LOGARITMO - WordPress.com

LOGARITMO
1- Introdução
O pesquisador John Napier nasceu na Escócia (1550 – 1630). Ele, depois de 20
anos pesquisando logaritmo introduziu o seu conceito, que foi aperfeiçoado por
Henry Briggs, pesquisador nascido na Inglaterra (1561 – 1630). O interesse sobre
os estudos dos logaritmos decorreu em virtude de alguns cálculos excessivamente
trabalhosos para a época, como por exemplo: 45,3287 x 0,23459 ou 45,3287 
0,23459. Como é mais fácil somar em vez de multiplicar ou diminuir no lugar de
dividir, ele buscou essa alternativa através dos logaritmos que possibilita a
transformação de um produto em uma soma e de uma divisão em uma subtração,
entre outras transformações possíveis. Na realidade, logaritmo é, como iremos
ver, o nome que se dá ao expoente de uma potência.
Sabe-se que 34 = 81, onde 3 é a base, 4 o expoente e 81 o resultado que
denominamos de potência. Utilizando o linguajar dos logaritmos, temos que 4 é o
logaritmo de 81 na base 3, onde, simbolicamente escrevemos 4 = Log3 81.
2- Definição
Dada a relação bx = a, com a > 0, 1  b > 0 e x  . Dizemos que x é o
logaritmo de a na base b. Simbolicamente temos: Log b a = x, onde, a é o
logaritmando ou antilogaritmo, b a base e x o resultado que denominamos de
logaritmo de a na base b.
Em resumo temos:
Log b a = x  bx = a
- Bases de um sistema de logaritmo.
1ª)Logaritmo Decimal (ou Comum): apresenta o número 10 como base do sistema
de logaritmos sendo representado simbolicamente por Log a (lê-se: logaritmo de a
na base 10).
Log a = x  10x = a
2ª) Logaritmo Neperiano (ou Natural): apresenta o número irracional e =
2,718...(número neperiano), como base do sistema de logaritmos, sendo
representado simbolicamente por Ln a ou Log e a (Lê-se: logaritmo neperiano ou
natural de a na base e). É o sistema de logaritmo muito utilizado nos estudos de
vários fenômenos da natureza.
Ln a = x  10x = a
Obs.: O número e = 2,718... foi denominado de número neperiano em homenagem ao descobridor dos logaritmos,
John Napier.
Exemplos
1- Calcule o valor de cada logaritmo:
a) Log 2 32
d) Log
2
3
b) Log 3
 8 


 27 
g) Log 3 0,333...
1 
 
9 
c) Log 2
e) Log 5 5
f) Log 7 1
h) Log 100.000
i) Log 0,00001
Solução
a) Log 2 32 = n  2n = 32
2n = 2 5
n=5
b) Log 3
1 
 
