Estatística II - VT 2016

VT de Estatística II
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Exercícios: Distribuição Normal
1. Tempo de gravidez: Os tempos de gravidez são normalmente distribuídos, com uma média
de 268 dias e um desvio padrão de 15 dias.
a. Um clássico da DP Normal é inspirado em uma carta para “Dear Abby” na qual uma
mulher afirmava ter dado a luz 308 dias depois da visita de seu marido, que estava
em serviço na marinha. Dada esta informação, ache a probabilidade de uma
gravidez durar 308 ou mais dias. O que o resultado sugere? P(X > 308) = 0,00391.
b. Se um bebê é classificado como prematuro no caso de a gravidez estar dentro dos
4% tempos inferiores. Ache o tempo de gravidez que separa os bebês prematuros
dos demais. Interprete o resultado. X = 242 dias.
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2. Desenhando capacetes: Os engenheiros têm que considerar a largura da cabeça dos
homens ao desenhar capacetes para motociclistas. Os homens têm medidas de cabeça
normalmente distribuída, com média de 15 cm e um desvio padrão de 2,5cm em uma destas
medidas. Ache a largura mínima e máxima que contemple as 95% medidas centrais desta
distribuição. Interprete o resultado. (Larg mínima = 10,1 cm; Larg. Máxima = 19,9)
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3. Projetando automóveis: A altura em posição sentada (do assento até o topo da cabeça) de
motoristas tem que ser considerada no projeto de um novo modelo de automóvel, Homens
têm alturas em posição sentada que são normalmente distribuídas, com média 91,5cm e
desvio padrão de 3,5cm. Os engenheiros fornecem projetos que podem acomodar homens
com alturas em posição sentada de até 98,5cm, mas, homens mais altos não podem ser
acomodados. Se um homem é selecionado aleatoriamente, ache a probabilidade de que sua
altura em posição sentada seja menor que 98,5cm. Com base no resultado, o projeto de
engenharia atual é factível? Por quê? P(X < 98,5 = 0,97725.
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4. Assentos de ejeção de jatos: A Força Aérea Americana estava usando assentos de ejeção
planejados para homens com peso entre 140 e 211lb. Dado que os pesos das mulheres são
normalmente distribuídos, com média de 143 lb e desvio padrão de 29 lb, qual é a
porcentagem das mulheres com peso entre esses limites? Interprete o resultado e o apresente
em quilos. (1 lb = 0,4536 kg). P(140 < X < 211) = 0,53019.
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5. Painéis de Instrumentos: Ao planejar a localização do aparelho de CD em um novo modelo
de carro, os engenheiros têm que considerar a distância de alcance á frente do motorista. Se o
aparelho de CD é colocado além do alcance, o motorista pode movimentar o seu corpo de
forma distraída e perigosa. Os engenheiros projetistas decidem que o aparelho de CD deve
ser colocado de modo a estar ao alcance de 95% das mulheres. Mulheres têm distâncias de
alcance à frente que são normalmente distribuídas, com média de 27,0’’ e um desvio padrão
de 1,3’’. Ache a distância de alcance de mulheres que separam as 95% maiores das demais.
Interprete o resultado em cm. X = 63,16472 cm. ou X = 24,868”
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6. Peso das latinhas de coca-cola: Uma das inúmeras variações de latinhas deste refrigerante
tem em seu conteúdo uma média de 371ml e um desvio padrão de 7ml.
a. Se o conteúdo em (ml) são normalmente distribuídos, e uma latinha é selecionada
aleatoriamente, ache a probabilidade de que seu conteúdo pese mais que de
385ml; P(X>385) = 0,02275.
b. Com o propósito de monitorar a produção deste refrigerante, ache os pesos que
separam os 2,5% inferiores e os 2,5 superiores. (Contéudo mínimo = 357,28 ml;
Conteúdo máximo = 384,72 ml).
