔ 123 + 10x = 328 ⇔ 10x = 205 ⇔ x = 20,5
4. Com os dados da figura, calcule x.
RESOLUÇÃO:
^
^
^
I) ΔABC ~ ΔDEC pelo critério (AA~), pois A ≅ D e C é comum.
3. (FUVEST) – O triângulo ABC tem altura h e base b (ver figura).
Nele, está inscrito o retângulo DEFG, cuja base é o dobro da altura.
Nessas condições, a altura do retângulo, em função de h e b, é dada
pela fórmula
a)
bh
–––––
h+b
b)
2bh
–––––
h+b
d)
bh
–––––
2h + b
e)
bh
–––––––
2(h + b)
38 –
c)
bh
––––––
h + 2b
BC
AC
x+3
6
II) –––– = –––– ⇔ –––––– = ––– ⇔ x = 7
EC
DC
5
3
C1_SOROCABA_EXER_MAT_2014_Rose 03/12/13 14:16 Página 39
MÓDULO 7
h2 +
RELAÇÕES MÉTRICAS
NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
ᐉ
––
2
2
=ᐉ
2
3ᐉ2
ᐉ
3
⇔ h2 = –––– ⇔ h = ––––
4
2
Resposta: D
1. A diagonal de um quadrado de lado “ᐉ” mede:
a) 2ᐉ
ᐉ
3
b) –––––
2
ᐉ
2
c) –––––
2
2
d) ᐉ
e) ᐉ
RESOLUÇÃO:
3. (MACKENZIE) – As bases de um trapézio isósceles medem
7 e 13. Se a altura do trapézio é 4, o seu perímetro é:
a) 27
b) 25
c) 20
d) 30
e) 40
RESOLUÇÃO:
No triângulo retângulo BAC, de acordo com o Teorema de Pitágoras,
tem-se:
d2 = ᐉ2 + ᐉ2 ⇔ d = 2ᐉ2 ⇔ d = ᐉ 2
Resposta: D
Os triângulos ADE e BCF da figura são retângulos, congruentes e de
catetos medindo 3 e 4.
32 + 42 = 5.
Desta forma, AD = BC = O perímetro do trapézio ABCD, isósceles, é:
AB + BC + CD + DA = 7 + 5 + 13 + 5 = 30
Resposta: D
2. A altura de um triângulo equilátero de lado “ᐉ” mede:
ᐉ
a) ––
2
2
ᐉ
b) –––––
2
2
c) ᐉ
ᐉ
3
d) –––––
2
e) ᐉ
3
RESOLUÇÃO:
No triângulo retângulo MBC, de acordo com o Teorema de Pitágoras,
tem-se:
– 39
C1_SOROCABA_EXER_MAT_2014_Rose 03/12/13 14:16 Página 40
4. (UFPE) – Na figura abaixo, o triângulo ABC é equilátero e cada
––
um de seus lados mede 8 cm. Se AD é uma altura do triângulo ABC
––
––
e M é o ponto médio de AD, então a medida de CM é:
1
––– cm
2
3
b) ––– cm
2
c)
7 cm
d) 27 cm
e)
2
––– cm
2
a)
RESOLUÇÃO:
5. (USF) – A figura seguinte representa como 5 sabonetes esféricos,
tangentes uns aos outros e às paredes da caixa de secção quadrada,
poderiam ser dispostos. Sendo 16 cm o comprimento do lado do
quadrado, então o raio do sabonete esférico central, em centímetros,
mede:
a) 2–1
b) 2
2–2
c) 4
2–2
d) 4
2–4
e) 2
AB
3
8
3
1) AD = –––––– ⇔ AD = ––––– ⇔ AD = 4
3
2
2
BC
8
2) DC = –––– ⇔ DC = ––– ⇔ DC = 4
2
2
RESOLUÇÃO:
AD
4
3
3) DM = –––– ⇔ DM = ––––– ⇔ DM = 2
3
2
2
4) (CM)2 = (DM)2 + (DC)2
Assim: (CM)2 = (23)2 + 42 ⇔ (CM)2 = 28 ⇔ CM = 28 ⇔ CM = 27
Resposta: D
Seja r a medida, em centímetros, do raio do sabonete esférico central.
4 + r + r + 4 = 8
2 (diagonal do quadrado ABCD).
Assim:
8
2–8
8 + 2r = 8
2 ⇔ 2r = 8
2 – 8 ⇔ r = –––––––––
⇔ r = 4
2–4
2
Resposta: D
40 –
C1_SOROCABA_EXER_MAT_2014_Rose 03/12/13 14:16 Página 41
3. Na figura seguinte, o ponto I é o centro da circunferência inscrita
no triângulo ABC.
MÓDULO 8
LUGARES GEOMÉTRICOS
E PONTOS NOTÁVEIS DO TRIÂNGULO
1. (VUNESP) – Defina baricentro de um triângulo.
RESOLUÇÃO:
O baricentro é o centro de gravidade do triângulo. Ele é determinado pela
intersecção das medianas do triângulo e divide cada mediana na razão
2 : 1.
PB = 2 . BMP
QB = 2 . BMQ
RB = 2 . BMR
Pode-se afirmar que
a) I é o baricentro do triângulo ABC.
b) I é o ortocentro do triângulo ABC.
c) I é o ponto de intersecção das medianas do triângulo ABC.
d) I é o ponto de intersecção das bissetrizes dos ângulos internos do
triângulo ABC.
e) I é o ponto de intersecção das mediatrizes dos lados do triângulo
ABC.
RESOLUÇÃO:
I é o incentro do triângulo ABC e, portanto, trata-se do ponto de intersecção das bissetrizes dos ângulos internos do triângulo ABC.
Resposta: D
4. Na figura seguinte, o ponto C é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo DEF.
2. Como se chama o ponto H das figuras a seguir?
RESOLUÇÃO:
Ortocentro, pois é sempre o ponto de intersecção das retas suportes das
alturas dos triângulos.
Pode-se afirmar que
a) C é o baricentro do triângulo DEF.
b) C é o incentro do triângulo DEF.
c) C é o ponto de intersecção das medianas do triângulo DEF.
d) C é o ponto de intersecção das alturas do triângulo DEF.
e) C é o ponto de intersecção das mediatrizes dos lados do triângulo
DEF.
RESOLUÇÃO:
C é o circuncentro do triângulo DEF e, portanto, trata-se do ponto de
intersecção das mediatrizes dos lados do triângulo DEF.
Resposta: E
– 41
C1_SOROCABA_EXER_MAT_2014_Rose 03/12/13 14:16 Página 42
5. (MACKENZIE) – O lado de um triângulo equilátero inscrito em
uma circunferência mede 2
3. O raio da circunferência é igual a:
3
a) b) 2
c) 2
3
d) 4
2. (PUC) – O ângulo x, da figura a seguir, mede:
e) 3
3
RESOLUÇÃO:
a) 60°
b) 80°
c) 90°
d) 100°
e) 120°
RESOLUÇÃO:
x
x + ––
2
2
9x2
+ (
3)2 = (2
3)2 ⇔ ––– = 9 ⇔ x2 = 4 ⇔
4
x=2
Resposta: B
70° + 90°
x = ––––––––– ⇔ x = 80°
2
MÓDULO 9
Resposta: B
ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA
E POTÊNCIA DE PONTO
1. (FUVEST) – Os pontos A, B e C pertencem a uma circunferência
γ e AC é lado de um polígono regular inscrito em γ. Sabendo que o
ângulo AB̂C mede 18°, podemos concluir que o número de lados do
polígono é igual a:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 10
e) 12
3. (MACKENZIE) – Na figura, as circunferências têm o mesmo
짰 짰
짰 짰
centro O e os menores arcos AB e EF são tais que AB = EF = 40°.
짰
A medida do menor arco CD é:
a) 50°
b) 70°
d) 60°
e) 80°
c) 65°
RESOLUÇÃO:
Se o ângulo AB̂C mede 18°, então o ângulo central AÔC desse polígono
regular mede 36°.
Assim, sendo n o número de lados desse polígono regular, tem-se:
360°
n = –––––– ⇔ n = 10
36°
Resposta: D
RESOLUÇÃO:
40°
α = ––––
2
x – 40°
α = –––––––
2
⇒
40°
x – 40°
⇒ ––––––– = –––– ⇒ x = 80°
2
2
Resposta: E
42 –
C1_SOROCABA_EXER_MAT_2014_Rose 03/12/13 14:16 Página 43
4. (FUVEST) – O valor de x, na figura abaixo, é:
a) 20/3
MÓDULO 10
b) 3/5
ÁREAS DAS FIGURAS PLANAS
c) 1
d) 4
1. A área S de um triângulo equilátero de lado “ᐉ” é dada por:
e) 15
a) S = ᐉ2
ᐉ2
b) S = –––
2
3
ᐉ2 d) S = –––––––
4
ᐉ2 3
e) S = ––––––
2
RESOLUÇÃO:
3
x . 10 = 3 . 2 ⇔ x = ––
5
Resposta: B
ᐉ2 2
c) S = –––––
3
RESOLUÇÃO:
ᐉ . ᐉ . sen 60°
ᐉ2 3
S = ––––––––––––– ⇔ S = –––––––
2
4
Resposta: D
2. (FUVEST) – Na figura seguinte, estão representados um
quadrado de lado 4, uma de suas diagonais e uma semicircunferência
de raio 2.
Então a área da região hachurada é:
5. O valor de x na figura seguinte é:
a) 2
b) 4,5
c) 10
d) 16
e) 24
π
a) –– + 2
2
b) π + 2
c) π + 3
d) π + 4
e) 2π + 1
RESOLUÇÃO:
RESOLUÇÃO:
x . (x + 8) = 12 . (12 + 3) ⇔ x = 10
Resposta: C
––
A semicircunferência e a diagonal AC passam pelo centro O do quadrado
ABCD de lado 4.
Assim, a área S da região hachurada é igual à soma das áreas do triângulo
retângulo MOA e do setor circular MOB, ou seja:
2.2
1
S = –––– + ––– . π . 22 ⇔ S = π + 2
2
4
Resposta: B
– 43
C1_SOROCABA_EXER_MAT_2014_Rose 03/12/13 14:16 Página 44
3. (UNIFESP) – Um comício deverá ocorrer num ginásio de
esportes, cuja área é delimitada por um retângulo, mostrado na figura.
4. (FUVEST) – Numa circunferência de raio 1 está inscrito um
quadrado. A área da região interna à circunferência e externa ao
quadrado é:
a) maior que 2.
b) igual à área do quadrado.
c) igual a π2 – 2.
d) igual a π – 2.
e) igual a π/4.
RESOLUÇÃO:
Por segurança, a coordenação do evento limitou a concentração, no
local, a 5 pessoas para cada 2 m2 de área disponível. Excluindo-se a área
ocupada pelo palanque, com a forma de um trapézio (veja as dimensões
da parte hachurada na figura), quantas pessoas, no máximo, poderão
participar do evento?
a) 2700
b) 1620
c) 1350
d) 1125
e) 1050
RESOLUÇÃO:
A área disponível para o evento, em metros quadrados, é dada pela
diferença entre as áreas do retângulo e do trapézio.
Assim: A = 30 . 18 –
18 + 12
–––––––––
2
. 6 = 540 – 90 = 450 m2
Como a concentração de pessoas está limitada a 5 pessoas para cada 2 m2
de área disponível, o número máximo de pessoas que poderão participar
do evento é igual a:
. 5 = 1125 pessoas
–––––
2
450
Resposta: D
44 –
I) A = π . 12 = π
II) No ΔABC, temos: ᐉ 2 + ᐉ 2 = 22 ⇒ 2ᐉ 2 = 4 ⇒ ᐉ 2 = 2 ⇒ A = 2
III) A = A – A = π – 2
Resposta: D
C1_SOROCABA_Tar_MAT_Rose_2014 03/12/13 14:28 Página 45
FRENTE 1
MÓDULO 1
7. (x – 1) (x2 – 5x + 6) = 0
x2 – 4x + 3
8. –––––––––– = 0
x–3
EQUAÇÕES DO 1o. GRAU
9. (FUVEST) – O conjunto verdade da equação
Resolva, em ⺢, as equações dos exercícios 1 e 2.
