ρ ρ ρ ρ γ η = ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ

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Equação da Energia e presença de uma
máquina:
PeixoB 
v12
v22
p1      g  h1  p2      g  h2
2
2
2
p1 v1
p2 v22

h 

h
 2 g 1  2 g 2
p
v2
p
v2
H1  1  1  h1  2  2  h2  H 2
 2 g
 2 g
T 
Equação da continuidade:
1v1 A1  2v2 A2
Para fluidos incompressíveis:
v1 A1  v2 A2 {2}

p1   gy1 
Peso
t
Q
2
como:
E
Pt  m
t
E
E P
Pt  m  m  eso
t Peso t
E
H m
Peso
P
Como: Pt  H  eso
t
m g
Pt  H 
t
 V  g
Pt  H 
t
V
Q
t
  g
Pt  H    Q
Rendimento de uma máquina:
O Rendimento de uma máquina é definido
quanto a sua natureza.
 Se a máquina for um motor:
PB
PeixoB
 p2   gy2 
 v22
2
{3}
v12 p1
v2 p
  z1  2  2  z2
2g 
2g 
Substituindo {2} em {3}, a velocidade é dada
por:
V
t
Potência de uma máquina
A potência de uma máquina é definida
B 
 v12
H1  H 2
Vazão em Massa:
Vazão em Volume:
1
Equação de Bernoulli:
Vazões:
Definimos como:
 Vazão em Peso:
m
t
PT
PfT
m1  m2  1V1  2 V2
Se H M  H 2  H1  0  Turbina.
Qm 
 Q  HB
B
PT  T  PfT  PT  T    Q  HT
H1  H M  H 2
Se H M  H 2  H1  0  Motor;

B
 PeixoB 
 Se a máquina for uma turbina:
Se colocarmos uma máquina entre os pontos
(1) e (2), escreveremos a relação como:
Qg 
PB
v2  cq
2p
H O
2
Com:
cq 
A12
d14