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7. (Enade 2011). Um engenheiro de produção, responsável pelo planejamento e controle da
qualidade da linha de produção de tubos e conexões em PVC, está sendo questionado pelos
altos custos de retrabalho que o novo item A05 vêm gerando desde que se iniciou a sua
produção há cinco meses. O item é enviado para retrabalho quando seu diâmetro excede o
limite superior de especificação. O processo de produção deste item é controlado por meio de
gráficos de controle da média e da amplitude (gráficos de Shewart) que monitoram o diâmetro
dos tubos produzidos. Os limites de especificação definidos pela engenharia do produto para o
diâmetro do tubo A05 é 0,90 ± 0,20 cm. O engenheiro e sua equipe analisaram os gráficos de
controle (da média e da amplitude) desde o início da produção do tubo e observaram que o
processo sempre esteve dentro dos limites superior e inferior de controle dos gráficos e,
portanto, o processo está no estado de controle estatístico apresentando apenas sua
variabilidade natural (aleatória). Concluíram, então, que a causa do alto índice de retrabalho é
devida às especificações do projeto e (ou) à própria variabilidade natural do processo de
produção. A equipe sabe que a variável de controle “diâmetro” é normalmente distribuída com
média do processo igual a µ = 1,00 cm e desvio-padrão do processo igual a  0,05 cm.
Pergunta-se:
a) Qual é a porcentagem de itens A05 que são enviados para retrabalho nesse
processo de produção e que vem gerando alto custo? P(X >1,1) = 0,02275
b) Qual das duas alternativas dariam melhores resultados: I) Diminuir a média do
processo para µ = 0,95 cm e manter o desvio padrão em  0,05 cm ou; II) Manter a
média do processo em µ = 1,00 cm e diminuir o desvio padrão em  0,03 cm? I)
P(X >1,1) = 0,00135; P(X >1,1) = 0,00621; portanto: o item I representa a melhor
solução.
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8. (Adaptado de Petrobrás 2012 - Engenheiro de Produção). Uma empresa que trabalha com
um rigoroso controle da qualidade de seus processos de produção utiliza uma máquina que
produz peças usinadas, cujas especificações, em milímetros, são 15 ± 0,12. Sabe-se que as
especificações utilizam três desvios padrões (3σ) por uma distribuição normal, porém o
processo produz peças com desvio padrão de 0,05 milímetros e uma média de 15,05
milímetros.
a. Qual é a probabilidade de uma determinada peça estar dentro das especificações?
P(14,88 < X < 15,12) = 0,9189
b. Em qual das especificações o processo é mais vulnerável, pela especificação
inferior ou pela especificação superior? Demonstre. Pela especificação superior,
visto que: P( X > 15,12) = 0,08076) e a P(X < 14,88) = 0,00034
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9. (Adaptado de SUDENE 2013 - Engenheiro de Produção). Um dado processo industrial
manual foi repetido por um técnico muitas vezes, de modo a se ter uma amostra confiável sob
o ponto de vista estatístico. Foi levantado um gráfico em um diagrama cartesiano, em que a
abscissa é o tempo de execução e a ordenada o número de eventos ocorridos para aquele
tempo. Verificou-se que a curva formada era uma normal com uma média de 30,7 segundos e
um desvio padrão de 4,4 segundos. Se fosse necessário repetir este processo 100 vezes por
hora, qual é a probabilidade dos processos atenderem a esta exigência? P(X < 36) = 0,88493
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10. (Adaptado de CAGECE-Ceará - Engenheiro de Produção). Um gerente de produção, com o
intuito de estimar a capacidade de um processo, apurou os seguintes dados de uma amostra
com distribuição normal:
 Média = 95
Desvio padrão = 3,2
Tamanho da amostra = 50
 Limite Inferior de Especificação = 85,4
Limite Superior de Especificação =
107,2
Pergunta-se:
a. Qual é a probabilidade de um determinado produto ser fabricado dentro de
especificação? P( 85,4 < X < 107,2) = 0,99858
b. Qual é o percentual de produtos fora de especificação que estejam abaixo do
Limite Inferior de Especificação? P( X < 85,4 ) = 0,00135
c. Qual é o percentual de produtos fora de especificação que estejam acima do Limite
Superior de Especificação? P (X > 107,2) = 0,00007