1. 3 . (x – 1) + 6 = 0
2 (x + 1)
3 (x + 2)
x+1
2. –––––––– – –––––––– = ––––––
3
4
6
x+2
2
–1
–––––– + –––––– = –––– é
2
x–2
2
a) { – 2}
d) Ø
b) {– 2; – 1}
e) {– 2; 1}
c) {2; – 1}
3. Resolva, em ⺢, as igualdades
a) 5 . (x – 3) = x + 4 . (x – 2)
b) 3 . (2x – 1) + 1 = 2 . (3x – 1)
x–2
x+3
4. O valor de x que satisfaz a equação 3x – ––––– = 5 – ––––– é
3
2
35
43
a) 1
b) zero
c) –––
d) 4
e) –––
17
17
10.(UNICAMP) – Uma transportadora entrega, com caminhões, 60
toneladas de açúcar por dia. Devido a problemas operacionais, em um
certo dia cada caminhão foi carregado com 500kg a menos que o usual,
tendo sido necessário, naquele dia, alugar mais 4 caminhões.
a) Quantos caminhões foram necessários naquele dia?
b) Quantos quilos transportou cada caminhão naquele dia?
MÓDULO 3
5. Numa prova de triatlo, um nono dos competidores inscritos
desistiram após a primeira etapa. Um terço dos restantes foram
desclassificados após a segunda etapa. Os demais, em número de 48,
concluíram a prova. O número de atletas que se inscreveram para essa
competição está entre
a) 50 e 60.
b) 60 e 70.
c) 70 e 80.
d) 80 e 90.
e) 90 e 100.
6. (UFG) – Certa pessoa entra na igreja e diz a um santo: se você
dobrar a quantia de dinheiro que eu tenho, dou-lhe R$ 20 000,00. Dito
isto, o santo realizou o milagre, e a pessoa, o prometido. Muito animada, ela repetiu a proposta, e o santo, o milagre. Feito isto, esta pessoa
saiu da igreja sem qualquer dinheiro. Pergunta-se: quanto em dinheiro
a pessoa possuía ao entrar na igreja?
MÓDULO 2
EQUAÇÕES DO 2o. GRAU
Resolva, em ⺢, as equações de 1 a 8.
1. 6x2 – x – 1 = 0
2. x2 – 8x + 7 = 0
3. x2 – 6x + 9 = 0
4. x2 – 2x + 5 = 0
5. 3x2 + 12x = 0
6. 9 – 4x2 = 0
EQUAÇÕES DO 2o. GRAU (PROPRIEDADES)
1. (UNICAMP) – Determine o valor de m na equação
冢
冣
m–1
8x2 + 2x – –––––– = 0, de modo que o produto de suas raízes seja
2
– 15
igual a ––––– .
8
2. (UFG) – Para que a soma das raízes da equação
(k – 2)x2 – 3kx + 1 = 0 seja igual ao seu produto, devemos ter
1
–1
1
a) k = ± –– b) k = ––– c) k = ––
3
3
3
3
d) k = 兹苵苵
兹苵苵
3
e) k = –––
3
3. A soma dos quadrados das raízes da equação
x2 – 12x + m = 0 é igual a 90. O número real m é tal que
a) m é par.
b) m é divisível por 9.
c) m é primo.
d) m é quadrado perfeito.
e) m é divisível por 12.
4. (CATÓLICA SANTOS) – Na equação do 2o. grau ax2+bx+c = 0,
os números a e c têm sinais contrários. Pode-se afirmar que
1) a equação tem duas raízes de sinais contrários.
2) a equação tem duas raízes reais positivas.
3) a equação tem duas raízes reais negativas.
4) a equação pode não ter raízes reais.
5. O conjunto verdade da equação (x2 + 1)2 – 7(x2 + 1) + 10 = 0 é
a) {– 1; – 2}
b) {2; 1}
c) {– 2; – 1; 1; 2}
d) {5; 2}
e) {– 5; – 2; 2; 5}
– 45
C1_SOROCABA_Tar_MAT_Rose_2014 03/12/13 14:26 Página 46
6. O produto das raízes inteiras da equação
(x2 – 3x)2 + (x2 – 3x) – 2 = 0 é igual a
a) – 2
b) – 1
c) 1
d) 2
Nas questões de 5 a 7, resolver, em , as inequações:
2x + 1
2–x
5. ––––––– – –––––– > 1
5
3
e) 4
x–1
x–3
x–2
6. x – –––––– > –––––– – ––––––
2
4
3
MÓDULO 4
SISTEMAS DE EQUAÇÕES
1. Resolver o sistema 5x – 1
3x – 13
5x + 1
7. ––––––– – –––––––– > ––––––––
4
10
3
x + 2y = 4
–x+y=–1
MÓDULO 6
2. Há 5 anos a idade de João era o dobro da idade de Maria. Daqui a
5 anos a soma das duas idades será 65 anos. Quantos anos João é mais
velho que Maria?
3. (UDF) – Um aluno ganha 5 pontos por exercício que acerta e perde
3 por exercício que erra. Ao fim de 50 exercícios tinha 130 pontos.
Quantos exercícios acertou?
4. (ESSAP) – 50 pessoas resolveram fazer um churrasco e o total das
despesas seria dividido por todos. Como 10 pessoas resolveram não
participar, cada um dos demais teve que dar mais R$ 5,00. Qual era o
valor total das despesas?
a) R$ 1 000,00
b) R$ 1 500,00
c) R$ 2 000,00
d) R$ 2 500,00
e) n.d.a.
MÓDULO 5
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2o. GRAU
1. (UNIFOR) – O gráfico da função f, de em , definida por
f(x) = x2 + 3x – 10, intercepta o eixo das abscissas nos pontos A e B.
A distância AB é igual a
a) 3
b) 5
c) 7
d) 8
e) 9
2. Em , o conjunto verdade da inequação
ax2 + bx + c > 0 é V = { x ∈ | – 3 < x < 5 }.
Sendo a, b, c ∈ , podemos concluir que
a) a < 0 e b = c
b) a < 0 e 15b = 2c
c) a < 0 e 2b = 15c
d) a < 0 e 15b = 8c
e) a > 0 e 8b = 15c
3. (USF) – A soma das soluções inteiras da desigualdade
x2 – 4 < 2 – x é
a) – 2
b) – 1
c) 0
d) 1
e) 2
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1o. GRAU
1. (USF) – Considere, no plano cartesiano, a reta r, de equação
y = ax + b, abaixo representada.
De acordo com a representação,
é verdadeiro que
a) a < 0 e b > 0
b) a < 0 e b < 0
c) a > 0 e b > 0
d) a > 0 e b < 0
e) a > 0 e b = 0
2. (MACKENZIE) – Em , o produto das soluções da inequação
2x – 3 ≤ 3 é
a) maior que 8.
b) 6.
c) 2.
d) 1.
e) 0.
4. (UNIFOR) – O conjunto solução da inequação
9x2 – 6x + 1 ≤ 0, no universo , é
d)
x ∈ | x ⭓
b) – 1.
c) 0.
d) 1.
e) 2.
4. (UNICAMP) – Numa escola é adotado o seguinte critério: a nota
da primeira prova é multiplicada por 1, a nota da segunda prova é
multiplicada por 2 e a nota da terceira prova é multiplicada por 3. Os
resultados, após somados, são divididos por 6. Se a média obtida por
este critério for maior ou igual a 6,5, o aluno é dispensado das atividades
de recuperação. Suponha que um aluno tenha tirado 6,3 na primeira
prova e 4,5 na segunda prova. Quanto precisará tirar na terceira prova
para ser dispensado da recuperação?
46 –
1
––
3
e)
c)
x ∈ | x ⫽
1
––
3
1
––
3
5. (ESPM) – Qual o domínio da função definida por
x2 – 16 ?
y = a) 0 ≤ x ≤ 4
d) x ⫽ 4
b) x ≤ – 4 ou x ⭓ 4
e) n.d.a.
c) x ⭓ 4
MÓDULO 7
SISTEMA DE INEQUAÇÕES
3. (PUC) – O menor número inteiro k que satisfaz a inequação
8 – 3(2k – 1) < 0 é
a) – 2.
b) a) Ø
1. (UEMT-LONDRINA) – A solução do sistema
3x + 2 < 7 – 2x
48x < 3x + 10
11 – 2(x – 3) > 1 – 3(x – 5)
é o conjunto de todos os números reais x, tais que:
a) – 1 < x < 0
b) – 1 < x < 1
1
d) – 1 < x < ––
3
4
e) – 1 < x < ––
9
2
c) – 1 < x < ––
9
C1_SOROCABA_Tar_MAT_Rose_2014 03/12/13 14:26 Página 47
2. (ACAFE) – A solução de
3. (FATEC) – A solução real da inequação-produto
3x + 5 ⭐ 2x + 3
é:
x2 – 16 ⭐ 0
a) x = – 4
b) x ⭐ 4
d) x ⭐ – 4
e) – 4 ⭐ x ⭐ – 2
(x2 – 4) . (x2 – 4x) ⭓ 0 é:
c) – 4 ⭐ x ⭐ 1
a) S = {x ∈ – 2 ⭐ x ⭐ 0 ou 2 ⭐ x ⭐ 4}
b) S = {x ∈ 0 ⭐ x ⭐ 4}
c) S = {x ∈ x ⭐ – 2 ou x ⭓ 4}
3. Considere A = {x ∈ |
x2
– 7x + 10 ⭓ 0} e
d) S = {x ∈ x ⭐ – 2 ou 0 ⭐ x ⭐ 2 ou x ⭓ 4}
– 4x + 3 < 0}. Podemos afirmar que A ∩ B é o
e) S = Ø
a) 1 < x ⭐ 2
b) 2 < x ⭐ 3
4. (UNIP) – O número de soluções inteiras da inequação
d) 1 < x ⭐ 5
e) 3 < x ⭐ 6
B = {x ∈ x2
conjunto:
c) 2 ⭐ x ⭐ 5
x–3
–––––– ⭓ 2 é:
x–1
a) 0
4. A solução do sistema de inequações
a) x = 1
d) 0 ⭐ x ⭐ 1
b) 0 < x < 1
e) n.d.a.
x2
–1⭓0
x2
–x⭐0
é:
c) x > 1
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
5. (UNISA) – Dada a inequação
(x – 2)8 . (x – 10)4 . (x + 5)2 < 0, o conjunto solução é:
a) {x x ∈ , x < – 5}
b) {x x ∈ , 2 < x < 10}
c) {x x ∈ , – 5 < x < 2}
MÓDULO 8
INEQUAÇÕES: PRODUTO E QUOCIENTE
d) {x x ∈ , – 5 < x < 10}
e) ∅
MÓDULO 9
3
1. O conjunto-verdade da desigualdade ––––– ⭐ 2 é:
x–5
a)
x ∈ : x ⭓ –––2 13
VÉRTICE DA PARÁBOLA
1. (UFOP) – Em relação ao gráfico da função
f(x) = – x2 + 4x – 3, pode-se afirmar:
b)
x ∈ : 5 < x ⭐ –––2 c)
13
a) É uma parábola de concavidade voltada para cima.
b) Seu vértice é o ponto V (2; 1).
c) Intercepta o eixo das abscissas em P(– 3; 0) e Q (3; 0).
d)
e)
13
x ∈ : x ⭐ 5 ou x ⭓ –––
2
x ∈ : x < 5 ou x > –––2 13
13
x ∈ : x < 5 ou x ⭓ –––
2
d) O seu eixo de simetria é o eixo das ordenadas.
e) Nenhuma das respostas anteriores.
2. (ACAFE) – Seja a função f(x) = – x2 – 2x + 3 de domínio [–2; 2].
O conjunto-imagem é:
2. (PUC-RIO) – No universo , o conjunto-solução da
x–3
inequação –––––––– < 0 é:
3x – x2
a) {x ∈ x > 0}
b) {x ∈ x > 3)
c) {x ∈ x < 0 ou x > 3}
d) {x ∈ 0 < x < 3}
a) [0; 3]
b) [– 5; 4]
d) [– 3; 1]
e) [– 5; 3]
c) ]– ∞; 4]
3. O gráfico do trinômio do 2º. grau ax2 – 10x + c é o da figura:
Podemos afirmar que:
a) a = 1 e c = 16
b) a = 1 e c = –10
c) a = 5 e c = – 9
d) a = 1 e c = 10
e) a = –1 e c = 16
e) {x ∈ x > 0 e x ≠ 3}
– 47
C1_SOROCABA_Tar_MAT_Rose_2014 03/12/13 14:26 Página 48
4. (UFSM) – Sabe-se que o gráfico representa uma função quadrática.