A12  A22
d14  d 24
A vazão será:
Q  A1  v1  A2v2
Equação da energia para fluido real
Nesse item será retirada a hipótese de fluido
ideal; logo, serão considerados os atritos internos no
escoamento do fluido. São mantidas as hipóteses de
regime
permanente,
fluido
incompressível,
propriedades uniformes na seção e sem trocas de calor
induzidas. Esta última significa que não existe uma
troca de calor provocada propositalmente; no entanto,
ao se considerar os atritos no escoamento do fluido,
deve-se imaginar que haverá uma perda de calor do
fluido para o ambiente causada pêlos próprios atritos.
Como será visto a seguir, a construção da equação da
energia pode ser realizada sem se falar, explicitamente,
dessa perda de calor.
Da equação de Bernoulli sabe-se que, se o
fluido fosse perfeito. H1 = H2 (Figura 4.8).
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Se, no entanto, houver atritos no transporte do
vm  10 ms
fluido, entre as seções (l) e (2) haverá uma dissipação
2. No tubo da figura, transporta-se ar. Na área
da energia, de forma que H1 > H2.
2
Querendo restabelecer a igualdade, será da maior 3seção do tubo a área vale 25 cm , a densidade
m/s; no ponto de menor
necessário somar no segundo membro a energia dissi- 1,2 kg/m e a velocidade 10
2
seção
a
área
vale
5
cm
,
a
densidade 0,8 kg/m3.
pada no transporte.
Determine na menor seção a velocidade e as vazões
H1  H 2  H p12
em massa, volume e em peso.
v
H p : energia perdida entre (l) e (2) por
12
unidade de peso do fluido.
Como
H p12  H1  H 2
chamados cargas totais,
H p12
(1)
e como H1
E
H2 são
é denominado 'perda de
carga'.
Se for considerada também a presença de uma
máquina entre (l) e (2), a equação da energia ficará:
(2)
Qm1  Qm2  1 A1v1  2 A2v2  v2 
v2 
1 A1v1
2 A2
1, 2  25 10
 v2  75 ms
0,8  5
Q2  A2v2  Q2  5 104  75  Q2  0.0375 ms
3
H1  H M  H 2  H p12
Qm2  2Q2  Qm2  0.8  0.0375  Qm2  0.03 kgs
Qg 2  gQm2  Qg 2  9.81 0.03  Qg 2  0.29 Ns
v12 p1
v2 p
  z1  H M  2  2  z2  H p12
2g 
2g 
Da Equação deve-se notar que, no escoamento de
um fluido real entre duas seções onde não existe máquina, a
energia é sempre decrescente no sentido do escoamento,
isto é, a carga total a montante é sempre maior que a de
jusante, desde que não haja máquina entre as duas.
A potência dissipada pêlos atritos é facilmente
calculável raciocinando da mesma maneira que para o
cálculo da potência do fluido. A potência dissipada ou
perdida por atrito poderá ser calculada por:
Ndiss  QH p12
 Exemplos:
1. Um tubo admite água ( = 1000 kg/m3)
num reservatório cuja vazão é de 20 L/s. No mesmo
reservatório é trazido óleo ( = 800 kg/m3) por outro
tubo com vazão de 10L/s. A mistura homogênea
formada é descarregada por um tubo cuja seção tem
uma área de 30 cm2. Determinar a massa específica
da mistura no tubo de descarga e a velocidade da
mesma.
3. No tubo da figura, transporta-se ar. Na área
da menor seção do tubo o diâmetro vale d1 = 0,5 cm, e
a densidade 1=1,4 kg/m3 e a velocidade v1=15 m/s; no
ponto de maior seção o diâmetro vale d2 = 2,5 cm, a
densidade 2=0,8 kg/m3. Determine na maior seção a
velocidade e as vazões em massa, volume e em peso.
4. A figura mostra um tubo de escoamento de
água: (a = 103kg/m3)
(a) Qual a velocidade no ponto 1, sabendo
que a velocidade em 2 é 2,5 m/s, se o diâmetro maior é
5 pol, o e o menor é 1 cm ?
(b) Encontre as vazões em massa e em peso.
Q1  20 Ls  20 103 ms ;
3
Q2  10 Ls  10 103 ms
3
Qm  Q
Q1  Q2  Q3  Q3  20  10  30 Ls  30 103 ms
3
Qm1  Qm2  Qm3  aQ1  oQ2  mQ3
1000  0,02  800  0,01  m 0,03  m  933,33 mkg3
m  933,33 mkg
5. No tubo da figura, transporta-se ar. Na área
da maior seção do tubo a área vale 50 cm2, a densidade
1,2 kg/m3 e a velocidade 10 m/s; no ponto de menor
seção a área vale 10 cm2, a densidade 0,8 kg/m3.
Determine na menor seção a velocidade e as vazões
em massa, volume e em peso.
v
3
Qm  Avm  vm 
Qm 30 103