9 

5
*Decompondo em fatores primos: 32 = 2
1 
 
9 
= n  3n =
 1 
 2 
3 
3n =
n

1
Propriedade da potência:
a
 a
b
b
-2
3 =3
n = -2
c) Log 2
8
= n  2n =
8
2n =
2
3
c

2n = 23/2
n = 3/2
d) Log
2
3
 8 


 27 
=n 
2
 
3
2
 
3
n
n
 8 
 

 27 
2 
  3 


3 
3
8
Propriedade da potência:
b
a
c
 a
b
2
 
3
n
2
  
3
3

a
Propriedade da potência:  c
b
c

a 
   

b 

c
n=3
e) Log 5 5 = n  5n = 5
n=1
f) Log 7 1 = n  7n = 1
7n = 7 0
n=0
g) Log 3 0,333... = n  3n = 0,333.. 
0 , 333 ... 
3
9
n
 3  
1
 3
1
3
-1
3 =3
n = -1
h) Log 100.000 = n  10n = 100.000
10n = 105
n=5
i) Log 0,00001 = n 
 Potência de base 10: 100.000 = 105
10n = 0,00001  Potência de base 10: 0,00001 = 10-5
10n = 10-5
n = -5
* Decomposição em fatores primos.
32 2
16 2
8
2
4
2
2
2
5
1 2
3- Propriedades dos logaritmos
-Considerando a, b  1 e c números reais positivos, temos:
1ª) Quando o logaritmando (ou antilogaritmo) for igual a base, o logaritmo vale 1.
Log b b = 1
2ª) Quando o logaritmando for igual a 1, independentemente do valor da base, o
logaritmo vale 0.
Log b 1 = 0
3ª) Logaritmo de uma potência é igual ao produto do expoente da potência pelo
logaritmo da base da potência.
Log b (an) = n.Log b a
Obs.: Log b a (logaritmo da potência)  (Log b a) (potência de um logaritmo)
n
n
4ª) Uma potência cujo expoente é um logaritmo, se a base da potência for igual a
do logaritmo, o resultado será o logaritmando.
b Log
b
a
=a
5ª) Logaritmo do produto de números em uma determinada base é a soma dos
logaritmos desses números na mesma base.
Log n (a.b) = Log n a + Log n b
Log n (a.b.c) = Log n a + Log n b + Lognc
Log n (a.b.c. ... .m) = Log n a + Log n b + Logn c + ... + Logn m
6ª) Logaritmo do quociente de dois números a e b  0, em uma determinada base,
é igual a diferença dos logaritmos desses números na mesma base.
Log n
 a 
 
 b 
= Log n a – Log n b
7ª) Mudança de base: Existem problemas que, direta ou indiretamente, solicita
que você mude a base do logaritmo que está trabalhando, afim de encontrar a
solução desejada. Neste caso, aplica-se a regra abaixo:
Log
Obs.: Log
b
b
a 
Log
n
a
Log
n
b
a 
  (log aritmo
 c 
(n é um número real positivo diferente de 1)
do quociente
) 
Log
b
a
Log
c
b
( quociente
dos
log aritmos )
Exemplos
1) Calcule o termo desconhecido em cada igualdade:
a) Log 2 x = 4
b) Log 2 x = -4
d) Log 3 27 = x
e) Log 2 (1/4) = x
g) Log x 9 = 2
h) Log x 4 = -2
c) Log 9 x = 1/2
f) Log (2/3) (9/4) = x
i) Log x 3 = 1/3
Solução:
a) Log 2 x = 4  x = 24
x = 16
b) Log 2 x = -4  x = 2-4
x = 1/24
x = 1/16
c) Log 9 x = 1/2  x = 91/2
x= 9
x=3
d) Log 3 27 = x  3x = 27
3x = 3 3
x =3
1 

 4 
e) Log 2 
1
= x  2x =
f) Log
4
2
3
9 
 
 4 
2

3
2
 
3
1
2x =
2
x

=x 
2
4
x
2
 
3
2x = 2-2

3
2
x
2
 
3
x = -2
9
2
2
3
  
2
x
2
  
3
x = -2
g) Log x 9 = 2  x2 = 9
x 
h) Log x 4 = -2  x-2 = 4
1
9
x
2
 4
x2 = 1/4
x=3
x  
1
4
x 
1
, pois , 
2
i)
Log x 3 =
1
1

x
 3
3
3
3

3
x  3

( elevando
3
x
 3
3
x = 27
ao
cubo )
1
2
não
serve
2
2
2) Sabendo que Log x = 2 e Log y = 3, determine:
a) Log(x.y)
b) Log
 x 
 
 
 y 
d) Log 4 x
e) Log
5
y
c) Log x4
2
f) Log y x
Solução
a) Log (x.y) = Log x + Log y = 2 + 3 = 5
b) Log
 x 
 