Esta função é:
x+y
–––––
2
7. Se as sequências 3; 3x; 3
e (2; y; 3x) são, respectivamente,
uma progressão geométrica e uma progressão aritmética, o valor de
y – x é:
a) 1
b) – 1
c) – 2
d) 2
e) 0
8. (PUC) – O conjunto-solução da equação A . B = C, em que
A = ex2, B = e2x – 4 e C = e–1, está contido no conjunto:
a) {– 2, – 1, 1, 2}
b) {– 3, – 1, 1, 3}
c) {– 3, – 2, 2, 3}
d) {– 4, – 2, 2, 4}
e) n.d.a.
x2
3
+ x + –––
a) –––
2
2
3
x2
– x – –––
b) –––
2
2
9. (MACKENZIE) – A solução da equação 8x – 5x = 0 é:
9
x2
– x – –––
c) –––
2
2
d) x2 – 2x – 3
a) log58
e) x2 + 2x – 3
5
c) ––
8
b) log85
8
d) ––
5
e) 0
10. (FEI-MAUÁ) – Resolver a equação exponencial 7x + 7x – 1 = 8x.
11. (UNISA) – Dada a expressão 32x – 1 > 27, conclui-se que:
5. (FATEC) – O gráfico de uma função polinomial f do 2º. grau tem a
reta x = 3 como eixo de simetria. Se o módulo da diferença entre as
raízes de f é 6 unidades e f tem valor máximo igual a 12, então:
a) {x ∈ x > 2}
b) {x ∈ x = 2}
c) {x ∈ x < 2}
d) {x ∈ x < 0}
e) n.d.a.
a) f(x) = –
4x2
+ 5x – 1
4
c) f(x) = – –– x2 – 8x
3
4
b) f(x) = – –– x2 + 48
3
12. Resolva a inequação
d) f(x) = – 4x2 + 144
1. 3x = 243
2.
1
––2 x
1
= ––
16
x
< 0.
1
––
13. (UFSC) – Dada a função y = 3 x , calcule os valores de x para os
4
e) f(x) = – –– x2 + 8x
3
De 1 a 6, resolva:
1
––2 1
quais se tenha y < –– .
9
MÓDULO 10
FRENTE 2
FUNÇÃO EXPONENCIAL
MÓDULO 1
CONJUNTOS
1. Considere o conjunto P = {1, {2}, 3, {4, Ø}} e assinale a alternativa
falsa.
a) {2} ∈ P
b) {{2}; 3} P
c) {3; Ø} P
d) {4} ∉ P
e) {4; Ø} ∈ P
3. 3x > 243
4.
1
––
2
x
1
> ––
16
2. Se {– 1; 2; a; 3; 5} = {– 1; 3; b; 4; c}, com b < c, então (a + c)b é
igual a:
a) 27
b) 36
c) 49
d) 64
e) 81
1
< ––
16
3. (FATEC) – Sendo
A= {2, 3, 5, 6, 9, 13} e B = {ab | a ∈A, b ∈A e a ≠ b},
o número de elementos de B que são números pares é:
a) 5
b) 8
c) 10
d) 12
e) 13
5. 3x < 243
6.
1
––
2
48 –
x
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4. (MACKENZIE) – Dados A, B e C, conjuntos não vazios com
A B, é sempre verdadeiro que:
a) A C = Ø
b) (A B) C c) B C = A
d) (A C) B
e) B C = Ø
partido B e que 200 pessoas não têm rejeição alguma. O número de
indivíduos que rejeitam os dois partidos é:
a) 120 pessoas.
b) 200 pessoas.
c) 250 pessoas.
d) 300 pessoas.
e) 800 pessoas.
5. O número de conjuntos X que satisfazem a relação:
{a; b; c} X {a; b; c; d; e; f} é
a) 2
b) 3
c) 4
d) 8
e) 9
5. Nas 120 pessoas de um pequeno município, observou-se uma
curiosidade; todas eram de grupo sanguíneo A ou O, 42 delas tinham
Rh negativo e 16 pertenciam ao grupo A. Se 72 pessoas possuem Rh
positivo e são do grupo O, a quantidade de pessoas desse município
que são do grupo A e tem Rh negativo é:
6. (U.E.PONTA GROSSA) – Considere dois conjuntos, A e B, tais
que A = {3, 7, x, 5, 9} e B = {1, 5, x, 8, y, 4}. Sabendo-se que
A B = {5, 9, 6}, assinale o que for correto.
01) A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9}
02) A – B = {3, 7}
04) A B
08) 8 ∉ A
16) x + y = 15
MÓDULO 2
CONJUNTOS
1. (UFV) – O número de elementos de um conjunto X é denotado por
n(X). Sejam A e B conjuntos tais que A B tem 30 elementos, A – B
tem 12 elementos e B – A tem 10 elementos. Então, em relação a
n(A) + n(B), é correto afirmar que é um número
a) múltiplo de 19.
b) divisível por 18.
c) divisível por 17.
d) múltiplo de 16.
2. (UFPB) – Em uma pesquisa, várias pessoas foram entrevistadas
acerca de suas preferências em relação a três esportes, vôlei (V),
basquete (B) e tênis (T), cujos dados estão indicados na tabela a seguir:
Esporte
No. de pessoas
V
300
B
260
T
200
VeB
180
VeT
130
BeT
100
V, B e T
50
Nenhum
40
De acordo com esses dados, é correto afirmar que, nessa pesquisa, o
número de pessoas entrevistadas foi:
a) 400
b) 440
c) 490
d) 530
e) 570
3. (LAVRAS) – Uma escola tem 2000 alunos matriculados na 1.a, 2.a
ou 3.a série. 45% dos alunos são mulheres. 30% dos homens estão na
a) 3
b) 6
c) 8
d) 10
e) 12
6. (UNIFEI) – Dos alunos de uma escola infantil, 60 são meninas, 37
crianças são loiras, 20 meninos são não loiros e 13 meninas são loiras.
Quantos alunos existem nessa escola?
a) 60
b) 86
c) 104
d) 130
7. (UNICAMP-adaptado) – Três candidatos, A, B e C, concorrem à
presidência de um clube. Uma pesquisa apontou que, dos sócios entrevistados, 150 não pretendem votar. Entre os entrevistados que estão
dispostos a participar da eleição, 40 sócios votariam apenas no
candidato A, 70 votariam apenas em B, e 100 votariam apenas no
candidato C. Além disso, 190 disseram que não votariam em A, 110
disseram que não votariam em C, e 10 sócios estão na dúvida e podem
votar tanto em A como em C, mas não em B. Finalmente, a pesquisa
revelou que 10 entrevistados votariam em qualquer candidato. Com
base nesses dados, pergunta-se:
a) Quantos sócios entrevistados estão em dúvida entre votar em B ou
em C, mas não votariam em A? Entre os sócios consultados que
pretendem participar da eleição, quantos não votariam em B?
b) Quantos sócios participaram da pesquisa?
MÓDULO 3
PRODUTO CARTESIANO,
RELAÇÕES BINÁRIAS E FUNÇÕES
1. (FUVEST) – Se (m + 2n; m – 4) e (2 – m; 2n) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, então mn é igual a:
1
2
d) 1
e) ––
a) – 2
b) 0
c) 2
2. Considere os conjuntos A = {2; 3; 4} e B = {2; 6; 12; 16} e a relação
binária f(x) = {(x; y) ∈ A × B y = x2 – x}. Pode-se dizer que f é uma
função?
3.a série. 25% dos alunos matriculados estão na 2.a série, sendo que
200 deles são mulheres. Entre os alunos da 1.a série, o número de mu3
lheres é igual a –– do número de homens. O número de mulheres na
5
3.a série é:
a) 282
b) 330
c) 470
d) 300
e) 418
a) – 8
4. (UEL) – Um instituto de pesquisas entrevistou 1 000 indivíduos,
perguntando sobre sua rejeição aos partidos A e B. Verificou-se que
600 pessoas rejeitavam o partido A; que 500 pessoas rejeitavam o
4. Considere os conjuntos A = {2; 3; 4} e B = {5; 7; 8} e a relação
binária f(x) = {(x; y) ∈ A × B y = 2x + 1}. Pode-se dizer que f é uma
função?
3. (UNIFESP) – Um ponto do plano cartesiano é representado pelas
coordenadas (x + 3y; – x – y) e também por (4 + y; 2x + y), em relação
a um mesmo sistema de coordenadas. Nestas condições, xy é igual a:
b) – 6
c) 1
d) 8
e) 9
– 49
C1_SOROCABA_Tar_MAT_Rose_2014 03/12/13 14:26 Página 50
5. Dados os conjuntos A = {0; 1; 2; 3; 4; 5} e B = [– 2; 10], determine
o conjunto imagem da função f: A → B, definida por
f(x) = x2 – 4x + 3. Marque no plano cartesiano todos os pares (x; y) tais
que y = f(x).
f(9) – f(3)
6. Se f(x) = 5x + 3, então ––––––––– é igual a:
3
a) 5
b) 8
c) 10
d) 12
x–3
4. Seja f: A → uma função tal que f(2x + 1) = ––––– , com x ≠ 1.
x–1
O domínio da função f é:
a) – {1}
b) *
d) – {– 1}
e) –
c) – {3}
– –––12 e) 15
5. A função f satisfaz a condição f(p . q) = f(p) + f(q) para todos
7. (U.F.AMAZONAS) – Considere a função f: → definida por
f(x) =
1,0, sese xx éé racional
irracional
a) 2
3) + f(3 + 3) é igual a:
Então: f(3) – f(
a) 1
b) 3
p e q reais. Se f(9) = 4, então f(3) é:
c) 5
d) 6
e) 7
b) 2
c) 1
d) 3
e) 9
6. (FURG) – Sendo f uma função dada por f(x) = 5 + – (x – 2)2, o
conjunto imagem de f é
a) {0}
b) {2}
c) {2; 5}
d) {5}
e) { }
8. Considere a função f : → definida por
x, se x for par
f(x) =
x + 1, se x for ímpar
7. (UNESP) – Se f(x) é a função real de variável real, tal que
f(9x – 4) = x, qualquer que seja x, então [ 3 · f (x) – 1/3 ] é igual a
a) x + 4
b) x + 3
Calcule f(0), f(1), f(2), f(3) e faça uma representação gráfica para tal
função. Determine também o conjunto imagem de f.
d) x + 1/3
e) x/3 + 1
c) x + 1
8. (GAVE) – Na figura, está representado em referencial xOy o
gráfico de uma função f, de domínio [– 2; 7]
MÓDULO 4
DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM
1. Sejam A e B, subconjuntos dos números reais e os respectivos
x – 2 e g(x) = 5 – x. O
domínios das funções definidas por f(x) = produto dos elementos inteiros de A B é:
a) 60
b) 80
c) 100
d) 120
e) 150
2. (U.F.Paraíba) – Considere a função f: [1; 7] → definida por
f(x) = x2 – 6x + 8. Sejam m e M, respectivamente, o menor e o maior
valor que f(x) pode assumir. Determine a média aritmética entre m e M.
3. A figura seguinte representa o gráfico da função f de [1; 5] em .
O conjunto imagem de f é:
Indique o conjunto solução da condição f(x) < 2. Apresente a sua
resposta na forma de união de intervalos de números reais.
9. (UFAM) – Analise o gráfico da função f e assinale a única
alternativa falsa:
a) [2; 3]
b) [3; 7]
d) [2; 7]
e) ]2; 5[
50 –
c) [1; 5]
a) f(1) > f(2)
b) f(0) = –3
d) f(2) = f(5) = 0
e) f(1) < 0
c) –5 ∈ D(f)
C1_SOROCABA_Tar_MAT_Rose_2014 03/12/13 14:26 Página 51
MÓDULO 5
CARACTERÍSTICAS E PROPRIEDADES DA FUNÇÃO
1. Qual das seguintes funções é injetora, com domínio em A e imagem
em B?
4. (FGV) –“Receita bate novo recorde e acumula alta de quase 10%.”
Esta foi a notícia dos jornalistas Fabio Graner e Gustavo Freire para O
Estado de S.Paulo de 19 de outubro de 2007. O corpo da matéria,
ilustrada pelo gráfico abaixo, informava que “a arrecadação da Receita
Federal em setembro totalizou R$ 48,48 bilhões, um recorde para o
mês. De janeiro a setembro ficou em R$ 429,97 bilhões que, corrigidos
pela inflação, somam R$ 435,01 bilhões, com crescimento de 9,94%
ante o mesmo período de 2006. O secretário adjunto da Receita Federal
destacou que, de janeiro a setembro, a expansão das receitas, na
comparação com igual período de 2006, foi de 11,14%”.
Pode-se concluir, então, que
a) a arrecadação da Receita Federal, de janeiro a setembro de 2007, foi
crescente.
b) em setembro de 2007, a Receita Federal arrecadou 10% a mais do
que foi arrecadado em setembro de 2006.
c) a arrecadação de setembro de 2007 foi 11,14% maior que a de
janeiro de 2007.
d) em 2007, a arrecadação foi crescente nos períodos de fevereiro a
abril, e de maio a agosto.
e) no período de julho a setembro de 2007, a arrecadação da Receita
Federal foi decrescente.