 vm  10 ms
A 30 104
(1)
(2)
2
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Qm1  Qm2  1 A1v1  2 A2v2  v2 
v2 
1 A1v1
2 A2
1, 2  50 10
 v2  75 ms
0,8 10
Q2  A2v2  Q2  50 104  75  Q2  0.375 ms
3
Qm2  2Q2  Qm 2  0.8  0.375  Qm 2  0.3 kgs
Qg 2  gQm2  Qg 2  9.81 0.3  Qg 2  2.9 Ns
6. Uma torneira enche um tanque, cuja
capacidade é 6000L, em 1h e 40 min. Determinar a
vazão em volume, em massa e em peso em unidade
do SI se:
a densidade da água é H2O = 1000kg/m3 e
g = 10 m/s2.
7. O ar escoa num tubo convergente. A área
maior do tubo é 20 cm2 e a menor é 10 cm 2. A
densidade do ar na seção (1) é 1.2 kg/m3 e na seção
(2) é 0.9 kg/m3. Sendo a velocidade na seção (1) 10
m/s, determinar as vazões em massa, volume, em
peso e a velocidade média na seção (2).
Equação da energia para fluido real
Nesse item será retirada a hipótese de fluido
ideal; logo, serão considerados os atritos internos no
escoamento do fluido. São mantidas as hipóteses de
regime
permanente,
fluido
incompressível,
propriedades uniformes na seção e sem trocas de calor
induzidas. Esta última significa que não existe uma
troca de calor provocada propositalmente; no entanto,
ao se considerar os atritos no escoamento do fluido,
deve-se imaginar que haverá uma perda de calor do
fluido para o ambiente causada pêlos próprios atritos.
Como será visto a seguir, a construção da equação da
energia pode ser realizada sem se falar, explicitamente,
dessa perda de calor.
Da equação de Bernoulli sabe-se que, se o
fluido fosse perfeito. H1 = H2 .
Se, no entanto, houver atritos no transporte do
fluido, entre as seções (l) e (2) haverá uma dissipação
da energia, de forma que H1 > H2.
Querendo restabelecer a igualdade, será
necessário somar no segundo membro a energia dissipada no transporte.
H1  H 2  H p12
(1)
(2)
8. Água é descarregada em um tanque cúbico de
5 m de aresta por um tubo de 5 cm de ciâmetro. A
vazão no tubo é 10L/s. Determinar a velocidade de
descida da superfície livre da água do tanque, e,
supondo desprezível a variação da vazão, determinar
quanto tempo o nível da água levará para descer 20
cm.
9. Os reservatórios da figura são cúbicos. São
enchidos pelos tubos, respectivamente, em 100s e
500s. Determinar a velocidade da água na seção (A),
sabendo que o diâmetro do tubo nessa seção é 1 m.
(2)
(1)
5m
10 m
H1  H M  H 2  H p12
v12 p1
v2 p
  z1  H M  2  2  z2  H p12
2g 
2g 
H p12 : energia perdida entre (l) e (2) por
unidade de peso do fluido.
Como H p12  H1  H 2 e como H1 E H2 são
chamados cargas totais, H p12 é denominado 'perda
de carga'.
Se for considerada também a presença de uma
máquina entre (l) e (2), a equação da energia ficará:
3
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Da Equação deve-se notar que, no escoamento
de um fluido real entre duas seções onde não existe
máquina, a energia é sempre decrescente no sentido
do escoamento, isto é, a carga total a montante é
sempre maior que a de jusante, desde que não haja
máquina entre as duas.
A potência dissipada pêlos atritos é facilmente
calculável raciocinando da mesma maneira que para
o cálculo da potência do fluido. A potência dissipada
ou perdida por atrito poderá ser calculada por:
Ndiss    Q  H p12
Equação de Bernoulli:
v2
v2
p1   gh1  1  p2   gh2  2
2
4
2
v2
p
v2
 h1  1  2  h2  2  H1  H 2

2g 
2g
p1
h
h2
(2)

H2( p2, v2 ,h2)
M

H1( p1, v1 ,h1)
h1
(1)
H1  H M  H 2  H p12
Exemplos Resolvidos:
l. Na instalação da figura, verificar se a máquina é
uma bomba ou uma turbina e determinar a sua potência,
sabendo que seu rendimento é 75%. Sabe-se que a
pressão indicada por um manômetro instalado na seção
(2) é 0,16 MPa, a vazão é l0 L/s, a área da seção dos
tubos é l0 cm2 e a perda de carga entre as seções (l) e (4)
é 2 m.
Não é dado o sentido do escoamento,
 H2O  104 N m3 ; g = 10 m/s2.
 Solução
Deve ser notado, inicialmente, que a seção (4) é o
nível do reservatório inferior sem incluir a parte interna
do tubo, já que nesta não se conhece a pressão.
Sabe-se que o escoamento acontecerá no sentido
das cargas decrescentes, num trecho onde não existe
máquina. Para verificar o sentido, serão calculadas as
cargas nas seções (l) e (2).
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(a) Encontre a velocidade média:
v
 v  r dA
A
 dA
A
(b) Mostre que:
v12 p1
H1 
  z1  0  0  24  24m
2g 
v22 p2
H2 
  z2
2g 
Q 10 103
v2  
 10 m s
A 10 104
v22 p2
H2 
  z2
2g 
102 0,16 106
H2 