 
 y 
(Prop. 6)
= Log x – Log y = 2 – 3 = -1
(Prop. 7)
c) Log x4 = 4.Log x = 4.2 = 8
(Prop. 3)
d) Log 4 x = (Log x)4 = 24 = 16
2
e) Log
5
y
2
= Log
=
5
y
2
y 
. Log
5
f) Log x y =
Log
y
3
=
2
.3 
5
6
= 1,2
(Prop. 3)
5
= 1,5
(Prop. 7)
2
Log x
3) Sabendo que Log 2 = 0,3 e Log 3 = 0,5, determine:
a) Log 6
b) Log 36
c) Log
3
2
1
d) Log 5
e)
Log
2
2
f) Log 3 2
Solução
a) Log 6 = Log (2x3) = Log 2 + Log 3 = 0,3 + 0,5 = 0,8
b) Log 36 = Log (22x 32) = Log 22 + Log 32 = 2.Log 2 + 2.Log 3= 2.0,3 + 2.0,5 = 1,6
1
c) Log
3
2
= Log
2
2
=
1
. Log
=
2
2
d) Log 5 = Log
 10 


 2 
1
e)
Log
2
1
Log
2
Log
3
=
= 0,15
2
= Log 10 – Log 2 = 1 – 0,3 = 0,7
2   Log 2  2 
f) Log 3 2 =
0 ,3
Log
0 ,3
0 ,5
2
=
= 0,6
0 ,3
FUNÇÃO LOGARITMICA
1- Conceito:
Denomina-se Função Logarítmica toda função do tipo f(x) = Log
sendo que o logaritmando (x) pode assumir qualquer valor real posiivo  x 
a base (n), somente valores positivos diferentes de um n   *
 1

n
*

x,
 e,
.
Exemplos:
a) f(x) = log 2 x
b) Log 0,5 x
c) Log 4 (3x)
d) Log 2/3 (x + 3)
2- Função Logaritmica Crescente e Decrescente.
Observe que as funções acima ora apresentam as bases maiores que um
(n > 1), ora apresentam as bases entre zero e um (0 < n < 1). Então, através da
base podemos verificar se uma função logaritmica é crescente ou decrescente.
2.1- Função Logaritmica Crescente.
Nos exemplos a e c, as bases são maiores que um (2 e 4), nesses casos,
as funções são ditas crescentes.
2.2- Gráfico da Função Logaritmica Crescente.
Exemplo:
- Construir o gráfico da Função Logaritmica f(x) = Log 2 x.
Vamos atribuir valores arbitrários, que facilitam nossos cálculos, para a
variável independente x, encontrando valores correspondentes para a função y.
Em seguida, substituir os pares determinados, no plano cartesiano.
x
y
(x, y)
1/2 -1 (1/2, -1)
1 0 (1, 0)
2 1 (2, 1)
f(x) = Log 2 x
y
(1/2) = -1
4
f(1) = 0
f(2) = 1
3
4
2
(4, 2)
f(4) = 2
2
8
3
(8, 3)
f(8) = 3
1
0
-1
1/2
1
2
4
8 x
Analisando o gráfico, verifica-se que:
a) A função logarítmica é crescente, pois, além da base ser um número maior que
um, observa-se que um aumento (ou diminuição) de x, acarreta um aumento (ou
diminuição) de y.
b) O domínio é o conjunto dos reais positivos e não-nulos (D = +*).. Observe no
gráfico que x só assumem valores positivos e não-nulos.
c) A imagem y, é representada pelo conjunto dos reais (Im =  ).
