G3 – FIS1026 – 17/06/2013 MECÂNICA NEWTONIANA B NOME

G3 – FIS1026 – 17/06/2013
MECÂNICA NEWTONIANA B
NOME:___________________________________________________
Matrícula: ___________________
QUESTÃO
VALOR
1
3,0
2
3,5
3
3,5
Total
10,0
TURMA:_______
GRAU
REVISÃO
Sistema de
coordenadas
y
Dados:
g = 10 m/s2;
α constante: Δω = αt; Δθ = ω0 t + ½ αt2; ω2= ω02 + 2αΔθ;
at = αr; vt = ωr; ac = v2/r; τ = r × F; Στ = Iα;
z
I = Σ miri2 (partículas pontuais); Ip = Icm + Md2;
Icm = β MR2 sendo: βaro = 1; βcilindro/disco = 1/2; βesfera sólida = 2/5; βesfera oca = 2/3;
Icm haste = (1/12) ML2;
L = r × p; L = I ω ; Στ ext = dL/dt ;
sen 30o = 0,50 ; cos 30o = 0,86
NÃO SERÃO ACEITAS RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVAS E CÁLCULOS
EXPLÍCITOS
Não é permitido destacar folhas deste caderno de respostas.
A prova só poderá ser feita a lápis, caneta azul ou preta
É permitido o uso de calculadoras científicas simples.
Não é permitido o uso de aparelhos celulares.
x
G3 – FIS1026 – 17/06/2013
Nome: ____________________________________ Matrícula: __________
1ª QUESTÃO (3,0 pontos)
m, R
Um mastro de uma bandeira pode ser modelado por uma haste
homogênea de massa M e comprimento l que tem presa em sua
extremidade uma esfera sólida homogênea de massa m e raio R.
O mastro está preso em sua outra extremidade a uma parede no
ponto P, fazendo um ângulo θ com a horizontal, como ilustra a
figura. Utilize g para a aceleração da gravidade.
a) [1,0] Calcule o momento de inércia rotacional do mastro em
torno a um eixo perpendicular ao plano do papel (eixo z) que
passe pelo ponto P.
M, l
θ
y
P
z
b) [1,0] Calcule o vetor torque que a força da gravidade faz no mastro em relação ao ponto P.
c) [1,0] Suponha que, devido a algum defeito na fixação da esfera, a mesma se solte da
extremidade e caia verticalmente. Calcule o vetor momento angular da esfera em relação ao
ponto P após ela ter caído durante um intervalo de tempo t.
2ª QUESTÃO (3,5 pontos)
Um corpo rola sem delizar ao longo de um plano inclinado de 30º em relação à horizontal.
(Itens (a) (b) e (c) são independentes).
a) [1,0] Suponha que o corpo é uma esfera sólida. Para qualquer instante de tempo durante o
rolamento no plano, calcule a razão entre a energia cinética de translação e a energia
cinética total (KTrans / KTotal).
b) [1,5] Suponha agora desconhecida a geometria do corpo. Mede-se que a aceleração do
centro de massa durante a descida é aCM = 0,3⋅g. Supondo que o momento de inercia tem a
forma Icm = βMR2, calcule o valor de β.
c) [1,0] Sendo o corpo um cilindro e havendo este partido do repouso a partir de uma certa
altura, observa-se que adquire uma velocidade angular de 5,0 rad/s ao chegar à base do plano
inclinado. Se o raio do cilindro é 0,4 m e a massa é 2,0 kg, calcule a altura a partir da qual ele
começou a rolar.
x
3ª QUESTÃO (3,5 pontos)
Um carrossel em forma de disco sólido
homogêneo, com massa M = 200 kg e raio
R = 1,5 m, está fixo em seu centro de massa por
um eixo vertical e pode girar sem atrito no
plano horizontal. Partindo do repouso, o
carrossel é submetido a uma aceleração angular
constante de 0,50 rad/s2 no sentido anti-horário,
até atingir uma velocidade angular 3,0 rad/s.
a) [1,0] Determine o deslocamento angular
realizado pelo carrossel durante seu processo de
aceleração e o tempo necessário até atingir sua
velocidade angular final.
Cessada a aceleração, o carrossel se mantém com velocidade angular de 3,0 rad/s. Um
menino de massa m = 40 kg, correndo com uma velocidade V0 = 5 m/s na direção mostrada
na figura, tal que ϕ = 30o, salta sobre a borda do carrorrel e se agarra a ele. Modele o menino
como uma partícula.
b) [1,5] Determine os vetores momento angular do menino e do carrossel, respectivamente
!! e !! , imediatamente antes do salto do menino sobre o carrossel (use o sistema de
coordenadas mostrado na figura).
c) [1,0] Determine a velocidade angular final do conjunto carrossel+menino e o sentido da
rotação (horário ou anti-horário) após o menino saltar no carrossel.