2. A função f é injetora e satisfaz a condição f(3p) = f(4q), com p e q
p–q
não nulos. O valor da expressão –––––– é:
q
1
a) –––
2
1
b) –––
3
3
d) –––
4
e) 2
5. Considere a função f: A → B, cujo gráfico é dado a seguir:
4
c) –––
3
3. (UFRN) – Sejam B o conjunto formado por todos os brasileiros e
o conjunto dos números reais. Se f : B → é a função que associa
a cada brasileiro sua altura, medida em centímetros, então f
a) é injetiva e não é sobrejetiva.
b) é injetiva e é sobrejetiva.
c) não é injetiva e é sobrejetiva.
d) não é injetiva e não é sobrejetiva.
Obs.: Admita que existam pelo menos duas pessoas com a mesma
altura.
Pode-se afirmar que
a) f é injetora
b) f é constante no intervalo ]2; 4[
c) Im(f) = [– 3; 4]
d) f(x) ∈ , ∀x ∈ [– 3; 5]
e) f é sobrejetora se, e somente se, B = [1; 5]
– 51
C1_SOROCABA_Tar_MAT_Rose_2014 03/12/13 14:26 Página 52
6. Se a função f: [1; 4] → [a; b], definida por f(x) = x2 – 4x + 5, é
sobrejetora, então a + b é igual a:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
MÓDULO 6
e) 8
7. O gráfico a seguir mostra a pressão sanguínea de um indivíduo no
decorrer do tempo. Para tentar controlar essa pressão a 2 horas do início
da observação, a equipe médica ministrou um medicamento intravenal.
Pode-se dizer que
a) após a aplicação do medicamento a pressão foi estritamente
decrescente.
b) a variação da pressão durante as duas primeiras horas foi maior do
que a variação nas duas horas seguintes.
c) o período em que ela permaneceu constantemente alta foi maior do
que o período gasto para subir.
d) a queda de pressão foi repentina.
e) o remédio aplicado não é totalmente eficaz.
FUNÇÃO COMPOSTA
1. Na figura, temos os gráficos
das funções f e g, de em . O
valor de gof(4) + fog(1) é:
a) 4
b) 3
d) – 2
e) – 4
c) 0
2. (FGV) – Sejam f e g funções reais, tais que:
1
g(y) = ––
y
f(x) = x2 + 1
Então, (fog) (2) é igual a:
a) 0
5
b) ––
4
2
c) ––
5
5
d) ––
2
1
e) ––
5
3. Sejam f e g funções de em definidas por f(x) = 2x + k e
g(x) = mx + 3. Os valores de k e m para que (fog)(x) = 6x + 8,
∀x ∈ , são tais que k + m é igual a:
a) – 2
b) 1
c) 3
d) 5
e) 7
4. (U.F.Paraíba) – Sejam f e g funções de em tais que
f(g(x)) = 2x e f(x) = 4x + 1. Calcule g(1).
8. (GAVE) – João e Miguel são dois irmãos que jogam na equipe Os
Vencedores. João cronometrou o tempo que o seu irmão demorou para
tomar uma ducha nos vestiários. Reparou que Miguel
• durante a ducha só fechou a torneira enquanto se ensaboou;
• demorou 1 minuto e 20 segundos a molhar-se com a torneira sempre
aberta;
• demorou 3 minutos e 5 segundos a ensaboar-se com a torneira
fechada;
• terminou a ducha quando tinham decorridos 6 minutos e 30
segundos após tê-la iniciado.
João verificou que, quando a torneira da ducha está aberta, se gasta 0,6
litro de água em 2 segundos.
a) Quantos litros de água foram gastos por Miguel na ducha?
Apresente os cálculos efetuados.
b) Qual dos gráficos seguintes poderá representar a quantidade de água
gasta por Miguel no banho?
x e
5. (U.F.PARANÁ) – Considere as funções reais f(x) = 2 + g(x) = (x2 – x + 6) . (2x – x2):
a) Calcule (fog)(0) e (gof)(1)
b) Encontre o domínio da função (fog)(x)
6. (U.F.ITAJUBÁ) – Se f e g são funções tais que f(x) = 7x – 4 e
f[g(x)] = x2 – f(x + 1), então g(7) é igual a:
1
a) ––
7
b) 1
c) 4
d) 7
7. Sejam f e g funções, de em , tais que g(x) = 2x + 5 e
fog(x) = 6x + 3. Pode-se afirmar que f –1(x) é igual a
x
a) 3x – 12
b) 3x – 1
c) –– + 3
2
d) 2x + 1
x
e) –– + 4
3
8. (FMCA) – Considere as seguintes funções: f(x) = 4x2 e g(x) = x –1.
Entre os gráficos apresentados, o que melhor representa a função
g (f(x)) é
52 –
C1_SOROCABA_Tar_MAT_Rose_2014 03/12/13 14:26 Página 53
4. (UFPB) – Considere a função f:[0; 2] → [0; 3], definida por:
f(x) =
x2,
0⭐x⭐1
2x – 1, 1 < x ⭐ 2
A função inversa de f está melhor representada no gráfico:
MÓDULO 7
FUNÇÃO INVERSA
1. A maior proeza do ser humano é reconhecer seus erros e saber se
desculpar. A empresa “SEMPRECERTA” calcula o salário de seus
funcionários multiplicando o valor da hora trabalhada pelo número de
horas que cada funcionário trabalhou no mês e desconta R$ 90,00
referentes à assistência médica e ao vale-transporte. Antônio, que ganha
R$ 15,00 por hora, recebeu, no último mês, R$ 2610,00. No entanto, a
empresa não percebeu que a sexta parte das horas trabalhadas são
extras e deveria ter pagado, por essas horas, 20% a mais. Quando
pretendia redimir-se do erro, a empresa notou que a planilha que
fornecia o número de horas trabalhadas no mês havia sido extraviada.
Para ajudar a empresa “SEMPRECERTA”, determine:
a) a função S que fornece o salário em reais com base no número x de
horas trabalhadas por Antônio e a função H que fornece o número
de horas trabalhadas com base no salário y, em reais;
b) a diferença que a empresa deveria pagar para Antônio.
2. (UFT) – Seja f: ]– ∞; 2] → [– 1; ∞[ definida por f(x) = x2 – 4x + 3.
Então a função inversa f –1 é:
x+1
a) f –1(x) = 2 – x+1
b) f–1(x) = –––––––
2
c) f –1(x) = – x+1
d) f –1(x) = 2 + x+1
3
3. (UEPG) – Sobre a função real f(x) = ––––– , assinale o que for
2–x
5. Pedro disse a Paulo:
correto.
01) O gráfico de f(x) intercepta o eixo y em dois pontos distintos.
– Pense em um número natural que eu vou adivinhar o número
pensado. Agora eleve seu número ao quadrado. Acrescente cinco
unidades ao resultado. Divida o novo resultado por 2. Que número deu?
02) Seu domínio é o conjunto D = {x ∈ x ≠ 2}.
04) Se x ∈ e x < 2, então f(x) > 0.
2x – 3
08) A inversa de f(x) é f –1(x) = –––––– .
x
Assim que Paulo deu a resposta, Pedro imediatamente disse o número
que Paulo pensou. Determine a função que, com base no resultado dado
por Paulo, permita descobrir o número pensado.
– 53
C1_SOROCABA_Tar_MAT_Rose_2014 03/12/13 14:26 Página 54
MÓDULO 8
SEQUÊNCIAS E PROGRESSÃO ARITMÉTICA
1. (GAVE-Adaptada) – Considere uma sequência em que o primeiro
termo é 244 e a lei de formação de cada um dos termos a seguir ao
primeiro é:
«Adicionar dois ao termo anterior e depois dividir por três.»
Qual é o quarto termo da sequência?
a) 82
b) 28
c) 10
d) 4
2. A sequência (an) é definida por an = r em que r é o resto da divisão
de n2 por 7.
a) Determine os cinco primeiros termos da sequência e escreva-a.
b) Obtenha a50.
3. (UNESP) – Os coelhos se reproduzem mais rapidamente que a
maioria dos mamíferos. Considere uma colônia de coelhos que se inicia
com um único casal de coelhos adultos e denote por an o número de
casais adultos desta colônia ao final de n meses. Se a1 = 1, a2 = 1 e, para
n ⭓ 2, an + 1 = an + an – 1, o número de casais de coelhos adultos na
colônia ao final do quinto mês será:
a) 13
b) 8
c) 6
d) 5
e) 4
4. O terceiro e o sétimo termos de uma progressão aritmética valem
–1 e 11, respectivamente. O valor do quadragésimo quinto termo dessa
progressão é
a) um número par.
b) um número primo.
c) um quadrado perfeito.
d) um cubo perfeito.
5. Na progressão aritmética (an), a soma do quinto com o sétimo termo
é 44 e a diferença entre o oitavo e o terceiro termo, nesta ordem, é 15.
O sétimo termo da progressão vale:
b) 21
c) 22
d) 23
e) 25
6. Aeromodelos radiocontrolados operam na faixa de frequência de
72 MHz. A primeira frequência autorizada é de 72,010 MHz e, entre
duas frequências adjacentes, há uma diferença de 0,020 MHz. Dois
aeromodelos de mesma frequência não podem operar simultaneamente.
No Brasil, aeromodelistas evitam essa coincidência referenciando-se
sempre ao valor nominal da frequência. No entanto, em outros países
a referência é feita por um número de canal associado à frequência.
Desta forma, ao canal 11 corresponde a frequência 72,010 MHz; ao
canal 12, a frequência 72,030 MHz e assim por diante. A que canal
corresponde a frequência de 72,950 MHz e qual a diferença entre as
frequências associadas aos canais 23 e 47?
7. (UEPB) – Durante 160 dias consecutivos, a programação de uma
TV Educativa apresentará, entre outras atrações, aulas de Matemática
e aulas de Literatura, conforme indicam respectivamente as progressões (2; 5; 8; …; 158) e (7; 12; 17; …; 157), cujos termos representam
54 –
8. (UNESP) – Carla foi escrevendo nas casas de um tabuleiro 100 por
100 os múltiplos positivos de 5, em ordem crescente, conforme a
figura:
5
10
15
20
25
...
495
500
1000
995
990
985
980
...
510
505
1005
→
→
→
→
...
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
←
←
←
←
←
←
←
←
→
→
→
→
→
→
→
→
...
U
Que número Carla escreveu onde se encontra a letra U?
9. Se A = {x ∈ x é múltiplo de 11} e B = {x ∈ 15 ≤ x ≤ 187},
o número de elementos de A B é:
a) 16
b) 17
c) 18
d) 19
e) 20
MÓDULO 9
PROPRIEDADES DA PROGRESSÃO ARITMÉTICA
e) um número não inteiro.
a) 19
as ordenações dos dias no respectivo período. Nesse caso, o número de
vezes em que haverá aula de Matemática e aula de Literatura no mesmo
dia é igual a:
a) 14
b) 9
c) 11
d) 15
e) 10
1. (UFPR) – Os anos bissextos ocorrem de 4 em 4 anos, em geral,
mas a sua caracterização exata é a seguinte: são anos bissextos aqueles
que são divisíveis por 4, mas não por 100; a exceção a essa regra são
os anos divisíveis por 400, que também são bissextos. Assim, o número
de anos bissextos entre 1895 e 2102 é:
a) 50
b) 47
c) 48
d) 49
e) 51
2. Os números (x – 4), (2x – 3) e (x – 1) são, nesta ordem, termos
consecutivos de uma progressão aritmética de razão:
a) – 1
b) 0
c) 2
d) 3
e) 5
3. Os irmãos Antônio, Bene e Carlos possuem respectivamente 15,
4 e 17 mil reais cada um. Bene, querendo comprar um carro, resolveu
pedir emprestado a cada um dos irmãos uma mesma quantia. Ao fazer
isso, notou que as quantias com que os três ficaram formavam, na
ordem Antônio, Bene e Carlos, uma progressão aritmética. Para, daqui
a um ano, devolver a quantia emprestada, com 20% de juros, Bene
deverá desembolsar:
a) R$ 3600,00
b) R$ 4800,00
c) R$ 6000,00
d) R$ 8400,00
e) R$ 9600,00
4. As idades de três irmãos são números inteiros, estritamente
positivos, e formam uma PA. Se a soma das idades é 27 anos, a idade
máxima, em anos, que o irmão mais velho pode ter é:
a) 10
b) 12
c) 15
d) 17
e) 19
C1_SOROCABA_Tar_MAT_Rose_2014 03/12/13 14:26 Página 55
5. Na progressão aritmética (a1; p; 1; q; a5;…), sabe-se que q – p = 8.
O valor do sétimo termo dessa progressão é:
a) – 7
b) 6
c) 10
d) 13
e) 17
6. (MACKENZIE) – O menor valor de n, tal que a soma dos n
primeiros termos da PA (36; 29; 22; ...) seja negativa, é:
a) 12
b) 9
c) 11
d) 8
e) 10
6. Determine a soma dos 9 primeiros termos de uma progressão
aritmética em que a3 + a7 = 8.
