análise combinat análise combinat análise

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- ANÁLISE COMBINATÓRIA
COMBINATÓRIA 1. (Fuvest 2004) Três empresas devem ser contratadas
para realizar quatro trabalhos distintos em um
condomínio. Cada trabalho será atribuído a uma única
empresa e todas elas devem ser contratadas. De quantas
maneiras distintas podem ser distribuídos os trabalhos?
a) 12
b) 18
c) 36
d) 72
e) 108
2. (Ueg 2005) A UEG realiza seu Processo Seletivo em
dois dias. As oito disciplinas, Língua PortuguesaLiteratura Brasileira, Língua Estrangeira Moderna,
Biologia, Matemática, História, Geografia, Química e
Física, são distribuídas em duas provas objetivas, com
quatro disciplinas por dia. No Processo Seletivo 2005/2,
a distribuição é a seguinte:
- primeiro dia: Língua Portuguesa-Literatura
Brasileira, Língua Estrangeira
Moderna, Biologia e Matemática;
- segundo dia: História, Geografia, Química e Física.
A UEG poderia distribuir as disciplinas para as duas
provas objetivas, com quatro por dia, de
a) 1.680 modos diferentes.
b) 256 modos diferentes.
c) 140 modos diferentes.
d) 128 modos diferentes.
e) 70 modos diferentes.
3. (Uel 2006) Na formação de uma Comissão
Parlamentar de Inquérito (CPI), cada partido indica um
certo número de membros, de acordo com o tamanho de
sua representação no Congresso Nacional. Faltam
apenas dois partidos para indicar seus membros. O
partido A tem 40 deputados e deve indicar 3 membros,
enquanto o partido B tem 15 deputados e deve indicar 1
membro. Assinale a alternativa que apresenta o número
de possibilidades diferentes para a composição dos
membros desses dois partidos nessa CPI.
a) 55
b) (40 - 3) . (15-1)
c) [40!/(37! . 3!)]. 15
d) 40 . 39 . 38 . 15
e) 40! . 37! . 15!
4. (Ufmg 2006) A partir de um grupo de oito pessoas,
quer-se formar uma comissão constituída de quatro
integrantes. Nesse grupo, incluem-se Gustavo e Danilo,
que, sabe-se, não se relacionam um com o outro.
Portanto, para evitar problemas, decidiu-se que esses
dois, juntos, não deveriam participar da comissão a ser
formada.
Nessas condições, de quantas maneiras distintas se pode
formar essa comissão?
a) 70
b) 35
c) 45
d) 55
5. (Ufv 2004) Um farmacêutico dispõe de 4 tipos de
vitaminas e 3 tipos de sais minerais e deseja combinar 3
desses nutrientes para obter um composto químico. O
número de compostos que poderão ser preparados
usando-se, no máximo, 2 tipos de sais minerais é:
a) 32
b) 28
c) 34
d) 26
e) 30
6. (Cesgranrio 2002) Um brinquedo comum em
parques de diversões é o "bicho-da-seda", que consiste
em um carro com cinco bancos para duas pessoas cada e
que descreve sobre trilhos, em alta velocidade, uma
trajetória circular. Suponha que haja cinco adultos, cada
um deles acompanhado de uma criança, e que, em cada
banco do carro, devam acomodar-se uma criança e o seu
responsável. De quantos modos podem as dez pessoas
ocupar os cinco bancos?
a) 14 400
b) 3 840
c) 1 680
d) 240
e) 120
7. (Pucmg 2003) Um bufê produz 6 tipos de
salgadinhos e 3 tipos de doces para oferecer em festas
de aniversário. Se em certa festa devem ser servidos 3
tipos desses salgados e 2 tipos desses doces, o bufê tem
x maneiras diferentes de organizar esse serviço. O valor
de x é:
a) 180
b) 360
c) 440
d) 720
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8. (Uel 2003) Sejam os conjuntos A = {1,2,3} e B =
{0,1,2,3,4}. O total de funções injetoras de A para B é:
a) 10
b) 15
c) 60
d) 120
e) 125
9. (Unesp 2003) O conselho administrativo de um
sindicato é constituído por doze pessoas, das quais uma
é o presidente deste conselho. A diretoria do sindicato
tem quatro cargos a serem preenchidos por membros do
conselho, sendo que o presidente da diretoria e do
conselho não devem ser a mesma pessoa. De quantas
maneiras diferentes esta diretoria poderá ser formada?
a) 40.
b) 7920.
c) 10890.
d) 11!.
e) 12!.