2.3- Função Logaritmica Decrescente.
Nos exemplos b e d, as bases estão compreendidas entre 0 e 1, nesses
casos, a função exponencial é dita decrescente.
2.4- Gráfico da Função Logaritmica decrescente.
Exemplo:
- Construir o gráfico da função logaritmica f(x) = Log 1/2 x.
x
y
(x, y)
1/4 2 (1/4, 2)
1 0 (1, 0)
2 -1 (2, -1)
f(x) = Log 2 x
(1/4) = 2
f(1) = 0
f(2) = -1
4
-2 (4,- 2)
f(4) = -2
8
-3 (8, -3)
f(8) = -3
Analisando o gráfico, verificamos que:
a) A função logaritnica é decrescente, pois, além da base ser um número
pertencente ao intervalo ]0, 1[, observa-se que um aumento (ou diminuição) de x,
acarreta uma diminuição (ou aumento) de y.
b) O domínio é o conjunto dos reais positivos e não-nulos (D = +*). Observe no
gráfico que x só assumem valores positivos e não-nulos.
c) A imagem y, é o conjunto dos reais (Im =  ).
3- Domínio da Função Logarítmica.
Para encontrar o domínio (campo de existência) de uma função
logarítmica, devemos verificar a localização da variável independente x. Se ela
estiver no logaritmando, o mesmo deverá ser positivo, porém, se ela estiver na
base, a mesma deverá assumir valor positivo, mas, diferente de 1 (um).
Exemplo
1- Encontrar o domínio de cada função:
a) f(x) = Log (2x – 8)
b) y = Log (x-1) 3
c) y = Log (x-1) (x2 – 4)
Solução
a) f(x) = Log (2x – 8)
Como x está no logaritmando, temos a seguinte condição:
2x – 8 > 0  x > 4
D = {x   / x > 4}
b) y = Log (x-1) 3
Como x está na base, temos as seguites condições:
x–1>0x>1 e x–1≠1x≠2
D = { x   / 2 ≠ x > 1}
c) y = Log (x-1) (x2 – 4)
Como x se apresenta no logaritmando e na base, temos:
1) x2 – 4 > 0
2) x - 1 > 0 e x - 1  1
x=2
x>1
x 2
D = {x   / x > 2} ou ]2, +)
4- Equações Logarítmicas
Para resolvermos equações logarítmicas devemos seguir alguns passos:
1º) Instituem-se as condições de existência dos logaritmos;
2º) Utilizam-se as propriedades dos logaritmos para resolver a equação;
3º) Verificar se o resultado do 2º passo pertence ao conjunto solução do 1º passo.
Exemplos:
1- Resolva a equação Log 2 (x + 3) + Log 2 x = 2.
1º passo: Condição de existência (C.E.).
1) x + 3 > 0  x > -3
2) x > 0
2º passo: Resolvendo a equação.
Log 2 (x + 3) + Log 2 x = 2 (propriedade)
Log 2 [(x + 3).x] = 2
Log 2 (x2 + 3x) = 2 (definição)
x2 + 3x = 22
x2 + 3x – 4 = 0 (aplicando a fórmula de Bháskara)
 x' 1