7. (ESAMC) – O trigésimo termo da sequência (1; 2; 4; 7; 11; 16; 22;
29; 37; …) é:
a) 436
b) 452
c) 512
d) 528
e) 536
7. (MACKENZIE) – A soma de 3 termos consecutivos de uma
progressão aritmética é 3
2 e o produto deles é 2. A razão dessa
progressão pode ser:
2
a) b) 3
c) 3
2
d) 2
e) 1
8. (UFSCar) – Uma partícula se move ao longo do primeiro quadrante
do plano cartesiano ortogonal a partir do ponto (0; 0), conforme indica
o gráfico a seguir.
8. Numa PA, a soma do primeiro com o décimo primeiro termo é 22.
O quinto termo desta PA é:
a) 4
b) 6
c) 8
d) 11
e) 12
MÓDULO 10
SOMA DOS TERMOS DE
UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA
1. (UNIFESP) – Uma pessoa resolveu fazer sua caminhada matinal
passando a percorrer, a cada dia, 100 metros a mais do que no dia
anterior. Ao completar o 21.º dia de caminhada, observou ter percorrido,
nesse dia, 6 000 metros. A distância total percorrida nos 21 dias foi de:
a) 125 500 m
b) 105 000 m
c) 90 000 m
d) 87 500 m
e) 80 000 m
2. (UFPE) – Os 25 DVDs de uma coleção estão alinhados em ordem
crescente de preço. Além disso, o preço de cada DVD, a partir do
segundo, é superior em R$ 2,00 ao preço do DVD que o antecede. Se
o DVD mais caro custou sete vezes o preço do mais barato, quanto
custou a coleção inteira?
a) R$ 792,00
b) R$ 794,00
d) R$ 798,00
e) R$ 800,00
c) R$ 796,00
3. (UNESP) – Considere os 100 primeiros termos de uma Progressão
Aritmética {a1; a2; a3; ...; a100}. Sabendo-se que a26 + a75 = 300, o
resultado da soma dos seus 100 primeiros termos é:
a) 7 650
b) 15 000
c) 15 300
d) 30 000
e) 30 300
O deslocamento de 1 unidade (vertical ou horizontal) do plano é feito
em 1 minuto pela partícula, com velocidade constante.
Mantido o mesmo padrão de movimento, a partícula atingirá o ponto
(50; 50), a partir do início do deslocamento, em exatas
a) 42 horas e meia.
b) 38 horas.
d) 27 horas.
e) 19 horas e meia.
c) 36 horas e meia.
9. (FGV) – Seja a progressão aritmética (a1; a2; a3; ...), cuja soma dos
p primeiros termos é p . (p – 2). O décimo primeiro termo dessa
sequência é:
a) 15
b) 17
c) 19
d) p – 1
e) 10 . p
10.(FGV) – Chamamos de falsa espiral de dois centros aquela construída da seguinte forma: os dois centros são os pontos A e B.
Traçam-se semicircunferências no sentido anti-horário: a primeira com
centro em A e raio AB, a segunda com centro em B e raio BC, a terceira
com centro em A e raio AD, repetindo esse procedimento em que os
centros se alternam entre A e B, como mostrado na figura abaixo.
4. (UNESP) – Uma pessoa resolve caminhar todos os finais de tarde.
No 1.º dia de caminhada, ela percorre uma distância de x metros. No
2.º dia, ela caminha o dobro do que caminhou no 1.º dia; no 3.º dia,
caminha o triplo do que caminhou no 1.º dia, e assim por diante.
Considerando o período do 1.º ao 25.º dia, ininterruptos, ela caminhou
um total de 243 750 metros.
a) Encontre a distância x percorrida no 1.º dia.
b) Verifique quanto ela terá percorrido no 30.º dia.
5. (UFC) – Seja f uma função polinomial de primeiro grau, crescente
e tal que f(f(x)) = 9x + 8, para todo x real. Sabendo-se que
2; 5; 8; …; 44 é uma progressão aritmética de razão 3, o valor numérico
de f(2) + f(5) + f(8) + … + f(44) é:
a) 1020
b) 1065
c) 1110
d) 1185
e) 1260
Determine a distância entre A e B se, ao completar duzentas semicircunferências, o comprimento total dessa falsa espiral for
100 500π metros.
– 55
C1_SOROCABA_Tar_MAT_Rose_2014 03/12/13 14:26 Página 56
15.Completar o expoente da potência de base 10.
FRENTE 3
a) 241 = 0,241 . 10—
b) 241 = 2,41 . 10—
c) 241 = 24,1 . 10—
d) 0,241 = 2,41 . 10—
e) 0,241 = 24,1 . 10—
f) 0,241 = 241 . 10—
De 1 a 10, completar:
g) 0,000241 = 2,41 . 10—
h) 0,000241 = 24,1 . 10—
1. 34 =
i) 0,003412 = 3,412 . 10—
MÓDULO 1
POTENCIAÇÃO
2. (– 3)4 =
MÓDULO 2
3. – 34 =
4. 30 =
POTENCIAÇÃO
5. 5– 2 =
2
6.
7.
8.
( )
2
––
3
(
(
(
(
3
––
2
1
––
2
0
=
)
)
)
)
2
a) a = 10
b) a = 14
d) a = 24
e) a = 29
c) a = 19
–2
–2
=
2. (UEMT) – Simplificando-se a expressão
[29 : (22 . 2)3]–3, obtém-se:
=
a) 236
1
– ––
2
–2
1
10. – ––
3
–3
9.
2
1. Sabendo-se que [(35) . 35 ] : (33) = 3a, então:
1
e) ––
3
d) 1
3. (FGV) – O valor numérico da expressão abx para
a = 1 000, b = 100 e x = 0,4 é:
=
b) – 0,3
c) – 0,2
d) 0,2
e) 0
b = (– 2)3,
c = 3–2
a) 10 . (1002,4)
b) 1 040
d) 100,4
e) 1003,8
c) 103,8
(0,1) . (0,001) . 10–1
4. Calculando –––––––––––––––––– , obtemos:
10 . (0,0001)
a) 10–1
12.(UNICAMP)
a) Calcule as seguintes potências:
a = 33,
c) 2–6
=
1
11. (VUNESP) – O valor da expressão 5–1 – –– é:
2
a) 0,3
b) 2–36
b) 10 –2
c) 102
d) 103
e) 104
d = (–2)– 3
e
5. Efetuando a divisão ex : ex – 2, teremos:
b) Escreva os números a, b, c e d em ordem crescente.
a) e–2
13. (UEL) – Efetuando-se
5
a) – ––
4
13
b) –––
8
3
––
2
2
1
––
2
–2
5
––
2
( ) ( ) ( )
+
c) 5
.
75
d) –––
8
, obtém-se:
49
e) –––
4
2 0
(– 5)2 – 32 + ––
3
14. (MACKENZIE) ––––––––––––––––––––– é igual a:
1
1
3– 2 + –– + ––
5
2
()
3 150
a) –––––
17
56 –
b) 90
1 530
c) –––––
73
17
d) –––––
3 150
e) – 90
2 – 2x
b) ex
c) e2
d) e
x
–––––
x–2
e) e2x
6. (METODISTA) – Se 75y = 243, o valor de 7–y é:
1
a) ––
3
1
b) ––
6
1
c) –––
15
1
d) –––
30
1
e) – ––
3
7. (CESGRANRIO) – O número de algarismos do produto 517 x 49
é igual a:
a) 17
b) 18
c) 26
d) 34
e) 35
9
8. Se n = 99 , então o algarismo das unidades de n é:
a) 0
b) 1
c) 3
d) 6
e) 9
C1_SOROCABA_Tar_MAT_Rose_2014 03/12/13 14:26 Página 57
9. (PUC-RS) – Considere a tabela a seguir, de potências de a, em que
a é um real positivo e diferente de 1.
x
0,11
0,12
0,14
0,15
ax
m
n
p
q
1
––
a) 4 7
b) 4 21
d) 28 21
e) 56 3
c) 28 3
8 – 18 + 2
2 é igual a:
14. (PUC) – A expressão com radicais Então, o valor de a 4 é:
a) n + p
2 352 corresponde a:
13. (UEMT) – O número
b) m + q
c) n . p
d) p . q
e) m . p
a) 2
b) 12
c) – 3
2
d) – 8
e) 8
MÓDULO 4
MÓDULO 3
RADICIAÇÃO
RADICIAÇÃO
3
2 e 4, determine o maior.
1. Dados os dois números positivos De 1 a 9, calcular:
1
––
1.
2. A expressão 4 2 +
25 =
a) 2
1
–––
8
1
– ––
3
( )
+ 161/4 é igual a:
1
c) ––
8
b) 4
25 =
2. – d) 6
e) 8
3. Calcular o valor numérico da expressão:
25 =
3. ± 3
– – 8 + 16
3
4.
64 =
1
– ––
4
–
1
– ––
2
–2
( )
+8
4
– ––
3
2
2
2
2
––
– ––
4. (FGV) – O valor de –– . 8 3 – –– . 8 3 é:
3
3
a) 1
b) – 1
c) 2,5
d) 0
e) 23
3
– 64 =
5. 3
– 64 =
6. – 5. (PUC-DF) – Assinale a correta:
3
I.
7.
8.
50 . 2=
III.
50
––––– =
2
64 =
– 27 = – 3
1
______
3
=
II. 5– 1/2 = 5
3
3
25 = 23/5
IV. ______
3
a) II e III estão corretas.
b) I e IV estão corretas.
c) I e III estão corretas.
d) todas estão corretas.
3
9.
6. Racionalizando o denominador da expressão
2+
12. (UNIRIO) – O valor de
a) 1
3
a) 2 4
2 +
b) 2
2 + 4.
c) 3
3
b) 2 2
7. (UFAL) – A soma
15 –
, obtemos:
2
9 + 16 ⫽ 9 + 16.
10. Mostre que 11. Calcular
4
______
3
32 +
d) 4
25 –
81 é:
1
a) –– 7
6
3
b) ––
4
3
c) 2
3
–– +
4
c) 1
3
d) 4
e) n.d.a.
4
–– é igual a:
3
5
d) –– 6
6
7
e) –– 3
6
e) 5
– 57
C1_SOROCABA_Tar_MAT_Rose_2014 03/12/13 14:26 Página 58
2 + 3
8. (FUVEST) ––––––––– é equivalente a:
3
6 + 3
2 + 2
a) ––––––––––––––
3
6
5 + 2
b) ––––––––
3
6
3 + d) ––––––––
3
6+3
e) –––––––
6
a)
15 – 3
b)
15 + 3
2
e) –––––––––
2
15 + 3
d) ––––––––
2
6
2 + c) ––––––––
3
15 – 3
c) ––––––––
3
15 + 3
MÓDULO 6
FATORAÇÃO
1. Desenvolva as seguintes expressões:
MÓDULO 5
a) (a + 2)2
b) (a – 2)2
FATORAÇÃO
d) (9 + xy)2
e) (4m – 3n)2
f) (x + 2)(x2 – 2x + 4)
g) (4 – m)(16 + 4m + m2)
c) (9 + x)2
1. Fatore as seguintes expressões:
a) 4x – 2y
b) xy + x2y + 3xy2
2. Fatore as seguintes expressões:
c) 3a + 2a2 + 5a3
d) 3a + 6a2 + 9a3
a) a2 + 10x + 25
b) 9 – 6m + m2
e) 4x + 2y + 2ax + ay
f) 3x – 3y + ax – ay
c) 64 – 16mn + m2n2
d) 8 + x3
e) 8 – x3
f) a3 + 8n3
g)
a2
–9
h)
i) 4m2 – 1
4x2
– 25
3. Calcular o valor numérico da expressão
j) (a + b)2 – (a – b)2
(a2 + 2ab + b2) – (a2 – 2ab + b2), sabendo-se que
a + b = – 9 e a – b = 13.
k) x4 – y4
2. (MED. SANTOS) – Calcular 934 2872 – 934 2862:
a) 1 868 573
b) 1 975 441
d) 1
e) n.d.a.
