Probabilidade

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05/08/05
Noções sobre Probabilidade
Introdução
Vimos anteriormente como apresentar dados em tabelas e gráficos, e
também como calcular medidas que descrevem características específicas
destes dados.
Mas além de apresentar dados e realizar determinados cálculos em cima
desses dados, também é interessante poder fazer algum tipo de inferência.
Imagine que um pesquisador anotou a idade e a pressão arterial de seus
pacientes. Com esses dados, ele pode montar tabelas e gráficos, realizar
as medidas desejadas como médias e desvios padrões, além de traçar a
reta que dá a variação da pressão arterial em função da idade. Mas este
pesquisador também gostaria de estender suas conclusões a outros
pacientes, além daqueles que examinou. Então, este pesquisador gostaria
de fazer inferência.
Para fazer inferência estatística usam-se técnicas que exigem o
conhecimento de probabilidade, embora, consciente ou inconscientemente,
a probabilidade é usada por qualquer indivíduo que toma decisão em
situações de incerteza.
A utilização das probabilidades indica a existência de um elemento de
acaso, ou de incerteza, quanto à ocorrência ou não de um evento. Por
exemplo, se lançarmos uma moeda para o ar, de modo geral não podemos
afirmar se vai dar cara ou coroa. A probabilidade nos indicará uma medida
de quão provável é a ocorrência de determinado evento.
São várias situações em que é desejável se ter uma medida (avaliação
numérica) de quão provável é a ocorrência de determinado evento futuro:
lançamento de um produto, evolução de uma doença, fazer uma previsão
do número de internações em um período, chover amanhã à tarde etc.
Experiência aleatória
Considere uma experiência onde os resultados sejam imprevisíveis e
mutuamente exclusivos, ou seja, em cada repetição dessa experiência é
impossível prever, com absoluta certeza, qual o resultado que será obtido;
além disso, a ocorrência de um deles exclui a ocorrência dos demais.
Como exemplo, imagine o lançamento de um dado. Os resultados possíveis
são: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Você não pode prever qual o valor que sairá na próxima
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jogada do dado. Outro ponto importante é que a ocorrência de um valor
exclui a ocorrência dos demais pois é impossível você tirar dois valores em
uma única jogada do dado.
Chama-se a uma experiência desse tipo de experiência aleatória, e seus
resultados, que são mutuamente exclusivos, são chamados eventos
simples.
Espaço Amostral
O conjunto de todos os eventos simples (resultados mutuamente
exclusivos) de uma experiência aleatória é chamado de espaço amostral S.
Como exemplo de espaços amostrais, temos:
o lançamento de um dado:
S = {1,2,3,4,5,6}
o lançamento de uma moeda: S = {c, k}, onde c=cara e k=coroa
Medidas de Probabilidades
Na definição clássica de probabilidade, tomamos um espaço amostral finito
S = {a1,a2,a3...,an}, no qual os pontos amostrais ai (i=1,2, ..., n) podem ter a
mesma probabilidade de ocorrer, ou seja, são considerados equiprováveis.
Então, todo subconjunto A do espaço amostral diz-se um evento, sendo sua
probabilidade dada por:
P( A) =
m número de casos favoráveis ao evento A
=
n
número de casos possíveis
ou seja, a probabilidade de um evento é definida como o quociente do
número m de casos que lhe são favoráveis, pelo número n de resultados
possíveis.
Por exemplo, se um dado é não viciado, espera-se que as várias faces
sejam equiprováveis, ou seja, que qualquer das faces do dado tenha a
mesma probabilidade de sair quanto às outras. Assim, temos que a
probabilidade de sair o número 5 em um lançamento de dado, ou seja P(5),
é calculada da seguinte forma:
o Número de casos favoráveis ao evento 5 = 1 (pois só existe uma
face do dado com o número 5);
o Número de casos possíveis = 6 (pois existem seis números que
podem sair visto que o dado tem seis faces: 1,2,3,4,5 ou 6).
Esses seis eventos são mutuamente exclusivos porque duas
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faces não podem ocorrer ao mesmo tempo. Se o dado for
honesto, os seis eventos são igualmente prováveis.
o Logo, temos que:
P(5) =
m número de casos favoráveis ao evento 5 1
=
= = 16,67 %
n
número de casos possíveis
6
Como um outro exemplo, qual seria a probabilidade de sair número ímpar?