 x"   4
3º passo: observe que apenas x = 1 satisfaz a C.E. (x > 0), logo, S = {1}
2- Encontre o conjunto solução da equação Log 2
1º passo: Condição de existência (C.E.).
I) x > 0  x > 0
II) -x + 5 > 0  x < 5
x
+ Log 4 (-x + 5) = 1.
2º passo: Resolvendo a equação.
Log 2
Log
Log
x 
2
Log
+ Log 4 (-x + 5) = 1 ( mudança de base)
x
Log
x 
2
2
1
( Log
1
(m.m.c. = 2)
4
( x  5)
2
4  2
)
2
2 . Log
x  Log
2
Log
2

Log
2
x  Log
Log
2
x (  x
x (  x
 x
( x  5)
Log
2
2
2
x

2
 Log
2
2
( x  5)  2
2
( x  5)  2
( x  5)  2
(propriedade)
(propriedade)
 5)  2
 5)  2
2
 5x  4  0
(definição)
(fórmula de Bháskara)
x' 4

 x"  1
3º passo: observe que os resultados 4 e 1 pertencem ao conjunto C.E., logo, S =
{1, 4}
5- Inequações Logarítmicas
Se uma inequação apresenta a variável independente no logritmando ou
na base de um logaritmo, denomina-se a mesma de inequação logarítmica.
Para resolver inequações logarítmicas devemos seguir, como nas
equações, os seguintes passos:
1º) Instituem-se as condições de existência dos logaritmos;
2º) Resolve-se a inequação logarítmica:
2.1- Se a base for maior que 1 (b > 1), conserva-se o sinal da desigualdade.
2.2- Se a base estiver entre 0 e 1(0 < b < 1), inverte-se o sinal da desigualdade.
3º) Encontra-se a intersecção do resultado do 1º com o do 2º passo.
Exemplos
01- Resolva a inequação Log (3x – 6) – Log (x + 2) > 0.
1º passo: Condição de existência (C.E.).
I) 3x – 6 > 0  x > 2
II) x + 2 > 0  x > -2
2º passo: Resolvendo a inequação.
Log (3x – 6) – Log (x + 2) > 0
Log (3x – 6) > Log (x + 2) (b > 1, permanece o sinal da inequação)
3x – 6 > x + 2  x > 4
Nota: Normalmente o resultado da inequação seria S = {x   / x > 4}, porém, vamos ao 3º passo.
3º passo: Encontra-se a intersecção do resultado do 1º com o do 2º passo.
02- Encontre o conjunto solução da inequação Log ½ (1 – x2)  -3.
1º passo: Condição de existência (C.E.).
1 – x2 > 0 (a = -1  a < 0)
1 – x2 = 0 
 x' 1

 x"   1
2º passo: Resolvendo a inequação.
Log ½ (1 – x2)  -3 (sendo b = ½, inverte-se o sinal da inequação)
1 – x2  (1/2)-3
1 – x2  8
-x2 - 7  0 (-1)
x2 + 7  0
x2 + 7 = 0  {x’ e x”  
------------------------------------------------------m/a
x
Nota: Normalmente o resultado da inequação seria S = , porém, vamos ao 3º passo.
3º passo: Encontra-se a intersecção do resultado do 1º com o do 2º passo.
6- Característica e Mantissa de um logaritmo
Procurando na tábua dos logaritmos ou na calculadora científica o
logaritmo de 235,4 encontramos, como resultado, aproximadamente 2,378.
Separando a parte inteira da decimal, temos: 2,378 = 2 + 0,378. A parte inteira (2)
denomina-se característica e a parte decimal (0,378) de mantissa. Para calcular a
característica do Log 235,4 deve-se subtrair a quantidade de dígitos da parte
inteira do logaritmando (3) de um (1) encontrando 2 como resultado. Esse cálculo
é feito quando o logaritmando assumir um valor real positivo e maior que 1. Já, a
mantissa (0,378) é encontrada na tábua dos logaritmos. Quando o logaritmando
for um número real positivo e menor que 1 (um), a característica será a quantidade
de zeros que antecedem o 1º dígito não-nulo acompanhada do sinal negativo (-).
Exemplos:
1) Determine a característica de cada número abaixo:
a) Log 2,345 b) Log 367,45 c) Log 0,356 d) Log 0,045
e) Log 0,003004
Solução
a) Log 2,345
b) Log 367,45
c) Log 0,356
d) Log 0,045
e) Log 0,003004
 C = 1 – 1 = 0, logo, o resultado do logaritmo é 0, mantissa.
 C = 3 – 1 = 2, logo, o resultado do logaritmo é 2, mantissa.
 C =-1, logo, o resultado do logaritmo é -1, mantissa
 C = -2, logo, o resultado do logaritmo é -2, mantissa
 C = -3, logo, o resultado do logaritmo é -3, mantissa
2) Qual é a característica de um número real positivo menor que 1 que apresenta,
na forma decimal, 4 zeros antecedendo o primeiro dígito não-nulo?
Solução
Observe o seguinte número Log 0,00035. A quantidade de zeros que antecede o
1º dígito não-nulo 4, logo, a característica é -4.
BIBLIOGRAFIA
Guidorizzi, Hamilton, Um curso de Cálculo, Vol. 1, Livros Técnicos e Científicos, 5 a
edição, 2001.
L.Leithold, O Cálculo com Geometria Analítica, Harbra, São Paulo, 1977.
Stewart, James, Cálculo, Vol. 1, Editora Pioneira, 4a. edição, 2001.