4. A diferença entre o quadrado da soma de dois números inteiros e a
soma dos seus quadrados pode ser:
a) 3
b) 5
c) 6
d) 7
e) 9
c) 2
1
1
5. Sabendo que x + –– = 5, determine o valor de x2 + ––– .
x
x2
3. (UFES) – Calcule o valor da expressão:
[102
+
202
+
302
+…+
1002]
–
[92 +
192
+
292
+…+
992]
4. (FUVEST) – Decomponha em fatores do 1o. grau: 6x2 – 5xy + y2.
5. Sendo x = 351 012 e y = 351 011, determine o valor de
x2 – y2
_________
x+y
.
6. x2m – 1 é igual a:
a) (xm + 1) (xm – 1)
b) (xm + 1)2
d) xm (x2 – 1)
e) (xm – 1)2
1
––
1
– ––
10 , então a + a–1 vale:
6. (MACKENZIE) – Se a 2 + a 2 = –––
3
100
a) ––––
9
82
b) –––
3
c)
82
–––
9
100
d) –––
82
e)
16
–––
9
c) (xm + 1) (x – 1)
7. (UFMG) – Considere o conjunto de todos os valores de x e y para
os quais a expressão a seguir está definida. Nesse conjunto, a
7. (PUC-MG) – A diferença entre os quadrados de dois números
ímpares, positivos e consecutivos é 40. Esses números pertencem ao
intervalo:
a) [3;9] b) [4;10]
c) [8;14]
d) [10;15]
e) [11;14]
2
3
8. Racionalizando-se o denominador da fração ––––––––– , obtém-se:
5 – 3
58 –
x2 y2
––– – –––
y2 x2
expressão equivalente a M, sendo M = ––––––––––––––– , é:
1
2
1
––– + ––– + –––
2
xy
y2
x
a) (x – y) . (x + y)
b) (x – y) . (x2 + y2)
c) (x – y)/(x2 + y2)
d) (x – y)/(x + y)
e) (x –
y)(x2
+
y2)/(x
+ y)
C1_SOROCABA_Tar_MAT_Rose_2014 03/12/13 14:26 Página 59
x6 – y6
8. O resultado da operação ––––––––––––
, para x = 5 e y = 3, é
x2 + xy + y2
igual a:
a) 304
b) 268
c) 125
d) 149
b) 3 fatores.
d) 5 fatores.
e) 6 fatores.
5.
e) 98
9. Na fatoração completa de x8 – 1, encontramos
a) 2 fatores.
4.
6.
c) 4 fatores.
10. (ESPM) – A expressão (a + b + c)2 é igual a:
a) a2 + 2ab + b2 + c2
+
b2
+
b2
+
b2
7. Determinar o sen α e a tg α no triângulo a seguir.
b)
a2
+
c2
c)
a2
+ 2ab + 2ac + 2bc
+
c2
d)
a2
+ 2abc
+
c2
e)
a2
+ 4abc
+ 2ab + b2 + 2bc + c2
8. (MACKENZIE) – A área do paralelogramo da figura a seguir é
igual a:
MÓDULO 7
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
DE UM ÂNGULO AGUDO
1. Considere o triângulo retângulo ABC a seguir e determine:
a) 123 cm2
d) 24 cm2
^
a) sen B
^
b) cos B
^
c) tg B
^
d) cossec B
^
e) sec B
^
f) cotg B
^
g) sen C
^
h) cos C
^
i) tg C
^
j) cossec C
^
k) sec C
^
l) cotg C
b) 243 cm2
e) 48 cm2
c) 12 cm2
9. (PUCCAMP) – A fim de medir a largura de um rio, num certo
local, adotou-se o seguinte procedimento: marcou-se um ponto B numa
margem; 30 m à direita marcou-se um ponto C, de tal forma que
— —
^
AB ⊥ BC ; do ponto C mediu-se o ângulo BCA, encontrando-se 30°.
Dessa forma, conclui-se que a largura AB do rio é:
Determinar o valor de x nas questões de 2 a 6.
2.
3.
3
a) ––––
m
3
10 3
b) ––––––
m
3
d) 103 m
e) 503 m
c) 5 3 m
10.(CESGRANRIO) – Uma escada de 2 m de comprimento está
apoiada no chão e em uma parede vertical. Se a escada faz 30° com a
horizontal, a distância do topo da escada ao chão é de:
a) 0,5 m
b) 1 m
c) 1,5 m
d) 1,7 m
e) 2 m
– 59
C1_SOROCABA_Tar_MAT_Rose_2014 03/12/13 14:26 Página 60
11. (UEL) – Com respeito aos pontos A, B, C, D e E, representados na
figura abaixo, sabe-se que CD = 2BC e que a distância de D a E é
12 m. Então, a distância de A a C, em metros, é:
MÓDULO 8
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
DE UM ÂNGULO AGUDO (CONTINUAÇÃO)
1. Sendo x e y ângulos agudos, assinale verdadeiro (V) ou falso (F).
a) ( ) (sen x)2 = sen2 x2
b) ( ) (sen x)2 = sen2 x
c) ( ) sen2 x + cos2 x = 1
d) ( ) sen2 x + cos2 y = 1
e) ( ) sen x + cos x = 1
a) 6
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1
12.(VUNESP) – Do quadrilátero ABCD da figura a seguir, sabe-se
que os ângulos internos de vértices A e C são retos; os ângulos CDB e
ADB medem, respectivamente, 45° e 30°; o lado CD mede 2 dm.
Então, os lados AD e AB medem, respectivamente, em dm:
a)
6 e 3
b)
5 e 3
c)
6 e 2
d)
6 e 5
e)
3 e 5
sen x
f) ( ) tg x = ––––––
cos x
cos x
1
g) ( ) cotg x = ––––– = ––––
sen x
tg x
1
h) ( ) sec x = –––––
cos x
1
i) ( ) cossec x = –––––
sen x
x
x
j) ( ) sen2 –– + cos2 –– = 1
2
2
4
2. Sendo x um ângulo agudo e sen x = –– , obter cos x e tg x.
5
3. Demonstre que, sendo x um ângulo agudo, a igualdade
cossec2 x = 1 + cotg2 x é verdadeira.
Simplificar as expressões 4 a 8:
13.(PUCCAMP) – A figura a seguir é um corte vertical de uma peça
usada em certo tipo de máquina. No corte, aparecem dois círculos, com
raios de 3 cm e 4 cm, um suporte vertical e um apoio horizontal.
sen x . cotg x
4. –––––––––––––
1 – sen2x
5.
(1 + cos x) . (1 – cos x)
––––––––––––––––––––––
sen2x
6.
sen2 x + cos2 x
––––––––––––––
cotg x
sec x – cos x
7. –––––––––––––––
cossec x – sen x
cos x . tg x
8. –––––––––––––––––––––
(1 + cos x) . (1 – cos x)
A partir das medidas indicadas na figura, conclui-se que a altura do
suporte é:
a) 7 cm
b) 11 cm
c) 12 cm
d) 14 cm
e) 16 cm
60 –
9. (MACKENZIE) – Sendo 4 sen x = 3 cos x, para qualquer valor
real de x, então tg x vale:
3
a) ––
4
4
b) ––
3
c) 1
3
d) – ––
4
4
e) – ––
3
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10. Sendo x um ângulo agudo e cos x = 2/3, determinar o valor de
sen x.
2
11. Sendo sen x + cos x = –– , obter o valor da expressão sen x . cos x.
3
MÓDULO 10
ARCO OU ÂNGULO TRIGONOMÉTRICO
1. Obter a primeira determinação positiva dos arcos com medidas:
12. Seja x um número real pertencente ao intervalo [0, π/2]. Se
a) 1000°
sec x = 3/2, então tg x é igual a:
b) – 1210°
a)
2/3
b) 2/3
c) 1/2
d)
5 /2
e)
3/2
13. Se x ∈ – {kπ}, k ∈ , então qual o valor numérico da expressão
(1 + cotg2x) . (1 – cos2x)?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
c) 1500°
2. Determinar o conjunto das determinações dos arcos assinalados nas
figuras.
f) 5
MÓDULO 9
ARCOS DA CIRCUNFERÊNCIA
1. Calcular o menor dos ângulos formados pelos ponteiros de um
relógio que está indicando:
a) 1h
b) 1h 15min
c) 1h 40min
2. (UEL) – A medida do menor ângulo determinado pelos ponteiros
de um relógio que marca 10h 20min é:
a) 170°
b) 165°
c) 160°
d) 155°
e) 150°
3. Um arco de circunferência mede 10 cm e o raio da circunferência
mede 5 cm. Calcular a medida do arco em radianos.
 , tal
4. Sobre uma circunferência de raio 10 cm, marca-se um arco AB
 mede 10 cm. Determine o comprimento do arco AB
.
que a corda AB
5. (UFRN) – Se um ângulo mede 40°, então sua medida em radianos
vale:
π
a) ––
3
π
b) ––
4
2π
c) –––
9
3π
d) –––
7
5π
e) –––
6
6. (UFPA) – Qual a medida em radianos de um arco de 135°?
π
a) ––
4
π
b) ––
2
3π
c) –––
4
d) π
5π
e) –––
4
– 61
C1_SOROCABA_Tar_MAT_Rose_2014 03/12/13 14:26 Página 62
3. Determine no ciclo trigonométrico, em cada um dos casos a seguir,
a primeira determinação positiva (em graus e radianos) dos arcos com
extremidades indicadas.
2. Determine o valor de α na figura.
a)
3. Na figura, x vale:
b)
a) 20°
b) 30°
c) 35°
d) 38°
e) 40°
4. Na figura, as retas r e s são paralelas. A medida do ângulo x é:
c)
a) 90°
b) 100°
c) 110°
^ na figura.
5. Se r // s, determine α
d) 120°
e) 130°
4. Representar no ciclo trigonométrico as imagens dos números reais
x, em cada caso abaixo.
π
a) x = ––– + n . 2π (n ∈ )
3
b) x = 120° + n . 180° (n ∈ )
c) x = ± 60° + n . 180° (n ∈ )
FRENTE 4
MÓDULO 2
MÓDULO 1
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA GEOMETRIA PLANA
TRIÂNGULOS: DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES
1. O valor de x na figura é:
1. O valor de x na figura é:
a) 100°
62 –
b) 110°
c) 120°
d) 130°
e) 140°
a) 100°
b) 105°
c) 110°
d) 115°
e) 120°
C1_SOROCABA_Tar_MAT_Rose_2014 03/12/13 14:26 Página 63
2. Calcule x na figura.
MÓDULO 3
TRIÂNGULOS: CLASSIFICAÇÃO E CONGRUÊNCIA
1. Num triângulo isósceles, o ângulo do vértice mede 58°. Calcule a
medida dos ângulos externos da base.
2. Um ângulo externo da base de um triângulo isósceles mede 108°.
Calcule a medida do ângulo externo do vértice.
3. Os ângulos de um triângulo medem, respectivamente, 3x, 4x e 5x.
Então, x vale, em graus:
a) 125°
b) 55°
c) 35°
d) 65°
e) 15°
3. Num triângulo isósceles, a soma dos ângulos da base é oito vezes
o ângulo do vértice. Calcule as medidas dos ângulos internos do
triângulo.
^
4. Determine x na figura.
^
^
—
—
4. Na figura a seguir, calcule os ângulos A, B e C, sendo AD ≅ CD,
↔
↔
^
CD ⊥ BC e ADC = 130°.
5. Determine os valores de x, y e z na figura.
^
^
5. Calcule os ângulos A e C do triângulo ABC da figura, sendo
^
^
—
—
B = 20°, BDC = 105° e AC ≅ AD.
6. No triângulo ABC da figura abaixo, BI e CI são bissetrizes dos
^
^
^
ângulos internos B e C, e a medida do ângulo A é 40°. A medida do
^
ângulo BIC é:
6. Num triângulo isósceles, um ângulo externo vale 30°10’. O(s)
valor(es) possíveis para os ângulos côngruos é (são):
a) somente 15°5’
b) 15°5’ e 140°50’
c) somente 20°30’
d) 20° e 140°
e) somente 10°05’
^ ^
^
7. Calcule os ângulos B e C do ΔABC, sabendo que A = 40° e os
triângulos ADE, BDE e BCE são isósceles, conforme a figura a seguir.
a) 80°
b) 90°
c) 10°
d) 110°
e) 120°
7. Um dos ângulos externos de um triângulo é o triplo do ângulo
interno adjacente, e a diferença entre as medidas dos outros dois
ângulos internos é 35°. Calcule os ângulos internos do triângulo.