10. (Fgv 2005) Um fundo de investimento disponibiliza
números inteiros de cotas aos interessados nessa
aplicação financeira. No primeiro dia de negociação
desse fundo, verifica-se que 5 investidores compraram
cotas, e que foi vendido um total de 9 cotas. Em tais
condições, o número de maneiras diferentes de alocação
das 9 cotas entre os 5 investidores é igual a
a) 56.
b) 70.
c) 86.
d) 120.
e) 126.
11. (Puc-rio 2004) O produto n (n - 1) pode ser escrito,
em termos de fatoriais, como:
a) n! - (n - 2)!
b) n!/(n - 2)!
c) n! - (n - 1)!
d) n!/[2(n - 1)!]
e) (2n)!/[n!(n - 1)!]
12. (Ufc 2003) O número de maneiras segundo as quais
podemos dispor 3 homens e 3 mulheres em três bancos
fixos, de tal forma que em cada banco fique um casal,
sem levar em conta a posição do casal no banco, é:
a) 9
b) 18
c) 24
d) 32
e) 36
13. (Enem 2004) No Nordeste brasileiro, é comum
encontrarmos peças de artesanato constituídas por
garrafas preenchidas com areia de diferentes cores,
formando desenhos. Um artesão deseja fazer peças com
areia de cores cinza, azul, verde e amarela, mantendo o
mesmo desenho, mas variando as cores da paisagem
(casa, palmeira e fundo), conforme a figura.
O fundo pode ser representado nas cores azul ou cinza;
a casa, nas cores azul, verde ou amarela; e a palmeira,
nas cores cinza ou verde. Se o fundo não pode ter a
mesma cor nem da casa nem da palmeira, por uma
questão de contraste, então o número de variações que
podem ser obtidas para a paisagem é
a) 6.
b) 7.
c) 8.
d) 9.
e) 10.
14. (Ufc 2006) Dentre os cinco números inteiros
listados abaixo, aquele que representa a melhor
aproximação para a expressão: 2 . 2! + 3 . 3! + 4 . 4! + 5
. 5! + 6 . 6! é:
a) 5030
b) 5042
c) 5050
d) 5058
e) 5070
15. (Ufrs 2004) Para colocar preço em seus produtos,
uma empresa desenvolveu um sistema simplificado de
código de barras formado por cinco linhas separadas por
quatro espaços. Podem ser usadas linhas de três larguras
possíveis e espaços de duas larguras possíveis.O número
total de preços que podem ser representados por esse
código é
a) 1440.
b) 2880.
c) 3125.
d) 3888.
e) 4320.
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16. (Pucsp 2006) A região denominada Amazônia
Legal, com 5 milhões de km£, cobre 60% da área do
território nacional, abrangendo Amazonas, Acre,
Amapá, oeste do Maranhão, Mato Grosso, Rondônia,
Pará, Roraima e Tocantins. (Figura 1). Nessa região está
a Floresta Amazônica que já há algum tempo vem sendo
devastada. Se por um lado não se tem evitado a
progressiva diminuição da floresta, por outro, pelo
menos, nunca foi possível medir a devastação com tanta
precisão, devido às imagens captadas por satélites.
Parte do monitoramento da devastação é feita
por meio dos dados enviados pelos satélites Landsat e
CBERS-2 ao INPE (Instituto Nacional de Pesquisas
Espaciais) onde os cientistas produzem boletins diários,
identificando os locais e as características dos
desmatamentos mais recentes. Esses satélites giram ao
redor da Terra em uma órbita praticamente polar e
circular (Figura 2), de maneira que a combinação
sincronizada entre as velocidades do satélite e da
rotação da Terra torna possível "mapear" todo o planeta
após certo número de dias.
Dependendo do satélite, a faixa de território
que ele consegue observar pode ser mais larga ou mais
estreita (Figura 3). O satélite Landsat "varre" todo o
planeta a cada 16 dias, completando uma volta em torno
da Terra em aproximadamente 100 minutos. O CBERS2, que também tem período de revolução de 100
minutos, observa uma faixa mais larga que a observada
pelo Landsat e consegue "varrer" todo o planeta em
apenas 5 dias. (Fonte: www.inpe.br)
Dados:
Constante da gravitação universal: G = 6,0 × 10−¢¢ (S.I.)
Massa da Terra: M(T) = 6,0 × 10£¥ kg
Raio da Terra: R(T) = 6200 km = 6,2 × 10§ m
Período de rotação da Terra em torno de seu eixo: T =
24 h
™=3
- um ponto qualquer (R_, V_).
