Exercícios: Teorema de Bayes

Estatística II - Lista de VT
Exercícios: Distribuição Normal
1. Tempo de gravidez: Os tempos de gravidez são normalmente distribuídos, com uma média de 268
dias e um desvio padrão de 15 dias.
a. Um clássico da DP Normal é inspirado em uma carta para “Dear Abby” na qual uma
mulher afirmava ter dado a luz 308 dias depois da visita de seu marido, que estava em
serviço na marinha. Dada esta informação, ache a probabilidade de uma gravidez durar
308 ou mais dias. O que o resultado sugere? P(X > 308) = 0,00379.
b. Se um bebê é classificado como prematuro no caso de a gravidez estar dentro dos 4%
tempos inferiores. Ache o tempo de gravidez que separa os bebês prematuros dos
demais. Interprete o resultado. X = 242 dias.
2. Desenhando capacetes: Os engenheiros têm que considerar a largura da cabeça dos homens ao
desenhar capacetes para motociclistas. Os homens têm medidas de cabeça normalmente
distribuída, com média de 15 cm e um desvio padrão de 2,5cm em uma destas medidas. Ache a
largura mínima e máxima que contemple as 95% medidas centrais desta distribuição. Interprete o
resultado. (Larg mínima = 10,1 cm; Larg. Máxima = 19,9)
3. Projetando automóveis: A altura em posição sentada (do assento até o topo da cabeça) de
motoristas tem que ser considerada no projeto de um novo modelo de automóvel, Homens têm
alturas em posição sentada que são normalmente distribuídas, com média 91,5cm e desvio padrão
de 3,5cm. Os engenheiros fornecem projetos que podem acomodar homens com alturas em posição
sentada de até 98,5cm, mas, homens mais altos não podem ser acomodados. Se um homem é
selecionado aleatoriamente, ache a probabilidade de que sua altura em posição sentada seja menor
que 98,5cm. Com base no resultado, o projeto de engenharia atual é factível? Por quê? P(X < 98,5
= 0,97725.
4. Assentos de ejeção de jatos: A Força Aérea Americana estava usando assentos de ejeção
planejados para homens com peso entre 140 e 211lb. Dado que os pesos das mulheres são
normalmente distribuídos, com média de 143 lb e desvio padrão de 29 lb, qual é a porcentagem das
mulheres com peso entre esses limites? Interprete o resultado e o apresente em quilos. (1 lb =
0,4536 kg). P(140 < X < 211) = 0,53019.
5. Painéis de Instrumentos: Ao planejar a localização do aparelho de CD em um novo modelo de
carro, os engenheiros têm que considerar a distância de alcance á frente do motorista. Se o
aparelho de CD é colocado além do alcance, o motorista pode movimentar o seu corpo de forma
distraída e perigosa. Os engenheiros projetistas decidem que o aparelho de CD deve ser colocado
de modo a estar ao alcance de 95% das mulheres. Mulheres têm distâncias de alcance à frente que
são normalmente distribuídas, com média de 27,0’’ e um desvio padrão de 1,3’’. Ache a distância de
alcance de mulheres que separam as 95% maiores das demais. Interprete o resultado em cm.
X = 63,16472 cm. ou X = 24,868”
6. Peso das latinhas de coca-cola: Uma das inúmeras variações de latinhas deste refrigerante tem
em seu conteúdo uma média de 371ml e um desvio padrão de 7ml.
a. Se o conteúdo em (ml) são normalmente distribuídos, e uma latinha é selecionada
aleatoriamente, ache a probabilidade de que seu conteúdo pese mais que de 385ml;
P(X>385) = 0,02275.
b. Com o propósito de monitorar a produção deste refrigerante, ache os pesos que separam
os 2,5% inferiores e os 2,5 superiores. (Contéudo mínimo = 357,28 ml; Conteúdo máximo
= 384,72 ml).
Estatística II - Lista de VT
7. (Enade 2011). Um engenheiro de produção, responsável pelo planejamento e controle da qualidade
da linha de produção de tubos e conexões em PVC, está sendo questionado pelos altos custos de
retrabalho que o novo item A05 vêm gerando desde que se iniciou a sua produção há cinco meses.