 4  25m
2 10
104
vm
1

vmax 2
3. No escoamento turbulento de um fluido em
condutos circulares, o diagrama de velocidades é dado
pela equação:
17
r

v  r   vmax  1  
R


Mostre que:
5
vm
49

vmax 60
4. Na instalação da figura, a máquina é uma
bomba e o fluido é água. A bomba tem uma potência de
5 kW e seu rendimento é 80 %. A água é descarregada à
atmosfera com uma velocidade de 5 m/s pelo tubo cuja
área de seção é 10 cm2 Determinar a perda de carga do
fluido entre (1) e (1) e a potência dissipada ao longo da
tubulação. Dados: H2O=104N/m3; g = 10m/s2.
Como H2> H1, conclui-se que o escoamento
terá o sentido de (2) para (1) ou de baixo para coma,
sendo a máquina, portanto, uma bomba.
Aplicando-se a equação da energia entre as
seções (4) e (1), que compreendem a bomba.
Lembrar que a equação deve ser escrita
no sentido do escoamento.
(1)
5m
(2)
B
H 4  H B  H1  H p14
v42 p4
H4 
  z4
2g 
H1  24m
H 4  0  H p14  2
H B  H1  H 4  H p14  24  0  2  26
PotB 
QH B 104 10 103  26

 3470W  3, 47kW
B
0, 75
2. No escoamento lamelar de um fluido em
condutos circulares, o diagrama de velocidades é
representado pela equação:
  r 2 
v  r   vmax  1    
  R  
onde vmax é a velocidade no eixo do conduto, R
é o raio do conduto e r é um raio genérico para o qual
a velocidade v é genérica. Sendo vm a velocidade
média:
R
1
vm   v  r dA  dA  2 r  dr
A0
A figura mostra a variação de v(r) com r.

Solução:
H1  H B  H 2  H p12
H1 
v12 p1
  z1  0  0  5  H1  5m
2g 
v22 p2
52
H2 
  z2 
00
2g 
2 10
H 2  1.25m
 Q  HB
PB 
B
 P
 P
HB  B B  Q  v  A  HB  B B
 Q
 v A
0.8  5 103
HB  4
10  5 10 104
H B  80m
H1  H B  H 2  H p12
H p12  H1  H 2  H B
H p12  5  1.25  80
H p12  83.75m
Pdiss    Q  H p1,2
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Pdiss  104  5 10  83.75
Pdiss  4190W
Pdiss  4.19kW
Considere que não há perda de carga (Hp12=0)
na figura abaixo:
(1)
(2)
24 m
5. A equação de Bernoulli, quando há uma
máquina entre os pontos (1) e (2) e o deslocamento
do fluido se dá de (1) para (2) pode ser reescrita da
forma, considerando que há uma perda de carga Hp12
(Energia perdida por unidade de peso) de 3m :
h
h2
(2)

H2( p2, v2 ,h2)
Considere o reservatório grande fornecendo
água para o tanque a 10L/s. Verifique se a máquina
instalada é bomba ou turbina e determine sua potência,
se o seu rendimento é de 75%. Supor fluido ideal.
Dados: Atubos = 10 cm2; g = 10m/s2; a=104N/m3.
6. Na instalação da figura, verificar se a máquina
é uma bomba ou uma turbina e determinar a sua
potência, sabendo que seu rendimento é 70%. Sabe-se
que a pressão indicada por um manômetro instalado na
seção (2) é 0,17 MPa, a vazão é l2 L/s, a área da seção
dos tubos é l0 cm2 e a perda de carga entre as seções (l)
e (4) é 2 m.
Não é dado o sentido do escoamento:
2
 H O  104 N m3 ; g = 10 m/s .
M