1ª QUESTÃO (3,0 pontos)
a) [1,0]
Utilizando o teorema dos eixos paralelos para os dois corpos, temos:
Ip = M ℓ 2/12 + M(ℓ /2)2 + 2mR2/5 + m(ℓ +R)2 = M ℓ 2/3 + 7mR2/5 + m ℓ 2 + 2mℓR
b) [1,0]
τp = (r × F)haste + (r × F)esfera
τp = [ℓ/2 cosθ (i) + ℓ/2 senθ (j)] × Mg (-j) + [(ℓ+R) cosθ (i) + (ℓ+R) senθ (j)] × mg (-j)
τp = [ℓ/2 cosθ Mg + (ℓ+R) cosθ mg] (-k) = [Mℓ/2 + m(ℓ+R)] g cosθ (-k)
c) [1,0]
L = r × mv
r = x (i) + y (j) => x = (ℓ+R) cosθ e y = (ℓ+R) senθ – ½ gt2
v = gt (-j)
L = (ℓ+R) cosθ mgt (-k)
2ª QUESTÃO (3,5 pontos)
a) [1,0]
Para um corpo rolando suavemente: KTotal = KRotação + KTrans
KTrans = (1/2)Mvcm2
KRotação = (1/2)ICM ·ω2 e vcm = ω·R
Neste caso : KRotação = (1/2)(2/5 MR2)(vcm2/R2) = (1/5)Mvcm2
Então KTrans/KTotal = (1/2 Mvcm2) / (1/2 Mvcm2 + 1/5 Mvcm2) = (1/2) / (7/10)
 KTrans / KTotal = 5/7
Veja que o resultado é valido para qualquer instante de tempo.
b) [1,5]
A segunda Lei de Newton para translação e rotação fica:
Mgsen30º - Fat = Macm
FatR = lcmα
E para o corpo rolando suavemente: acm = αR
Então: Mgsen30º - Fat = Macm e FatR = lcmα = βMR2*acm/R  Fat = βMacm.
Substituindo a expressão para Fat na primeira equação teremos:
Mgsen30º - Fat = Macm = Mgsen30º - βMacm  Mgsen30º = (1+ β)Macm
 acm = gsen30º / (1+ β). Se acm = 0,3*g  0,3 = sen30º / (1+ β)  β = (sen30º/0,3) – 1
β = (0,5/0,3) – 1 = 5/3 – 1 = 2/3 = 0,66
c) O teorema trabalho energia estabelece que
WTotal = ΔK = KF – KI = KF, pois ele começou a cair do repouso. Durante o rolamento suave
no plano inclinado, a única força que faz trabalho é a gravidade. Então: WTotal = MgH
Para o rolamento: KF = (1/2)Mvcm2 + (1/2)Icmω2 = (1/2)[MR2 + (1/2)MR2]ω2 =
(1/2)[(3/2)MR2]ω2
 KF = (3/4)MR2ω2  MgH = (3/4)MR2ω2 
H = (3R2ω2)/(4g) = (3*0,42*52)/(4*10) = 0,3m = 30cm
2ª QUESTÃO (3,5 pontos)
a) [1,0]
Sendo a aceleração angular constante, tem-se:
! = !! + !. !
→ 3 = 0 + (0,5). ! → ! = 6 !
;
substituindo em !(!):
!
(0,5). 6!
∆! = !! . ! + !. ! 2 → ∆! = 0.6 +
2 → ∆! = 9 !"#
!
!
!
!
OU: ! = !! + 2. !. ∆! → 3 = 0 + 2. (0,5). ∆!
→ ∆! = 9 !"#
b) [1,5]
!! = !×! = !. !. !! . !"# 180° − ∅ (−!)
!! = −[ 1,5 . 40.5. !"# 150° ]!
!! = −(150 !. !)!
(direção e sentido de !! determinados pela regra da mão
direita!)
!
!! = !. !! = !. ! 2 . !! (+!) →
200. (1,5)!
!! = +[
2).3]! → !! = +(675 !. !)!
(obs: J.s = kg m2/s)
c) [1,0]
As forças entre o menino e o carrossel são produzidas em pares ação e reação, gerando
torques opostos que se anulam (torque interno resultante nulo) e o sistema (carrossel +
menino) está livre de torques externos. Desta forma, o momento angular total do sistema é
conservado, com ambos os componentes do sistema passando a girar com mesma velocidade
angular no final:
→ !!"#$% = !!"ó!
→ (!! + !! )!"#$% = (!! + !! )!"ó!
!
!!"!
→ −150 + 675 ! = !. ! 2 . !! + (!. !! ). !!
→ !"". !,! !
! = !!
[
! !".(!,!)! ]
!
→ !! = +(1,67 !"#/!)! (carrossel permanece girando no sentido anti-horário)