Neste caso, temos que:
o Número de casos favoráveis ao evento número ímpar = 3 (pois
existem três faces do dado com número ímpar: 1, 3 e 5);
o Número de casos possíveis = 6 (pois existem seis números que
podem sair visto que o dado tem seis faces: 1,2,3,4,5 ou 6).
Esses seis eventos são mutuamente exclusivos porque duas
faces não podem ocorrer ao mesmo tempo. Se o dado for
honesto, os seis eventos são igualmente prováveis.
o Logo, temos que:
P(5) =
m número de casos favoráveis ao evento número ímpar 3 1
=
= = = 50 %
n
número de casos possíveis
6 2
Considere mais um exemplo. Uma carta será retirada ao acaso de um
baralho. Qual é a probabilidade de sair um ás? Ora, um baralho tem 52
cartas, das quais quatro são ases. Neste caso, temos que:
o Número de casos favoráveis ao evento tirar ás = 4 (pois existem
quatro ases em um baralho);
o Número de casos possíveis = 52 (pois um baralho contém 52
cartas). Esses seis eventos são mutuamente exclusivos porque
dois ases não podem ocorrer ao mesmo tempo. Os 52 eventos
são igualmente prováveis.
o Logo, temos que:
P(ás ) =
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m número de casos favoráveis ao evento tirar ás 4
1
=
=
= = 7,69 %
n
número de casos possíveis
52 13
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Regras básicas da probabilidade
i. Campo de variação das probabilidades
A probabilidade de um evento A deve ser um número maior ou igual a 0
(zero), porém menor ou igual a 1. Isto é:
0 ≤ P( A) ≤ 1
ou
0 % ≤ P( A) ≤ 100 %
Se é certo ocorrer determinado evento, a probabilidade desse evento é 1,
ou 100%; se é impossível ocorrer determinado evento, a probabilidade
desse evento é zero.
Por exemplo, a probabilidade de ocorrer número menor do que 8 no
lançamento de um dado é 1, ou 100% (evento certo pois todos os números
de um dado são menores do que 8).
Já a probabilidade de ocorrer um número maior do que 8 é zero (evento
impossível).
ii. Probabilidade do espaço amostral
A probabilidade do espaço amostral S é igual a 1. Isto é:
P(S ) = 1
ou
P ( S ) = 100 %
iii. Regra da adição de probabilidades
A probabilidade de ocorrência do evento A, ou do evento B (ou de ambos) é
igual a:
P ( A ∪ B ) = P( A) + P( B) − P( A ∩ B)
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Caso os eventos A e B sejam mutuamente exclusivos, isto é: A ∩ B = ∅,
então:
P ( A ∪ B ) = P( A) + P( B)
Essa regra pode ser estendida para n eventos mutuamente exclusivos: A1,
A2, A3, ..., An.
Assim:
P ( A1 ∪ A2 ∪ K An ) = P( A1 ) + P( A2 ) + K + P ( An )
Fica mais fácil entender o teorema da soma com a ajuda de exemplos.
Suponha, então, que uma urna contém duas bolas brancas, uma azul e
uma vermelha. Retira-se uma bola da urna ao acaso. Qual a probabilidade
de ter saído bola colorida, isto é, azul ou vermelha? Ora, a probabilidade de
sair bola azul é:
P(azul ) =
número de casos favoráveis ao evento bola azul 1
= = 0,25 ou 25 %
4
número de casos possíveis
E a probabilidade de sair bola vermelha é:
P(vermelha) =
número de casos favoráveis ao evento bola vermelha 1
= = 0,25 ou 25 %
4
número de casos possíveis
Então, a probabilidade de sair bola colorida, isto é, azul ou vermelha, é
dada pela soma:
P(azul ou vermelha) = P (azul ) + P (vermelha) =
1 1
+ = 0,5 ou 50 %
4 4
Imagine, agora, que uma carta será retirada ao acaso de um baralho. Qual
é a probabilidade de sair uma carta de espadas ou um ás?
