Probabilidade

Probabilidade
Os jogos de azar, que se caracterizam por ações como girar uma roleta, lançar
dados ou retirar cartas do baralho, têm duas características básicas: a incerteza
e a regularidade. Por exemplo, o resultado de um jogo de dados é incerto
porque, toda vez que se joga um dado, pode ocorrer qualquer uma das faces.
No entanto, o jogo, embora incerto, tem regularidade. Se forem feitos muitos
lançamentos, espera-se que todas as faces ocorram igual número de vezes. Foi
essa ideia que incentivou o estudo de tais jogos, o que levou à formulação da
teoria da probabilidade, base da estatística moderna.
Conceito de probabilidade
Imagine que se deseja saber a probabilidade de ocorrer cara, quando se lança
uma moeda. Ora, para uma série muito grande de lançamentos espera-se que
ocorram caras e coroas igual número de vezes. Então, numa série muito grande
de lançamentos ocorre cara metade das vezes. Logo, a probabilidade de
ocorrer cara é ½. Vem daí a definição de probabilidade.
Se são possíveis n eventos mutuamente exclusivos e igualmente prováveis, se
m desses eventos têm a característica A, a probabilidade de ocorrer um evento
com a característica A, que se indica por P (A), é:
P (A) = m/n
P (A) = número de vezes em que A ocorre/ número de vezes em que todos os
eventos ocorrem.
Veja um exemplo. Qual é a probabilidade de ocorrer número ímpar, quando se
joga um dado? Quando se joga um dado, são possíveis seis eventos: 1, 2, 3, 4,
5 ou 6. Esses seis eventos são mutuamente exclusivos, porque duas ou mais
faces não podem ocorrer ao mesmo tempo. Se o dado for honesto, esses seis
eventos são igualmente prováveis.
Então, a probabilidade de ocorrer um número ímpar, quando se joga um dado,
é: P (ímpar) = 3/6 = ½ , porque existem seis eventos possíveis mutuamente
exclusivos e igualmente prováveis, dos quais apenas três, isto é, 1, 3 e 5, têm a
característica de “ser ímpar”. O conjunto de todos os eventos possíveis deste
experimento é chamado de espaço amostral.
Probabilidade condicional
Imagine que alguém pergunta: “Qual é a probabilidade de ocorrer um ás de
espadas, quando se retira ao acaso uma carta do baralho?” Para responder a
esta pergunta é preciso saber que um baralho tem 52 cartas distribuídas em
quatro naipes diferentes. Existem 13 cartas de paus, 13 cartas de ouro, 13
cartas de copas e 13 cartas de espadas. Cada naipe tem apenas um ás. Como
das 52 cartas, apenas uma tem a característica “ser ás de espadas”, a
probabilidade de sair “ás de espadas”, quando se retira uma carta ao acaso de
um baralho, é: 1/52.
Naipes do baralho: paus, ouro, copas e espadas.
Imagine agora que foi feita a mesma pergunta, isto é, perguntou-se: “Qual é a
probabilidade de ter sido retirado um ás de espada de um baralho?”, mas se
deu uma informação adicional: “Saiu carta de espadas”. Ora, esta informação
limita o número de eventos possíveis. Se saiu carta de espadas, a probabilidade
de ter ocorrido um ás de espadas é: 1/13 e não mais 1/52, como anteriormente.
Esse exemplo ilustra a idéia de probabilidade condicional, ou seja, a
ideia de que a probabilidade de ocorrer um evento pode ser modificada quando
se impõe determinada condição. No exemplo, a probabilidade de ocorrer ás de
espadas é de 1/52, foi modificada para 1/13, quando se impôs a condição de ter
ocorrido carta de espadas.
Então, a probabilidade condicional de ocorrer B, dado que ocorreu A, é a
probabilidade de ocorrer B sob a condição de ter ocorrido A, que é indicada por
P (B/A), que se lê “probabilidade de B, dado A”.
Eventos independentes
Imagine que uma moeda e um dado são lançados ao mesmo tempo e alguém
pergunta: “Qual é a probabilidade de sair 6 no dado, sabendo que saiu cara na
moeda?”