8. Num triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa forma com
a bissetriz do ângulo reto um ângulo de 15°. Calcule os ângulos agudos.
– 63
C1_SOROCABA_Tar_MAT_Rose_2014 03/12/13 14:26 Página 64
MÓDULO 4
MÓDULO 5
POLÍGONOS: DEFINIÇÃO,
CLASSIFICAÇÃO E PROPRIEDADES
QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS
E LINHAS PROPORCIONAIS
1. O número de diagonais de um icoságono convexo é:
a) 130
b) 140
c) 150
d) 160
e) 170
1. (UNIP) – O quadrilátero ABDE é um quadrado e o triângulo ABC é
^
equilátero. O ângulo C DA vale:
2. Um polígono tem 9 diagonais. O número de lados é:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 11
3. O número de lados de um polígono é a terça parte do número de
diagonais. O número de lados do polígono é:
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
a) 15°
b) 20°
c) 25°
d) 30°
e) 35°
4. A soma dos ângulos internos de um decágono convexo é:
a) 720°
b) 900°
c) 1440°
d) 1800°
e) 2160°
2. Na figura a seguir, ABC é um triângulo equilátero e BCDE é um
^
quadrado. O ângulo A FD mede:
5. Cada um dos ângulos internos de um pentágono regular mede:
a) 90°
b) 105°
a) 9°
c) 120°
d) 135°
b) 108°
c) 36°
d) 72°
e) 90°
e) 150°
6. O ângulo externo de um polígono regular mede 18°. O número de
lados do polígono é:
a) 10
b) 15
c) 20
d) 30
e) 16
7. A soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é
720°. O número de lados do polígono é:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
3. Na figura abaixo, ABCD é um quadrado e ABE é um triângulo
^
equilátero. A medida do ângulo BDE é:
e) 7
8. A soma dos ângulos assinalados é:
a) 10°
b) 15°
c) 20°
d) 25°
e) 30°
4. (UnB) – Considere a figura abaixo. Sabendo que os segmentos
—— —
AB, BC e A’B’ têm comprimentos 4 cm, 2 cm e 8 cm, respectivamente,
—
determine o comprimento do segmento B’C’.
a) 90°
b) 180°
c) 200°
d) 360°
e) 380°
9. Três polígonos convexos têm, respectivamente, n, n + 1, n + 2
lados. A soma dos ângulos internos desses polígonos é 1620°.
Determine o valor de n.
64 –
C1_SOROCABA_Tar_MAT_Rose_2014 03/12/13 14:26 Página 65
Enunciado para as questões 5, 6 e 7:
Um feixe de quatro paralelas determina sobre uma transversal os
pontos A, B, C e D e sobre outra, os pontos E, F, G e H.
São dados AB = 1,2 m, BC = 30 dm, CD = 4,5 m e EH = 34,8 m.
3. Um retângulo cuja base é o dobro da altura está inscrito em um
triângulo de base 16 cm e altura 10 cm, conforme a figura. Calcule o
perímetro desse retângulo.
—
5. A medida de EF é:
a) 4,3 m
b) 4,4 m
d) 4,8 m
e) 50 dm
c) 4,6 m
— —
6. A soma das medidas dos segmentos EF + FG é:
a) 16,3 m
b) 16,8 m
d) 18,6 m
e) 18 m
—
7. A medida do segmento FG é:
a) 10 m
b) 12 m
d) 20 m
c) 18,3 m
4. Calcule x no trapézio da figura abaixo.
c) 15 m
e) 26 m
8. Três terrenos têm frentes para a rua A e para a rua B, conforme a
figura. As divisas laterais são perpendiculares à rua A. Qual a medida
de frente para a rua B de cada lote, sabendo-se que a frente total para
essa rua é 120 m?
5. Calcule x na figura.
6. (MACKENZIE) – Na figura, AH = 4, BC = 10 e DC = 8. A medida
de AB é:
a) 4,8
b) 5,2
c) 5,0
d) 4,6
e) 5,4
MÓDULO 6
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
1. (FUVEST) – A sombra de um poste vertical, projetada pelo sol
sobre um chão plano, mede 12 m. Nesse mesmo instante, a sombra de
um bastão vertical de 1 m de altura mede 0,6 m. A altura do poste é:
a) 6 m
b) 7,2 m
c) 12 m
d) 20 m
e) 72 m
2. (MAUÁ) – A figura abaixo mostra um quadrado, inscrito num
triângulo de base 20 cm e altura 12 cm. Calcule o lado desse quadrado.
7. (UFSE) – Na figura abaixo, são dados AC = 8 cm e CD = 4 cm. A
—
medida de BD é, em centímetros:
a) 9
b) 10
c) 12
d) 15
e) 16
– 65
C1_SOROCABA_Tar_MAT_Rose_2014 03/12/13 14:26 Página 66
MÓDULO 7
6.
RELAÇÕES MÉTRICAS
NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
1. O terceiro lado do triângulo mede:
a) 3
b)
41
c)
37
d) 4
e)
34
7. (PUC) – Na figura a seguir, os segmentos são medidos em metros.
2. O valor de x na figura é:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
O segmento x
a) vale 11 m.
b) vale 105 m.
c) é impossível saber, pois 43 não tem raiz exata.
3. Na figura abaixo, x vale:
d) vale 7 m.
a) 5 m
b)
47 m
8. O valor de x na figura, em que b é conhecido, é dado por:
c) 47 m
d) 25 m
e) 12 m
Calcule x nas figuras de 4 a 6.
4.
2b
5
a) ––––––
5
10
b) b
d) 2b
e) 1
9. Com os dados da figura, calcule h.
5.
66 –
c) b2
C1_SOROCABA_Tar_MAT_Rose_2014 03/12/13 14:26 Página 67
10. (FEI) – Calcule o comprimento x na tangente exterior, comum a
duas circunferências tangentes externas, de raios r e r’.
4. (FUVEST) – Na figura abaixo, A, B, C são pontos de tangência.
Então, x vale:
3
a) ––––
16
1
b) ––
8
1
d) ––––
32
1
e) ––––
16
3
c) ––––
32
MÓDULO 8
LUGARES GEOMÉTRICOS
E PONTOS NOTÁVEIS DO TRIÂNGULO
1. Responda V ou F conforme as afirmações sejam verdadeiras ou
falsas.
a. ( ) Num triângulo isósceles, o circuncentro coincide com o baricentro.
b. ( ) Num triângulo equilátero, o ortocentro coincide com o baricentro.
c. ( ) Se o ortocentro é vértice, o triângulo é retângulo.
d. ( ) Se o incentro está na mediatriz, o triângulo é isósceles.
e. ( ) Num triângulo isósceles, a mediana e a bissetriz em relação à
base são coincidentes.
f. ( ) Em qualquer triângulo, o baricentro é interno.
g. ( ) Em qualquer triângulo, o incentro é interno.
h. ( ) Em qualquer triângulo, o circuncentro é interno.
i. ( ) Se o circuncentro é externo, o triângulo é obtusângulo.
j. ( ) Se o circuncentro é interno, o triângulo é equilátero.
k. ( ) Se o triângulo é retângulo, o circuncentro é o ponto médio da
hipotenusa.
l. ( ) Se o triângulo é obtusângulo, o ortocentro é externo.
5. Sendo B o baricentro de um triângulo isósceles AMN, em que
m = n = 10 cm e a = 16 cm, então AB vale:
a) 5 cm
b) 4 cm
c) 6 cm
10
3
d) –––––– cm
3
e) 5
3 cm
6. (FUVEST) – A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 20 cm,
e um dos ângulos, 20°.
a) Qual a medida da mediana relativa à hipotenusa?
b) Qual a medida do ângulo formado por essa mediana e pela bissetriz
do ângulo reto?
MÓDULO 9
ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA
E POTÊNCIA DE PONTO
2. Sendo I o incentro do triângulo, determine o valor do ângulo BÂC.
1. Determine x nas figuras.
a)
3. Na figura, sendo B o baricentro, determine AB.
b)
– 67
C1_SOROCABA_Tar_MAT_Rose_2014 03/12/13 14:26 Página 68
c)
^
5. (MACKENZIE) – Na figura abaixo, sabe-se que m(CAD) = 20º e
^
^
m(CED) = 70°. Então, AMB é igual a:
a) 50º
b) 45º
c) 60º
d) 22º30’
e) 30º
d)
^
2. Na figura, ADC = 60°; então, x vale:
a) 120°
––
6. (FEI) – Na figura abaixo, AB é tangente à circunferência no ponto
–– ––
B e mede 8 cm. Se AC e CD têm a mesma medida x, o valor de x, em
cm, é:
a) 4
b) 43
c) 8
d) 32
e) 42
b) 100°
c) 40°
d) 60°
e) 200°
3. Calcule x na figura, sabendo que O é o centro da circunferência.
7. (UEPA) – Na figura abaixo, sabe-se que PA = 3PC. Então,
a) PB = 4PC.
b) PB = 9PC.
d) PB = 3PC.
e) 3PB = 4PC.
c) 2PB = 3PC.
4. (UCSAL) – A medida do ângulo x representado na figura é:
a) 10°
b) 15°
c) 20°
d) 25°
e) 30°
8. (FUVEST) – O raio da circunferência da figura é 2,5 cm e
AT = 6 cm (T é o ponto de tangência). Então, AB = x vale:
a) 2
b) 9
c) 3
d) 2,5
e) 4
68 –
C1_SOROCABA_Tar_MAT_Rose_2014 03/12/13 14:26 Página 69
b)
c)
9. (FEI) – Se AB = 10 cm, então o perímetro do triângulo hachurado
vale (E, B e T são pontos de tangência):
a) 10 cm
b) 15 cm
c) 20 cm
d) 30 cm
e) 32 cm
d)
e)
10. A circunferência está inscrita no triângulo ABC em que AB = 8,
AC = 9 e BC = 7. Então, x vale:
a) 1,5
b) 2,8
c) 3,0
d) 4,6
e) 5,0
f) Triângulo equilátero
MÓDULO 10
ÁREAS DAS FIGURAS PLANAS
2.
a)
b)
c)
d)
e)
(UFSC) – A área da figura sombreada é:
4–π
4 (1 – π)
2 (2 – π)
4
π
1. Calcule as áreas das figuras:
a)
3. (UNIV. METODISTA DE SÃO PAULO) – Um trapézio retângulo
tem base maior 15 cm, base menor 9 cm e altura 8 cm. A medida do
lado não perpendicular às bases e a área do trapézio valem, respectivamente,
a) 17 cm e 192 cm2.
b) 10 cm e 96 cm2.
c) 10 cm e 192 cm2.
d)
10 cm e 96 cm2.
e) 17 cm e 96 cm2.
– 69
C1_SOROCABA_Tar_MAT_Rose_2014 03/12/13 14:26 Página 70
4. (UFMA) – No triângulo ABC, D é o ponto médio do lado AC.
6. (FGV) – A área da figura sombreada, no diagrama abaixo, vale:
Sendo S1 a área do triângulo ABD e S2 a área do triângulo BCD,
a) 4,0
podemos afirmar que:
a) S1 = S2
1
b) S1 = –– S2
2
2
d) S1 = –– S2
3
2
e) S2 = –– S1
3
Se S1 representa a área do triângulo ABC, S2 representa a área do
—
paralelogramo ADEF e B é o ponto médio do segmento AD, então
S1
a razão ––– é igual a:
S2
70 –
b) 4
c) 1/4
c) 3,0
d) 4,5
e) 5,0
1
c) S2 = –– S1
2
5. (UFCE) – Sejam r e s retas paralelas conforme a figura.
a) 1
b) 3,5
d) 2
e) 1/2
7. (UFPE) – Na figura seguinte, o quadrado ABCD tem área igual a
100 cm2. Sabe-se que AE = AF e as medidas de AE e EB estão na razão
de 1 para 4. A área da região sombreada é, em cm2:
a) 63
b) 59
c) 64
d) 70
e) 58
C1_SOROCABA_Tar_MAT_Rose_2014 03/12/13 14:26 Página 71
FRENTE 1
MÓDULO 9
1) B
MÓDULO 1
b) V = 1) V = {– 1}
2) V = {– 4}
3) a) V = Ø
4) C
5) D
6) R$ 15 000,00
MÓDULO 2
–1 1
1) V = ––– , ––
3
2
2) V = {1, 7}
5) V = {– 4, 0}
–3 3
6) V = ––– , ––
2 2
8) V = {1}
9) E
3) 3
MÓDULO 3
1) m = 31
2) C
4) Alternativa (1) 5) C
4) x < 4
6) x > 4
7) D
8) B
9) E
12) Ø
10) x = 1
1
13) – ––
2 <x<0
FRENTE 2
MÓDULO 1
2) E
6) 02, 08, 16
3) C
4) D
MÓDULO 2
2) 15 anos
3) 35
4) A
1) A
2) B
3) E
4) D
5) D
6) C
7) Utilizando o Diagrama de Venn, tem-se a seguinte distribuição
da quantidade de sócios entrevistados:
MÓDULO 5
1) A
5) x < 5
3) x > 5
6) D
MÓDULO 4
1) V = {(2, 1)}
5) E
2) x = 4
1) C
5) D
3) B
4) B
1) x = 5
7) V = {1, 2, 3}
10) a) 24 caminhões b) 2 500 kg
3) A
MÓDULO 10
11) A
4) V = Ø
2) B
2) E
3) E
5) V = {x ∈ | x > 2}
4) No mínimo 7,9
6) V = {x ∈ | x > – 1}
7) V = {x ∈ | x < 1}
MÓDULO 6
1) C
2) B
3) A
4) C
5) B
a) O número de sócios entrevistados que estão em dúvida entre
votar em B ou em C, mas não votariam em A (conjunto
(B C) – A) é 20.