Como um baralho tem 52 cartas, das quais 13 são de espadas e quatro são
ases, alguém poderia pensar que a probabilidade de sair uma carta de
espadas ou um ás é dada pela soma
P(espadas ou ás ) =
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13 4
+
52 52
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Mas esta resposta estaria errada, porque existe uma carta, o ás de
espadas, que é tanto ás como espadas. Então, o ás de espadas teria sido
contado duas vezes. A probabilidade de sair uma carta de espadas ou um
ás de espadas é dada por:
P (espadas ∪ ás ) = P (espadas) + P (ás ) − P (espadas ∩ ás ) =
13 4
1 16
+
−
=
= 30,77 %
52 52 52 52
Recapitulando, agora fica mais fácil entender o teorema da soma. Se os
eventos A e B não podem ocorrer ao mesmo tempo, a probabilidade de
ocorrer A ou B é dada pela probabilidade de A, mais a probabilidade de B.
Logo, escreve-se que:
P ( A ∪ B ) = P( A) + P( B)
Se A e B podem ocorrer ao mesmo tempo, a probabilidade de ocorrer A ou
B é dada pela probabilidade de A, mais a probabilidade de B, menos a
probabilidade de A e B. Escreve-se:
P ( A ∪ B ) = P( A) + P( B) − P( A ∩ B)
iv. Probabilidade de um evento complementar
Se Ā é o evento complementar de A, então:
P ( A ) = 1 − P ( A)
Como exemplo, considere retirar uma carta qualquer exceto copas de um
baralho de 52 cartas.
A probabilidade de se retirar uma carta qualquer do baralho é dada por:
P(carta qualquer ) =
número de casos favoráveis ao evento carta qualquer 52
=
= 1 ou 100 %
número de casos possíveis
52
obs: nesse caso, o evento A é igual a S, assim: P(A)=P(S)=1
A probabilidade de se retirar uma carta de copas do baralho é dada por:
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P(copas) =
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número de casos favoráveis ao evento carta de copas 13
=
número de casos possíveis
52
Se A ={carta de copas}, então Ā = {qualquer carta exceto copas}. Logo,
temos que:
P ( A ) = 1 − P( A) ∴ P (qualquer carta exceto copas) = 1 − P(carta de copas)
Logo, temos que:
P (qualquer carta exceto copas) = 1 −
13 52 13 39 3
=
−
=
= = 0,75 ou 75%
52 52 52 52 4
Multiplicando probabilidades e independência estatística
Dois eventos estão estatisticamente independentes se a ocorrência de um
deles não afetar a ocorrência do outro. Assim, no lançamento de uma
moeda por duas vezes, a probabilidade de obter uma cara, ou coroa, no
segundo lance, não é afetada pelo resultado do primeiro lance.
No caso do lançamento de duas moedas, existem quatro possibilidades,
isto é: S = {cc, ck, kc, kk}, onde c= cara e k=coroa. Cada resultado é
igualmente provável e a qualquer um pode ser atribuída a probabilidade de
¼.
A probabilidade de obter uma seqüência particular de sucessos, por
exemplo, duas caras, pode ser calculada como
o produto das
probabilidades associadas com os acontecimentos em cada lance,
separadamente, assim:
P (CC ) = P (C ) × P(C ) =
1 1 1
× =
2 2 4
Logo, dados dois eventos independentes, A e B, a probabilidade da
ocorrência conjunta é definida pela regra de multiplicação:
P ( A.B) = P( A ∩ B) = P ( A) P( B)
Essa regra é válida para n eventos independentes: A1, A2, A3, ..., Na,
desde que as condições para a multiplicação de probabilidades sejam
satisfeitas para todas as combinações de dois ou mais eventos, isto é,
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desde que todas as combinações sejam constituídas por eventos
independentes.
P ( A1 . A2 . K An ) = P ( A1 ∩ A2 ∩ K ∩ An ) = P ( A1 ) P ( A2 ) K P( An )
Como um exemplo, imagine uma experiência que consiste em lançar,
simultaneamente, um dado e duas moedas. Qual é a probabilidade de obter
um “cinco” e duas coroas em uma única jogada?
Como os eventos são, evidentemente, independentes, a probabilidade
procurada é:
P (5KK ) = P(5 ∩ K ∩ K ) = P (5) P( K ) P( K ) =
1 1 1 1
⋅ ⋅ =
= 0,0416 ou 4,16 %
6 2 2 24
i. Probabilidade condicionada
Se a condição de independência estatística não for satisfeita, deve ser
usada uma fórmula mais geral, envolvendo probabilidades condicionadas.