Verifique que a probabilidade de ocorrer a face 6 no dado é 1/6, quer se
imponha, ou não, a condição de ter ocorrido cara na moeda. Esse exemplo foi
trazido aqui para mostrar que a probabilidade de ocorrer um evento pode não se
modificar, mesmo quando se impõe a condição de ter ocorrido outro evento.
Nesses casos, os eventos são considerados independentes. Então, dois
eventos, A e B, são independentes se:
P (B/A) = P (B) (probabilidade de B, dado A é a probabilidade de B).
Exercícios
1) Uma urna contém duas bolas brancas (B) e três bolas vermelhas (V). Retirase uma bola ao acaso da urna. Se for branca, lança-se uma moeda; se for
vermelha, ela é devolvida à urna e retira-se outra bola. Dê um espaço
amostral para o experimento.
2) Lance um dado até que a face 5 apareça pela primeira vez. E numere os
possíveis resultados desse experimento.
3) Três jogadores A, B e C, disputam um torneio de tênis. Inicialmente, A joga
com B e o vencedor joga com C, e assim por diante. O torneio termina
quando um jogador ganha duas vezes em seguida ou quando são
disputadas, ao todo, 4 partidas. Quais são os resultados possíveis do
torneio?
Exercícios - respostas
1) Uma urna contém duas bolas brancas (B) e três bolas vermelhas (V). Retirase uma bola ao acaso da urna. Se for branca, lança-se uma moeda; se for
vermelha, ela é devolvida à urna e retira-se outra bola. Dê um espaço
amostral para o experimento.
Se for bola branca, lança-se a moeda que pode sair cara (C) ou coroa (R) (BC,
BR).
Se for bola vermelha, ela é devolvida e outra bola é retirada. Se for vermelha é
devolvida (VV).
Se for vermelha, ela é devolvida e outra bola é retirada, se for branca, lança-se
a moeda que pode ser cara ou coroa (VB).
S = { BC, BR, VV, VBC, VBR}
2) Lance um dado até que a face 5 apareça pela primeira vez. E numere os
possíveis resultados desse experimento.
S = {5, f5, ff5, fff5....} sendo f qualquer face diferente de 5.
Exercícios – respostas
3) Três jogadores A, B e
com B e o vencedor
quando um jogador
disputadas, ao todo,
torneio?
1) A X B = A
AXC=A
2) A X B = A
AXC=C
CXB=C
3) A X B = B
BXC=B
4) A x B = B
BXC=C
CXA=C
C, disputam um torneio de tênis. Inicialmente, A joga
joga com C, e assim por diante. O torneio termina
ganha duas vezes em seguida ou quando são
4 partidas. Quais são os resultados possíveis do
5) A x B = A
AXC=C
CXB=B
BXA=A
6) A X B = A
AXC=C
CXB=B
BXA=B
7) A X B = B
BXC=C
CXA=A
AXB=A
8) A X B = B
BXC=C
CXA=A
AXB=B
{AA, ACC, BB, BCC, ACBA,
ACBB, BCAA, BCAB}
Teorema do produto
Pode haver interesse em determinar a probabilidade de dois eventos ocorrerem
ao mesmo tempo, ou um em seguida do outro. Assim, imagine que uma pessoa
retira, ao acaso, uma bola de uma urna e, em seguida, sem que essa bola seja
recolocada na urna, retira uma segunda bola. Imagine que essa urna contém
duas bolas pretas e oito bolas brancas.
Qual é a probabilidade de terem sido retiradas as duas bolas pretas? É fácil
verificar que a probabilidade de uma pessoa retirar ao acaso uma bola preta de
uma urna que contém duas bolas pretas e oito bolas brancas é: 2/10.
Se sair a bola preta, e se essa bola não for recolocada na urna, a probabilidade
de a pessoa retirar uma segunda bola preta é: 1/9, porque a urna passa a
conter nove bolas (uma já foi retirada), das quais apenas uma é preta. Para
determinar a probabilidade de ocorrer uma bola preta na primeira retirada e uma
bola preta na segunda retirada, multiplicam-se as probabilidades, isto é, calculase: 2/10 x 1/9 = 2/90 = 1/45.