H1( p1, v1 ,h1)
h1
5m
M
(1)
2
H1  H M  H 2  H p12
Se HM > 0  Bomba

Pot 
v
p
 1  z1  0  0  24  24m
2g 
Q 12 103
v2  
 12 m s
A 10 104
v2 p
H 2  2  2  z2
2g 
2
12
0,17 106
H2 

 4  27.2m
2 10
104
H1 
PotB

Potência da Bomba e rendimento:
Pot   QH B   B 
Pot
PotB
Se HM < 0  turbina
Como H2> H1, conclui-se que o escoamento terá o
sentido de (2) para (1) ou de baixo para coma, sendo a
máquina, portanto, uma bomba.
Aplicando-se a equação da energia entre as seções
(4) e (1), que compreendem a bomba.
Lembrar que a equação deve ser escrita
no sentido do escoamento.
Pot 
PotT

Potência da Turbina e rendimento:
Pot   QH B  T 
Solução:
2
1
PotT
Pot
H 4  H B  H1  H p14
H4 
v42 p4
  z4
2g 
6
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H1  24m
H 4  0  H p14  2
H B  H1  H 4  H p14  24  0  2  26
PotB 
QH B 104 12 103  26

 4457.14W  4.457kW
B
0, 70
7. Os reservatórios da figura são cúbicos. São
enchidos pelos tubos respectivamente, em 100s e
500s. Determinar a velocidade da água na seção (A),
sabendo que o diâmetro do conduto nessa seção é
1m.
7
(A)
DA = 1 m
5m
(1)
10m
(2)

Q
Solução:
V1 V2
53 103

Q

t1 t2
100 500
Q  3.25 ms
4Q
4  3.25
v

 4.14 ms
2
2
 D
 1
3
8. O filtro de admissão de combustível de
certa máquina é formado por um elemento poroso
com forma de tronco de cone. O combustível líquido
penetra no filtro com uma vazão de 10 L/s. A
distribuição de velocidades na face superior é linear
com vmax = 0.3 m/s. Qual é a vazão de combustível
que será filtrada pela parede porosa?
Exercícios de Revisão para a prova P2
1. A água escoa em um tubo cuja seção reta
possui área variável e em todos os pontos a água enche
completamente o tubo. No ponto 1 a seção reta possui
área igual a 0,07m2 e o módulo da velocidade do fluido é
igual a 3,50 m/s.
(a) Qual é a velocidade do fluido nos pontos
para os quais a seção reta possui área igual a
(i) 0,105m2?
(ii) 0,047m2?
(b) Calcule o volume de água descarregada pela
extremidade aberta do tubo em 1 hora.
2. Em um certo ponto de um tubo horizontal,
(medidor de Venturi indicado na figura) a velocidade na
seção maior vale v1 = 1.5 m/s. Se os diâmetros do tubo
nesses pontos forem de d1 = 1.5 in e d2 = 1 cm,
respectivamente, calcular: (1 in = 2.54 cm).
(a) A velocidade no ponto (2) (v2).
(b) A diferença de pressão entre os dois pontos
e a altura h da coluna de água indicada.
(c) As vazões em massa (Qm) e em peso (Qg).
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Pot
Pot    Q  HT  T  T
3. Um pequeno orifício circular com raio
Pot
igual a 6,00 mm é cortado na superfície lateral de um
grande tanque de água, a profundidade de 25m
abaixo da superfície livre da água. O topo do tanque
está aberto para a atmosfera. Ache:
(a) a velocidade de efluxo;
Considere o reservatório grande fornecendo
(b) o volume de água descarregada por água para o tanque a 25 L/s. Verifique se a máquina
unidade de tempo. Se h = 12.5m e H = 25m, encontre instalada é bomba ou turbina e determine sua potência,
R. DADOS:   m    103 kg
se o seu rendimento é de 80%. Supor fluido ideal.
H O
V
m3
Dados: Atubos = 11 cm2;
g = 10m/s2; a=104N/m3.
6. Qual deve ser a velocidade de uma esfera de
alumínio com raio igual a 1.50 mm se deslocando em
óleo de rícino a 20°C para que a força de arraste devido
à viscosidade seja igual a um terço do peso da esfera?
DADOS:
4. A água é descarregada de um tubo
2
o  0.8 cm  8.010 m
cilíndrico horizontal, com uma taxa de 465 cm3/s. Em
um ponto do tubo onde o raio é 2.05 cm a pressão
a  2.7 cmg  2.7103 mkg
5
absoluta é igual a 1.60 10 Pa . Qual é o raio do tubo
o  9.86 Po
em uma constrição onde a pressão se reduz para
5
1.20 10 Pa ?
7. As linhas de corrente horizontais em torno
5. A equação de Bernoulli, quando há uma
das
pequenas
asas de um avião são tais que a velocidade
máquina entre os pontos (1) e (2) e o deslocamento
sobre
a
superfície
superior é igual a 72,0 m/s e sobre a
do fluido se dá de (1) para (2) pode ser reescrita da
superfície
inferior
é igual a 65,0 m/s. Se o avião possui
forma:
massa igual a 1340 kg e a área da asa é igual a 16.2 m2,
qual é a força resultante vertical (incluindo o efeito da
gravidade) sobre o avião? A densidade do até 1.20
kg/m3.
g
2 kg
3
3
3
Dado: Equação de Bernoulli:
  v12
  v22
p1    g  h1 
 p2    g  h2 
2
2
p1