Denomina-se probabilidade condicional à
determinado evento sob uma dada condição.
probabilidade
de
ocorrer
Dados dois eventos, A e B, a probabilidade de que o evento B ocorra, dado
que o evento A já ocorreu, é a probabilidade condicionada de B, escrita por
P(B/A).
Similarmente, escrevemos a probabilidade da ocorrência de A,
condicionada à ocorrência de B, como P(A/B) (lê-se probabilidade de A
dado que B tenha ocorrido ou probabilidade de A condicionada à ocorrência
de B).
Como exemplo, suponha que existam 10 rótulos de papel que podem ser
distinguidos pelo número e pela cor: por exemplo, os rótulos numerados por
1, 2 e 3 são amarelos e os restantes, brancos.
Se todos forem colocados um uma urna e retirados ao acaso, a
probabilidade de extrair um rótulo particular é 1/10. Se, porém, após retirar
um rótulo ao acaso, ele for amarelo, como calcular a probabilidade de que
um certo rótulo, por exemplo, aquele com número 1, seja extraído?
Evidentemente, o número possível de acontecimentos favoráveis está
agora reduzido de 10 para três; em outras palavras, o rótulo desejado deve
ter o número 1 e ser amarelo.
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Neste momento, o cálculo da probabilidade condicionada é realizado da
seguinte forma:
P(rótulo n o 1 / amarelo) =
número de casos favoráveis ao evento : rótulo 1 e amarelo 1 / 10 1
=
=
número de casos favoráveis ao evento : amarelo
3 / 10 3
De modo geral, dados dois eventos, A e B, que não são independentes, a
probabilidade condicionada de A, dado B, é definida como:
P( A / B) =
P( A ⋅ B) P( A ∩ B)
=
P( B)
P( B)
ou seja, como a razão entre a probabilidade do evento conjunto A e B
ocorrer e a probabilidade da ocorrência de B.
Como um outro exemplo, suponha que uma carta é retirada de um baralho.
Qual é probabilidade de ser um rei preto, sabendo que a carta retirada foi
uma “figura” (valete, dama ou rei)?
Sejam A = {rei preto} e B = {figura}, e:
i) como existem dois reis pretos no baralho, os quais são, também, figuras,
logo:
P( A ∩ B) =
2
52
ii) como existem doze figuras em um baralho, temos que:
P( B) =
12
52
Logo, o resultado é:
2
P ( A ⋅ B ) P( A ∩ B) 52 2 1
P( A / B) =
=
=
=
= = 0,1666 ou 16,67 %
12 12 6
P( B)
P( B)
52
Então, a probabilidade de ocorrer um rei preto condicionada à ocorrência de
uma figura é de 1/6 ou aproximadamente 17%.
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Como um outro exemplo, suponha que um dado foi jogado. Qual é
probabilidade de ocorrido um 5?
Como um dado tem seis faces, a probabilidade de ter ocorrido a face com o
número 5 é:
P(5) =
número de casos favoráveis ao evento : face 5 1
= = 0,1667 ou 16,67 %
número de casos possíveis
6
Imagine, agora, que o mesmo dado foi jogado e já se sabe que ocorreu
face com número ímpar. Qual é a probabilidade de ter ocorrido a face 5?
Note que a resposta a esta pergunta é diferente da resposta dada à
pergunta anterior. Se saiu face com número ímpar, só podem ter ocorrido
os números:1, 3 ou 5. Logo, a probabilidade de ter ocorrido 5 é:
Sejam A = {face 5} e B = {número ímpar}, e:
i) como existe somente uma face 5 no dado e que também é número ímpar,
logo:
P( A ∩ B) =
1
6
ii) como existem três faces ímpares em um dado, temos que:
P( B) =
3
6
Logo, o resultado é:
1
P( A ⋅ B) P( A ∩ B) 6 1
P( A / B) =
=
= = = 0,3333 ou 33,33 %
3 3
P( B)
P( B)
6
Logo, observe que a probabilidade de ocorrer determinado evento pode ser
modificada quando se impõe uma condição. Como mostra o exemplo, a
probabilidade de ocorrer 5 no jogo de um dado é 16,67%, mas, sob a
condição de ter ocorrido face com número ímpar, a probabilidade de ocorrer
5 é 33,33%.