O teorema do produto pode ser enunciado como segue: A probabilidade de ocorrer um
evento com a característica A e um evento com a característica B, isto é, a
probabilidade de ocorrer um evento do conjunto A  B é dada pela expressão:
P (A  B) = P (A) . P (B/A)
No exemplo, a probabilidade de ocorrer “bola preta na primeira retirada” e “bola preta na
segunda retirada” é dada pelo produto de suas probabilidades: a probabilidade de sair
bola preta na primeira retirada, multiplicada pela probabilidade de sair bola preta na
segunda retirada, considerando-se que saiu bola preta na primeira. É importante
lembrar, que se A e B são eventos independentes: P (B / A) = P (B).
Então, se A e B são eventos independentes, o teorema do produto fica como segue:
P (A  B) = P (A) . P (B)
Como exemplo, imagine que são lançadas duas moedas. É claro que o fato de sair cara
numa das moedas não influi sobre o fato de sair cara na outra moeda. Então, esses
eventos são independentes. Consequentemente, a probabilidade de ocorrerem duas
caras quando se lançam duas moedas é: ½ x ½ = ¼.
Exercícios
4) Suponha que a probabilidade de um casal ter um filho homem é ½. Nessas
condições, qual é a probabilidade de um casal com cinco filhos ter os cinco
filhos homens?
5) Sabe-se que uma moeda é honesta, isto é, a probabilidade de sair cara é
igual a ½. Suponha que a moeda foi jogada quatro vezes e ocorreram quatro
caras. Numa próxima jogada é mais, ou menos, provável ocorrer cara?
Exercícios - respostas
4) Suponha que a probabilidade de um casal ter um filho homem é ½. Nessas
condições, qual é a probabilidade de um casal com cinco filhos ter os cinco
filhos homens?
P (casal ter 5 filhos homens) = ½ . ½. ½. ½. ½ = 1/ 32.
5) Sabe-se que uma moeda é honesta, isto é, a probabilidade de sair cara é
igual a ½. Suponha que a moeda foi jogada quatro vezes e ocorreram quatro
caras. Numa próxima jogada é mais, ou menos, provável ocorrer cara?
A probabilidade de ocorrer cara continua igual a ½.
Teorema da soma
Para entender o teorema da soma, imagine que no jogo de dados o jogador
ganha se sair 1 ou 6. Então a probabilidade de o jogador ganhar é dada pela
soma das probabilidades de ocorrer 1 ou 6, isto é:
1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.
Imagine agora que no jogo de moedas o jogador ganha se sair pelo menos uma
cara, em duas jogadas consecutivas. Então, a probabilidade de o jogador
ganhar é dada pela probabilidade de sair cara na primeira jogada, somada à
probabilidade de sair cara na segunda jogada, menos a probabilidade de ter
saído cara nas duas jogadas, isto é: ½ + ½ - ¼ = ¾.
Para entender esse raciocínio, observe a tabela.
Tabela 1: Eventos possíveis quando se lança uma moeda duas vezes
consecutivas.
1º lançamento
2º lançamento
Cara
Coroa
Cara
Cara-cara
Cara-coroa
Coroa
Coroa-cara
Coroa-coroa
A tabela mostra que os eventos com a característica desejada, isto é, “sair pelo menos
uma cara”, formam dois subconjuntos: a primeira linha – saiu cara na primeira jogada –
e a primeira coluna – saiu cara na segunda jogada. No entanto, como o evento “caracara” foi contado duas vezes, precisa ser descontado uma vez.