O número de sócios consultados que pretendem participar
da eleição, mas não votariam em B (conjunto (A B C) – B)
é 150.
b) O número de sócios que participaram da pesquisa é 400.
MÓDULO 7
1) C
2) E
3) A
4) A
MÓDULO 8
1) E
2) E
Respostas: a) 20 e 150
3) D
4) C
b) 400
5) E
– 71
C1_SOROCABA_Tar_MAT_Rose_2014 03/12/13 14:26 Página 72
MÓDULO 3
1) E
2) É função
MÓDULO 4
3) A
1) D
2)
4) Os pares ordenados (x; y) de A × B que satisfazem a equação
y = 2x + 1 são (2; 5) e (3; 7).
Assim, f = {(2; 5), (3; 7)} não é função, pois o elemento 4 não se
relacionou.
5) f(0) = 02 – 4 . 0 + 3 = 3
f(1) = 12 – 4 . 1 + 3 = 0
f(2) = 22 – 4 . 2 + 3 = – 1
f(3) = 32 – 4 . 3 + 3 = 0
f(4) = 42 – 4 . 4 + 3 = 3
f(5) = 52 – 4 . 5 + 3 = 8
O gráfico de f é
Sendo f(x) = x2 – 6x + 8, temos:
f(1) = 12 – 6 . 1 + 8 = 3
f(2) = 22 – 6 . 2 + 8 = 0
f(3) = 32 – 6 . 3 + 8 = – 1
f(4) = 42 – 6 . 4 + 8 = 0
f(5) = 52 – 6 . 5 + 8 = 3
f(6) = 62 – 6 . 6 + 8 = 8
f(7) = 72 – 6 . 7 + 8 = 15
Observe que o conjunto imagem de f é [–1; 15].
– 1 + 15
Assim, m = – 1 e M = 15 e a média aritmética é ––––––– = 7
2
Resposta: 7
3) D
4) C
8) [– 2, – 1[ ]– 1, 4[
5) C
6) D
7) E
9) A
MÓDULO 5
1) D
2) B
3) D
4) E
5) E
6) O gráfico de f é:
Resposta: O conjunto imagem de f é {– 1; 0; 3; 8}
6) C
7) A
8) 0 e 2 são pares e, portanto, f(0) = 0 e f(2) = 2.
1 e 3 são ímpares e, portanto, f(1) = 1 + 1 = 2 e f(3) = 3 + 1 = 4
O gráfico f é
O conjunto imagem de f é [1; 5].
Se f é sobrejetora, então CD(f) = Im(f) ⇔ [a; b] = [1; 5] ⇔
⇔a=1eb=5⇔a+b=6
Resposta: C
Im(f) = {0; 2; 4; 6; …}
Resposta: Vide gráfico e resolução.
72 –
7) Pela análise gráfica, pode-se concluir:
1) O período gasto para a pressão subir (4 horas) é maior do
que o período em que ela ficou constantemente alta.
2) A variação de pressão entre 2 e 4 horas é maior do que a
variação de pressão nas duas primeiras horas.
3) Após as 2 primeiras horas, a pressão não foi estritamente
decrescente.
C1_SOROCABA_Tar_MAT_Rose_2014 03/12/13 14:26 Página 73
4) A queda de pressão ocorreu entre 5 e 7 horas e, portanto, não
foi repentina.
5) Após as nove horas, a pressão voltou a subir e, portanto, o
remédio não foi totalmente eficaz, apenas paliativo.
Resposta: E
8) a) 61,5 litros
6) 58 e 0,480 MHz
1) D
2) B
1
4) –––
4
5) a) (fog)(0) = 2
8) 49 505
9) A
MÓDULO 9
b) C
MÓDULO 6
7) C
1) A
2) B
3) E
4) D
5) E
6) 36
7) E
8) D
3) D
MÓDULO 10
(gof)(1) = – 36
b) 1)
B
4)
a) 750 m
f[g(x)] = x2 – f(x + 1) = x2 – (7x + 3) = x2 – 7x – 3
5)
B
6) A
7) A
mas f[g(x)] = 7 . g(x) – 4
8)
A
9) C
10) 5 m
6) f(x + 1) = 7 . (x + 1) – 4 = 7x + 3
2) E
3) B
b) 22500 m
Dessa forma, 7g(x) – 4 = x2 – 7x – 3 ⇒
1
1
1
1
1
g(x) = ––– . x2 – x + ––– e g(7) = ––– . 72 – 7 + ––– = –––
7
7
7
7
7
FRENTE 3
Resposta: A
7) 1) g(x) = 2x + 5
fog(x) = 6x + 3
⇒ f(g(x)) = f(2x + 5) = 6x + 3
MÓDULO 1
t–5
2) 2x + 5 = t ⇒ x = –––––
2
1) 81
2) 81
3) – 81
4) 1
1
5) –––
25
t–5
3) f(t) = 6 . ––––– + 3 = 3t – 12 ⇒ f(x) = 3x – 12
2
6) 1
4
7) –––
9
8) 4
9) 4
10) – 27
4) Fazendo f(x) = 3x – 12 = y, tem-se
y + 12
x
x = ––––––– ⇔ f –1(x) = ––– + 4
3
3
11) B
Resposta: E
13) E
1
1
12) a) a = 27, b = – 8, c = ––– e d = – –––
9
8
b) b, d, c, a
14) C
15) a) 3 ; b) 2; c) 1; d) – 1; e) – 2; f) – 3; g) – 4; h) – 5; i) – 3
8) E
MÓDULO 7
90 + y
1) a) S(x) = 15x – 90 e H(y) = –––––––
15
2) A
3) 14
b) R$ 90,00
4) E
2y – 5, em que y é a resposta de Paulo.
5) f –1(y) = MÓDULO 2
1) E
2) D
3) C
4) B
6) A
7) B
8) E
9) E
5) C
MÓDULO 3
MÓDULO 8
1) 5
2) – 5
3) ± 5
4) 4
6) 4
7) 10
8) 5
9) 2
5) – 4
1) C
2) a) (an) = (1; 4; 2; 2; 4; …)
3) D
4) D
b) a50 = 1
5) E
9 + 16 = 25 = 5 e 9 + 16 = 3 + 4 = 7
10)
11)2
12) C
13) C
14) A
– 73
C1_SOROCABA_Tar_MAT_Rose_2014 03/12/13 14:26 Página 74
MÓDULO 4
1) O maior é
5) C
4
2) D
23
3) – –––
16
6) A
7) E
8) D
3
8) B
9) D
12) C
13) B
11) C
4) C
MÓDULO 8
1)
MÓDULO 5
1) a) 2 (2x – y)
10) B
b) xy(1 + x + 3y)
a) F
b) V
c) V
d) F
g) V
h) V
i) V
j) V
e) F
2)
3
4
cos x = ––– e tg x = –––
5
3
3)
cos2 x
1
1 + cotg2 x = 1+ –––––––
= ––––––– = cossec2 x
2
sen x
sen2 x
c) a (3 + 2a + 5a2)
d) 3a (1 + 2a + 3a2)
e) (2x + y) (2 + a)
f) (x – y) (3 + a)
g) (a + 3) (a – 3)
h) (2x + 5) (2x – 5)
i) (2m + 1) (2m – 1)
j) 4ab
4)
sec x
5) 1
6) tg x
8)
cossec x
9) A
5
10) –––
3
k) (x2 + y2) (x + y) (x – y)
2) A
3) 1 090
4) (2x – y) (3x – y)
5) 1
6) A
7) C
MÓDULO 6
d) 81 + 18xy + x2y2
e) 16m2 – 24mn + 9n2
f) x3 + 8
m3
2) a) (a + 5)2
1)
a) 30°
2)
A
b) 52°30’
d) (2 + x) (4 – 2x + x2)
10π
4) –––– cm
3
3) 2 rad
MÓDULO 10
e) (2 – x) (4 + 2x + x2)
– 2an +
4n2)
3) – 88
4) C
5) 23
6) C
7) E
8) A
9) C
10) B
1) a) 280°
b) 230°
c) 60°
π
2) a) ––– + n . 2 π (n ∈ )
3
{
{
MÓDULO 7
π
b) ––– + n . π (n ∈ )
3
3
1) a) –––
5
4
b) –––
5
3
c) –––
4
5
d) –––
3
5
e) –––
4
4
f) –––
3
4
g) –––
5
3
h) –––
5
4
i) –––
3
5
j) –––
4
5
k) –––
3
3
l) –––
4
5
2) –––
2
3
3) 3
74 –
}
}
c) {60° + n . 360° (n ∈ )}
d) {60° + n . 180° (n ∈ )}
3π
e) –––– + n . 2 π (n ∈ )
4
4) 8
5) 3
{
{
3π
f) –––– + n . π (n ∈ )
4
g)
3
5 6) ––––––
2
c) 170°
b) (3 – m)2
mn)2
f) (a + 2n)
13) B
b) a2 – 4a + 4
c) 81 + 18x + x2
(a2
5
11) – –––
18
MÓDULO 9
1) a) a2 + 4a + 4
c) (8 –
7) tg3 x
8) B
12) D
g) 64 –
f) V
5
5
7) sen α = ––– e tg α = –––
13
12
{
{
}
}
0 + n . 2π = n . 2π ou
0° + n . 360° = n . 360° (n ∈ )
π
h) ± ––– + n . 2π (n ∈ )
3
}
}
5) C
6) C
C1_SOROCABA_Tar_MAT_Rose_2014 03/12/13 14:26 Página 75
3) a)
FRENTE 4
MÓDULO 1
1) C
2) α = 36°
4) D
5) α = 90°
3) B
MÓDULO 2
b)
1) C
2) x = 130°
5) x = 30°, y = 70° e z = 80°
3) E
4) x = 150°
6) D
7) 45°, 50° e 85°
MÓDULO 3
c)
1) 119°
^
2) 144°
^
3) 20°, 80° e 80°
^
^
4) A = 25°, B = 40° e C = 115°
^
^
7) B = 87°30’ e C = 52°30'
6) A
^
5) A = 30° e C = 130°
8) 30° e 60°
MÓDULO 4
1) E
2) B
3) B
4) C
5) B
6) C
7) D
8) D
9) n = 4
4) B’C’ = 4 cm
4) a)
MÓDULO 5
b)
1) D
2) C
3) E
6) B
7) B
80
160
8) ––––– m, 40 m, ––– m
3
3
5) D
MÓDULO 6
1) D
2) 7,5 cm
80
3) ––– cm
3
5) 1,5 cm
6) C
7) C
4) 10
c)
MÓDULO 7
1)
E
2) B
3) A
4) 5
5) 7
7)
E
8) A
9) 12
r . r’
10) 2 6) 25
– 75
C1_SOROCABA_Tar_MAT_Rose_2014 03/12/13 14:26 Página 76
MÓDULO 8
1)
a) F
b) V
c) V
d) V
e) V
f) V
g) V
h) F
i) V
j) F
k) V
l) V
2)
20°
13
2 3) ––––––– cm
3
5)
B
6) a) 10 cm b) 25°
4) E
MÓDULO 9
1)
a) 56°
b) 65°
c) 35°
2)
C
3) 140°
4) C
5) E
7)
B
8) E
9) C
10) C
d) 80°
6) E
MÓDULO 10
1) a) 20 cm2
b) 1 cm2
c) 12 cm2
e) 6
3 cm2
3
f) –––– cm2
4
2) A
3) B
4) A
5) C
6) D
7) E
d) 2 cm2
76 –