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Tendo estudado probabilidade condicionada, e para entender melhor a
idéia de eventos independentes, imagine que um dado e uma moeda são
jogados ao mesmo tempo e se pergunte:
a) Qual é a probabilidade de ocorrer cara na moeda?
b) Qual é a probabilidade de ocorrer cara na moeda sabendo que
ocorreu face 6 no dado?
Na tabela abaixo estão os eventos que podem ocorrer quando se jogam um
dado e uma moeda ao mesmo tempo.
Dado
1
2
3
4
5
6
Moeda
Cara
Cara;1
Cara;2
Cara;3
Cara;4
Cara;5
Cara;6
Coroa
Coroa;1
Coroa;2
Coroa;3
Coroa;4
Coroa;5
Coroa;6
Dos doze eventos possíveis e igualmente prováveis apresentados na tabela
acima, seis correspondem à saída de cara na moeda. Então, a
probabilidade de sair cara na moeda é:
P(cara) =
número de casos favoráveis ao evento cara 6
=
= 0,5 ou 50 %
número de casos possíveis
12
Para obter a probabilidade de sair cara na moeda, sabendo que saiu 6 no
dado, observe a última linha da tabela anterior. Dos dois eventos que
correspondem à saída de 6 no dado, um corresponde à saída de cara na
moeda. Então, a probabilidade de sair cara na moeda, sabendo que
ocorreu 6 no dado, é:
P(cara) =
número de casos favoráveis ao evento cara 1
= = 0,5 ou 50 %
número de casos possíveis
2
Neste exemplo, a probabilidade de ocorrer um evento (sair cara na moeda)
não foi modificada pela ocorrência de outro evento (sair 6 no dado). Diz-se,
então, que esses eventos são independentes.
Por definição, dois eventos são independentes quando a probabilidade de
ocorrer um deles não é modificada pela ocorrência do outro. Quando se
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jogam um dado e uma moeda, o resultado que ocorre na moeda não
depende do que ocorre no dado. Então, esses eventos são independentes.
Na área biológica existem vários exemplos de “eventos dependentes” e de
“eventos independentes”. Assim, “olhos claros” e “cabelos claros” são
eventos dependentes porque a probabilidade de uma pessoa ter olhos
claros é maior se a pessoa tem cabelos claros. Já “olhos claros” e “idade
avançada” são eventos independentes, porque a probabilidade de uma
pessoa ter olhos claros não aumenta (ou diminui) com a idade.
ii. Regra geral da multiplicação de probabilidades
A partir da definição de probabilidade condicionada, é possível enunciar a
regra geral de multiplicação de probabilidades: “a probabilidade da
ocorrência simultânea de dois eventos, A e B, do mesmo espaço amostral,
é igual ao produto da probabilidade de um deles pela probabilidade
condicionada do outro, dado o primeiro”.
P ( A ⋅ B ) = P ( A ∩ B) = P( A) P ( B / A) = P ( B) P( A / B)
A regra geral da multiplicação, estendida aos eventos A, B e C, é:
P ( A ∩ B ∩ C ) = P( A) P( B / A) P (C / A ∩ B)
A probabilidade P(A ∩ B ∩ C) pode assumir seis diferentes formas, uma
das quais foi dada acima. Uma outra forma é mostrada abaixo. Como
exercício, você pode obter as outras quatro formas.
P ( A ∩ B ∩ C ) = P( A) P(C / A) P( B / A ∩ C )
Como exemplo, imagine uma urna contendo três bolas brancas e oito
pretas. Uma bola é retirada ao acaso e não reposta: então outra bola é
retirada. Qual e probabilidade de ambas serem pretas?
A primeira bola, sendo preta, influi sobre a probabilidade de obter uma
segunda bola preta: os dois eventos não são estatisticamente
independentes, logo:
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P (ambas pretas ) = P ( primeira preta ) P ( segunda preta / primeira preta )
E temos que:
P (ambas pretas ) =
8 7
56 28
⋅ =
=
= 0,5090 ou 50,9 %
11 10 110 55
Em um outro exemplo, uma moeda e um dado são lançados
simultaneamente. Se A for evento “sair coroa” e B for o evento “ocorrer o 3”,
constatar que os eventos A e B são independentes.