 h1 
3
8. A figura mostra uma caixa dágua onde há um
furo a uma profundidade h.
v12
p
v2
 2  h2  2  H1  H 2
2 g 
2 g
H1  H M  H 2
Se HM > 0  Bomba
Pot 

Potência da Bomba e rendimento:
Pot    Q  H B   B 
PotT
Pot
Se HM < 0  turbina

Potência da Turbina e rendimento:
Considere um grande reservatório e a gravidade
g. Qual o valor da velocidade do jato de água?
9.
8
FCTM – Capítulo 6 – Bombas, Turbinas e Perda de carga – Exemplos resolvidos - Exercícios de Revisão
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori www.claudio.sartori.nom.br
13. No tubo da figura, transporta-se ar. Na área
da maior seção do tubo a área vale 25 cm2, a densidade
1.2 kg/m3 e a velocidade 10 m/s; no ponto de menor
seção a área vale 15 cm2, a densidade 0.8 kg/m3.
Determine na menor seção a velocidade e as vazões em
massa, volume e em peso.
v
(1)
14. A velocidade em um tubo cilíndrico é dada por:
DADOS:
 H O  1 cm  10
g
2
3
3 kg
m3
(2)
 Hg  13, 6.10
p   Hg   o  g  h
3 kg
m3
P
v(r ) 
  R 2  r 2  ou
4   L
g  9,81 sm2
2

r 
v(r )  vm  1  2 
 R 
10. No tubo da figura, transporta-se ar. Na
área da menor seção do tubo o diâmetro vale d1 = 2,5
cm, e a densidade 1 = 1,4 kg/m3 e a velocidade igual
a v1 = 10 m/s; no ponto de maior seção o diâmetro
vale d2 = 0,5cm, a densidade 2 = 0.75 kg/m3.
Determine na maior seção a velocidade e as vazões
em massa, volume e em peso.
A figura mostra sua variação com r.
Qual a relação entre a velocidade média:
v
 v  r dA
A
 dA
A
11. A figura mostra um tubo de escoamento
de água:
(a) Qual a velocidade no ponto 1, sabendo
que a velocidade em 2 é 2.25 m/s, se o diâmetro
maior é 5 pol, o e o menor é 1 cm.
(b) Encontre as vazões em massa e em peso.
12. Qual a diferença de pressão em um
manômetro diferencial de coluna de mercúrio
instalado numa tubulação cujo diâmetro maior é 5
polegadas e o menor 2 polegadas, sabendo que a
velocidade na garganta (2) vale 10,5 m/s?
e a velocidade em r = R/2 ?
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