O teorema da soma pode ser enunciado como segue: A probabilidade de ocorrer ou um
evento com a característica A, ou um evento com a característica B, isto é, a
probabilidade de ocorrer um evento do conjunto A  B é:
P (A  B) = P (A) + P (B) – P (A  B)
Se A  B é um conjunto vazio, o teorema da soma se reduz à expressão:
P (A  B) = P (A) + P (B)
Para tornar mais clara a aplicação do teorema da soma, imagine que se quer saber
qual é a probabilidade de uma carta, retirada ao acaso de um baralho, ser um ás ou
uma carta de espadas. De acordo com o teorema, a probabilidade de uma carta,
retirada ao acaso de um baralho, ser um ás ou uma carta de espadas é:
4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/ 52 = 4/13
Isto é, somam-se as probabilidades de se retirar um ás (4/52) e de se retirar uma
carta de espadas (13/52), mas se subtrai a probabilidade de ocorrer um ás de
espadas (1/52), porque essa probabilidade foi somada duas vezes, isto é, como ás e
como carta de espadas.
Portanto, a chamada regra do ou pode ser resumida assim:
Se A e B são eventos quaisquer: P (A  B) = P (A) + P (B) – P (A  B)
Se A e B são eventos mutuamente exclusivos (disjuntos): P (A  B) = P (A) + P (B)
Frequência relativa
O conceito de probabilidade aplica-se facilmente nos casos de jogos de azar.
Entretanto, a aplicação desse mesmo conceito fica difícil quando se tenta responder a
questões do tipo: Qual é a probabilidade de uma pessoa morrer antes de completar os
40 anos? Qual é a probabilidade de dois aviões se chocarem em pleno ar? Qual é a
probabilidade de um botijão de gás explodir? Todas essas questões são legítimas e
estão associadas à teoria da probabilidades, mas não podem ser respondidas com
base nos conceitos apresentados até aqui. É possível ampliar esses conceitos, mas
primeiro observe os dados apresentados na tabela 2.
Tabela 2 - Recém-nascidos segundo o sexo e a condição de vivo ou morto.
Sexo
Condição
Vivo
Frequência
relativa (%)
Natimorto
Masculino
1513
37
2,4
Feminino
1451
27
1,8
Total
2964
64
2,1
Fonte: Vieira, 1999, p. 118.
Para obter a frequência relativa de natimortos, no sexo masculino, dividiu-se
o número de natimortos desse sexo (37) pelo total do sexo masculino (1513 vivos + 37
natimortos = 1550). Obteve-se, dessa forma, o valor 0,024 ou 2,4%. A frequência
relativa é uma estimativa da probabilidade de uma criança do sexo masculino nascer
morta.
Analogamente, a freqüência relativa de natimortos de sexo feminino, que se
obtém por meio do cálculo: 27/1478 = 0,018 ou 1,8% é uma estimativa da
probabilidade de nascer uma criança, do sexo feminino morta.
Na área de saúde é comum usar o termo risco, como sinônimo de probabilidade.
Assim, fala-se em risco de um nascituro apresentar doença séria, em risco de uma
pessoa contrair determinada doença, em risco de acidentes etc.
Exercícios
6) Uma urna branca contém duas bolas brancas e oito pretas. Uma urna preta
contém duas bolas pretas e oito brancas. Se uma pessoa retirar ao acaso uma
bola de cada urna, qual é a probabilidade de ter retirado pelo menos uma bola
branca da urna branca ou da urna preta?
7) Qual a probabilidade de, ao jogar um dado, obter-se um número maior que
4?
Exercícios - respostas
6) Uma urna branca contém duas bolas brancas e oito pretas. Uma urna preta contém
duas bolas pretas e oito brancas. Se uma pessoa retirar ao acaso uma bola de cada
urna, qual é a probabilidade de ter retirado pelo menos uma bola branca da urna branca
ou da urna preta?
P1 (B, B) = 2/10 . 8/10 = 16/100
P2 (B, P) = 2/10 . 2/10 = 4/100
P3 (P, B) = 8/10 . 8/10 = 64/100
P(pelo menos uma bola branca) = P1 + P2 + P3 = 84/100 = 0,84.
7) Qual a probabilidade de, ao jogar um dado, obter-se um número maior que 4?
Número maior do que 4 no dado temos o 5 e o 6, portanto: P (maior que 4) = P (5 ou 6)
Trata-se de eventos disjuntos, já que, se der 5, é impossível dar 6 e vice-versa.