Ora, vamos calcular a probabilidade de A dado que B tenha ocorrido.
Temos que:
1
P ( A ∩ B) 12 1
P( A / B) =
=
= = 0,50 ou 50 %
2 2
P( B)
12
Se calculássemos somente a probabilidade de A ocorrer, teríamos:
P(coroa) =
número de casos favoráveis ao evento coroa 1
= = 0,5 ou 50 %
número de casos possíveis
2
Neste exemplo, a probabilidade de ocorrer um evento (sair caroa na
moeda) não foi modificada pela ocorrência de outro evento (sair 3 no dado).
Diz-se, então, que esses eventos são independentes. Em outras palavras,
como a probabilidade de A é igual à probabilidade de A dado que saiu B,
isto significa que a ocorrência de um evento não interfere com o outro e os
dois eventos são independentes.
Em um outro exemplo, uma moeda será jogada duas vezes. Qual é a
probabilidade de ocorrer cara nas duas jogadas? Ora, a probabilidade de
ocorrer cara na primeira jogada é:
P(cara) =
número de casos favoráveis ao evento cara 1
= = 0,5 ou 50 %
número de casos possíveis
2
A probabilidade de ocorrer cara na segunda jogada também é:
P(cara) =
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número de casos favoráveis ao evento cara 1
= = 0,5 ou 50 %
número de casos possíveis
2
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Isto ocorre porque o fato de ocorrer cara na primeira jogada não modifica a
probabilidade de ocorrer cara na segunda jogada (os eventos são
independentes). E para obter a probabilidade de ocorrer cara nas duas
jogadas (primeira e segunda), faz-se o produto:
iii. Em resumo
Em um exemplo, uma moeda será jogada duas vezes. Qual é a
probabilidade de ocorrer cara nas duas jogadas? Ora, a probabilidade de
ocorrer cara na primeira jogada é:
P(cara) =
número de casos favoráveis ao evento cara 1
= = 0,5 ou 50 %
número de casos possíveis
2
A probabilidade de ocorrer cara na segunda jogada também é:
P(cara) =
número de casos favoráveis ao evento cara 1
= = 0,5 ou 50 %
número de casos possíveis
2
Isto ocorre porque o fato de ocorrer cara na primeira jogada não modifica a
probabilidade de ocorrer cara na segunda jogada (os eventos são
independentes). E para obter a probabilidade de ocorrer cara nas duas
jogadas (primeira e segunda), faz-se o produto:
P ( KK ) = P ( K ∩ K ) = P( K ) P ( K ) =
1 1 1
⋅ = = 0,25 ou 25 %
2 2 4
Em um outro exemplo, uma urna contém duas bolas brancas e uma
vermelha. Retiram-se duas bolas da urna ao acaso, uma em seguida da
outra e sem que a primeira tenha sido recolocada. Qual é a probabilidade
das duas serem brancas?
A probabilidade da primeira bola ser branca é:
P(bola branca) =
número de casos favoráveis ao evento bola branca 2
= = 0,6667 ou 66,67 %
número de casos possíveis
3
A probabilidade da segunda bola ser branca vai depender do que ocorreu
na primeira retirada. Se saiu bola branca, a probabilidade da segunda
também ser branca é:
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P(bola branca) =
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número de casos favoráveis ao evento bola branca 1
= = 0,5 ou 50 %
número de casos possíveis
2
Para obter, então, a probabilidade de duas bolas retiradas serem brancas,
faz-se o produto:
P(2 bolas brancas) =
2 1 2 1
⋅ = = = 0,3333 ou 33,33 %
3 2 6 3
Agora fica fácil entender o teorema do produto. Se A e B são eventos
independentes, a probabilidade de ocorrer A e B é dada pela probabilidade
de ocorrer A, multiplicada pela probabilidade de ocorrer B.
P ( A.B) = P( A ∩ B) = P ( A) P( B)
Se A e B não são independentes, a probabilidade de ocorrer A e B é dada
pela probabilidade de ocorrer A, multiplicada pela probabilidade
(condicional) de ocorrer B, dado que A ocorreu.
P ( A ⋅ B ) = P ( A ∩ B) = P( A) P ( B / A) = P ( B) P( A / B)
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