- três outros pontos de abscissas , R_/4, 4R_ e 16R_.
a) Apenas 25% da superfície terrestre estão acima do
nível dos oceanos. Com base nisso, calcule a relação
porcentual entre a área da Amazônia Legal e a área da
superfície terrestre que não está coberta pela água dos
oceanos.
b) Considere duas voltas consecutivas do satélite
CBERS-2 em torno da Terra. Na primeira volta, ao
cruzar a linha do Equador, fotografa um ponto A. Na
volta seguinte, ao cruzar novamente a linha do Equador,
fotografa um ponto B (Figura 4). Calcule, em km, o
comprimento do arco AB.
c) Desenhe em escala o gráfico da velocidade V de um
satélite em função do raio R de sua órbita ao redor da
Terra, assinalando no gráfico:
20. (Ufrj 2004) A seqüência 1, 3, 5, 9, 13, 18, 22 é uma
das possibilidades de formar uma seqüência de sete
números, começando em 1 e terminando em 22, de
forma que cada número da seqüência seja maior do que
o anterior e que as representações de dois números
consecutivos na seqüência estejam conectadas no
diagrama a seguir por um segmento.
17. (Unesp 2005) Considere todos os números formados
por 6 algarismos distintos obtidos permutando-se, de
todas as formas possíveis, os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
a) Determine quantos números é possível formar (no
total) e quantos números se iniciam com o algarismo 1.
b) Escrevendo-se esses números em ordem crescente,
determine qual posição ocupa o número 512346 e que
número ocupa a 242` posição.
18. (Fgv 2005) Em uma gaveta de armário de um quarto
escuro há 6 camisetas vermelhas, 10 camisetas brancas
e 7 camisetas pretas. Qual é o número mínimo de
camisetas que se deve retirar da gaveta, sem que se
vejam suas cores, para que:
a) Se tenha certeza de ter retirado duas camisetas de
cores diferentes.
b) Se tenha certeza de ter retirado duas camisetas de
mesma cor.
c) Se tenha certeza de ter retirado pelo menos uma
camiseta de cada cor.
19. (Uerj 2004) Para montar um sanduíche, os clientes
de uma lanchonete podem escolher:
- um dentre os tipos de pão: calabresa, orégano e queijo;
- um dentre os tamanhos: pequeno e grande;
- de um até cinco dentre os tipos de recheio: sardinha,
atum, queijo, presunto e salame, sem possibilidade de
repetição de recheio num mesmo sanduíche.
Calcule:
a) quantos sanduíches distintos podem ser montados;
b) o número de sanduíches distintos que um cliente
pode montar, se ele não gosta de orégano, só come
sanduíches pequenos e deseja dois recheios em cada
sanduíche.
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a) Quantas seqüências diferentes, com essas
características, podemos formar?
b) Quantas dessas seqüências incluem o número 13?
GABARITO
1. [C]
6. [B]
11. [B]
2. [E]
7. [D]
12. [E]
3. [C]
8. [C]
13. [B]
4. [D]
9. [C]
14. [B]
5. [C]
10. [B]
15. [D]
16.
a) 1) A área da superfície terrestre, em km£, é
4™ R£ = 4 . 3 . (6200)£ = 46128 . 10¥
2) A área da superfície terrestre que está acima dos
níveis oceânicos, em km£, é
25% . 46128 . 10¥ = 11532 . 10¥
3) A relação porcentual entre a área da Amazônia
Legal e a área da superfície terrestre que não está
coberta pela água dos oceanos é
(5 . 10§ km£)/(11532 . 10¥ km£) = 500/11532 ¸
¸ 0,0433 = 4,33%
b) No intervalo de tempo
Ðt = 100min = 100 . 60s = 6,0 . 10¤s, um ponto na
linha do equador na superfície terrestre percorre uma
distância Ðs dada por:
Ðs = V Ðt = Ÿ R Ðt
Ðs = 2™/T . R . Ðt
Ðs = [6/(8,6 . 10¥)] . 6,2 . 10§ . 6,0 . 10¤ (m)
Ðs ¸ 26 . 10¦ m
Ðs ¸ 2,6 . 10¤ km
c) F(cp) = F(grav)
m V£/R = G (m M/R£)
Obs: em que: m = massa do satélite e M = massa da
Terra.
V£ = G (M/R)
V = Ë[G (M/R)]
17.
a) 720; 120
b) 481`; 312465
18.
a) 11
b) 4
c) 18
19.
a) 186
b) 20
20.
a) 32 seqüências
b) 12 seqüências