O item é enviado para retrabalho quando seu diâmetro excede o limite superior de especificação. O
processo de produção deste item é controlado por meio de gráficos de controle da média e da
amplitude (gráficos de Shewart) que monitoram o diâmetro dos tubos produzidos. Os limites de
especificação definidos pela engenharia do produto para o diâmetro do tubo A05 é 0,90 ± 0,20 cm.
O engenheiro e sua equipe analisaram os gráficos de controle (da média e da amplitude) desde o
início da produção do tubo e observaram que o processo sempre esteve dentro dos limites superior
e inferior de controle dos gráficos e, portanto, o processo está no estado de controle estatístico
apresentando apenas sua variabilidade natural (aleatória). Concluíram, então, que a causa do alto
índice de retrabalho é devida às especificações do projeto e (ou) à própria variabilidade natural do
processo de produção. A equipe sabe que a variável de controle “diâmetro” é normalmente
distribuída com média do processo igual a µ = 1,00 cm e desvio-padrão do processo igual a  0,05
cm. Pergunta-se:
a) Qual é a porcentagem de itens A05 que são enviados para retrabalho nesse processo de
produção e que vem gerando alto custo? P(X >1,1) = 0,002275
b) Qual das duas alternativas dariam melhores resultados: I) Diminuir a média do processo
para µ = 0,95 cm e manter o desvio padrão em  0,05 cm ou; II) Manter a média do
processo em µ = 1,00 cm e diminuir o desvio padrão em  0,03 cm? I) P(X >1,1) =
0,00135; P(X >1,1) = 0,000621; portanto: o item II representa a melhor solução.
8. (Adaptado de Petrobrás 2012 - Engenheiro de Produção). Uma empresa que trabalha com um
rigoroso controle da qualidade de seus processos de produção utiliza uma máquina que produz
peças usinadas, cujas especificações, em milímetros, são 15 ± 0,12. Sabe-se que as especificações
utilizam três desvios padrões (3σ) por uma distribuição normal, porém o processo produz peças com
desvio padrão de 0,05 milímetros e uma média de 15,05 milímetros.
a. Qual é a probabilidade de uma determinada peça estar dentro das especificações?
P(14,88 < X < 15,12) = 0,9189
b. Em qual das especificações o processo é mais vulnerável, pela especificação inferior ou
pela especificação superior? Demonstre. Pela especificação superior, visto que: P( X >
15,12) = 0,08076) e a P(X < 14,88) = 0,00034
9. (Adaptado de SUDENE 2013 - Engenheiro de Produção). Um dado processo industrial manual foi
repetido por um técnico muitas vezes, de modo a se ter uma amostra confiável sob o ponto de vista
estatístico. Foi levantado um gráfico em um diagrama cartesiano, em que a abscissa é o tempo de
execução e a ordenada o número de eventos ocorridos para aquele tempo. Verificou-se que a curva
formada era uma normal com uma média de 30,7 segundos e um desvio padrão de 4,4 segundos.
Se fosse necessário repetir este processo 100 vezes por hora, qual é a probabilidade dos processos
atenderem a esta exigência? P(X < 36) = 0,88493
10. (Adaptado de CAGECE-Ceará - Engenheiro de Produção). Um gerente de produção, com o
intuito de estimar a capacidade de um processo, apurou os seguintes dados de uma amostra com
distribuição normal:
 Média = 95
Desvio padrão = 3,2
Tamanho da amostra = 50
 Limite Inferior de Especificação = 85,4
Limite Superior de Especificação = 107,2
Pergunta-se:
a. Qual é a probabilidade de um determinado produto ser fabricado dentro de
especificação? P( 85,4 < X < 107,2) = 0,99858
b. Qual é o percentual de produtos fora de especificação que estejam abaixo do Limite
Inferior de Especificação? P( X < 85,4 ) = 0,00135
c. Qual é o percentual de produtos fora de especificação que estejam acima do Limite
Superior de Especificação? P (X > 107,2) = 0,00007