P (5 ou 6) = P (5) + P (6) = 1/6 + 1/6 = 1/3.
Exercícios
8) Duas crianças gêmeas têm o seguinte comportamento: uma delas, a mais chorona,
chora 65% do dia; a outra chora 45% do dia, e ambas choram, ao mesmo tempo, 30%
do dia. Qual a probabilidade (qual o percentual do dia) de que pelo menos uma chore?
E qual a probabilidade de que nenhuma chore?
Exercícios - respostas
8) Duas crianças gêmeas têm o seguinte comportamento: uma delas, a mais chorona,
chora 65% do dia; a outra chora 45% do dia, e ambas choram, ao mesmo tempo, 30%
do dia. Qual a probabilidade (qual o percentual do dia) de que pelo menos uma chore?
E qual a probabilidade de que nenhuma chore?
A probabilidade de que pelo menos uma chore é a probabilidade de que a primeira
chore ou a segunda chore. Chamando de C1 o evento a primeira criança chora e C2, a
segunda criança chora, temos:
P (C1 ou C2) = P(C1) + P (C2) – P (C1 e C2) = 0,65 + 0,45 – 0,3 = 0,8.
Portanto, pelo menos uma criança estará chorando 80% do tempo. Nenhuma das
crianças chora é o evento complementar.
P (nenhuma chora) = 1 – P(C1 ou C2) = 1 – 0,8 = 0,2
Assim os pais dessas crianças não ouvirão choro apenas 20% do tempo.
Distribuições de Probabilidade – distribuição normal
- Distribuição normal: é a distribuição de probabilidades (para variáveis aleatórias
contínuas) mais importante para a análise estatística, pois boa parte dos
fenômenos observados comportam-se de acordo com essa distribuição.
Exemplos de fenômenos cuja distribuição se “aproximam” de uma curva normal: o
peso ou a altura de pessoas de uma cidade, tempo de duração das chamadas em
uma central de atendimento ao consumidor, tempo de vida de uma lâmpada.
- É uma curva simétrica que apresenta formato de sino, caracterizada pela sua
média e desvio padrão. A média determina a posição da curva em relação à origem
do sistema de coordenadas e o desvio padrão determina se a curva será mais
dispersa (com maior desvio padrão) ou mais concentrada (com menor desvio
padrão). A área sob a curva entre dois pontos de interesse representa a
probabilidade de ocorrência do evento.
- Uma particular distribuição normal, conhecida por normal padronizada, tem média
igual a zero e desvio padrão igual a 1, tem seus resultados tabelados.
Figura 1: Distribuição Normal
Legenda:
μ = média aritmética e σ = desvio padrão
Fonte: AGRESTI; FINLAY, 1997, p. 87.
Cômputo da probabilidade em uma distribuição normal
- Calcular a média μ e o desvio padrão σ da variável de interesse X;
- Transformar a variável X na variável Z (da curva normal padronizada)
de acordo com a seguinte equação:
Z
X 

- Apurar o valor da probabilidade de Z consultando a tabela. Este
resultado representa a probabilidade de ocorrência do evento X.
Exemplo de aplicação
Um teste foi aplicado a um grupo de 50 adolescentes do 3o ano colegial. Obteve-se
uma distribuição normal com média 50 e desvio padrão 6. Qual a proporção de
alunos com notas superiores a 60 ?
Neste caso temos:
μ = 50;
Z
σ = 6;
X = 60
60  50
 1,67
6
Consultando a tabela para Z = 1,67, verifica-se:
A probabilidade de a nota ser superior a 60 é:
P(X>60) = 0,5 - 0,4525 = 0,0475 ou 4,75 %
Fonte: Bussab; Morettin, 1987, p. 305.
Referências bibliográficas:
BUSSAB, Wilton O; MORETTIN, Pedro A. Métodos Quantitativos: Estatística
Básica. São Paulo: Atlas, 1987. Capítulo 4.
VIEIRA, S. Elementos de Estatística. 3 ª edição. São Paulo: Atlas, 1999. Capítulo 8.